Aufgaben:Aufgabe 4.1: Tiefpass- und Bandpass-Signale: Unterschied zwischen den Versionen

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Rechts sind drei Signalverläufe skizziert, wobei die beiden ersten folgenden Verlauf aufweisen:
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Rechts sind drei Signalverläufe skizziert, wobei die beiden ersten folgenden Verlauf aufweisen,  mit  ${\rm si}(x)=\sin(x)/x$:
 
   
 
   
 
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:$$x(t)  =  10\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( \pi \cdot
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$T_x = 100 \,{\rm µ}\text{s}$ und $T_y = 166.67 \,{\rm µ}\text{s}$ geben jeweils die erste Nullstelle von $x(t)$ bzw. $y(t)$ an.
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Hierbei geben  $T_x = 100 \,{\rm µ}\text{s}$  und  $T_y = 166.67 \,{\rm µ}\text{s}$  jeweils die erste Nullstelle von  $x(t)$  bzw.  $y(t)$  an.
  
Das Signal $d(t)$ ergibt sich aus der Differenz der beiden oberen Signale (untere Grafik):
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Das Signal  $d(t)$  ist die Differenz der beiden oberen Signale (untere Grafik):
 
   
 
   
 
:$$d(t)  =  x(t)-y(t)  .$$
 
:$$d(t)  =  x(t)-y(t)  .$$
  
In der Teilaufgabe (4) ist nach den Integralflächen der impulsartigen Signale $x(t)$ und $d(t)$ gefragt. Für diese gilt:
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In der Teilaufgabe  '''(4)'''  ist nach den Integralflächen der zeitlich begrenzten Signale  $x(t)$  und  $d(t)$  gefragt.  Für diese gilt:
 
   
 
   
 
:$$F_x = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}x(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t , \hspace{0.5cm}F_d = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}d(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t .$$
 
:$$F_x = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}x(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t , \hspace{0.5cm}F_d = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}d(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t .$$
  
Dagegen gilt für die entsprechenden Signalenergien mit dem [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Leistung_und_Energie_eines_Bandpass-Signals|Satz von Parseval]]:
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Dagegen gilt für die entsprechenden Signalenergien mit dem  [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Leistung_und_Energie_eines_Bandpass-Signals|Satz von Parseval]]:
 
   
 
   
 
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen|Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Signaldarstellung/Grundsätzliches_zu_Tiefpass-_und_Bandpass-Signalen|Grundsätzliches zu Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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*Die Fourierrücktransformierte eines rechteckförmigen Spektrums $X(f)$ führt zu einer si-förmigen Zeitfunktion $x(t)$:  
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*Die Fourierrücktransformierte eines rechteckförmigen Spektrums  $X(f)$  führt zu einer  $\rm si$–förmigen Zeitfunktion $x(t)$:  
  
:$$X(f)=\left\{ {X_0 \; \rm f\ddot{u}r\; |\it f| < \rm B, \atop {\rm 0 \;\;\; \rm sonst}}\right. \;\;
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:$$X(f)=\left\{ {X_0 \; \rm f\ddot{u}r\; |\it \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}| < \rm B, \atop {\rm 0 \;\;\; \rm sonst}}\right. \;\;
\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \;\;x(t)  =  2 \cdot X_0 \cdot B \cdot {\rm si} ( 2\pi B t) .$$  
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\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \;\;x(t)  =  2 \cdot X_0 \cdot B \cdot {\rm si} ( 2\pi B t), \hspace{0.5cm} {\rm si}(x)=\sin(x)/x.$$  
  
  
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{Wie lautet das Spektrum $X(f)$ des Signals $x(t)$? Wie groß sind $X(f = 0)$ und die physikalische, einseitige Bandbreite $B_x$ von $x(t)$?
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{Wie lautet das Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; des Signals&nbsp; $x(t)$?&nbsp; Wie groß sind&nbsp; $X(f = 0)$&nbsp; und die physikalische, einseitige Bandbreite&nbsp; $B_x$&nbsp; von&nbsp; $x(t)$?
 
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$X(f=0)\ = \ $  { 1 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
 
$X(f=0)\ = \ $  { 1 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
 
$B_x \ = \ $ { 5 3% } &nbsp;$\text{kHz}$
 
$B_x \ = \ $ { 5 3% } &nbsp;$\text{kHz}$
  
{Wie lauten die entsprechenden Kenngrößen des Signals $y(t)$?
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{Wie lauten die entsprechenden Kenngrößen des Signals&nbsp; $y(t)$?
 
