Aufgaben:Aufgabe 4.15Z: MSK–Grundimpuls und MSK-Spektrum: Unterschied zwischen den Versionen

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{{quiz-Header|Buchseite=Modualtionsverfahren/Nichtlineare Modulationsverfahren
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[[Datei:P_ID1744__Mod_Z_4_14.png|right|frame|MSK–Grundimpuls  und  –Spektrum]]
Der zur Realisierung der [http://www.lntwww.de/Modulationsverfahren/Nichtlineare_Modulationsverfahren#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK_.281.29 MSK mittels Offset–QPSK] stets erforderliche Grundimpuls hat die Form:
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Der zur Realisierung der  [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|MSK mittels Offset–QPSK]]   stets erforderliche Grundimpuls hat die in der Grafik oben dargestellte Form:
$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} g_0 \cdot \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} | t | \le T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
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:$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} g_0 \cdot \cos (\pi/2 \cdot t/T) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} | t | \le T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
Dieser ist in der Grafik oben dargestellt. Darunter gezeichnet ist die Spektralfunktion $G(f)$, also die Fouriertransformierte von $g(t)$. Die dazugehörige Gleichung soll in dieser Aufgabe ermittelt werden, wobei zu berücksichtigen ist:
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Darunter gezeichnet ist die Spektralfunktion  $G(f)$, also die  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Fouriertransformierte]]  von  $g(t)$.  
$$g(t) = c(t) \cdot r(t)\hspace{0.05cm}.$$
 
Hierbei bezeichnet
 
:* $c(t)$ eine Cosinusschwingung mit Amplitude 1 und (noch zu bestimmender) Frequenz $f_0$,
 
:*  $r(t)$ eine Rechteckfunktion mit der Amplitude $g_0$ und der Dauer 2T.
 
  
'''Hinweis:''Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von [http://www.lntwww.de/Modulationsverfahren/Nichtlineare_Modulationsverfahren Kapitel 4.4]. Das hier gewonnene Ergebnis wird auch in der [http://www.lntwww.de/Aufgaben:4.14_BPSK%E2%80%93QPSK%E2%80%93MSK Aufgabe A4.14] verwendet.
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Die dazugehörige Gleichung soll in dieser Aufgabe ermittelt werden, wobei zu berücksichtigen ist:
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:$$g(t) = c(t) \cdot r(t)\hspace{0.05cm}.$$
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Hierbei sind folgende  Abkürzungen verwendet:
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* $c(t)$  ist eine Cosinusschwingung mit Amplitude  $1$  und  (noch zu bestimmender)  Frequenz  $f_0$.
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* $r(t)$  ist eine Rechteckfunktion mit der Amplitude  $g_0$  und der Dauer  $2T$.
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''Hinweise:''  
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation|Nichtlineare digitale Modulation]].
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*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt  [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Realisierung der MSK als Offset-QPSK]].
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 +
*Das hier gewonnene Ergebnis wird auch in der  [[Aufgaben:4.15_MSK_im_Vergleich_mit_BPSK_und_QPSK|Aufgabe 4.15]]  verwendet.
  
  
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{Wie ist die Frequenz $f_0$ von c(t) zu wählen, damit $g_(t) = c(t) · r(t)$ gilt?
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{Wie ist die Frequenz &nbsp;$f_0$&nbsp; der Cosinusschwingung &nbsp;$c(t)$&nbsp; zu wählen, damit &nbsp;$g(t) = c(t) · r(t)$&nbsp; gilt?
 
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$f_0$ = { 0.25 3% } $\cdot 1/T$
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$f_0 \ = \ $ { 0.25 3% } $\ \cdot 1/T$
  
{Wie lautet das Spektrum $R(f)$ von $r(t)$? Welcher Spektralwert tritt bei f = 0 auf?
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{Wie lautet das Spektrum &nbsp;$R(f)$&nbsp; der Rechteckfunktion &nbsp;$r(t)$?&nbsp; Welcher Spektralwert tritt bei &nbsp;$f = 0$&nbsp; auf?
 
