Aufgaben:Aufgabe 4.16Z: Zwei- und dreidimensionale Datenreduktion: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID678__Sto_Z_4_16.png|right|Zur 2D- und 3D-Datenreduktion]]
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[[Datei:P_ID678__Sto_Z_4_16.png|right|frame|Korrelationsmatrizen <br>$\mathbf{K_y}$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{K_z}$ ]]
Wir betrachten Gaußsche mittelwertfreie Zufallsgrößen $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$ und $\mathbf{z}$ mit den Dimensionen $N= 1$, $N= 2$ und $N= 3$:
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Wir betrachten Gaußsche mittelwertfreie Zufallsgrößen&nbsp; $\mathbf{x}$,&nbsp; $\mathbf{y}$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{z}$&nbsp; mit den Dimensionen&nbsp; $N= 1$,&nbsp; $N= 2$&nbsp; und&nbsp; $N= 3$:
* Die eindimensionale Zufallsgröße $\mathbf{x}$ ist durch die Varianz $\sigma^2 = 1$ bzw. die Streuung $\sigma = 1$ charakterisiert. Wegen der Dimension $N= 1$ gilt $\mathbf{x} = x$.
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* Die eindimensionale Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{x}$&nbsp; ist durch die Varianz&nbsp; $\sigma^2 = 1$&nbsp; bzw. die Streuung&nbsp; $\sigma = 1$&nbsp; charakterisiert. <br>Wegen der Dimension&nbsp; $N= 1$&nbsp; gilt&nbsp; $\mathbf{x} = x$.
* Der Korrelationskoeffizient zwischen den Komponenten $y_1$ und $y_2$ der 2D-Zufallsgröße $\mathbf{y}$ beträgt $\rho = 1/3$ (siehe Matrix $\mathbf{K_y}$). $y_1$ und $y_2$ weisen ebenfalls die Streuung $\sigma = 1$ auf.
 
* Die Statistik der dreidimensionalen Zufallsgröße $\mathbf{z}$ ist durch die Korrelationsmatrix $\mathbf{K_z}$ vollständig bestimmt.
 
  
Quantisiert man die Zufallsgröße $\mathbf{x}$ im Bereich zwischen $-4$ und $+4$ mit Intervallbreite $\Delta_x = 1/32$, so gibt es insgesamt $N_1 = 256$ unterschiedliche Quantisierungswerte, für deren Übertragung somit $n_1 = 8\ \rm {Bit}$ benötigt würden.
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* Der Korrelationskoeffizient zwischen den Komponenten&nbsp; $y_1$&nbsp; und&nbsp; $y_2$&nbsp; der 2D-Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{y}$&nbsp; beträgt&nbsp; $\rho = 1/3$&nbsp; $($siehe Matrix&nbsp; $\mathbf{K_y})$. <br>$y_1$ und $y_2$ weisen ebenfalls die Streuung&nbsp; $\sigma = 1$&nbsp; auf.
  
Analog ergeben sich bei der Zufallsgröße $\mathbf{y}$ insgesamt $N_2 = 256^2 = 65536$ unterschiedliche quantisierte Wertepaare, wenn man die Korrelation zwischen $y_1$ und $y_2$  nicht berücksichtigt. Durch Ausnutzung dieser Korrelation &ndash; zum Beispiel durch Koordinatentransformation vom Ursprungsystem $(y_1, y_2)$ zum neuen System $(\eta_1, \eta_2)$ &ndash; ergibt sich eine geringere Zahl $N_2'$ quantisierter Wertepaare.
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* Die Statistik der dreidimensionalen Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{z}$&nbsp; ist durch die Korrelationsmatrix&nbsp; $\mathbf{K_z}$&nbsp; vollständig bestimmt.
  
Hierbei ist zu berücksichtigen, dass jede Komponente entsprechend ihrer jeweiligen Streuung ($\sigma_1$  bzw. $\sigma_2$) im Bereich von $-4$ bis $+4$ zu quantisieren ist und die Quantisierungsintervalle in beiden Richtungen gleich sein sollen: &nbsp; $\Delta_x = \Delta_y =1/32$.
 