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$Y(f=0)\ = \ $  { 1 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
 
$Y(f=0)\ = \ $  { 1 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
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{Berechnen Sie das Spektrum $D(f)$ des Differenzsignals $d(t) = x(t) y(t)$. Wie groß sind $D(f = 0)$ und die (einseitige) Bandbreite $B_d$?
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{Berechnen Sie das Spektrum&nbsp; $D(f)$&nbsp; des Differenzsignals&nbsp; $d(t) = x(t) - y(t)$.&nbsp; Wie groß sind&nbsp; $D(f = 0)$&nbsp; und die (einseitige) Bandbreite&nbsp; $B_d$?
 
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$D(f=0)\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
 
$D(f=0)\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
 
$B_d \ = \ $ { 2 3% } &nbsp;$\text{kHz}$
 
$B_d \ = \ $ { 2 3% } &nbsp;$\text{kHz}$
  
{Wie groß sind die Integralflächen $F_x$ und $F_d$ der Signale $x(t)$ und $d(t)$?
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{Wie groß sind die Integralflächen&nbsp; $F_x$&nbsp; und&nbsp; $F_d$&nbsp; der Signale&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $d(t)$?
 
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$F_x\ = \ $ { 0.001 } &nbsp;$\text{Vs}$
 
$F_x\ = \ $ { 0.001 } &nbsp;$\text{Vs}$
 
$F_d\ = \ $ { 0. }  &nbsp;$\text{Vs}$   
 
$F_d\ = \ $ { 0. }  &nbsp;$\text{Vs}$   
  
{Wie groß sind die (auf $1\  Ω$ umgerechneten) Energien dieser Signale?
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{Wie groß sind die (auf&nbsp; $1\  Ω$&nbsp; umgerechneten) Energien dieser Signale?
 
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$E_x \ = \ $ { 0.01 3% } &nbsp;$\text{V}^2\text{s}$
 
$E_x \ = \ $ { 0.01 3% } &nbsp;$\text{V}^2\text{s}$
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Die si–förmige Zeitfunktion $x(t)$ lässt auf ein Rechteckspektrum $X(f)$ schließen. Die absolute, zweiseitige Bandbreite $2 \cdot B_x$ ist gleich dem Kehrwert der ersten Nullstelle. Daraus folgt:
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'''(1)'''&nbsp; Die&nbsp; $\rm si$–förmige Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; lässt auf ein Rechteckspektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; schließen.  
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*Die absolute, zweiseitige Bandbreite&nbsp; $2 \cdot B_x$&nbsp; ist gleich dem Kehrwert der ersten Nullstelle.&nbsp; Daraus folgt:
 
   
 
   
 
:$$B_x = \frac{1}{2 \cdot T_x}  =  \frac{1}{2 \cdot 0.1
 
:$$B_x = \frac{1}{2 \cdot T_x}  =  \frac{1}{2 \cdot 0.1
 
\hspace{0.1cm}{\rm ms}}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 5 \hspace{0.1cm}{\rm kHz}}.$$
 
\hspace{0.1cm}{\rm ms}}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 5 \hspace{0.1cm}{\rm kHz}}.$$
  
Da der Signalwert bei $t = 0$ gleich der Rechteckfläche ist, ergibt sich für die konstante Höhe:
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*Da der Signalwert bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; gleich der Rechteckfläche ist, ergibt sich für die konstante Höhe:
 
   
 
   
 
:$$X(f=0) = \frac{x(t=0)}{2 B_x}  =  \frac{10
 
:$$X(f=0) = \frac{x(t=0)}{2 B_x}  =  \frac{10
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'''(2)'''&nbsp; Aus $T_y = 0.167 \,\text{ms}$ erhält man $B_y \;\underline{= 3 \,\text{kHz}}$. Zusammen mit $y(t = 0) = 6\,\text{V}$ führt dies zum gleichen Spektralwert $Y(f = 0)\; \underline{= 1\, \text{mV/Hz}}$ wie bei der Teilaufgabe (1).
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'''(2)'''&nbsp; Aus&nbsp; $T_y = 0.167 \,\text{ms}$&nbsp; erhält man&nbsp; $B_y \;\underline{= 3 \,\text{kHz}}$.  
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*Zusammen mit&nbsp; $y(t = 0) = 6\,\text{V}$&nbsp; führt dies zum gleichen Spektralwert&nbsp; $Y(f = 0)\; \underline{= 1\, \text{mV/Hz}}$&nbsp; wie bei der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''.
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[[Datei:P_ID701__Sig_A_4_1_c_neu.png|right|frame|Rechteckförmiges BP-Spektrum]]
 
'''(3)'''&nbsp;  Aus $d(t) = x(t) – y(t)$ folgt wegen der Linearität der Fouriertransformation: &nbsp; $D(f)  = X(f) - Y(f).$
 