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$R(f=0)$ = { 2 3%  } $\cdot g_0 T$  
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$R(f=0) \ = \ $ { 2 3%  } $\ \cdot g_0 \cdot T$  
  
{Berechnen Sie das Spektrum $G(f)$, insbesondere den Spektralwert bei f = 0.
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{Berechnen Sie das Spektrum &nbsp;$G(f)$&nbsp; des MSK&ndash;Impuses &nbsp;$g(t)$, insbesondere den Spektralwert bei &nbsp;$f = 0$.
 
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$G(f = 0)$ = { 1.273 3% } $\cdot g_0 T$
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$G(f=0) \ = \ $ { 1.273 3% } $\ \cdot g_0 \cdot T$
  
{Fassen Sie das Ergebnis aus c) in einem Term zusammen. Bei welcher Frequenz $f_1$ besitzt $G(f)$ seine erste Nullstelle?
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{Fassen Sie das Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; in einem Term zusammen.&nbsp; Bei welcher Frequenz &nbsp;$f_1$&nbsp; besitzt &nbsp;$G(f)$&nbsp; seine erste Nullstelle?
 
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$f_1$ = { 0.75 3% } $\cdot 1/T$
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$f_1 \ = \ $ { 0.75 3% } $\ \cdot 1/T$
  
 
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.''' Die Periodendauer des Cosinussignals muss $T_0 = 4T$ sein. Damit ist die Frequenz $f_0 = 0.25 · 1/T$.
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'''(1)'''&nbsp; Die Periodendauer des Cosinussignals muss&nbsp; $T_0 = 4T$&nbsp; sein.&nbsp; Damit ist die Frequenz $f_0 = 1/T_0\hspace{0.15cm}\underline {= 0.25} · 1/T$.
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'''(2)'''&nbsp; Die Spektralfunktion eines Rechteckimpulses der Höhe&nbsp; $g_0$&nbsp; und der Dauer&nbsp;$ 2T$&nbsp; lautet:
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:$$R(f) = g_0 \cdot 2 T \cdot {\rm si} ( \pi f \cdot 2T )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{\rm si} (x) = \sin(x)/x \hspace{0.3cm}
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\Rightarrow \hspace{0.3cm}R(f = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= 2} \cdot g_0 \cdot T\hspace{0.05cm}.$$
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'''(3)'''&nbsp; Aus&nbsp; $g(t) = c(t) · r(t)$&nbsp; folgt nach dem Faltungssatz: &nbsp; $ G(f) = C(f) \star R(f)\hspace{0.05cm}.$
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*Die Spektralfunktion&nbsp; $C(f)$&nbsp; besteht aus zwei Diracfunktionen bei&nbsp; $± f_0$, jeweils mit dem Gewicht&nbsp; $1/2$.&nbsp; Daraus folgt:
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:$$ G(f)  =  2 \cdot g_0 \cdot T \cdot \big [ 1/2 \cdot \delta (f - f_0 ) + 1/2 \cdot \delta (f + f_0 )\big ] \star {\rm si} ( 2 \pi f T )=  g_0 \cdot T \cdot \big [ {\rm si} ( 2 \pi T \cdot (f - f_0 ) ) + {\rm si} ( 2 \pi T \cdot (f + f_0 ) ) \big ] \hspace{0.05cm}.$$
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*Mit dem Ergebnis&nbsp; $f_0 = 1/(4T)$&nbsp; der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; gilt weiter:
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:$$G(f) = g_0 \cdot T \cdot \big [ {\rm si} ( 2 \pi f T - \pi / 2 ) + {\rm si} ( 2 \pi f T + \pi / 2) \big ]$$
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:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G(f = 0)  =  g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} \big [ {\rm si} ( - \pi/2 ) + {\rm si} ( +\pi/2 ) \big ] = 2 \cdot g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} {\rm si} ( \pi/2 ) = 2 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} \frac {{\rm sin}({\pi}/{2}) } { {\pi}/{2} } ={4}/{\pi} \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.273} \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T .$$
  
