Aufgaben:Aufgabe 4.15Z: Aussagen der Kovarianzmatrix: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID664__Sto_Z_4_15.png|right|Korrelierte Zufallssignale]]
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[[Datei:P_ID664__Sto_Z_4_15.png|right|frame|Sind die Zufallssignale korreliert?]]
Gegeben seien die beiden Gaußschen Zufallsgrößen $u$ und $v$, jeweils mittelwertfrei und mit Varianz $\sigma^2 = 1$. Daraus werden durch Linearkombination drei neue Zufallsgrößen gebildet:
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Gegeben seien die beiden Gaußschen Zufallsgrößen   $u$  und  $v$,  jeweils mittelwertfrei und mit Varianz  $\sigma^2 = 1$.  
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Daraus werden durch Linearkombination drei neue Zufallsgrößen gebildet:
 
:$$x_1 = A_1 \cdot u + B_1 \cdot v,$$
 
:$$x_1 = A_1 \cdot u + B_1 \cdot v,$$
 
:$$x_2 = A_2 \cdot u + B_2 \cdot v,$$
 
:$$x_2 = A_2 \cdot u + B_2 \cdot v,$$
 
:$$x_3 = A_3 \cdot u + B_3 \cdot v.$$
 
:$$x_3 = A_3 \cdot u + B_3 \cdot v.$$
  
Vorausgesetzt wird, dass in allen betrachteten Fällen $(i = 1, 2, 3)$ gilt:
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Vorausgesetzt wird,  dass in allen betrachteten Fällen  $(i = 1,\ 2,\ 3)$  gilt:
 
:$$A_i^2 + B_i^2  =1.$$
 
:$$A_i^2 + B_i^2  =1.$$
  
In der Grafik sehen Sie drei Signalverläufe $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$ entsprechend dem Parametersatz, der in der Teilaufgabe (3) betrachtet werden soll:
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Die Grafik zeigt die Signale $x_1(t)$,  $x_2(t)$  und  $x_3(t)$  für den Fall,  der in der Teilaufgabe  '''(3)'''  betrachtet werden soll:
 
* $A_1 = B_2 = 1$,
 
* $A_1 = B_2 = 1$,
 
* $A_2 = B_2 = 0$,
 
* $A_2 = B_2 = 0$,
* $A_3 = 0.8, \hspace{0.5cm} B_3 = 0.6$,
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* $A_3 = 0.8, \ B_3 = 0.6$,
  
  
Der Korrelationskoeffizient $\rho_{ij}$ zwischen den Zufallsgrößen $x_i$ und $x_j$ wird wie folgt angegeben:
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Der Korrelationskoeffizient  $\rho_{ij}$  zwischen den Zufallsgrößen  $x_i$  und  $x_j$  wird wie folgt angegeben:
 
:$$\rho_{ij} = \frac{A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j}{\sqrt{(A_i^2 +
 
:$$\rho_{ij} = \frac{A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j}{\sqrt{(A_i^2 +
 
B_i^2)(A_j^2 + B_j^2)}} = A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j.$$
 
B_i^2)(A_j^2 + B_j^2)}} = A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j.$$
  
Unter der hier implizit getroffenen Annahme $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$ lautet die Kovarianzmatrix $\mathbf{K}$, die bei mittelwertfreien Zufallsgrößen identisch mit der Korrelationsmatrix $\mathbf{R}$ ist:
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Unter der hier implizit getroffenen Annahme   $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$   lautet die Kovarianzmatrix  $\mathbf{K}$:
 
:$${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc}
 
:$${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc}
 
1 & \rho_{12} &  \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\
 
1 & \rho_{12} &  \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\
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\end{array} \right] .$$
 
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''Hinweise:''
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Diese ist bei mittelwertfreien Zufallsgrößen identisch mit der Korrelationsmatrix  $\mathbf{R}$.
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen|Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen]].
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*Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix|Determinante einer Matrix]] sowie [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix|Inverse einer Matrix]]  
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen|Verallgemeinerung auf ''N''-dimensionale Zufallsgrößen]].
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*Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten   [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix|Determinante einer Matrix]]   sowie   [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix|Inverse einer Matrix]].
 
