Aufgaben:Aufgabe 4.15: Optimale Signalraumbelegung: Unterschied zwischen den Versionen

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Betrachtet wird hier eine Signalraumkonstellation mit $M = 8$ Signalraumpunkten:
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Betrachtet wird hier eine Signalraumkonstellation mit  $M = 8$  Signalraumpunkten:
* Vier Punkte liegen auf einem Kreis mit Radius $r = 1$.
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* Vier Punkte liegen auf einem Kreis mit Radius  $r = 1$.
* Vier weitere Punkte liegen um $45^\circ$ versetzt auf einem zweiten Kreis mit Radius $R$, wobei gelten soll:
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* Vier weitere Punkte liegen um  $45^\circ$  versetzt auf einem zweiten Kreis mit Radius  $R$, wobei gelten soll:
 
:$$R_{\rm min} \le R \le R_{\rm max}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} R_{\rm min}=  \frac{ \sqrt{3}-1}{ \sqrt{2}} \approx 0.518
 
:$$R_{\rm min} \le R \le R_{\rm max}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} R_{\rm min}=  \frac{ \sqrt{3}-1}{ \sqrt{2}} \approx 0.518
 
  \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}  
 
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R_{\rm max}=  \frac{ \sqrt{3}+1}{ \sqrt{2}} \approx 1.932\hspace{0.05cm}.$$
 
R_{\rm max}=  \frac{ \sqrt{3}+1}{ \sqrt{2}} \approx 1.932\hspace{0.05cm}.$$
  
Die beiden Achsen (Basisfunktionen) seien jeweils normiert und werden vereinfachend mit $I$ und $Q$ bezeichnet. Zur weiteren Vereinfachung kann $E = 1$ gesetzt werden.
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Die beiden Achsen (Basisfunktionen) seien jeweils normiert und werden vereinfachend mit  $I$  und  $Q$  bezeichnet. Zur weiteren Vereinfachung kann  $E = 1$  gesetzt werden.
  
Im Fragebogen wird von blauen und roten Punkten gesprochen. Entsprechend der Grafik liegen die blauen Punkte auf dem Kreis mit Radius $r = 1$, die roten auf dem Kreis mit Radius $R$. Gezeichnet ist der Fall $R = R_{\rm max}$.
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Im Fragebogen wird von blauen und roten Punkten gesprochen. Entsprechend der Grafik liegen die blauen Punkte auf dem Kreis mit Radius  $r = 1$, die roten auf dem Kreis mit Radius  $R$. Gezeichnet ist der Fall  $R = R_{\rm max}$.
  
Der Systemparameter $R$ soll in dieser Aufgabe so bestimmt werden, dass der Quotient
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Der Systemparameter  $R$  soll in dieser Aufgabe so bestimmt werden, dass der Quotient
 
:$$\eta = \frac{ (d_{\rm min}/2)^2}{ E_{\rm B}} $$
 
:$$\eta = \frac{ (d_{\rm min}/2)^2}{ E_{\rm B}} $$
  
maximal wird. $\eta$ ist ein Maß für die Güte eines Modulationsalphabets bei gegebener Sendeenergie pro Bit (<i>Power Efficiency</i>). Es berechnet sich aus
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maximal wird. $\eta$&nbsp; ist ein Maß für die Güte eines Modulationsalphabets bei gegebener Sendeenergie pro Bit (&bdquo;Power Efficiency&rdquo;). Es berechnet sich aus
* der minimalen Distanz $d_{\rm min}$, und
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* der minimalen Distanz&nbsp; $d_{\rm min}$, und
* der Bitenergie $E_{\rm B}$.
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* der Bitenergie&nbsp; $E_{\rm B}$.
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Es ist darauf zu achten, dass&nbsp; $d_{\rm min}^2$&nbsp; und&nbsp; $E_{\rm B}$&nbsp; in gleicher Weise normiert sind, was aber bereits durch die Aufgabenstellung implizit vorgegeben ist.
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Es ist darauf zu achten, dass $d_{\rm min}^2$ und $E_{\rm B}$ in gleicher Weise normiert sind, was aber bereits durch die Aufgabenstellung implizit gegeben ist.
 
