Aufgabe 4.16: Binary Frequency Shift Keying

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Bandpass-Signale der FSK

Bei der binären FSK werden die beiden Nachrichten $m_0$ und $m_1$ durch zwei unterschiedliche Frequenzen dargestellt. Für die beiden möglichen Bandpass–Signale gilt dann jeweils im Bereich $0 ≤ t ≤ T$ mit $f_0 = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A}$ sowie $f_1 = f_{\rm T} \, – \Delta f_{\rm A}$:

$$s_{\rm BP0}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{2E/T} \cdot \cos( 2\pi f_0 t)\hspace{0.05cm},$$
$$ s_{\rm BP1}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{2E/T} \cdot \cos( 2\pi f_1 t)\hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt beispielhafte Signale. In obiger Gleichung gibt $f_{\rm T}$ die Trägerfrequenz an und $\Delta f_{\rm A}$ den Frequenzhub als die maximale Abweichung der Augenblicksfrequenz von der Trägerfrequenz an. $T$ ist die Symboldauer und $E$ die Signalenergie. Dabei gilt gleichermaßen für die mittlere Symbolenergie und die mittlere Bitenergie:

$$E_{\rm S} = E_{\rm B} = E\hspace{0.05cm}.$$

Meist arbeitet man mit dem Modulationsindex, der als das Verhältnis von Gesamtfrequenzhub und Symbolrate definiert ist:

$$h = \frac{2 \cdot \Delta f_{\rm A}}{1/T} = 2 \cdot \Delta f_{\rm A} \cdot T \hspace{0.05cm}.$$

Die äquivalente Tiefpassdarstellung führt unter Verwendung von $h$ zu den beiden komplexen Signalen

$$ s_{\rm TP0}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{E/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}+{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} h \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t/T}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T\hspace{0.05cm},$$
$$ s_{\rm TP1}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{E/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} h \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t/T}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T\hspace{0.05cm}.$$

Eine orthogonale FSK liegt vor, wenn das innere Produkt den Wert $0$ ergibt:

$$< \hspace{-0.05cm}s_{\rm TP0}(t) \cdot s_{\rm TP1}(t) \hspace{-0.05cm}> \hspace{0.2cm}= \int_{0}^{T} s_{\rm TP0}(t) \cdot s_{\rm TP1}^{\star}(t) \,{\rm d} t =0 \hspace{0.05cm}.$$

In diesem Fall ist auch eine nichtkohärente Demodulation wie im Kapitel Trägerfrequenzensysteme mit nichtkohärenter Demodulation beschrieben möglich.

Das innere Produkt der BP–Signale kann aus dem inneren Produkt der TP–Signale ermittelt werden:

$$< \hspace{-0.05cm}s_{\rm BP0}(t) \cdot s_{\rm BP1}(t) \hspace{-0.05cm}> \hspace{0.2cm}= {\rm Re}\left [ \hspace{0.1cm}< \hspace{-0.05cm}s_{\rm TP0}(t) \cdot s_{\rm TP1}(t) \hspace{-0.05cm}> \hspace{0.15cm} \right ]\hspace{0.05cm}.$$

Gilt $〈 s_{\rm BP0}(t) \cdot s_{\rm BP1}(t)〉 = 0$, aber gleichzeitig auch $〈 s_{\rm TP0}(t) \cdot s_{\rm TP1}(t)〉 ≠ 0$, so ist zwar eine kohärente Demodulation möglich, aber keine nichtkohärente.

Hinweise:

  • Die Aufgabe beschreibt die im Kapitel 4.4 auf Seite 8 und Seite 9 behandelte Thematik.


Fragebogen

1

Welche Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ und welcher Frequenzhub liegen der Grafik auf der Angabenseite zugrunde?

$f_{\rm T}$ =

$\ \cdot 1/T$
$\Delta f_{\rm A}$ =

$\ \cdot 1/T$

2

Welchem Modulationsindex $h$ entspricht dieser Frequenzhub?

$h$ =

3

Für welche Werte von $h$ ist die Orthogonalität der TP–Signale gegeben?

$h = 0.5$,
$h = \pi/4$,
$h = 1$,
$h = 2$.

4

Für welche Werte von $h$ ist die Orthogonalität der BP–Signale gegeben?

$h = 0.5$,
$h = \pi/4$,
$h = 1$,
$h = 2$.