'''2.''' Die Spektralfunktion eines Rechteckimpulses der Höhe $g_0$ und der Dauer 2T lautet:
 
$$R(f) = g_0 \cdot 2 T \cdot {\rm si} ( \pi f \cdot 2T )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{\rm si} (x) = \sin(x)/x$$
 
$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}R(f = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= 2} \cdot g_0 \cdot T\hspace{0.05cm}.$$
 
  
'''3.''' Aus $g(t) = c(t) · r(t)$ folgt nach dem Faltungssatz:
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'''(4)'''&nbsp; Schreibt man die&nbsp; $\rm si$–Funktion aus, so erhält man mit&nbsp; $\sin (α ± π/2) = ± \cos(α)$:
$$ G(f) = C(f) \star R(f)\hspace{0.05cm}.$$
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:$$G(f)  =  g_0 \cdot T \cdot \left [ \frac{{\rm sin} ( 2 \pi f T - \pi / 2 )}{2 \pi f T - \pi / 2 } + \frac{{\rm sin} ( 2 \pi f T + \pi / 2 )}{2 \pi f T + \pi / 2 } \right ]=  g_0 \cdot T \cdot \frac {2}{\pi}\cdot\left [ \frac{-{\rm cos} ( 2 \pi f T )}{4 f T - 1 } + \frac{{\rm cos} ( 2 \pi f T )}{4 f T + 1 } \right ]$$  
$C(f)$ besteht aus zwei Diracfunktionen bei $± f_0$, jeweils mit dem Gewicht 1/2. Daraus folgt:
+
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G(f)  =  g_0 \cdot T \cdot \frac {2}{\pi}\cdot \frac{(1+4 f T ) \cdot {\rm cos} ( 2 \pi f T )+ (1-4 f T ) \cdot {\rm cos} ( 2 \pi f T )}{1 - (4 f T)^2 } =   \frac {4}{\pi}\cdot g_0 \cdot T \cdot \frac{ {\rm cos} ( 2 \pi f T )}{1 - (4 f T)^2 }\hspace{0.05cm}.$$  
$$ G(f)  =  2 \cdot g_0 \cdot T \cdot \left [ \frac {1}{2} \cdot \delta (f - f_0 ) + \frac {1}{2} \cdot \delta (f + f_0 )\right ] \star {\rm si} ( 2 \pi f T )=$$
 
$$ =  g_0 \cdot T \cdot \left [ {\rm si} ( 2 \pi T \cdot (f - f_0 ) ) + {\rm si} ( 2 \pi T \cdot (f + f_0 ) ) \right ] \hspace{0.05cm}.$$
 
Mit dem Ergebnis $f_0 = 1/(4T)$ aus a) gilt weiter:
 
$$G(f) = g_0 \cdot T \cdot \left [ {\rm si} ( 2 \pi f T - \pi / 2 ) + {\rm si} ( 2 \pi f T + \pi / 2) \right ]$$
 
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G(f = 0)  =  g_0 \cdot T \cdot \left [ {\rm si} ( - \frac{\pi}{2} ) + {\rm si} ( +\frac{\pi}{2} ) \right ] = 2 \cdot g_0 \cdot T \cdot {\rm si} ( \frac{\pi}{2} ) =$$
 
$$ =  2 \cdot g_0 \cdot T \cdot \frac {{\rm sin}({\pi}/{2}) } { {\pi}/{2} } ={4}/{\pi} \cdot g_0 \cdot T \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.273} \cdot g_0 \cdot T \hspace{0.05cm}.$$
 