  
  
 
''Hinweise:''
 
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* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation]].  
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* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation]].  
* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29| Quadraturamplitudenmodulation]] und  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Mehrstufiges_Phase.E2.80.93Shift_Keying_.28M.E2.80.93PSK.29|Mehrstufige Phasenmodulation]].
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* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29| Quadraturamplitudenmodulation]]&nbsp; und&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Mehrstufiges_Phase.E2.80.93Shift_Keying_.28M.E2.80.93PSK.29|Mehrstufige Phasenmodulation]].
* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
 
<quiz display=simple>
 
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{Berechnen Sie die mittlere Energie $E_{\rm B}$ pro Bit abhängig von $R$, insbesondere für $R = 1$ und $R = \sqrt{2}$.
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{Berechnen Sie die mittlere Energie&nbsp; $E_{\rm B}$&nbsp; pro Bit abhängig von&nbsp; $R$, insbesondere für&nbsp; $R = 1$&nbsp; und&nbsp; $R = \sqrt{2}$.
 
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$R = 1 \text{:} \hspace{0.55cm} E_{\rm B}\  = \ $ { 0.333 3% }
 
$R = 1 \text{:} \hspace{0.55cm} E_{\rm B}\  = \ $ { 0.333 3% }
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{Welche Aussagen gelten für den minimalen Abstand zweier Signalraumpunkte?
 
{Welche Aussagen gelten für den minimalen Abstand zweier Signalraumpunkte?
 
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+ Für $R < R_{\rm min}$ tritt die minimale Distanz zwischen zwei roten Punkten auf.
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+ Für&nbsp; $R < R_{\rm min}$&nbsp; tritt die minimale Distanz zwischen zwei roten Punkten auf.
+ Für $R > R_{\rm max}$ tritt die minimale Distanz zwischen zwei blauen Punkten auf.
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+ Für&nbsp; $R > R_{\rm max}$&nbsp; tritt die minimale Distanz zwischen zwei blauen Punkten auf.
+ Für $R_{\rm min} &#8804; R &#8804; R_{\rm max}$ tritt die minimale Distanz zwischen &bdquo;Rot&rdquo; und &bdquo;Blau&rdquo; auf.
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+ Für&nbsp; $R_{\rm min} &#8804; R &#8804; R_{\rm max}$&nbsp; tritt die minimale Distanz zwischen &bdquo;Rot&rdquo; und &bdquo;Blau&rdquo; auf.
  
{Berechnen Sie die minimale Distanz abhängig von $R$, insbesondere für
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{Berechnen Sie die minimale Distanz abhängig von&nbsp; $R$, insbesondere für
 
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$R = 1 \text{:} \hspace{0.55cm} d_{\rm min}\ = \ $ { 0.765 3% }
 
$R = 1 \text{:} \hspace{0.55cm} d_{\rm min}\ = \ $ { 0.765 3% }
 
$R = \sqrt{2} \text{:} \hspace{0.2cm} d_{\rm min}\ = \ $ { 1 3% }
 
$R = \sqrt{2} \text{:} \hspace{0.2cm} d_{\rm min}\ = \ $ { 1 3% }
  
{Geben Sie die Leistungseffizienz $\eta$ allgemein an. Welches $\eta$ ergibt sich für $R = 1$?
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{Geben Sie die Leistungseffizienz&nbsp; $\eta$&nbsp; allgemein an. Welches&nbsp; $\eta$&nbsp; ergibt sich für&nbsp; $R = 1$?
 
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$\eta\ = \ $ { 0.439 3% }
 
$\eta\ = \ $ { 0.439 3% }
  
{Welche Leistungseffizienzwerte ergeben sich für $R = R_{\rm min}$ und $R = R_{\rm max}$? Interpretation.
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{Welche Leistungseffizienzwerte ergeben sich für&nbsp; $R = R_{\rm min}$&nbsp; und&nbsp; $R = R_{\rm max}$? Interpretation.
 
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$R = R_{\rm min} \text{:} \hspace{0.35cm} \eta\ = \ ${ 0.634 3% }
 
$R = R_{\rm min} \text{:} \hspace{0.35cm} \eta\ = \ ${ 0.634 3% }
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{{ML-Kopf}}
 
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'''(1)'''&nbsp; Wegen $M = 8$ &nbsp;&#8658;&nbsp; $b = 3$ gilt für die mittlere Signalenergie pro Bit $E_{\rm B} = E_{\rm S}/3$, wobei die mittlere Signalenergie pro Symbol ($E_{\rm S}$) als der mittlere quadratische Abstand der Signalraumpunkte vom Ursprung zu berechnen ist. Mit $r = 1$ erhält man:
 
