Aufgaben:Aufgabe 4.15Z: Aussagen der Kovarianzmatrix: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID664__Sto_Z_4_15.png|right|]]
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[[Datei:P_ID664__Sto_Z_4_15.png|right|frame|Sind die Zufallssignale korreliert?]]
:Gegeben seien die beiden Gaußschen Zufallsgrößen <i>u</i> und <i>&upsilon;</i>, jeweils mittelwertfrei und mit Varianz <i>&sigma;</i><sup>2</sup> = 1. Daraus werden durch Linearkombination drei neue Zufallsgrößen gebildet:
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Gegeben seien die beiden Gaußschen Zufallsgrößen&nbsp;  $u$&nbsp; und&nbsp; $v$, jeweils mittelwertfrei und mit Varianz&nbsp; $\sigma^2 = 1$.  
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Daraus werden durch Linearkombination drei neue Zufallsgrößen gebildet:
 
:$$x_1 = A_1 \cdot u + B_1 \cdot v,$$
 
:$$x_1 = A_1 \cdot u + B_1 \cdot v,$$
 
:$$x_2 = A_2 \cdot u + B_2 \cdot v,$$
 
:$$x_2 = A_2 \cdot u + B_2 \cdot v,$$
 
:$$x_3 = A_3 \cdot u + B_3 \cdot v.$$
 
:$$x_3 = A_3 \cdot u + B_3 \cdot v.$$
  
:Vorausgesetzt wird, dass in allen Fällen (<i>i</i> = 1, 2, 3) gilt:
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Vorausgesetzt wird, dass in allen betrachteten Fällen &nbsp;$(i = 1, 2, 3)$&nbsp; gilt:
 
:$$A_i^2 + B_i^2  =1.$$
 
:$$A_i^2 + B_i^2  =1.$$
  
:In der Grafik sehen Sie drei Signalverläufe <i>x</i><sub>1</sub>(t), <i>x</i> <sub>2</sub>(t) und <i>x</i><sub>3</sub>(t) entsprechend den Parametern
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Die Grafik zeigt die Signale $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$ für den Fall, der in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; betrachtet werden soll:
 
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* $A_1 = B_2 = 1$,
:* <i>A</i><sub>1</sub> = <i>B</i><sub>2</sub> = 1,
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* $A_2 = B_2 = 0$,
 
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* $A_3 = 0.8, \ B_3 = 0.6$,
:* <i>B</i><sub>1</sub> = <i>A</i><sub>2</sub> = 0,
 
 
 
:* <i>A</i><sub>3</sub> = 0.8, <i>B</i><sub>3</sub> = 0.6.
 
  
:Dieser Parametersatz wird für die Teilaufgabe (3) vorausgesetzt.
 
  
:Der Korrelationskoeffizient <i>&rho;<sub>ij</sub></i> zwischen den Zufallsgrößen <i>x<sub>i</sub></i> und <i>x<sub>j</sub></i> wird wie folgt angegeben:
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Der Korrelationskoeffizient&nbsp; $\rho_{ij}$&nbsp; zwischen den Zufallsgrößen&nbsp; $x_i$&nbsp; und&nbsp; $x_j$&nbsp; wird wie folgt angegeben:
 
:$$\rho_{ij} = \frac{A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j}{\sqrt{(A_i^2 +
 
:$$\rho_{ij} = \frac{A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j}{\sqrt{(A_i^2 +
 
B_i^2)(A_j^2 + B_j^2)}} = A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j.$$
 
B_i^2)(A_j^2 + B_j^2)}} = A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j.$$
  
: Unter der hier implizit getroffenen Annahme <i>&sigma;</i><sub>1</sub><sup>2</sup> = <i>&sigma;</i><sub>2</sub><sup>2</sup> = <i>&sigma;</i><sub>3</sub><sup>2</sup> = 1 lautet die Kovarianzmatrix <b>K</b>, die bei mittelwertfreien Zufallsgrößen identisch mit der Korrelationsmatrix <b>R</b> ist:
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Unter der hier implizit getroffenen Annahme&nbsp; $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$&nbsp; lautet die Kovarianzmatrix&nbsp; $\mathbf{K}$:
 