  
Den Quotienten $N_2'/N_2$ bezeichnen wir als Datenreduktionsfaktor bezüglich der 2D-Zufallsgröße $\mathbf{y}$. In analoger Definition ist $N_3'/N_3$ der entsprechende Reduktionsfaktor der 3D-Zufallsgröße $\mathbf{z}$ für $\Delta_x = \Delta_y =\Delta_z =1/32.$ Anzumerken ist, dass in beiden Fällen ein möglichst kleiner Wert dieses Quotienten günstig wäre.
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Quantisiert man die Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{x}$&nbsp; im Bereich zwischen&nbsp; $-4$&nbsp; und&nbsp; $+4$&nbsp; mit Intervallbreite&nbsp; $\Delta_x = 1/32$, so gibt es insgesamt &nbsp;$N_1 = 256$&nbsp; unterschiedliche Quantisierungswerte,&nbsp; für deren Übertragung somit &nbsp;$n_1 = 8\ \rm {Bit}$&nbsp; benötigt würden.
  
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Analog ergeben sich bei der Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{y}$&nbsp; insgesamt &nbsp;$N_2 = 256^2 = 65536$&nbsp; unterschiedliche quantisierte Wertepaare,&nbsp; wenn man die Korrelation zwischen&nbsp; $y_1$ &nbsp;und&nbsp; $y_2$&nbsp;  nicht berücksichtigt.
  
''Hinweise:''
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Durch Ausnutzung dieser Korrelation&nbsp; &ndash; zum Beispiel durch Koordinatentransformation vom Ursprungsystem&nbsp; $(y_1,\ y_2)$&nbsp; zum neuen System&nbsp; $(\eta_1,\ \eta_2)$&nbsp; &ndash;&nbsp; ergibt sich eine geringere Zahl&nbsp; $N_2\hspace{0.01cm}'$&nbsp; quantisierter Wertepaare.
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen|Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen]].
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*Insbesondere wird auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Eigenwerte_und_Eigenvektoren|Eigenwerte und Eigenvektoren]] Bezug genommen.
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*Hierbei ist zu berücksichtigen,&nbsp; dass jede Komponente entsprechend ihrer jeweiligen Streuung&nbsp; $(\sigma_1$&nbsp;  bzw.&nbsp; $\sigma_2)$&nbsp; im Bereich von&nbsp; $-4$&nbsp; bis&nbsp; $+4$&nbsp; zu quantisieren ist und die Quantisierungsintervalle in beiden Richtungen gleich sein sollen: &nbsp; $\Delta_x = \Delta_y =1/32$.
*Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix|Determinante einer Matrix]] sowie [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix|Inverse einer Matrix]].  
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*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
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*Den Quotienten&nbsp; $N_2\hspace{0.01cm}'/N_2$&nbsp; bezeichnen wir als Datenreduktionsfaktor bezüglich der 2D-Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{y}$.
*Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von $\mathbf{K_z}$ lautet: &nbsp; $\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda - {20}/{27} = 0.$
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*In analoger Definition ist&nbsp; $N_3'/N_3$&nbsp; der entsprechende Reduktionsfaktor der 3D-Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{z}$&nbsp; für&nbsp; $\Delta_x = \Delta_y =\Delta_z =1/32.$
*Eine der drei Lösungen dieser Gleichung ist $\lambda_1 = 5/3$.
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*Anzumerken ist,&nbsp; dass in beiden Fällen ein möglichst kleiner Wert dieses Quotienten günstig wäre.
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Hinweise:  
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen|Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen]].
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*Insbesondere wird auf die Seite &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Eigenwerte_und_Eigenvektoren|Eigenwerte und Eigenvektoren]]&nbsp; Bezug genommen.
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*Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten &nbsp;
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**[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix|Determinante einer Matrix]],&nbsp;
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*Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von&nbsp; $\mathbf{K_z}$&nbsp; lautet: &nbsp; $\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda - {20}/{27} = 0.$
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*Eine der drei Lösungen dieser Gleichung ist&nbsp; $\lambda_1 = 5/3$.
  
  
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{Berechnen Sie die Eigenwerte der Korrelationsmatrix $\mathbf{K_y}$. Es gelte $\lambda_1 \ge \lambda_2$.
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{Berechnen Sie die Eigenwerte der Korrelationsmatrix&nbsp; $\mathbf{K_y}$.&nbsp; Es gelte&nbsp; $\lambda_1 \ge \lambda_2$.
 