  
'''4.''' Schreibt man die si–Funktion aus, so erhält man mit sin (α ± π/2) = ± cos(α):
+
*Die Nullstellen von&nbsp; $G(f)$&nbsp; werden allein durch die Cosinusfunktion im Zähler bestimmt und würden bei den Frequenzen&nbsp; $f · T = 0.25,\ 0.75,\ 1.25,$&nbsp; ... liegen.  
$$G(f)  =  g_0 \cdot T \cdot \left [ \frac{{\rm sin} ( 2 \pi f T - \pi / 2 )}{2 \pi f T - \pi / 2 } + \frac{{\rm sin} ( 2 \pi f T + \pi / 2 )}{2 \pi f T + \pi / 2 } \right ]=$$
+
*Allerdings wird die erste Nullstelle bei&nbsp; $f · T = 0.25$&nbsp; durch die gleichzeitige Nullstelle des Nenners aufgehoben.&nbsp; Deshalb gilt:
$$ =  g_0 \cdot T \cdot \frac {2}{\pi}\cdot\left [ \frac{-{\rm cos} ( 2 \pi f T )}{4 f T - 1 } + \frac{{\rm cos} ( 2 \pi f T )}{4 f T + 1 } \right ]=$$
+
:$$f_1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.75} \cdot 1/T \hspace{0.05cm}.$$
$$ =  g_0 \cdot T \cdot \frac {2}{\pi}\cdot \frac{(1+4 f T ) \cdot {\rm cos} ( 2 \pi f T )+ (1-4 f T ) \cdot {\rm cos} ( 2 \pi f T )}{1 - (4 f T)^2 } = $$
 
$$ =  \frac {4}{\pi}\cdot g_0 \cdot T \cdot \frac{ {\rm cos} ( 2 \pi f T )}{1 - (4 f T)^2 }\hspace{0.05cm}.$$
 
Die Nullstellen von $G(f)$ werden allein durch die Cosinusfunktion im Zähler bestimmt und würden bei den Frequenzen f · T = 0.25, 0.75, 1.25, ... liegen. Allerdings wird die erste Nullstelle bei $f · T = 0.25$ durch die gleichzeitige Nullstelle des Nenners aufgehoben. Deshalb gilt:
 
$$f_1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.75} \cdot 1/T \hspace{0.05cm}.$$
 
  
  
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[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.4 Nichtlineare Modulationsverfahren^]]
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[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.4 Nichtlineare digitale Modulation^]]

Aktuelle Version vom 24. April 2020, 13:23 Uhr

MSK–Grundimpuls  und  –Spektrum

Der zur Realisierung der  MSK mittels Offset–QPSK   stets erforderliche Grundimpuls hat die in der Grafik oben dargestellte Form:

$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} g_0 \cdot \cos (\pi/2 \cdot t/T) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} | t | \le T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

Darunter gezeichnet ist die Spektralfunktion  $G(f)$, also die  Fouriertransformierte  von  $g(t)$.

Die dazugehörige Gleichung soll in dieser Aufgabe ermittelt werden, wobei zu berücksichtigen ist:

$$g(t) = c(t) \cdot r(t)\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei sind folgende Abkürzungen verwendet:

  • $c(t)$  ist eine Cosinusschwingung mit Amplitude  $1$  und  (noch zu bestimmender)  Frequenz  $f_0$.
  • $r(t)$  ist eine Rechteckfunktion mit der Amplitude  $g_0$  und der Dauer  $2T$.





Hinweise:

  • Das hier gewonnene Ergebnis wird auch in der  Aufgabe 4.15  verwendet.


Fragebogen

1

Wie ist die Frequenz  $f_0$  der Cosinusschwingung  $c(t)$  zu wählen, damit  $g(t) = c(t) · r(t)$  gilt?

$f_0 \ = \ $

$\ \cdot 1/T$

2

Wie lautet das Spektrum  $R(f)$  der Rechteckfunktion  $r(t)$?  Welcher Spektralwert tritt bei  $f = 0$  auf?

$R(f=0) \ = \ $

$\ \cdot g_0 \cdot T$

3

Berechnen Sie das Spektrum  $G(f)$  des MSK–Impuses  $g(t)$, insbesondere den Spektralwert bei  $f = 0$.

$G(f=0) \ = \ $

$\ \cdot g_0 \cdot T$

4

Fassen Sie das Ergebnis der Teilaufgabe  (3)  in einem Term zusammen.  Bei welcher Frequenz  $f_1$  besitzt  $G(f)$  seine erste Nullstelle?

