Aufgaben:Aufgabe 4.16: Vergleich zwischen binärer PSK und binärer FSK: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit für | + | Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit für die binäre [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#FSK_.E2.80.93_Frequency_Shift_Keying| FSK–Modulation]] $\rm (BFSK)$ bei |
| − | *[[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Koh.C3.A4rente_Demodulation_der_FSK|kohärenter Demodulation]] bzw. | + | *[[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Koh.C3.A4rente_Demodulation_der_FSK|kohärenter Demodulation]] bzw. |
*[[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Fehlerwahrscheinlichkeit_der_orthogonalen_FSK|inkohärenter Demodulation]] | *[[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Fehlerwahrscheinlichkeit_der_orthogonalen_FSK|inkohärenter Demodulation]] | ||
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| − | + | im Vergleich zur [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|binären Phasenmodulation]] $\rm (BPSK)$. | |
| − | Diesem Systemvergleich liegt wieder der [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Einige_Anmerkungen_zum_AWGN.E2.80.93Kanalmodell|AWGN–Kanal]] zugrunde, gekennzeichnet durch das Verhältnis $E_{\rm B}/N_0$. Die Gleichungen für die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten lauten bei | + | Es wird stets Orthogonalität vorausgesetzt. Bei kohärenter Demodulation kann hierbei der Modulationsindex ein Vielfaches von $h = 0.5$ sein, so dass die mittlere Kurve auch für [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#MSK_.E2.80.93_Minimum_Shift_Keying|Minimum Shift Keying]] $\rm (MSK)$ gültig ist. Dagegen muss bei nichtkohärenter Demodulation der BFSK der Modulationsindex ein Vielfaches von $h = 1$ sein. |
| − | * ''Binary Phase Shift Keying'' (BPSK): | + | |
| − | :$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{ | + | Diesem Systemvergleich liegt wieder der [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Einige_Anmerkungen_zum_AWGN.E2.80.93Kanalmodell|AWGN–Kanal]] zugrunde, gekennzeichnet durch das Verhältnis $E_{\rm B}/N_0$. Die Gleichungen für die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten lauten bei |
| − | * ''Binary Frequency Shift Keying'' (BFSK) mit ''kohärenter'' Demodulation: | + | * ''Binary Phase Shift Keying'' $\rm (BPSK)$: |
| − | :$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{ | + | :$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ),$$ |
| − | * ''Binary Frequency Shift Keying'' (BFSK) mit ''inkohärenter'' Demodulation: | + | * ''Binary Frequency Shift Keying'' $\rm (BFSK)$ mit ''kohärenter'' Demodulation: |
| + | :$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/(2 N_0 )} \hspace{0.1cm}\right ),$$ | ||
| + | * ''Binary Frequency Shift Keying'' $\rm (BFSK)$ mit ''inkohärenter'' Demodulation: | ||
:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/{(2N_0) }}\hspace{0.05cm}.$$ | :$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/{(2N_0) }}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | In [[Aufgaben:4.8_Fehlerwahrscheinlichkeiten|Aufgabe 4.8]] wurde gezeigt, dass bei der BPSK das logarithmierte Verhältnis $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0$ mindestens $9.6 \ \rm dB$ betragen muss, damit die Bitfehlerwahrscheinlichkeit den Wert $p_{\rm B} = 10^{–5}$ nicht | + | In [[Aufgaben:4.8_Fehlerwahrscheinlichkeiten|Aufgabe 4.8]] wurde gezeigt, dass bei der BPSK das logarithmierte Verhältnis $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0$ mindestens $9.6 \ \rm dB$ betragen muss, damit die Bitfehlerwahrscheinlichkeit den Wert $p_{\rm B} = 10^{–5}$ nicht übersteigt. |
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| − | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation|Nichtlineare digitale Modulation]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation|Nichtlineare digitale Modulation]]. |
| − | *Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation|Lineare digitale Modulation]]. | + | *Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation|Lineare digitale Modulation]]. |
| − | *Verwenden Sie die Näherung $\lg(2) ≈ 0.3$. | + | *Verwenden Sie die Näherung $\lg(2) ≈ 0.3$. |
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<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | {Welches $E_{\rm B}/N_0$ (in dB) ist bei MSK und kohärenter Demodulation erforderlich, damit $p_{\rm B} \le 10^{–5}$ zu erfüllen ist? | + | {Welches $E_{\rm B}/N_0$ (in dB) ist bei MSK und kohärenter Demodulation erforderlich, damit $p_{\rm B} \le 10^{–5}$ zu erfüllen ist? |
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$10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 \ = \ $ { 12.6 3% } $\ \rm dB$ | $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 \ = \ $ { 12.6 3% } $\ \rm dB$ | ||
| − | {Sind die folgenden Aussagen richtig: Das gleiche Ergebnis erhält man bei | + | {Sind die folgenden Aussagen richtig: Das gleiche Ergebnis erhält man bei |
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| − | - einer FSK mit Modulationsindex $h = 0.7$, | + | - einer FSK mit Modulationsindex $h = 0.7$, |
| − | + einer FSK mit Modulationsindex $h = 1$? | + | + einer FSK mit Modulationsindex $h = 1$? |
| − | {Welches $E_{\rm B}/N_0$ (in dB) ist bei | + | {Welches $E_{\rm B}/N_0$ (in dB) ist bei BFSK mit $h = 1$ und inkohärenter Demodulation erforderlich, damit $p_{\rm B} \le 10^{–5}$ zu erfüllen ist? |