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{Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der 2D-Zufallsgröße $\mathbf{y}$?
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{Es gelte $\lambda_1 = 5/3$. Berechnen Sie die Eigenwerte $\lambda_2$ und $\lambda_3 \le \lambda_2$ von $\mathbf{K_z}$.
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{Es gelte&nbsp; $\lambda_1 = 5/3$.&nbsp; Berechnen Sie die Eigenwerte &nbsp; $\lambda_2$ &nbsp; und &nbsp; $\lambda_3 \le \lambda_2$ &nbsp; von&nbsp; $\mathbf{K_z}$.
 
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{Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der 3D-Zufallsgröße $\mathbf{z}$?
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{Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der dreidimensionalen Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{z}$?
 
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$N_3\hspace{0.01cm}'/N_3 \ = $ { 0.861 3% }
  
  
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===Musterlösung===
 
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'''(1)'''&nbsp; Aus der Bedingung $\mathbf{K_y} - \lambda \cdot\mathbf{E} = 0$ folgt:
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'''(1)'''&nbsp; Aus der Bedingung &nbsp; $\mathbf{K_y} - \lambda \cdot\mathbf{E} = 0$ &nbsp; folgt:
 
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1- \lambda & 1/3 \\
 
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\sqrt{1-{8}/{9}}= 1 \pm {1}/{3}.$$
 
\sqrt{1-{8}/{9}}= 1 \pm {1}/{3}.$$
  
Die Eigenwerte dieser $2\times2$-Matrix sind somit $\lambda_1 = 4/3\hspace{0.15cm}\underline{=1.333}$  und $\lambda_2 = 2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}$.
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*Die Eigenwerte dieser&nbsp; $2\times2$-Matrix sind somit &nbsp; $\lambda_1 = 4/3\hspace{0.15cm}\underline{=1.333}$ &nbsp; und &nbsp; $\lambda_2 = 2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}$.
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'''(2)'''&nbsp; Ohne Berücksichtigung von Korrelationen gibt es $N_2 = \left({8}/{ \Delta_x}\right)^2= 256^2 = 65536$ verschiedene Wertepaare.  
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'''(2)'''&nbsp; Ohne Berücksichtigung von Korrelationen gibt es&nbsp; $N_2 = \left({8}/{ \Delta_x}\right)^2= 256^2 = 65536$&nbsp; verschiedene Wertepaare.  
*Unter Berücksichtigung der Korrelationen und des Sachverhaltes, dass die beiden durch Koordinatendrehung entstandenen Komponenten $\eta_1$ und $\eta_2$ jeweils im Bereich von $-4\sigma_1$ bis $+4\sigma_1$ (bzw. von $-4\sigma_2$ bis $+4\sigma_2$) zu quantisieren sind, erhält man
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*Unter Berücksichtigung der Korrelationen und des Sachverhaltes,&nbsp; dass die beiden durch Koordinatendrehung entstandenen Komponenten&nbsp; $\eta_1$&nbsp; und&nbsp; $\eta_2$&nbsp; jeweils im Bereich von&nbsp; $-4\cdot\sigma_1$&nbsp; bis&nbsp; $+4\cdot\sigma_1$&nbsp; $($bzw. von&nbsp; $-4\cdot\sigma_2$&nbsp; bis&nbsp; $+4\cdot\sigma_2)$&nbsp;) zu quantisieren sind,&nbsp; erhält man
:$$N_2' =  \frac{8 \hspace{0.05cm}\sigma_1}{\it \Delta_x}\cdot\frac{8
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:$$N_2\hspace{0.01cm}' =  \frac{8 \hspace{0.05cm}\sigma_1}{\it \Delta_x}\cdot\frac{8
 