:$${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc}
 
:$${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc}
 
1 & \rho_{12} &  \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\
 
1 & \rho_{12} &  \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\
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\end{array} \right] .$$
 
\end{array} \right] .$$
  
:<b>Hinweis:</b> Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 4.7. Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den folgenden Seiten:<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Determinante einer Matrix,<br> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Inverse einer Matrix.
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Diese ist bei mittelwertfreien Zufallsgrößen identisch mit der Korrelationsmatrix&nbsp; $\mathbf{R}$.
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''Hinweise:''
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen|Verallgemeinerung auf ''N''-dimensionale Zufallsgrößen]].
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*Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix|Determinante einer Matrix]]&nbsp; sowie &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix|Inverse einer Matrix]].  
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{Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend? Begründung.
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{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? Begründen Sie Ihre Ergebnisse.
 
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- <b>K</b> kann geeigneter Wahl von <i>A</i><sub>1</sub>, ... , <i>B</i><sub>3</sub> eine Diagonalmatrix sein. Oder anders ausgedrückt: <i>&rho;</i><sub>12</sub> = <i>&rho;</i><sub>13</sub> = <i>&rho;</i><sub>23</sub> = 0 ist möglich.
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- $\mathbf{K}$&nbsp; kann bei geeigneter Wahl von&nbsp; $A_1$, ... , $B_3$&nbsp; eine Diagonalmatrix sein.&nbsp; Oder anders ausgedrückt: &nbsp; $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$&nbsp; ist möglich.
+ Bei geeigneter Wahl der Parameter <i>A</i><sub>1</sub>, ... , <i>B</i><sub>3</sub> kann genau einer der Korrelationskoeffizienten <i>&rho;<sub>ij</sub></i> gleich 0 sein.
+
+ Bei geeigneter Wahl der Parameter&nbsp; $A_1$, ... , $B_3$&nbsp; kann genau einer der Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{ij} = 0$&nbsp; sein.
- Bei geeigneter Wahl der Parameter <i>A</i><sub>1</sub>, ... , <i>B</i><sub>3</sub> können genau zwei der Korrelationskoeffizienten <i>&rho;<sub>ij</sub></i> gleich 0 sein.
+
- Bei geeigneter Wahl der Parameter&nbsp; $A_1$, ... , $B_3$&nbsp; können genau zwei der Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{ij} = 0$&nbsp; sein.
+ Bei geeigneter Wahl der Parameter <i>A</i><sub>1</sub>, ... , <i>B</i><sub>3</sub> können alle drei Korrelationskoeffizienten <i>&rho;<sub>ij</sub></i> ungleich 0 sein.
+
+ Bei geeigneter Wahl der Parameter&nbsp; $A_1$, ... , $B_3$&nbsp; können alle drei Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{ij} \ne 0$&nbsp; sein.
  
  
{Wie lauten die Matrixelemente mit <i>A</i><sub>1</sub> = <i>A</i><sub>2</sub> = &ndash;<i>A</i><sub>3</sub> und <i>B</i><sub>1</sub> = <i>B</i><sub>2</sub> = &ndash;<i>B</i><sub>3</sub>?
+
{Wie lauten die Matrixelemente von&nbsp; $\mathbf{K}$&nbsp; mit&nbsp; $A_1 = A_2 = - A_3$&nbsp; und&nbsp; $B_1 = B_2 = - B_3$&nbsp;?
 