   
 
   
  
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{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? Begründen Sie Ihre Ergebnisse.
 
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- $\mathbf{K}$ kann geeigneter Wahl von $A_1$, ... , $B_3$ eine Diagonalmatrix sein. Oder anders ausgedrückt: $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ ist möglich.
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- $\mathbf{K}$  kann bei geeigneter Wahl von   $A_1$, ... , $B_3$   eine Diagonalmatrix sein.  Oder anders ausgedrückt:   $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$  ist möglich.
+ Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ kann genau einer der Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} = 0$ sein.
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+ Bei geeigneter Wahl der Parameter   $A_1$, ... , $B_3$   kann genau einer der Korrelationskoeffizienten  $\rho_{ij} = 0$  sein.
- Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ können genau zwei der Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} = 0$ sein.
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- Bei geeigneter Wahl der Parameter   $A_1$, ... , $B_3$   können genau zwei der Korrelationskoeffizienten  $\rho_{ij} = 0$  sein.
+ Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ können alle drei Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} \ne 0$ sein.
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+ Bei geeigneter Wahl der Parameter   $A_1$, ... , $B_3$   können alle drei Korrelationskoeffizienten  $\rho_{ij} \ne 0$  sein.
  
  
{Wie lauten die Matrixelemente von $\mathbf{K}$ mit $A_1 = A_2 = - A_3$  und $B_1 = B_2 = - B_3$?
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{Wie lauten die Matrixelemente von  $\mathbf{K}$  mit   $A_1 = A_2 = - A_3$   und   $B_1 = B_2 = - B_3$ ?
 
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$\rho_{12} \ =$ { 1 3% }
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{Berechnen Sie die Koeffizienten $\rho_{ij}$ für den in der Grafik dargestellten Fall, also für $A_1 = 1$, $B_1 = 0$, $A_2 = 0$, $B_2 = 1$, $A_3 = 0.8$, $B_3 = 0.6$.
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{Berechnen Sie die Koeffizienten  $\rho_{ij}$  für den in der Grafik dargestellten Fall:  $A_1 = 1$,  $B_1 = 0$,  $A_2 = 0$,  $B_2 = 1$,  $A_3 = 0.8$,  $B_3 = 0.6$.
 
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'''(1)'''&nbsp; Nur die <u>zweite und die letzte Aussage</u> treffen zu:
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'''(1)'''&nbsp; Nur die&nbsp; <u>zweite und die letzte Aussage</u>&nbsp; treffen zu:
*Aussage 2 beschreibt den in der Grafik betrachteten Fall, dass zwei Größen (hier: $x_1$ und $x_2$) unkorreliert sind, während $x_3$ statistische Bindungen bezüglich $x_1$ (über die Größe $u$) und auch in Bezug zu $x_3$ (bedingt durch die Zufallsgröße $v$) aufweist.
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*Die Aussage 2 beschreibt den in der Grafik betrachteten Fall,&nbsp; dass zwei Größen&nbsp; $($hier: &nbsp; $x_1$&nbsp; und&nbsp; $x_2)$&nbsp; unkorreliert sind,&nbsp; während&nbsp; $x_3$&nbsp; statistische Bindungen bezüglich&nbsp; $x_1$&nbsp; $($über die Größe&nbsp; $u)$&nbsp; und auch in Bezug zu&nbsp; $x_2$&nbsp; $($bedingt durch die Zufallsgröße $v)$&nbsp; aufweist.
*Die Kombination $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ist bei der hier gegebenen Struktur dagegen nicht möglich. Dazu würde man eine dritte statistisch unabhängige Zufallsgröße $w$ benötigen und es müsste beispielsweise $x_1 = u$, $x_2 = v$ und $x_3 = w$ gelten.
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*Die Kombination &nbsp; $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ &nbsp; ist bei der hier gegebenen Struktur dagegen nicht möglich.&nbsp; Dazu würde man eine dritte statistisch unabhängige Zufallsgröße&nbsp; $w$&nbsp; benötigen und es müsste beispielsweise &nbsp;$x_1 = k_1 \cdot u$, &nbsp;  $x_2 = k_2 \cdot v$&nbsp; und &nbsp;$x_3 = k_3 \cdot w$&nbsp; gelten.
*Die dritte Aussage ist ebenfalls nicht zutreffend: Sind $x_1$ und $x_2$ unkorreliert und gleichzeitig auch $x_1$ und $x_3$, so können auch zwischen $x_2$ und $x_3$ keine statistischen Bindungen bestehen.
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*Die dritte Aussage ist ebenfalls nicht zutreffend:&nbsp; Sind&nbsp; $x_1$&nbsp; und&nbsp; $x_2$&nbsp; unkorreliert und gleichzeitig auch&nbsp; $x_1$&nbsp; und&nbsp; $x_3$, so können auch zwischen&nbsp; $x_2$&nbsp; und&nbsp; $x_3$&nbsp; keine statistischen Bindungen bestehen.
*Im Allgemeinen werden allerdings sowohl $\rho_{12}$ als auch $\rho_{13}$ und $\rho_{23}$ von $0$ verschieden sein. Ein ganz einfaches Beispiel hierfür wird in der Teilaufgabe (2) betrachtet.
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*Im Allgemeinen werden allerdings sowohl&nbsp; $\rho_{12}$&nbsp; als auch&nbsp; $\rho_{13}$&nbsp; und&nbsp; $\rho_{23}$&nbsp; von Null verschieden sein.&nbsp; Ein ganz einfaches Beispiel hierfür wird in der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; betrachtet.
  