  
*Die Differenz der zwei gleich hohen Rechteckfunktionen führt zu einem rechteckförmigen Bandpass–Spektrum zwischen $3 \,\text{kHz}$ und $5 \,\text{kHz}$.  
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[[Datei:P_ID701__Sig_A_4_1_c_neu.png|right|frame|Rechteckförmiges Bandpass&ndash;Spektrum]]
*Die (einseitige) Bandbreite beträgt somit $B_d \;\underline{= 2 \,\text{kHz}}$. In diesem Frequenzintervall ist $D(f) = 1 \,\text{mV/Hz}$. Außerhalb, also auch bei $f = 0$, gilt $D(f)\;\underline{ = 0}$.
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'''(3)'''&nbsp;  Aus&nbsp; $d(t) = x(t) - y(t)$&nbsp; folgt wegen der Linearität der Fouriertransformation: &nbsp; $D(f) = X(f) - Y(f).$
  
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*Die Differenz der zwei gleich hohen Rechteckfunktionen führt zu einem rechteckförmigen Bandpass–Spektrum zwischen&nbsp; $3 \,\text{kHz}$&nbsp; und&nbsp; $5 \,\text{kHz}$.
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*Die (einseitige) Bandbreite beträgt somit&nbsp; $B_d \;\underline{= 2 \,\text{kHz}}$.&nbsp; In diesem Frequenzintervall ist&nbsp; $D(f) = 1 \,\text{mV/Hz}$.&nbsp; Außerhalb, also auch bei&nbsp; $f = 0$, gilt&nbsp; $D(f)\;\underline{ = 0}$.
  
'''(4)'''&nbsp; Nach den fundamentalen Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation ist das Integral über die Zeitfunktion gleich dem Spektralwert bei $f = 0$. Daraus folgt:
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'''(4)'''&nbsp; Nach den fundamentalen Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation ist das Integral über die Zeitfunktion gleich dem Spektralwert bei&nbsp; $f = 0$.&nbsp; Daraus folgt:
 
   
 
   
 
:$$F_x = X(f=0) = \frac{x(t=0)}{2 \cdot B_x}  =  10^{-3}
 
:$$F_x = X(f=0) = \frac{x(t=0)}{2 \cdot B_x}  =  10^{-3}
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:$$F_d = D(f=0) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
 
:$$F_d = D(f=0) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
 
   
 
   
&rArr;&nbsp; Bei jedem Bandpass–Signal sind die Flächen der positiven Signalanteile gleich groß wie die Flächen der negativen Anteile.
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&rArr; &nbsp; '''Bei jedem Bandpass–Signal sind die Flächen der positiven Signalanteile gleich groß wie die Flächen der negativen Anteile'''.
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Aktuelle Version vom 3. Mai 2021, 17:08 Uhr

Vorgegebene Signalverläufe

Rechts sind drei Signalverläufe skizziert, wobei die beiden ersten folgenden Verlauf aufweisen,  mit  ${\rm si}(x)=\sin(x)/x$:

$$x(t) = 10\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( \pi \cdot {t}/{T_x}) ,$$
$$y(t) = 6\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si}( \pi \cdot {t}/{T_y}) .$$

Hierbei geben  $T_x = 100 \,{\rm µ}\text{s}$  und  $T_y = 166.67 \,{\rm µ}\text{s}$  jeweils die erste Nullstelle von  $x(t)$  bzw.  $y(t)$  an.

Das Signal  $d(t)$  ist die Differenz der beiden oberen Signale (untere Grafik):

$$d(t) = x(t)-y(t) .$$

In der Teilaufgabe  (4)  ist nach den Integralflächen der zeitlich begrenzten Signale  $x(t)$  und  $d(t)$  gefragt.  Für diese gilt:

$$F_x = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}x(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t , \hspace{0.5cm}F_d = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}d(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t .$$

Dagegen gilt für die entsprechenden Signalenergien mit dem  Satz von Parseval:

$$E_x = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}|x(t)|^2\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}|X(f)|^2\hspace{0.1cm}{\rm d}f ,$$
$$E_d = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}|d(t)|^2\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}|D(f)|^2\hspace{0.1cm}{\rm d}f .$$





Hinweise:

  • Die Fourierrücktransformierte eines rechteckförmigen Spektrums  $X(f)$  führt zu einer  $\rm si$–förmigen Zeitfunktion $x(t)$:
$$X(f)=\left\{ {X_0 \; \rm f\ddot{u}r\; |\it \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}| < \rm B, \atop {\rm 0 \;\;\; \rm sonst}}\right. \;\; \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \;\;x(t) = 2 \cdot X_0 \cdot B \cdot {\rm si} ( 2\pi B t), \hspace{0.5cm} {\rm si}(x)=\sin(x)/x.$$


Fragebogen

1

Wie lautet das Spektrum  $X(f)$  des Signals  $x(t)$?  Wie groß sind  $X(f = 0)$  und die physikalische, einseitige Bandbreite  $B_x$  von  $x(t)$?