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$\rho_\text{12}$ = { 1 3% }
+
$\rho_{12} \ = \ $ { 1 3% }
$\rho_\text{13}$ = - { 1 3% }
+
$\rho_{13} \ = \ $ { -1.03--0.97 }
$\rho_\text{23}$ = - { 1 3% }
+
$\rho_{23} \ = \ $ { -1.03--0.97 }
  
  
{Berechnen Sie die Koeffizienten <i>&rho;<sub>ij</sub></i> für den in der Grafik dargestellten Fall, also für &nbsp;&nbsp; <i>A</i><sub>1</sub> = 1, <i>B</i> <sub>1</sub> = 0; <i>A</i><sub>2</sub> = 0, <i>B</i><sub>2</sub> = 1; <i>A</i><sub>3</sub> = 0.8, <i>B</i><sub>3</sub> = 0.6.
+
{Berechnen Sie die Koeffizienten&nbsp; $\rho_{ij}$&nbsp; für den in der Grafik dargestellten Fall:&nbsp; $A_1 = 1$,&nbsp; $B_1 = 0$,&nbsp; $A_2 = 0$,&nbsp; $B_2 = 1$,&nbsp; $A_3 = 0.8$,&nbsp; $B_3 = 0.6$.
 
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$\rho_\text{12}$ = { 0 3% }
+
$\rho_{12} \ =  \ $ { 0. }
$\rho_\text{13}$ = { 0.8 3% }
+
$\rho_{13} \ =  \ ${ 0.8 3% }
$\rho_\text{23}$ = { 0.6 3% }
+
$\rho_{23} \ =  \ $ { 0.6 3% }
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
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:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Die <u>zweite und die letzte Aussage</u> treffen zu. Aussage 2 beschreibt den in der Grafik betrachteten Fall, dass zwei Größen (hier: <i>x</i><sub>1</sub> und <i>x</i><sub>2</sub>) unkorreliert sind, während <i>x</i><sub>3</sub> statistische Bindungen bezüglich <i>x</i><sub>1</sub> (über die Größe <i>u</i>) und auch in Bezug zu <i>x<sub>2</sub></i> (bedingt durch die Zufallsgröße <i>v</i>) aufweist.
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'''(1)'''&nbsp; Nur die <u>zweite und die letzte Aussage</u> treffen zu:
 
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*Die Aussage 2 beschreibt den in der Grafik betrachteten Fall, dass zwei Größen&nbsp; $($hier: &nbsp; $x_1$&nbsp; und&nbsp; $x_2)$&nbsp; unkorreliert sind, während&nbsp; $x_3$&nbsp; statistische Bindungen bezüglich&nbsp; $x_1$&nbsp; $($über die Größe&nbsp; $u)$&nbsp; und auch in Bezug zu&nbsp; $x_3$&nbsp; $($bedingt durch die Zufallsgröße $v)$&nbsp; aufweist.
:Die Kombination <i>&rho;</i><sub>12</sub> = <i>&rho;</i><sub>13</sub> = <i>&rho;</i><sub>23</sub> = 0 ist bei der hier gegebenen Struktur dagegen nicht möglich. Dazu würde man eine dritte statistisch unabhängige Zufallsgröße <i>w</i> benötigen und es müsste beispielsweise <i>x</i><sub>1</sub> = <i>u</i>, <i>x</i><sub>2</sub> = <i>&upsilon;</i> und <i>x</i><sub>3</sub> = <i>w</i> gelten.
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*Die Kombination&nbsp; $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ &nbsp; ist bei der hier gegebenen Struktur dagegen nicht möglich.&nbsp; Dazu würde man eine dritte statistisch unabhängige Zufallsgröße&nbsp; $w$&nbsp; benötigen und es müsste beispielsweise &nbsp;$x_1 = k_1 \cdot u$&nbsp;, &nbsp;$x_2 = k_2 \cdot v$&nbsp; und &nbsp;$x_3 = k_3 \cdot w$&nbsp; gelten.
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*Die dritte Aussage ist ebenfalls nicht zutreffend:&nbsp; Sind&nbsp; $x_1$&nbsp; und&nbsp; $x_2$&nbsp; unkorreliert und gleichzeitig auch&nbsp; $x_1$&nbsp; und&nbsp; $x_3$, so können auch zwischen&nbsp; $x_2$&nbsp; und&nbsp; $x_3$&nbsp; keine statistischen Bindungen bestehen.
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*Im Allgemeinen werden allerdings sowohl&nbsp; $\rho_{12}$&nbsp; als auch&nbsp; $\rho_{13}$&nbsp; und&nbsp; $\rho_{23}$&nbsp; von Null verschieden sein.
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*Ein ganz einfaches Beispiel hierfür wird in der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; betrachtet.
  