'''(1)'''&nbsp; Wegen $M = 8$ &nbsp;&#8658;&nbsp; $b = 3$ gilt für die mittlere Signalenergie pro Bit $E_{\rm B} = E_{\rm S}/3$, wobei die mittlere Signalenergie pro Symbol ($E_{\rm S}$) als der mittlere quadratische Abstand der Signalraumpunkte vom Ursprung zu berechnen ist. Mit $r = 1$ erhält man:
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:$$E_{\rm S} = {1}/{8  } \cdot ( 4 \cdot r^2 + 4 \cdot R^2) = ({1 +  R^2})/{2  }
 
:$$E_{\rm S} = {1}/{8  } \cdot ( 4 \cdot r^2 + 4 \cdot R^2) = ({1 +  R^2})/{2  }
 
  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} E_{\rm B} = {E_{\rm S}}/{3} = ({1 +  R^2})/{6}  
 
  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} E_{\rm B} = {E_{\rm S}}/{3} = ({1 +  R^2})/{6}  
 
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Insbesondere gilt:
 
Insbesondere gilt:
* Für $R = 1$ ergibt sich eine 8&ndash;PSK und entsprechend $E_{\rm S} = 1$ und $E_{\rm B} \ \underline {= 1/3}$ (siehe linke Grafik).
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* Für $R = 1$ ergibt sich eine 8&ndash;PSK &nbsp; &rArr; &nbsp; $E_{\rm S} = 1$ und $E_{\rm B} \ \underline {= 0.333}$ (siehe linke Grafik).
* Die rechte Grafik zeigt die Signalraumkonstellation für &bdquo;Wurzel aus 2&rdquo;. In diesem Fall ist $E_{\rm B} \ \underline {= 1/2}$.
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* Die rechte Grafik gilt für $R = \sqrt{2}$. In diesem Fall ist $E_{\rm B} \ \underline {= 0.5}$.
  
  
Anzumerken ist, dass diese Energien eigentlich noch mit der Normierungsenergie zu multiplizieren sind.
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Anzumerken ist, dass diese Energien eigentlich noch mit der Normierungsenergie $E$ zu multiplizieren sind.
  
  
'''(2)'''&nbsp; <u>Alle Aussagen treffen zu</u>. Im gezeichneten Beispiel auf dem Angabenblatt mit $R = R_{\rm max}$ ist der Abstand zwischen zwei benachbarten blauen Punkten genau so groß wie der Abstand zwischen einem roten (äußeren) und einem blauen (inneren) Punkt. Für $R > R_{\rm max}$ ist der Abstand zwischen zwei blauen Punkten am geringsten. Für $R < R_{\rm min}$ tritt der minimale Abstand zwischen zwei roten Punkten auf.
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'''(2)'''&nbsp; <u>Alle Aussagen treffen zu</u>:
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*Im gezeichneten Beispiel auf dem Angabenblatt mit $R = R_{\rm max}$ ist der Abstand zwischen zwei benachbarten blauen Punkten genau so groß wie der Abstand zwischen einem roten (äußeren) und einem blauen (inneren) Punkt.  
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[[Datei:P_ID2074__Dig_A_4_15c.png|right|frame|Zur Berechnung der minimalen Distanz]]
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*Für $R > R_{\rm max}$ ist der Abstand zwischen zwei blauen Punkten am geringsten.  
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*Für $R < R_{\rm min}$ tritt der minimale Abstand zwischen zwei roten Punkten auf.
  
  
'''(3)'''&nbsp; [[Datei:P_ID2074__Dig_A_4_15c.png|right|frame|Zur Berechnung der minimalen Distanz]] Die Grafik verdeutlicht die geometrische Berechnung. Mit dem Satz von Pythagoras erhält man:
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'''(3)'''&nbsp; Die Grafik verdeutlicht die geometrische Berechnung. Mit &bdquo;Pythagoras&rdquo; erhält man:
:$$d_{\rm min}^2 =(R/\sqrt{2})^2 +  (R/\sqrt{2}-1)^2 = 1 - \sqrt{2} \cdot R + R^2  $$
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:$$d_{\rm min}^2 =(R/\sqrt{2})^2 +  (R/\sqrt{2}-1)^2 = 1 - \sqrt{2} \cdot R + R^2  \hspace{0.3cm}
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}d_{\rm min} = \sqrt{ 1 - \sqrt{2} \cdot R + R^2}   
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\Rightarrow \hspace{0.3cm}d_{\rm min} = \sqrt{ 1 - \sqrt{2} \cdot R + R^2}   
 
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Dagegen ist für $\underline {R = &bdquo;{\rm Wurzel \ aus \ 2}&rdquo;}$ die minimale Distanz $d_{\rm min} \ \underline {= 1}$ (siehe rechte Grafik zur Teilaufgabe (1)).
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Dagegen ist für $\underline {R = \sqrt{2}}$ entsprechend der rechten Grafik zur Teilaufgabe '''(1)''' die minimale Distanz $d_{\rm min} \ \underline {= 1}$.
  
