Aufgaben:Aufgabe 4.16: Eigenwerte und Eigenvektoren: Unterschied zwischen den Versionen

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*Der Parameter  $\rho$  gibt den Korrelationskoeffizienten an.  Dieser kann alle Werte zwischen  $\pm 1$  inclusive dieser Randwerte annehmen.
 
*Der Parameter  $\rho$  gibt den Korrelationskoeffizienten an.  Dieser kann alle Werte zwischen  $\pm 1$  inclusive dieser Randwerte annehmen.
 
   
 
   
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'''(2)'''  In diesem Fall lautet die Bestimmungsgleichung:
 
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'''(3)'''   Bei positivem $\rho$ lautet die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte:
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'''(3)'''   Bei positivem  $\rho$  lautet die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte:
 
:$$(1- \lambda)^2 -\rho^2 = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow
 
:$$(1- \lambda)^2 -\rho^2 = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow
 
\hspace{0.5cm}\lambda^2 - 2\lambda + 1 - \rho^2 =
 
\hspace{0.5cm}\lambda^2 - 2\lambda + 1 - \rho^2 =
 
0\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}\lambda_{1/2} =1 \pm \rho.$$
 
0\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}\lambda_{1/2} =1 \pm \rho.$$
  
*Für $\rho= 0.5$ erhält man $\underline{\lambda_{1} =1.5}$ und $\underline{\lambda_{2} =0.5}$.  
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*Für  $\rho= 0.5$  erhält man  $\underline{\lambda_{1} =1.5}$  und  $\underline{\lambda_{2} =0.5}$.  
*Die Gleichung gilt übrigens im gesamten Definitionsbereich $-1 \le \rho \le +1$.  
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*Die Gleichung gilt übrigens im gesamten Definitionsbereich  $-1 \le \rho \le +1$.  
*Für $\rho = 0$ ist $\lambda_1 = \lambda_2 = +1$   ⇒   siehe Teilaufgabe '''(2)'''.  
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*Für  $\rho = 0$  ist  $\lambda_1 = \lambda_2 = +1$    ⇒   siehe Teilaufgabe  '''(2)'''.  
*Bei $\rho = \pm 1$ ergibt sich $\lambda_1  = 2$ und $\lambda_2  = 0$.
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*Für  $\rho = \pm 1$  ergibt sich $\lambda_1  = 2$  und  $\lambda_2  = 0$.
  
  
'''(4)'''  Die Eigenvektoren erhält man durch Einsetzen der Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2$ in die Korrelationsmatrix:
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'''(4)'''  Die Eigenvektoren erhält man durch Einsetzen der Eigenwerte  $\lambda_1$  und  $\lambda_2$  in die Korrelationsmatrix:
 
:$$\left[ \begin{array}{cc}
 
:$$\left[ \begin{array}{cc}
 
1- (1+\rho) & \rho \\
 
1- (1+\rho) & \rho \\
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\end{array} \right].$$
 
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In der nebenstehenden Skizze ist das Ergebnis verdeutlicht:  
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In der Skizze ist das Ergebnis verdeutlicht:  
*Das neue, durch $\mathbf{\eta_1}$ und $\mathbf{\eta_2}$ festgelegte Koordinatensystem liegt tatsächlich in Richtung der Hauptachsen des ursprünglichen Systems.  
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*Das durch  $\mathbf{\eta_1}$  und  $\mathbf{\eta_2}$  festgelegte Koordinatensystem liegt tatsächlich in Richtung der Hauptachsen des ursprünglichen Systems.  
*Mit $\sigma_1 = \sigma_2$ ergibt sich fast immer (Ausnahme:   $\rho= 0$) der Drehwinkel $\alpha = 45^\circ$.  
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*Mit  $\sigma_1 = \sigma_2$  ergibt sich fast immer  $($Ausnahme:   $\rho= 0)$  der Drehwinkel  $\alpha = 45^\circ$.  
 
*Dies folgt auch aus der im Theorieteil angegebenen Gleichung:
 
*Dies folgt auch aus der im Theorieteil angegebenen Gleichung:
 
:$$\alpha = {1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot\rho \cdot
 
:$$\alpha = {1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot\rho \cdot
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{1}/{2}\cdot \arctan
 
{1}/{2}\cdot \arctan
 
(\infty)\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha = 45^\circ.$$
 
(\infty)\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha = 45^\circ.$$
*Die Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2$ kennzeichnen nicht die Streuungen bezüglich der neuen Achsen, sondern die  Varianzen.  
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*Die Eigenwerte  $\lambda_1$  und  $\lambda_2$  kennzeichnen nicht die Streuungen bezüglich der neuen Achsen, sondern die  Varianzen.  
  