:Die dritte Aussage ist ebenfalls nicht zutreffend: Sind <i>x</i><sub>1</sub> und <i>x</i><sub>2</sub> unkorreliert und gleichzeitig auch <i>x</i><sub>1</sub> und <i>x</i><sub>3</sub>, so können auch zwischen <i>x</i><sub>2</sub> und <i>x</i><sub>3</sub> keine statistischen Bindungen bestehen.
 
  
:Im Allgemeinen werden allerdings sowohl <i>&rho;</i><sub>12</sub> als auch <i>&rho;</i><sub>13</sub> und <i>&rho;</i><sub>23</sub> von 0 verschieden sein. Ein ganz einfaches Beispiel hierfür wird in der Teilaufgabe 2) betrachtet.
 
  
:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;In diesem Fall sind die Größen <i>x</i><sub>1</sub> = <i>x</i><sub>2</sub> vollständig (zu 100%) korreliert. Mit <i>A</i><sub>2</sub> = <i>A</i><sub>1</sub> und <i>B</i><sub>2</sub> = <i>B</i><sub>1</sub> erhält man für den gemeinsamen Korrelationskoeffizienten:
+
'''(2)'''&nbsp; In diesem Fall sind die Größen &nbsp;$x_1 = x_2$&nbsp; vollständig&nbsp; $($zu&nbsp; $100\%)$&nbsp; korreliert.  
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*Mit&nbsp; $A_2 = A_1$&nbsp; und&nbsp; $B_2 = B_1$&nbsp; erhält man für den gemeinsamen Korrelationskoeffizienten:
 
:$$\rho_{12} =  A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 = A_1^2 + B_1^2  \hspace{0.15cm}\underline{=1}.$$
 
:$$\rho_{12} =  A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 = A_1^2 + B_1^2  \hspace{0.15cm}\underline{=1}.$$
  
:In gleicher Weise gilt mit <i>A</i><sub>3</sub> = &ndash;<i>A</i><sub>1</sub> und <i>B</i><sub>3</sub> = &ndash;<i>B</i><sub>1</sub>:
+
*In gleicher Weise gilt mit&nbsp; $A_3 = -A_1$&nbsp; und &nbsp;$B_3 = -B_1$:
 
:$$\rho_{13} =  A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = -(A_1^2 + B_1^2)  \hspace{0.15cm}\underline{=-1
 
:$$\rho_{13} =  A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = -(A_1^2 + B_1^2)  \hspace{0.15cm}\underline{=-1
 
\hspace{0.1cm}(= \rho_{23})}.$$
 
\hspace{0.1cm}(= \rho_{23})}.$$
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Mit diesem Parametersatz ist <i>x</i><sub>1</sub> identisch mit der Zufallsgröße <i>u</i>, während <i>x</i><sub>2</sub> = <i>&upsilon;</i> gilt. Da <i>u</i> und <i>&upsilon;</i> statistisch voneinander unabhängig sind, ergibt sich <u><i>&rho;</i><sub>12</sub> = 0</u>. Demgegenüber gilt für die beiden weiteren Korrelationskoeffizienten:
+
 
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'''(3)'''&nbsp; Mit diesem Parametersatz ist&nbsp; $x_1$&nbsp; identisch mit der Zufallsgröße&nbsp; $u$, während&nbsp; $x_2 = v$&nbsp; gilt.  
 +
*Da&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; statistisch voneinander unabhängig sind, ergibt sich&nbsp; $\rho_{12} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$
 +
*Demgegenüber gilt für die beiden weiteren Korrelationskoeffizienten:
 