  
'''(2)'''&nbsp; In diesem Fall sind die Größen$x_1 = x_2$ vollständig (zu $100\%$) korreliert.  
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<br>Mit $A_2 = A_1$ und $B_2 = B_1$ erhält man für den gemeinsamen Korrelationskoeffizienten:
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'''(2)'''&nbsp; In diesem Fall sind die Größen &nbsp;$x_1 = x_2$&nbsp; vollständig&nbsp; $($zu&nbsp; $100\%)$&nbsp; korreliert.  
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*Mit&nbsp; $A_2 = A_1$&nbsp; und&nbsp; $B_2 = B_1$&nbsp; erhält man für den gemeinsamen Korrelationskoeffizienten:
 
:$$\rho_{12} =  A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 = A_1^2 + B_1^2  \hspace{0.15cm}\underline{=1}.$$
 
:$$\rho_{12} =  A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 = A_1^2 + B_1^2  \hspace{0.15cm}\underline{=1}.$$
  
In gleicher Weise gilt mit $A_3 = -A_1$ und $B_3 = -B_1$:
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*In gleicher Weise gilt mit&nbsp; $A_3 = -A_1$&nbsp; und &nbsp;$B_3 = -B_1$:
 
:$$\rho_{13} =  A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = -(A_1^2 + B_1^2)  \hspace{0.15cm}\underline{=-1
 
:$$\rho_{13} =  A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = -(A_1^2 + B_1^2)  \hspace{0.15cm}\underline{=-1
 
\hspace{0.1cm}(= \rho_{23})}.$$
 
\hspace{0.1cm}(= \rho_{23})}.$$
  
'''(3)'''&nbsp; Mit diesem Parametersatz ist $x_1$ identisch mit der Zufallsgröße $u$, während $x_2 = v$ gilt. Da $u$ und $v$ statistisch voneinander unabhängig sind, ergibt sich $\rho_{12} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$ Demgegenüber gilt für die beiden weiteren Korrelationskoeffizienten:
+
 
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'''(3)'''&nbsp; Mit diesem Parametersatz ist&nbsp; $x_1$&nbsp; identisch mit der Zufallsgröße&nbsp; $u$,&nbsp; während&nbsp; $x_2 = v$&nbsp; gilt.  
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*Da&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; statistisch voneinander unabhängig sind,&nbsp; ergibt sich&nbsp; $\rho_{12} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$  
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*Demgegenüber gilt für die beiden weiteren Korrelationskoeffizienten:
 