  
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'''(5)'''  Durch Vergleich der Matrizen $\mathbf{K_x}$ und $\mathbf{K_z}$ erhält man  
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'''(5)'''  Durch Vergleich der Matrizen  $\mathbf{K_x}$  und  $\mathbf{K_z}$  erhält man  
 
*$\sigma_{1}\hspace{0.15cm}\underline{ =2}$,
 
*$\sigma_{1}\hspace{0.15cm}\underline{ =2}$,
 
*$\sigma_{2}\hspace{0.15cm}\underline{ =1}$,
 
*$\sigma_{2}\hspace{0.15cm}\underline{ =1}$,
 
*$\rho = 2/(\sigma_{1} \cdot \sigma_{2})\hspace{0.15cm}\underline{ =1}$.
 
*$\rho = 2/(\sigma_{1} \cdot \sigma_{2})\hspace{0.15cm}\underline{ =1}$.
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0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{\lambda_{1}
 
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=5,\hspace{0.1cm} \lambda_{2} =0}.$$
 
=5,\hspace{0.1cm} \lambda_{2} =0}.$$
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({\zeta_{12}}/{\zeta_{11}}) = \arctan(0.5) \hspace{0.15cm}\underline{= 26.56^\circ}.$$
 
({\zeta_{12}}/{\zeta_{11}}) = \arctan(0.5) \hspace{0.15cm}\underline{= 26.56^\circ}.$$
  
Die nebenstehende Skizze zeigt die 2D-WDF der Zufallsgröße $\mathbf{z}$:
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Die nebenstehende Skizze zeigt die 2D-WDF der Zufallsgröße  $\mathbf{z}$:
* Wegen $\rho = 1$ liegen alle Werte auf der Korrelationsgeraden mit den Koordinaten $z_1$ und $z_2 = z_1/2$.  
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* Wegen  $\rho = 1$  liegen alle Werte auf der Korrelationsgeraden mit den Koordinaten  $z_1$  und  $z_2 = z_1/2$.  
*Durch die Drehung um den Winkel $\alpha = \arctan(0.5) = 26.56^\circ$ entsteht ein neues Koordinatensystem.  
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*Durch die Drehung um den Winkel  $\alpha = \arctan(0.5) = 26.56^\circ$  entsteht ein neues Koordinatensystem.  
*Die Varianz entlang der Achse $\mathbf{\zeta_1}$ beträgt $\lambda_1 = 5$ (Streuung $\sigma_1 = \sqrt{5} = 2.236$),  
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*Die Varianz entlang der Achse  $\mathbf{\zeta_1}$ beträgt  $\lambda_1 = 5$  $($Streuung  $\sigma_1 = \sqrt{5} = 2.236)$,  
*während in der dazu orthogonalen Richtung $\mathbf{\zeta_2}$ die Zufallsgröße nicht ausgedehnt ist $(\lambda_2 = \sigma_2 = 0)$.
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*während in der dazu orthogonalen Richtung  $\mathbf{\zeta_2}$  die Zufallsgröße nicht ausgedehnt ist  $(\lambda_2 = \sigma_2 = 0)$.
 
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Version vom 5. Dezember 2019, 15:49 Uhr

Drei Korrelationsmatrizen

Obwohl die Beschreibung Gaußscher Zufallsgrößen mit Hilfe von Vektoren und Matrizen eigentlich nur bei mehr als  $N = 2$  Dimensionen erforderlich ist und Sinn macht, beschränken wir uns hier zur Vereinfachung auf den Sonderfall zweidimensionaler Zufallsgrößen.

In der Grafik ist oben die allgemeine Korrelationsmatrix  $\mathbf{K_x}$  der 2D–Zufallsgröße  $\mathbf{x} = (x_1, x_2)^{\rm T}$  angegeben, wobei  $\sigma_1^2$  und  $\sigma_2^2$  die Varianzen der Einzelkomponenten beschreiben.  $\rho$  bezeichnet den Korrelationskoeffizienten zwischen den beiden Komponenten.

Die Zufallsgrößen  $\mathbf{y}$  und  $\mathbf{z}$  geben zwei Spezialfälle von  $\mathbf{x}$  an, deren Prozessparameter aus den Korrelationsmatrix  $\mathbf{K_y}$  bzw.  $\mathbf{K_z}$  bestimmt werden sollen.






Hinweise:

$$\alpha = {1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot\rho \cdot \frac{\sigma_1\cdot\sigma_2}{\sigma_1^2 -\sigma_2^2}).$$
  • Insbesondere ist zu beachten:
    • Eine  $2×2$-Kovarianzmatrix besitzt zwei reelle Eigenwerte  $\lambda_1$  und  $\lambda_2$.
    • Diese beiden Eigenwerte bestimmen zwei Eigenvektoren  $\xi_1$  und  $\xi_2$.
    • Diese spannen ein neues Koordinatensystem in Richtung der Hauptachsen des alten Systems auf.