\hspace{0.05cm}\sigma_2}{\it \Delta_y}= N_2 \cdot \sigma_1 \cdot
 
\hspace{0.05cm}\sigma_2}{\it \Delta_y}= N_2 \cdot \sigma_1 \cdot
 
\sigma_2 .$$
 
\sigma_2 .$$
  
*Der Quotient lautet somit mit  $\sigma_1^2 = \lambda_1$ und $\sigma_2^2 = \lambda_2$:
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*Der Quotient lautet somit mit &nbsp; $\sigma_1^2 = \lambda_1$ &nbsp;und &nbsp; $\sigma_2^2 = \lambda_2$:
:$${N_2'}/{N_2} =  \sigma_1 \cdot \sigma_2 = \sqrt{{4}/{3}}
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:$${N_2\hspace{0.01cm}'}/{N_2} =  \sigma_1 \cdot \sigma_2 = \sqrt{{4}/{3}}
 
\cdot \sqrt{{2}/{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.943}.$$
 
\cdot \sqrt{{2}/{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.943}.$$
  
'''(3)'''&nbsp; Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von $\mathbf{K_z}$ lautet:
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'''(3)'''&nbsp; Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von&nbsp; $\mathbf{K_z}$&nbsp; lautet:
 
:$${\rm det} \left[ \begin{array}{ccc}
 
:$${\rm det} \left[ \begin{array}{ccc}
 
1-\lambda & 1/3 & 1/3\\
 
1-\lambda & 1/3 & 1/3\\
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\frac{24}{9}\lambda - \frac{20}{27}  = 0.$$
 
\frac{24}{9}\lambda - \frac{20}{27}  = 0.$$
  
Diese Gleichung wurde bereits als Lösungshinweis angegeben, ebenso wie eine der Lösungen: &nbsp; $\lambda_1= 5/3$. Damit ergibt sich die Bestimmungsgleichung für die weiteren Eigenwerte $\lambda_2$ und $\lambda_3$ zu
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*Diese Gleichung wurde bereits als Lösungshinweis angegeben,&nbsp; ebenso wie eine der Lösungen: &nbsp; $\lambda_1= 5/3$.  
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*Damit ergibt sich die Bestimmungsgleichung für die weiteren Eigenwerte&nbsp; $\lambda_2$&nbsp; und&nbsp; $\lambda_3$&nbsp; zu
 
:$$\frac{\lambda^3 -  3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda -
 
:$$\frac{\lambda^3 -  3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda -
 
{20}/{27}}{\lambda -{5}/{3}} =  \lambda^2 -
 
{20}/{27}}{\lambda -{5}/{3}} =  \lambda^2 -
 
{4}/{3} \cdot \lambda + {4}/{9} =0.$$
 
{4}/{3} \cdot \lambda + {4}/{9} =0.$$
  
Diese Bestimmungsgleichung lässt sich wie folgt umformen: $(\lambda - {2}/{3})^2 =0.$
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*Diese Bestimmungsgleichung lässt sich wie folgt umformen: &nbsp; $(\lambda - {2}/{3})^2 =0.$
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*Die weiteren Eigenwerte neben&nbsp; $\lambda_1= 5/3$&nbsp; sind somit gleich und ergeben sich zu &nbsp; $\lambda_2 = \lambda_3 =2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}$.
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Die weiteren Eigenwerte neben $\lambda_1= 5/3$ sind somit gleich und ergeben sich zu $\lambda_2 = \lambda_3 =2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}$.
 
  
'''(4)'''&nbsp; Analog zur Vorgehensweise in der Teilaufgabe (2) ergibt sich hier:
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'''(4)'''&nbsp; Analog zur Vorgehensweise in der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; ergibt sich hier:
:$${N_3'}/{N_3} =  \sqrt{\lambda_1 \cdot \lambda_2\cdot
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:$${N_3\hspace{0.01cm}'}/{N_3} =  \sqrt{\lambda_1 \cdot \lambda_2\cdot
 
\lambda_3} = \sqrt{\frac{5}{3} \cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}}
 
\lambda_3} = \sqrt{\frac{5}{3} \cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}}
 
= \sqrt{\frac{20}{27}}  \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.861}.$$
 
= \sqrt{\frac{20}{27}}  \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.861}.$$

Aktuelle Version vom 29. März 2022, 16:37 Uhr

Korrelationsmatrizen
$\mathbf{K_y}$  und  $\mathbf{K_z}$

Wir betrachten Gaußsche mittelwertfreie Zufallsgrößen  $\mathbf{x}$,  $\mathbf{y}$  und  $\mathbf{z}$  mit den Dimensionen  $N= 1$,  $N= 2$  und  $N= 3$:

  • Die eindimensionale Zufallsgröße  $\mathbf{x}$  ist durch die Varianz  $\sigma^2 = 1$  bzw. die Streuung  $\sigma = 1$  charakterisiert.
    Wegen der Dimension  $N= 1$  gilt  $\mathbf{x} = x$.
  • Der Korrelationskoeffizient zwischen den Komponenten  $y_1$  und  $y_2$  der 2D-Zufallsgröße  $\mathbf{y}$  beträgt  $\rho = 1/3$  $($siehe Matrix  $\mathbf{K_y})$.
    $y_1$ und $y_2$ weisen ebenfalls die Streuung  $\sigma = 1$  auf.
  • Die Statistik der dreidimensionalen Zufallsgröße  $\mathbf{z}$  ist durch die Korrelationsmatrix  $\mathbf{K_z}$  vollständig bestimmt.


Quantisiert man die Zufallsgröße  $\mathbf{x}$  im Bereich zwischen  $-4$  und  $+4$  mit Intervallbreite  $\Delta_x = 1/32$, so gibt es insgesamt  $N_1 = 256$  unterschiedliche Quantisierungswerte,  für deren Übertragung somit  $n_1 = 8\ \rm {Bit}$  benötigt würden.

Analog ergeben sich bei der Zufallsgröße  $\mathbf{y}$  insgesamt  $N_2 = 256^2 = 65536$  unterschiedliche quantisierte Wertepaare,  wenn man die Korrelation zwischen  $y_1$  und  $y_2$  nicht berücksichtigt.

Durch Ausnutzung dieser Korrelation  – zum Beispiel durch Koordinatentransformation vom Ursprungsystem  $(y_1,\ y_2)$  zum neuen System  $(\eta_1,\ \eta_2)$  –  ergibt sich eine geringere Zahl  $N_2\hspace{0.01cm}'$  quantisierter Wertepaare.

  • Hierbei ist zu berücksichtigen,  dass jede Komponente entsprechend ihrer jeweiligen Streuung  $(\sigma_1$  bzw.  $\sigma_2)$  im Bereich von  $-4$  bis  $+4$  zu quantisieren ist und die Quantisierungsintervalle in beiden Richtungen gleich sein sollen:   $\Delta_x = \Delta_y =1/32$.
  • Den Quotienten  $N_2\hspace{0.01cm}'/N_2$  bezeichnen wir als Datenreduktionsfaktor bezüglich der 2D-Zufallsgröße  $\mathbf{y}$.
  • In analoger Definition ist  $N_3'/N_3$  der entsprechende Reduktionsfaktor der 3D-Zufallsgröße  $\mathbf{z}$  für  $\Delta_x = \Delta_y =\Delta_z =1/32.$
  • Anzumerken ist,  dass in beiden Fällen ein möglichst kleiner Wert dieses Quotienten günstig wäre.




Hinweise:

  • Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von  $\mathbf{K_z}$  lautet:   $\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda - {20}/{27} = 0.$
  • Eine der drei Lösungen dieser Gleichung ist  $\lambda_1 = 5/3$.


Fragebogen

1

Berechnen Sie die Eigenwerte der Korrelationsmatrix  $\mathbf{K_y}$.  Es gelte  $\lambda_1 \ge \lambda_2$.

$\lambda_1 \ = \ $

$\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$
$\lambda_2 \ = \ $

$\ (\lambda_2 \le \lambda_1)$

2

Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der zweidimensionalen Zufallsgröße  $\mathbf{y}$?

$N_2\hspace{0.01cm}'/N_2 \ = $

3

Es gelte  $\lambda_1 = 5/3$.  Berechnen Sie die Eigenwerte   $\lambda_2$   und   $\lambda_3 \le \lambda_2$   von  $\mathbf{K_z}$.

$\lambda_2 \ = \ $

$\ (\lambda_2 \ge \lambda_3)$
$\lambda_3 \ = \ $

$\ (\lambda_3 \le \lambda_2)$

4

Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der dreidimensionalen Zufallsgröße  $\mathbf{z}$?