$f_1 \ = \ $

$\ \cdot 1/T$


Musterlösung

(1)  Die Periodendauer des Cosinussignals muss  $T_0 = 4T$  sein.  Damit ist die Frequenz $f_0 = 1/T_0\hspace{0.15cm}\underline {= 0.25} · 1/T$.


(2)  Die Spektralfunktion eines Rechteckimpulses der Höhe  $g_0$  und der Dauer $ 2T$  lautet:

$$R(f) = g_0 \cdot 2 T \cdot {\rm si} ( \pi f \cdot 2T )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{\rm si} (x) = \sin(x)/x \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}R(f = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= 2} \cdot g_0 \cdot T\hspace{0.05cm}.$$


(3)  Aus  $g(t) = c(t) · r(t)$  folgt nach dem Faltungssatz:   $ G(f) = C(f) \star R(f)\hspace{0.05cm}.$

  • Die Spektralfunktion  $C(f)$  besteht aus zwei Diracfunktionen bei  $± f_0$, jeweils mit dem Gewicht  $1/2$.  Daraus folgt:
$$ G(f) = 2 \cdot g_0 \cdot T \cdot \big [ 1/2 \cdot \delta (f - f_0 ) + 1/2 \cdot \delta (f + f_0 )\big ] \star {\rm si} ( 2 \pi f T )= g_0 \cdot T \cdot \big [ {\rm si} ( 2 \pi T \cdot (f - f_0 ) ) + {\rm si} ( 2 \pi T \cdot (f + f_0 ) ) \big ] \hspace{0.05cm}.$$
  • Mit dem Ergebnis  $f_0 = 1/(4T)$  der Teilaufgabe  (1)  gilt weiter:
$$G(f) = g_0 \cdot T \cdot \big [ {\rm si} ( 2 \pi f T - \pi / 2 ) + {\rm si} ( 2 \pi f T + \pi / 2) \big ]$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G(f = 0) = g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} \big [ {\rm si} ( - \pi/2 ) + {\rm si} ( +\pi/2 ) \big ] = 2 \cdot g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} {\rm si} ( \pi/2 ) = 2 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} \frac {{\rm sin}({\pi}/{2}) } { {\pi}/{2} } ={4}/{\pi} \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.273} \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T .$$


(4)  Schreibt man die  $\rm si$–Funktion aus, so erhält man mit  $\sin (α ± π/2) = ± \cos(α)$:

$$G(f) = g_0 \cdot T \cdot \left [ \frac{{\rm sin} ( 2 \pi f T - \pi / 2 )}{2 \pi f T - \pi / 2 } + \frac{{\rm sin} ( 2 \pi f T + \pi / 2 )}{2 \pi f T + \pi / 2 } \right ]= g_0 \cdot T \cdot \frac {2}{\pi}\cdot\left [ \frac{-{\rm cos} ( 2 \pi f T )}{4 f T - 1 } + \frac{{\rm cos} ( 2 \pi f T )}{4 f T + 1 } \right ]$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G(f) = g_0 \cdot T \cdot \frac {2}{\pi}\cdot \frac{(1+4 f T ) \cdot {\rm cos} ( 2 \pi f T )+ (1-4 f T ) \cdot {\rm cos} ( 2 \pi f T )}{1 - (4 f T)^2 } = \frac {4}{\pi}\cdot g_0 \cdot T \cdot \frac{ {\rm cos} ( 2 \pi f T )}{1 - (4 f T)^2 }\hspace{0.05cm}.$$
  • Die Nullstellen von  $G(f)$  werden allein durch die Cosinusfunktion im Zähler bestimmt und würden bei den Frequenzen  $f · T = 0.25,\ 0.75,\ 1.25,$  ... liegen.
  • Allerdings wird die erste Nullstelle bei  $f · T = 0.25$  durch die gleichzeitige Nullstelle des Nenners aufgehoben.  Deshalb gilt:
$$f_1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.75} \cdot 1/T \hspace{0.05cm}.$$