:$$\rho_{13} =  A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = 1 \cdot 0.8 + 0 \cdot
 
:$$\rho_{13} =  A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = 1 \cdot 0.8 + 0 \cdot
 
0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8},$$
 
0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8},$$
 
:$$\rho_{23} =  A_2 \cdot A_3 + B_2 \cdot B_3 = 0 \cdot 0.8 + 1 \cdot
 
:$$\rho_{23} =  A_2 \cdot A_3 + B_2 \cdot B_3 = 0 \cdot 0.8 + 1 \cdot
 
0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.6}.$$
 
0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.6}.$$
 
+
*Für ein&nbsp; (sehr gut)&nbsp; geschultes Auge ist aus der Grafik auf der Angabenseite zu erkennen,&nbsp; dass das Signal&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; mehr Ähnlichkeiten mit&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; aufweist als mit&nbsp; $x_2(t)$.  
Für ein (sehr gut) geschultes Auge ist aus der Grafik auf der Angabenseite zu erkennen, dass das Signal $x_3(t)$ mehr Ähnlichkeiten mit $x_1(t)$ aufweist als mit $x_2(t)$. Diese Tatsache drücken auch die berechneten Korrelationskoeffizienten aus. Seien Sie aber nicht traurig, wenn Sie die unterschiedliche Korrelation in den Signalverläufen nicht erkennen.
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*Diese Tatsache drücken auch die berechneten Korrelationskoeffizienten aus.  
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*Seien Sie aber nicht frustriert,&nbsp; wenn Sie die unterschiedliche Korrelation in den Signalverläufen nicht erkennen.
  
 
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Aktuelle Version vom 29. März 2022, 13:57 Uhr

Sind die Zufallssignale korreliert?

Gegeben seien die beiden Gaußschen Zufallsgrößen  $u$  und  $v$,  jeweils mittelwertfrei und mit Varianz  $\sigma^2 = 1$.

Daraus werden durch Linearkombination drei neue Zufallsgrößen gebildet:

$$x_1 = A_1 \cdot u + B_1 \cdot v,$$
$$x_2 = A_2 \cdot u + B_2 \cdot v,$$
$$x_3 = A_3 \cdot u + B_3 \cdot v.$$

Vorausgesetzt wird,  dass in allen betrachteten Fällen  $(i = 1,\ 2,\ 3)$  gilt:

$$A_i^2 + B_i^2 =1.$$

Die Grafik zeigt die Signale $x_1(t)$,  $x_2(t)$  und  $x_3(t)$  für den Fall,  der in der Teilaufgabe  (3)  betrachtet werden soll:

  • $A_1 = B_2 = 1$,
  • $A_2 = B_2 = 0$,
  • $A_3 = 0.8, \ B_3 = 0.6$,


Der Korrelationskoeffizient  $\rho_{ij}$  zwischen den Zufallsgrößen  $x_i$  und  $x_j$  wird wie folgt angegeben:

$$\rho_{ij} = \frac{A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j}{\sqrt{(A_i^2 + B_i^2)(A_j^2 + B_j^2)}} = A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j.$$

Unter der hier implizit getroffenen Annahme   $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$   lautet die Kovarianzmatrix  $\mathbf{K}$:

$${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & \rho_{12} & \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\ \rho_{13} & \rho_{23} & 1 \end{array} \right] .$$

Diese ist bei mittelwertfreien Zufallsgrößen identisch mit der Korrelationsmatrix  $\mathbf{R}$.




Hinweise:



Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? Begründen Sie Ihre Ergebnisse.

$\mathbf{K}$  kann bei geeigneter Wahl von   $A_1$, ... , $B_3$   eine Diagonalmatrix sein.  Oder anders ausgedrückt:   $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$  ist möglich.
Bei geeigneter Wahl der Parameter   $A_1$, ... , $B_3$   kann genau einer der Korrelationskoeffizienten  $\rho_{ij} = 0$  sein.
Bei geeigneter Wahl der Parameter   $A_1$, ... , $B_3$   können genau zwei der Korrelationskoeffizienten  $\rho_{ij} = 0$  sein.
Bei geeigneter Wahl der Parameter   $A_1$, ... , $B_3$   können alle drei Korrelationskoeffizienten  $\rho_{ij} \ne 0$  sein.