:$$\rho_{13} =  A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = 1 \cdot 0.8 + 0 \cdot
 
:$$\rho_{13} =  A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = 1 \cdot 0.8 + 0 \cdot
0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8}.$$
+
0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8},$$
 +
:$$\rho_{23} =  A_2 \cdot A_3 + B_2 \cdot B_3 = 0 \cdot 0.8 + 1 \cdot
 +
0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.6}.$$
  
:Für ein (sehr gut) geschultes Auge ist aus der Grafik auf der Angabenseite zu erkennen, dass das Signal <i>x</i><sub>3</sub>(t) mehr Ähnlichkeiten mit <i>x</i><sub>1</sub>(t) aufweist als mit <i>x</i><sub>2</sub>(t). Diese Tatsache drücken auch die berechneten Korrelationskoeffizienten aus.
+
*Für ein (sehr gut) geschultes Auge ist aus der Grafik auf der Angabenseite zu erkennen, dass das Signal&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; mehr Ähnlichkeiten mit&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; aufweist als mit&nbsp; $x_2(t)$.  
 +
*Diese Tatsache drücken auch die berechneten Korrelationskoeffizienten aus.
 +
*Seien Sie aber nicht frustriert, wenn Sie die unterschiedliche Korrelation in den Signalverläufen nicht erkennen.
  
 
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Version vom 5. Dezember 2019, 15:21 Uhr

Sind die Zufallssignale korreliert?

Gegeben seien die beiden Gaußschen Zufallsgrößen  $u$  und  $v$, jeweils mittelwertfrei und mit Varianz  $\sigma^2 = 1$.

Daraus werden durch Linearkombination drei neue Zufallsgrößen gebildet:

$$x_1 = A_1 \cdot u + B_1 \cdot v,$$
$$x_2 = A_2 \cdot u + B_2 \cdot v,$$
$$x_3 = A_3 \cdot u + B_3 \cdot v.$$

Vorausgesetzt wird, dass in allen betrachteten Fällen  $(i = 1, 2, 3)$  gilt:

$$A_i^2 + B_i^2 =1.$$

Die Grafik zeigt die Signale $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$ für den Fall, der in der Teilaufgabe  (3)  betrachtet werden soll:

  • $A_1 = B_2 = 1$,
  • $A_2 = B_2 = 0$,
  • $A_3 = 0.8, \ B_3 = 0.6$,


Der Korrelationskoeffizient  $\rho_{ij}$  zwischen den Zufallsgrößen  $x_i$  und  $x_j$  wird wie folgt angegeben:

$$\rho_{ij} = \frac{A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j}{\sqrt{(A_i^2 + B_i^2)(A_j^2 + B_j^2)}} = A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j.$$

Unter der hier implizit getroffenen Annahme  $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$  lautet die Kovarianzmatrix  $\mathbf{K}$:

$${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & \rho_{12} & \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\ \rho_{13} & \rho_{23} & 1 \end{array} \right] .$$

Diese ist bei mittelwertfreien Zufallsgrößen identisch mit der Korrelationsmatrix  $\mathbf{R}$.





Hinweise:



Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? Begründen Sie Ihre Ergebnisse.

$\mathbf{K}$  kann bei geeigneter Wahl von  $A_1$, ... , $B_3$  eine Diagonalmatrix sein.  Oder anders ausgedrückt:   $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$  ist möglich.
Bei geeigneter Wahl der Parameter  $A_1$, ... , $B_3$  kann genau einer der Korrelationskoeffizienten  $\rho_{ij} = 0$  sein.
Bei geeigneter Wahl der Parameter  $A_1$, ... , $B_3$  können genau zwei der Korrelationskoeffizienten  $\rho_{ij} = 0$  sein.
Bei geeigneter Wahl der Parameter  $A_1$, ... , $B_3$  können alle drei Korrelationskoeffizienten  $\rho_{ij} \ne 0$  sein.