5

Welche Aussagen gelten hinsichtlich kohärenter/nichtkohärenter Demodulation?

Kohärente Demodulation ist immer möglich.
Ist nichtkohärente Demodulation möglich, so geht auch kohärente.
Ist kohärente Demodulation möglich, so geht auch nichtkohärente.


Musterlösung

(1)  Durch Abzählen der Schwingungen innerhalb einer Symboldauer $T$ kommt man zu den beiden Frequenzen $f_0 = 4.5/T$ und $f_1 = 3.5/T$. Daraus berechnen sich Trägerfrequenzen und Frequenzhub zu

$$f_{\rm T} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{2}\cdot (f_0 + f_1) = \underline{4 \cdot 1/T}\hspace{0.05cm},$$
$$ \Delta f_{\rm A} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{2}\cdot (f_0 - f_1)= \underline{0.5 \cdot 1/T }\hspace{0.05cm}.$$


(2)  Mit der angegebenen Gleichung gilt für den Modulationsindex:

$$h = 2 \cdot \Delta f_{\rm A} \cdot T = 2 \cdot 0.5 \cdot 1/T \cdot T \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{h= 1}\hspace{0.05cm}. $$


(3)  Das innere Produkt der TP–Signale lautet:

$$< \hspace{-0.05cm} s_{\rm TP0}(t) \hspace{-0.3cm} \ \cdot \ \hspace{-0.3cm} s_{\rm TP1}(t) \hspace{-0.05cm} > \hspace{0.2cm} = \int_{0}^{T} s_{\rm TP0}(t) \cdot s_{\rm TP1}^{\star}(t) \,{\rm d} t =$$
$$ \hspace{-1.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{E}{T} \cdot \int_{0}^{T} {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} 2\pi h \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t/T} \,{\rm d} t = \frac{E}{{\rm j}2\pi h} \cdot \left [ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} 2\pi h} - 1 \right ] \hspace{0.05cm}.$$

Orthogonalität bedeutet, dass dieses innere Produkt $0$ sein muss:

$$< \hspace{-0.05cm} s_{\rm TP0}(t) \cdot s_{\rm TP1}(t) \hspace{-0.05cm} > \hspace{0.2cm} = \frac{E}{{\rm j}2\pi h} \cdot \left [ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} 2\pi h} - 1 \right ] = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} h = 1, 2, 3, ...$$

Richtig sind demzufolge die Lösungsvorschläge 3 und 4. Ist der Modulationsindex $h$ ganzzahlig, so kann nichtkohärent demoduliert werden, ohne dass die Orthogonalität verletzt wird.


(4)  Für das innere Produkt der Bandpass–Signale kann nach den Erläuterungen auf der Angabenseite geschrieben werden:

$$< \hspace{-0.05cm}s_{\rm BP0}(t) \hspace{-0.3cm} \ \cdot \ \hspace{-0.3cm} s_{\rm BP1}(t) \hspace{-0.05cm}> \hspace{0.2cm}= {\rm Re}\left [ \hspace{0.1cm}< \hspace{-0.05cm}s_{\rm TP0}(t) \cdot s_{\rm TP1}(t) \hspace{-0.05cm}> \hspace{0.2cm} \right ] = {\rm Re}\left [ \frac{E}{{\rm j}2\pi h} \cdot \left ( {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} 2\pi h} - 1 \right ) \right ] =$$
$$ \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Re}\left [ \frac{E}{2\pi h} \cdot \left ( \sin( 2\pi h) - {\rm j} \cdot [\cos( 2\pi h) - 1 ]\right ) \right ] = \frac{E \cdot \sin( 2\pi h)}{2\pi h} \hspace{0.05cm}.$$

Dieses Ergebnis ist immer dann $0$, wenn der Modulationsindex $h$ ein ganzzahliges Vielfaches von $0.5$ ist. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4.


(5)  Richtig ist hier nur der Lösungsvorschlag 2. Für kohärente Demodulation muss $h$ ein Vielfaches von $0.5$ sein. Ist nichtkohärente Demodulation möglich, wie zum Beispiel im hier betrachteten Fall ($h = 1$), so ist auch kohärente Demodulation anwendbar. Dagegen kann für $h = 0.5$ zwar kohärent demoduliert werden, aber eine nichtkohärente Demodulation (die auf die Hüllkurve angewiesen ist) versagt.