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$10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 \ = \ $ { 13.4 3% } $\ \rm dB$ | $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 \ = \ $ { 13.4 3% } $\ \rm dB$ | ||
| − | {Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ ergibt sich bei inkohärenter | + | {Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ ergibt sich bei inkohärenter BFSK–Demodulation für $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12.6 \ \rm dB$? |
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$p_{\rm B} \ = \ $ { 1.12 3% } $\ \cdot 10^{-4}$ | $p_{\rm B} \ = \ $ { 1.12 3% } $\ \cdot 10^{-4}$ | ||
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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| − | '''(1)''' Ein Vergleich der beiden ersten Gleichungen auf der Angabenseite macht deutlich, dass bei der MSK mit kohärenter Demodulation das AWGN–Verhältnis $E_{\rm B}/N_0$ verdoppelt werden muss, damit die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie bei BPSK erreicht wird. | + | '''(1)''' Ein Vergleich der beiden ersten Gleichungen auf der Angabenseite macht deutlich, dass bei der MSK mit kohärenter Demodulation das AWGN–Verhältnis $E_{\rm B}/N_0$ verdoppelt werden muss, damit die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie bei BPSK erreicht wird. |
| − | In anderen Worten: Die kohärente BFSK–Kurve liegt um $10 · \lg (2) ≈ 3 \ \rm dB$ rechts von der BPSK–Kurve. Um $p_{\rm B} \le 10^{–5}$ zu garantieren, muss daher gelten: | + | *In anderen Worten: Die kohärente BFSK–Kurve liegt um $10 · \lg (2) ≈ 3 \ \rm dB$ rechts von der BPSK–Kurve. |
| + | *Um $p_{\rm B} \le 10^{–5}$ zu garantieren, muss daher gelten: | ||
:$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.05cm}{E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}}= 9.6\,\,{\rm dB} + 3\,\,{\rm dB} = \underline{12.6\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$ | :$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.05cm}{E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}}= 9.6\,\,{\rm dB} + 3\,\,{\rm dB} = \underline{12.6\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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'''(2)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: | '''(2)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: | ||
| − | *Die angegebene Gleichung gilt nicht nur für die MSK (diese ist eine FSK mit $h = 0.5$ | + | *Die angegebene Gleichung gilt nicht nur für die MSK $($diese ist eine FSK mit $h = 0.5)$, sondern für jede Form von orthogonaler FSK. |
| − | *Eine solche liegt vor, wenn der Modulationsindex $h$ ein ganzzahliges Vielfaches von $0.5$ ist, zum Beispiel für $h = 1$. | + | *Eine solche liegt vor, wenn der Modulationsindex $h$ ein ganzzahliges Vielfaches von $0.5$ ist, zum Beispiel für $h = 1$. |
| − | *Mit $h = 0.7$ | + | *Mit $h = 0.7$ liegt keine orthogonale FSK vor. |
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:$$\frac{E_{\rm B}} {2 \cdot N_{\rm 0}}= {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{1}{2 p_{\rm B}}= {\rm ln}(50000)\approx 10.82 \hspace{0.3cm} | :$$\frac{E_{\rm B}} {2 \cdot N_{\rm 0}}= {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{1}{2 p_{\rm B}}= {\rm ln}(50000)\approx 10.82 \hspace{0.3cm} | ||
\Rightarrow \hspace{0.3cm}{E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}}= 21.64 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.05cm}{E_{\rm B}}/ {N_{\rm 0}}\approx \underline{13.4\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$ | \Rightarrow \hspace{0.3cm}{E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}}= 21.64 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.05cm}{E_{\rm B}}/ {N_{\rm 0}}\approx \underline{13.4\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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'''(4)''' Aus $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12.6 \ \rm dB$ folgt: | '''(4)''' Aus $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12.6 \ \rm dB$ folgt: | ||
:$${E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}}= 10^{1.26} \approx 16.8 \hspace{0.25cm}\Rightarrow \hspace{0.25cm} ({E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}})/2 \approx 8.4 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm} p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- 8.4} \approx \underline{1.12 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$ | :$${E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}}= 10^{1.26} \approx 16.8 \hspace{0.25cm}\Rightarrow \hspace{0.25cm} ({E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}})/2 \approx 8.4 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm} p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- 8.4} \approx \underline{1.12 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Das heißt: Bei gleichem $E_{\rm B}/N_0$ wird die Fehlerwahrscheinlichkeit bei inkohärenter Demodulation gegenüber kohärenter Demodulation (siehe Teilaufgabe 1) um etwa den Faktor 11 vergrößert. | + | Das heißt: Bei gleichem $E_{\rm B}/N_0$ wird die Fehlerwahrscheinlichkeit bei inkohärenter Demodulation gegenüber kohärenter Demodulation (siehe Teilaufgabe 1) um etwa den Faktor 11 vergrößert. |
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Aktuelle Version vom 24. April 2020, 15:02 Uhr
Bitfehlerwahrscheinlichkeitskurven
von binärer PSK und binärer FSK
von binärer PSK und binärer FSK
Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit für die binäre FSK–Modulation $\rm (BFSK)$ bei
im Vergleich zur binären Phasenmodulation $\rm (BPSK)$.