2

Wie lauten die Matrixelemente von  $\mathbf{K}$  mit  $A_1 = A_2 = - A_3$  und  $B_1 = B_2 = - B_3$ ?

$\rho_{12} \ = \ $

$\rho_{13} \ = \ $

$\rho_{23} \ = \ $

3

Berechnen Sie die Koeffizienten  $\rho_{ij}$  für den in der Grafik dargestellten Fall:  $A_1 = 1$,  $B_1 = 0$,  $A_2 = 0$,  $B_2 = 1$,  $A_3 = 0.8$,  $B_3 = 0.6$.

$\rho_{12} \ = \ $

$\rho_{13} \ = \ $

$\rho_{23} \ = \ $


Musterlösung

(1)  Nur die zweite und die letzte Aussage treffen zu:

  • Die Aussage 2 beschreibt den in der Grafik betrachteten Fall, dass zwei Größen  $($hier:   $x_1$  und  $x_2)$  unkorreliert sind, während  $x_3$  statistische Bindungen bezüglich  $x_1$  $($über die Größe  $u)$  und auch in Bezug zu  $x_3$  $($bedingt durch die Zufallsgröße $v)$  aufweist.
  • Die Kombination  $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$   ist bei der hier gegebenen Struktur dagegen nicht möglich.  Dazu würde man eine dritte statistisch unabhängige Zufallsgröße  $w$  benötigen und es müsste beispielsweise  $x_1 = k_1 \cdot u$ ,  $x_2 = k_2 \cdot v$  und  $x_3 = k_3 \cdot w$  gelten.
  • Die dritte Aussage ist ebenfalls nicht zutreffend:  Sind  $x_1$  und  $x_2$  unkorreliert und gleichzeitig auch  $x_1$  und  $x_3$, so können auch zwischen  $x_2$  und  $x_3$  keine statistischen Bindungen bestehen.
  • Im Allgemeinen werden allerdings sowohl  $\rho_{12}$  als auch  $\rho_{13}$  und  $\rho_{23}$  von Null verschieden sein.
  • Ein ganz einfaches Beispiel hierfür wird in der Teilaufgabe  (2)  betrachtet.


(2)  In diesem Fall sind die Größen  $x_1 = x_2$  vollständig  $($zu  $100\%)$  korreliert.

  • Mit  $A_2 = A_1$  und  $B_2 = B_1$  erhält man für den gemeinsamen Korrelationskoeffizienten:
$$\rho_{12} = A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 = A_1^2 + B_1^2 \hspace{0.15cm}\underline{=1}.$$
  • In gleicher Weise gilt mit  $A_3 = -A_1$  und  $B_3 = -B_1$:
$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = -(A_1^2 + B_1^2) \hspace{0.15cm}\underline{=-1 \hspace{0.1cm}(= \rho_{23})}.$$


(3)  Mit diesem Parametersatz ist  $x_1$  identisch mit der Zufallsgröße  $u$, während  $x_2 = v$  gilt.

  • Da  $u$  und  $v$  statistisch voneinander unabhängig sind, ergibt sich  $\rho_{12} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$
  • Demgegenüber gilt für die beiden weiteren Korrelationskoeffizienten:
$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = 1 \cdot 0.8 + 0 \cdot 0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8},$$
$$\rho_{23} = A_2 \cdot A_3 + B_2 \cdot B_3 = 0 \cdot 0.8 + 1 \cdot 0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.6}.$$
  • Für ein (sehr gut) geschultes Auge ist aus der Grafik auf der Angabenseite zu erkennen, dass das Signal  $x_3(t)$  mehr Ähnlichkeiten mit  $x_1(t)$  aufweist als mit  $x_2(t)$.
  • Diese Tatsache drücken auch die berechneten Korrelationskoeffizienten aus.
  • Seien Sie aber nicht frustriert, wenn Sie die unterschiedliche Korrelation in den Signalverläufen nicht erkennen.