Aufgabe 4.15: Optimale Signalraumbelegung

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Betrachtete 8–QAM

Betrachtet wird hier eine Signalraumkonstellation mit $M = 8$ Signalraumpunkten:

  • Vier Punkte liegen auf einem Kreis mit Radius $r = 1$.
  • Vier weitere Punkte liegen um $45^°$ versetzt auf einem zweiten Kreis mit Radius $R$, wobei gelten soll:
$$R_{\rm min} \le R \le R_{\rm max}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} R_{\rm min}= \frac{ \sqrt{3}-1}{ \sqrt{2}} \approx 0.518 \hspace{0.05cm},$$
$$R_{\rm max}= \frac{ \sqrt{3}+1}{ \sqrt{2}} \approx 1.932\hspace{0.05cm}.$$

Die beiden Achsen (Basisfunktionen) seien jeweils normiert und werden vereinfachend mit $I$ und $Q$ bezeichnet. Zur weiteren Vereinfachung kann $E = 1$ gesetzt werden.

Im Fragebogen wird von blauen und roten Punkten gesprochen. Entsprechend der Grafik liegen die blauen Punkte auf dem Kreis mit Radius $r = 1$, die roten auf dem Kreis mit Radius $R$. Gezeichnet ist der Fall $R = R_{\rm max}$.

Der Systemparameter $R$ soll in dieser Aufgabe so bestimmt werden, dass der Quotient

$$\eta = \frac{ (d_{\rm min}/2)^2}{ E_{\rm B}} $$

maximal wird. $\eta$ ist ein Maß für die Güte eines Modulationsalphabets bei gegebener Sendeenergie pro Bit (Power Efficiency). Es berechnet sich aus

  • der minimalen Distanz $d_{\rm min}$, und
  • der Bitenergie $E_{\rm B}$.


Es ist darauf zu achten, dass $d_{\rm min}^2$ und $E_{\rm B}$ in gleicher Weise normiert sind, was aber bereits durch die Aufgabenstellung implizit gegeben ist.

Hinweis:


Fragebogen

1

Multiple-Choice

correct
false

2

Input-Box Frage

$xyz$ =

$ab$


Musterlösung

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)