Es wird stets Orthogonalität vorausgesetzt. Bei kohärenter Demodulation kann hierbei der Modulationsindex ein Vielfaches von $h = 0.5$ sein, so dass die mittlere Kurve auch für Minimum Shift Keying $\rm (MSK)$ gültig ist. Dagegen muss bei nichtkohärenter Demodulation der BFSK der Modulationsindex ein Vielfaches von $h = 1$ sein.
Diesem Systemvergleich liegt wieder der AWGN–Kanal zugrunde, gekennzeichnet durch das Verhältnis $E_{\rm B}/N_0$. Die Gleichungen für die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten lauten bei
- Binary Phase Shift Keying $\rm (BPSK)$:
- $$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ),$$
- Binary Frequency Shift Keying $\rm (BFSK)$ mit kohärenter Demodulation:
- $$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/(2 N_0 )} \hspace{0.1cm}\right ),$$
- Binary Frequency Shift Keying $\rm (BFSK)$ mit inkohärenter Demodulation:
- $$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/{(2N_0) }}\hspace{0.05cm}.$$
In Aufgabe 4.8 wurde gezeigt, dass bei der BPSK das logarithmierte Verhältnis $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0$ mindestens $9.6 \ \rm dB$ betragen muss, damit die Bitfehlerwahrscheinlichkeit den Wert $p_{\rm B} = 10^{–5}$ nicht übersteigt.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Nichtlineare digitale Modulation.
- Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel Lineare digitale Modulation.
- Verwenden Sie die Näherung $\lg(2) ≈ 0.3$.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Ein Vergleich der beiden ersten Gleichungen auf der Angabenseite macht deutlich, dass bei der MSK mit kohärenter Demodulation das AWGN–Verhältnis $E_{\rm B}/N_0$ verdoppelt werden muss, damit die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie bei BPSK erreicht wird.
- In anderen Worten: Die kohärente BFSK–Kurve liegt um $10 · \lg (2) ≈ 3 \ \rm dB$ rechts von der BPSK–Kurve.
- Um $p_{\rm B} \le 10^{–5}$ zu garantieren, muss daher gelten:
- $$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.05cm}{E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}}= 9.6\,\,{\rm dB} + 3\,\,{\rm dB} = \underline{12.6\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:
- Die angegebene Gleichung gilt nicht nur für die MSK $($diese ist eine FSK mit $h = 0.5)$, sondern für jede Form von orthogonaler FSK.
- Eine solche liegt vor, wenn der Modulationsindex $h$ ein ganzzahliges Vielfaches von $0.5$ ist, zum Beispiel für $h = 1$.
- Mit $h = 0.7$ liegt keine orthogonale FSK vor.
(3) Aus der Umkehrfunktion der angegebenen Gleichung erhält man:
- $$\frac{E_{\rm B}} {2 \cdot N_{\rm 0}}= {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{1}{2 p_{\rm B}}= {\rm ln}(50000)\approx 10.82 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}}= 21.64 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.05cm}{E_{\rm B}}/ {N_{\rm 0}}\approx \underline{13.4\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
(4) Aus $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12.6 \ \rm dB$ folgt:
- $${E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}}= 10^{1.26} \approx 16.8 \hspace{0.25cm}\Rightarrow \hspace{0.25cm} ({E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}})/2 \approx 8.4 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm} p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- 8.4} \approx \underline{1.12 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$
Das heißt: Bei gleichem $E_{\rm B}/N_0$ wird die Fehlerwahrscheinlichkeit bei inkohärenter Demodulation gegenüber kohärenter Demodulation (siehe Teilaufgabe 1) um etwa den Faktor 11 vergrößert.