$X(f=0)\ = \ $

 $\text{mV/Hz}$
$B_x \ = \ $

 $\text{kHz}$

2

Wie lauten die entsprechenden Kenngrößen des Signals  $y(t)$?

$Y(f=0)\ = \ $

 $\text{mV/Hz}$
$B_y \ = \ $

 $\text{kHz}$

3

Berechnen Sie das Spektrum  $D(f)$  des Differenzsignals  $d(t) = x(t) - y(t)$.  Wie groß sind  $D(f = 0)$  und die (einseitige) Bandbreite  $B_d$?

$D(f=0)\ = \ $

 $\text{mV/Hz}$
$B_d \ = \ $

 $\text{kHz}$

4

Wie groß sind die Integralflächen  $F_x$  und  $F_d$  der Signale  $x(t)$  und  $d(t)$?

$F_x\ = \ $

 $\text{Vs}$
$F_d\ = \ $

 $\text{Vs}$

5

Wie groß sind die (auf  $1\ Ω$  umgerechneten) Energien dieser Signale?

$E_x \ = \ $

 $\text{V}^2\text{s}$
$E_d \ = \ $

 $\text{V}^2\text{s}$


Musterlösung

(1)  Die  $\rm si$–förmige Zeitfunktion  $x(t)$  lässt auf ein Rechteckspektrum  $X(f)$  schließen.

  • Die absolute, zweiseitige Bandbreite  $2 \cdot B_x$  ist gleich dem Kehrwert der ersten Nullstelle.  Daraus folgt:
$$B_x = \frac{1}{2 \cdot T_x} = \frac{1}{2 \cdot 0.1 \hspace{0.1cm}{\rm ms}}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 5 \hspace{0.1cm}{\rm kHz}}.$$
  • Da der Signalwert bei  $t = 0$  gleich der Rechteckfläche ist, ergibt sich für die konstante Höhe:
$$X(f=0) = \frac{x(t=0)}{2 B_x} = \frac{10 \hspace{0.1cm}{\rm V}}{10 \hspace{0.1cm}{\rm kHz}} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1 \hspace{0.1cm}{\rm mV/Hz}}.$$


(2)  Aus  $T_y = 0.167 \,\text{ms}$  erhält man  $B_y \;\underline{= 3 \,\text{kHz}}$.

  • Zusammen mit  $y(t = 0) = 6\,\text{V}$  führt dies zum gleichen Spektralwert  $Y(f = 0)\; \underline{= 1\, \text{mV/Hz}}$  wie bei der Teilaufgabe  (1).



Rechteckförmiges Bandpass–Spektrum

(3)  Aus  $d(t) = x(t) - y(t)$  folgt wegen der Linearität der Fouriertransformation:   $D(f) = X(f) - Y(f).$

  • Die Differenz der zwei gleich hohen Rechteckfunktionen führt zu einem rechteckförmigen Bandpass–Spektrum zwischen  $3 \,\text{kHz}$  und  $5 \,\text{kHz}$.
  • Die (einseitige) Bandbreite beträgt somit  $B_d \;\underline{= 2 \,\text{kHz}}$.  In diesem Frequenzintervall ist  $D(f) = 1 \,\text{mV/Hz}$.  Außerhalb, also auch bei  $f = 0$, gilt  $D(f)\;\underline{ = 0}$.



(4)  Nach den fundamentalen Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation ist das Integral über die Zeitfunktion gleich dem Spektralwert bei  $f = 0$.  Daraus folgt:

$$F_x = X(f=0) = \frac{x(t=0)}{2 \cdot B_x} = 10^{-3} \hspace{0.1cm}{\rm V/Hz}\hspace{0.15 cm}\underline{= 0.001 \hspace{0.1cm}{\rm Vs}},$$
$$F_d = D(f=0) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$

⇒   Bei jedem Bandpass–Signal sind die Flächen der positiven Signalanteile gleich groß wie die Flächen der negativen Anteile.


(5)  In beiden Fällen ist die Berechnung der Signalenergie im Frequenzbereich einfacher als im Zeitbereich, da hier die Integration auf eine Flächenberechnung von Rechtecken zurückgeführt werden kann:

$$E_x = (10^{-3} \hspace{0.1cm}{\rm V/Hz})^2 \cdot 2 \cdot 5 \hspace{0.1cm}{\rm kHz} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.01 \hspace{0.1cm}{\rm V^2s}},$$
$$E_d = (10^{-3} \hspace{0.1cm}{\rm V/Hz})^2 \cdot 2 \cdot 2 \hspace{0.1cm}{\rm kHz} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.004 \hspace{0.1cm}{\rm V^2s}}.$$