$N_3\hspace{0.01cm}'/N_3 \ = $


Musterlösung

(1)  Aus der Bedingung   $\mathbf{K_y} - \lambda \cdot\mathbf{E} = 0$   folgt:

$${\rm det}\left[ \begin{array}{cc} 1- \lambda & 1/3 \\ 1/3 & 1- \lambda \end{array} \right] = (1-\lambda)^2 -{1}/{9} = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda^2 -2\lambda+ {8}/{9}= 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda_{1/2}= 1 \pm \sqrt{1-{8}/{9}}= 1 \pm {1}/{3}.$$
  • Die Eigenwerte dieser  $2\times2$-Matrix sind somit   $\lambda_1 = 4/3\hspace{0.15cm}\underline{=1.333}$   und   $\lambda_2 = 2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}$.


(2)  Ohne Berücksichtigung von Korrelationen gibt es  $N_2 = \left({8}/{ \Delta_x}\right)^2= 256^2 = 65536$  verschiedene Wertepaare.

  • Unter Berücksichtigung der Korrelationen und des Sachverhaltes,  dass die beiden durch Koordinatendrehung entstandenen Komponenten  $\eta_1$  und  $\eta_2$  jeweils im Bereich von  $-4\cdot\sigma_1$  bis  $+4\cdot\sigma_1$  $($bzw. von  $-4\cdot\sigma_2$  bis  $+4\cdot\sigma_2)$ ) zu quantisieren sind,  erhält man
$$N_2\hspace{0.01cm}' = \frac{8 \hspace{0.05cm}\sigma_1}{\it \Delta_x}\cdot\frac{8 \hspace{0.05cm}\sigma_2}{\it \Delta_y}= N_2 \cdot \sigma_1 \cdot \sigma_2 .$$
  • Der Quotient lautet somit mit   $\sigma_1^2 = \lambda_1$  und   $\sigma_2^2 = \lambda_2$:
$${N_2\hspace{0.01cm}'}/{N_2} = \sigma_1 \cdot \sigma_2 = \sqrt{{4}/{3}} \cdot \sqrt{{2}/{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.943}.$$


(3)  Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von  $\mathbf{K_z}$  lautet:

$${\rm det} \left[ \begin{array}{ccc} 1-\lambda & 1/3 & 1/3\\ 1/3 & 1-\lambda & 1/3\\ 1/3 & 1/3 & 1-\lambda \end{array}\right] = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}(1- \lambda) \left[(1- \lambda)^2 - \frac{1}{9} \right]- \frac{1}{3} \left[\frac{1}{3}(1- \lambda) - \frac{1}{9} \right] + \frac{1}{3} \left[\frac{1}{9} - \frac{1}{3}(1- \lambda) \right] = 0$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}(1- \lambda) (\lambda^2 -2\lambda+ \frac{8}{9})- \frac{1}{9} (\frac{2}{3}- \lambda )+ \frac{1}{9} ( \lambda - \frac{2}{3})= 0$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda^2 - 2\lambda + \frac{8}{9} - \lambda^3 + 2 \lambda^2 - \frac{8}{9}\lambda - \frac{4}{27} + \frac{2}{9}\lambda = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda^3 - 3 \lambda^2 + \frac{24}{9}\lambda - \frac{20}{27} = 0.$$
  • Diese Gleichung wurde bereits als Lösungshinweis angegeben,  ebenso wie eine der Lösungen:   $\lambda_1= 5/3$.
  • Damit ergibt sich die Bestimmungsgleichung für die weiteren Eigenwerte  $\lambda_2$  und  $\lambda_3$  zu
$$\frac{\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda - {20}/{27}}{\lambda -{5}/{3}} = \lambda^2 - {4}/{3} \cdot \lambda + {4}/{9} =0.$$
  • Diese Bestimmungsgleichung lässt sich wie folgt umformen:   $(\lambda - {2}/{3})^2 =0.$
  • Die weiteren Eigenwerte neben  $\lambda_1= 5/3$  sind somit gleich und ergeben sich zu   $\lambda_2 = \lambda_3 =2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}$.


(4)  Analog zur Vorgehensweise in der Teilaufgabe  (2)  ergibt sich hier:

$${N_3\hspace{0.01cm}'}/{N_3} = \sqrt{\lambda_1 \cdot \lambda_2\cdot \lambda_3} = \sqrt{\frac{5}{3} \cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{20}{27}} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.861}.$$