Fragebogen

1

Welche Aussagen treffen für die Korrelationsmatrix  $\mathbf{K_y}$  zu?

$\mathbf{K_y}$  beschreibt alle möglichen 2D-Zufallsgrößen mit  $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.
Der Wertebereich des Parameters  $\rho$  ist  $-1 \le \rho \le +1$.
Der Wertebereich des Parameters  $\rho$  ist  $0 < \rho < 1$.

2

Berechnen Sie die Eigenwerte von  $\mathbf{K_y}$  unter der Bedingung  $\sigma = 1$  und  $\rho = 0$.

$\lambda_1 \ = \ $

$\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$
$\lambda_2 \ = \ $

$\ (\lambda_2 \le \lambda_1)$

3

Geben Sie die Eigenwerte von  $\mathbf{K_y}$  unter der Bedingung  $\sigma = 1$  sowie  $0 < \rho < 1$  an.  Welche Werte ergeben sich für  $\rho = 0.5 $, wobei  $\lambda_1 \ge \lambda_2$  vorausgesetzt wird?

$\lambda_1 \ = \ $

$\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$
$\lambda_2 \ = \ $

$\ (\lambda_2 \le \lambda_1)$

4

Berechnen Sie die zugehörigen Eigenvektoren  $\mathbf{\eta_1}$  und  $\mathbf{\eta_2}$.  Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

$\mathbf{\eta_1}$  und  $\mathbf{\eta_2}$  liegen in Richtung der Ellipsenhauptachsen.
Die neuen Koordinaten sind um  $45^\circ$  gedreht.
Die Streuungen bezüglich des neuen Systems sind  $\lambda_1$  und  $\lambda_2$.

5

Wie lauten die Kenngrößen der durch  $\mathbf{K_z}$  festgelegten Zufallsgröße  $\mathbf{z}$?

$\sigma_1 = \ $

$\sigma_2 = \ $

$\rho = \ $

6

Berechnen Sie die Eigenwerte  $\lambda_1$  und  $\lambda_2 \le \lambda_1$  der Korrelationsmatrix  $\mathbf{K_z}$.

$\lambda_1 \ = \ $

$\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$
$\lambda_2 \ = \ $

$\ (\lambda_2 \le \lambda_1)$

7

Um welchen Winkel  $\alpha$  ist das neue Koordinatensystem  $(\mathbf{\zeta_1}, \ \mathbf{\zeta_2})$  gegenüber dem ursprünglichen System  $(\mathbf{z_1}, \ \mathbf{z_2})$  gedreht?

$\alpha \ = \ $

$\ \rm Grad$


Musterlösung

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

  • $\mathbf{K_y}$  ist tatsächlich die allgemeinste Korrelationsmatrix einer 2D-Zufallsgröße mit  $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.
  • Der Parameter  $\rho$  gibt den Korrelationskoeffizienten an.  Dieser kann alle Werte zwischen  $\pm 1$  inclusive dieser Randwerte annehmen.


(2)  In diesem Fall lautet die Bestimmungsgleichung:

$${\rm det}\left[ \begin{array}{cc} 1- \lambda & 0 \\ 0 & 1- \lambda \end{array} \right] = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} (1- \lambda)^2 = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \hspace{0.15cm}\underline{\lambda_{1/2} =1}.$$


(3)  Bei positivem  $\rho$  lautet die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte:

$$(1- \lambda)^2 -\rho^2 = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\lambda^2 - 2\lambda + 1 - \rho^2 = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}\lambda_{1/2} =1 \pm \rho.$$
  • Für  $\rho= 0.5$  erhält man  $\underline{\lambda_{1} =1.5}$  und  $\underline{\lambda_{2} =0.5}$.
  • Die Gleichung gilt übrigens im gesamten Definitionsbereich  $-1 \le \rho \le +1$.
  • Für  $\rho = 0$  ist  $\lambda_1 = \lambda_2 = +1$    ⇒   siehe Teilaufgabe  (2).
  • Für  $\rho = \pm 1$  ergibt sich $\lambda_1 = 2$  und  $\lambda_2 = 0$.