2

Wie lauten die Matrixelemente von  $\mathbf{K}$  mit   $A_1 = A_2 = - A_3$   und   $B_1 = B_2 = - B_3$ ?

$\rho_{12} \ = \ $

$\rho_{13} \ = \ $

$\rho_{23} \ = \ $

3

Berechnen Sie die Koeffizienten  $\rho_{ij}$  für den in der Grafik dargestellten Fall:  $A_1 = 1$,  $B_1 = 0$,  $A_2 = 0$,  $B_2 = 1$,  $A_3 = 0.8$,  $B_3 = 0.6$.

$\rho_{12} \ = \ $

$\rho_{13} \ = \ $

$\rho_{23} \ = \ $


Musterlösung

(1)  Nur die  zweite und die letzte Aussage  treffen zu:

  • Die Aussage 2 beschreibt den in der Grafik betrachteten Fall,  dass zwei Größen  $($hier:   $x_1$  und  $x_2)$  unkorreliert sind,  während  $x_3$  statistische Bindungen bezüglich  $x_1$  $($über die Größe  $u)$  und auch in Bezug zu  $x_2$  $($bedingt durch die Zufallsgröße $v)$  aufweist.
  • Die Kombination   $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$   ist bei der hier gegebenen Struktur dagegen nicht möglich.  Dazu würde man eine dritte statistisch unabhängige Zufallsgröße  $w$  benötigen und es müsste beispielsweise  $x_1 = k_1 \cdot u$,   $x_2 = k_2 \cdot v$  und  $x_3 = k_3 \cdot w$  gelten.
  • Die dritte Aussage ist ebenfalls nicht zutreffend:  Sind  $x_1$  und  $x_2$  unkorreliert und gleichzeitig auch  $x_1$  und  $x_3$, so können auch zwischen  $x_2$  und  $x_3$  keine statistischen Bindungen bestehen.
  • Im Allgemeinen werden allerdings sowohl  $\rho_{12}$  als auch  $\rho_{13}$  und  $\rho_{23}$  von Null verschieden sein.  Ein ganz einfaches Beispiel hierfür wird in der Teilaufgabe  (2)  betrachtet.


(2)  In diesem Fall sind die Größen  $x_1 = x_2$  vollständig  $($zu  $100\%)$  korreliert.

  • Mit  $A_2 = A_1$  und  $B_2 = B_1$  erhält man für den gemeinsamen Korrelationskoeffizienten:
$$\rho_{12} = A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 = A_1^2 + B_1^2 \hspace{0.15cm}\underline{=1}.$$
  • In gleicher Weise gilt mit  $A_3 = -A_1$  und  $B_3 = -B_1$:
$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = -(A_1^2 + B_1^2) \hspace{0.15cm}\underline{=-1 \hspace{0.1cm}(= \rho_{23})}.$$


(3)  Mit diesem Parametersatz ist  $x_1$  identisch mit der Zufallsgröße  $u$,  während  $x_2 = v$  gilt.

  • Da  $u$  und  $v$  statistisch voneinander unabhängig sind,  ergibt sich  $\rho_{12} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$
  • Demgegenüber gilt für die beiden weiteren Korrelationskoeffizienten:
$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = 1 \cdot 0.8 + 0 \cdot 0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8},$$
$$\rho_{23} = A_2 \cdot A_3 + B_2 \cdot B_3 = 0 \cdot 0.8 + 1 \cdot 0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.6}.$$
  • Für ein  (sehr gut)  geschultes Auge ist aus der Grafik auf der Angabenseite zu erkennen,  dass das Signal  $x_3(t)$  mehr Ähnlichkeiten mit  $x_1(t)$  aufweist als mit  $x_2(t)$.
  • Diese Tatsache drücken auch die berechneten Korrelationskoeffizienten aus.
  • Seien Sie aber nicht frustriert,  wenn Sie die unterschiedliche Korrelation in den Signalverläufen nicht erkennen.