(4)  Die Eigenvektoren erhält man durch Einsetzen der Eigenwerte  $\lambda_1$  und  $\lambda_2$  in die Korrelationsmatrix:

$$\left[ \begin{array}{cc} 1- (1+\rho) & \rho \\ \rho & 1- (1+\rho) \end{array} \right]\cdot{\boldsymbol{\eta_1}} = \left[ \begin{array}{cc} -\rho & \rho \\ \rho & -\rho \end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{c} \eta_{11} \\ \eta_{12} \end{array} \right]=0$$
$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}-\rho \cdot \eta_{11} + \rho \cdot \eta_{12} = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\eta_{11}= {\rm const} \cdot \eta_{12}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\boldsymbol{\eta_1}}= {\rm const}\cdot \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right];$$
$$\left[ \begin{array}{cc} 1- (1-\rho) & \rho \\ \rho & 1- (1-\rho) \end{array} \right]\cdot{\boldsymbol{\eta_2}} = \left[ \begin{array}{cc} \rho & \rho \\ \rho & \rho \end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{c} \eta_{21} \\ \eta_{22} \end{array} \right]=0$$
$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\rho \cdot \eta_{21} + \rho \cdot \eta_{22} = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\eta_{21}= -{\rm const} \cdot \eta_{22}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\boldsymbol{\eta_2}}= {\rm const}\cdot \left[ \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right].$$
Zur Drehung des Koordinatensystems

Bringt man diese in die so genannte Orthonormalform, so gilt:

$${\boldsymbol{\eta_1}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right],\hspace{0.5cm} {\boldsymbol{\eta_2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[ \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right].$$

In der Skizze ist das Ergebnis verdeutlicht:

  • Das durch  $\mathbf{\eta_1}$  und  $\mathbf{\eta_2}$  festgelegte Koordinatensystem liegt tatsächlich in Richtung der Hauptachsen des ursprünglichen Systems.
  • Mit  $\sigma_1 = \sigma_2$  ergibt sich fast immer  $($Ausnahme:   $\rho= 0)$  der Drehwinkel  $\alpha = 45^\circ$.
  • Dies folgt auch aus der im Theorieteil angegebenen Gleichung:
$$\alpha = {1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot\rho \cdot \frac{\sigma_1\cdot\sigma_2}{\sigma_1^2 -\sigma_2^2})= {1}/{2}\cdot \arctan (\infty)\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha = 45^\circ.$$
  • Die Eigenwerte  $\lambda_1$  und  $\lambda_2$  kennzeichnen nicht die Streuungen bezüglich der neuen Achsen, sondern die Varianzen.


Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1 und 2.


(5)  Durch Vergleich der Matrizen  $\mathbf{K_x}$  und  $\mathbf{K_z}$  erhält man

  • $\sigma_{1}\hspace{0.15cm}\underline{ =2}$,
  • $\sigma_{2}\hspace{0.15cm}\underline{ =1}$,
  • $\rho = 2/(\sigma_{1} \cdot \sigma_{2})\hspace{0.15cm}\underline{ =1}$.


(6)  Nach dem inzwischen altbekannten Schema gilt:

$$(4- \lambda) \cdot (1- \lambda) -4 = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda^2 - 5\lambda = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{\lambda_{1} =5,\hspace{0.1cm} \lambda_{2} =0}.$$


(7)  Nach der auf dem Angabenblatt vorgegebenen Gleichung gilt:

$$\alpha ={1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot 1 \cdot \frac{2 \cdot 1}{2^2 -1^2})= {1}/{2}\cdot \arctan ({4}/{3}) = 26.56^\circ.$$
Bestmögliche Dekorrelation

Zum gleichen Ergebnis gelangt man über den Eigenvektor:

$$\left[ \begin{array}{cc} 4-5 & 2 \\ 2 & 1-5 \end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{c} \zeta_{11} \\ \zeta_{12} \end{array} \right]=0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}-\zeta_{11}= 2\zeta_{12}=0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\zeta_{12}={\zeta_{11}}/{2}$$
$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha = \arctan ({\zeta_{12}}/{\zeta_{11}}) = \arctan(0.5) \hspace{0.15cm}\underline{= 26.56^\circ}.$$

Die nebenstehende Skizze zeigt die 2D-WDF der Zufallsgröße  $\mathbf{z}$:

  • Wegen  $\rho = 1$  liegen alle Werte auf der Korrelationsgeraden mit den Koordinaten  $z_1$  und  $z_2 = z_1/2$.
  • Durch die Drehung um den Winkel  $\alpha = \arctan(0.5) = 26.56^\circ$  entsteht ein neues Koordinatensystem.
  • Die Varianz entlang der Achse  $\mathbf{\zeta_1}$ beträgt  $\lambda_1 = 5$  $($Streuung  $\sigma_1 = \sqrt{5} = 2.236)$,
  • während in der dazu orthogonalen Richtung  $\mathbf{\zeta_2}$  die Zufallsgröße nicht ausgedehnt ist  $(\lambda_2 = \sigma_2 = 0)$.