  
 
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'''(4)'''&nbsp; Mit den Ergebnissen von '''(1)''' und '''(3)''' erhält man allgemein bzw. für $R = 1$ (8&ndash;PSK):
'''(4)'''&nbsp; Mit den Ergebnissen der Teilaufgaben (1) und (3) erhält man allgemein bzw. für $R = 1$ (8&ndash;PSK):
 
 
:$$\eta = \frac{ d_{\rm min}^2}{ 4 \cdot E_{\rm B}} = \frac{ 1 - \sqrt{2} \cdot R + R^2}{ 4 \cdot (1 +  R^2)/6}
 
:$$\eta = \frac{ d_{\rm min}^2}{ 4 \cdot E_{\rm B}} = \frac{ 1 - \sqrt{2} \cdot R + R^2}{ 4 \cdot (1 +  R^2)/6}
  = \frac{ 3/2 \cdot(1 - \sqrt{2} \cdot R + R^2)}{ 1 +  R^2}$$
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  = \frac{ 3/2 \cdot(1 - \sqrt{2} \cdot R + R^2)}{ 1 +  R^2}\hspace{0.3cm}
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} R = 1: \hspace{0.2cm}\eta =  
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\Rightarrow \hspace{0.3cm} R = 1: \hspace{0.2cm}\eta =  
 
   \frac{ 3/2 \cdot(2 - \sqrt{2}) }{ 2} = 3/4 \cdot(2 - \sqrt{2})\hspace{0.1cm}  \underline{\approx 0.439}\hspace{0.05cm}.$$
 
   \frac{ 3/2 \cdot(2 - \sqrt{2}) }{ 2} = 3/4 \cdot(2 - \sqrt{2})\hspace{0.1cm}  \underline{\approx 0.439}\hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''(5)'''&nbsp; Für $R = R_{\rm min}$ ergibt sich folgender Wert:
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'''(5)'''&nbsp; Für $R = R_{\rm min} = (\sqrt{3}-1)/\sqrt{2}$ ergibt sich folgender Wert:
 
:$$\eta =  \frac{ 3/2 \cdot(1 - \sqrt{2} \cdot R + R^2)}{ 1 +  R^2} = 3/2 \cdot \left [ 1 - \frac{  \sqrt{2} \cdot R }{ 1 +  R^2}\right ]\hspace{0.05cm},$$
 
:$$\eta =  \frac{ 3/2 \cdot(1 - \sqrt{2} \cdot R + R^2)}{ 1 +  R^2} = 3/2 \cdot \left [ 1 - \frac{  \sqrt{2} \cdot R }{ 1 +  R^2}\right ]\hspace{0.05cm},$$
 
:$$\sqrt{2} \cdot R = \sqrt{3}- 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 1 +  R^2 = 3 - \sqrt{3} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
:$$\sqrt{2} \cdot R = \sqrt{3}- 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 1 +  R^2 = 3 - \sqrt{3} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
  \eta =  3/2 \cdot \left [ 1 - \frac{  \sqrt{3}- 1 }{ 3 - \sqrt{3}}\right ]\hspace{0.1cm} \underline{\approx  0.634}\hspace{0.05cm}.$$
 
  \eta =  3/2 \cdot \left [ 1 - \frac{  \sqrt{3}- 1 }{ 3 - \sqrt{3}}\right ]\hspace{0.1cm} \underline{\approx  0.634}\hspace{0.05cm}.$$
  
Für $R = R_{\rm max}$ ergibt sich genau der gleiche Wert.
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Für $R = R_{\rm max}= (\sqrt{3}+1)/\sqrt{2}$ ergibt sich genau der gleiche Wert.
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*Das (stets gewünschte) Maximum der Leistungseffizienz $\eta$ ergibt sich beispielsweise für $R = R_{\rm max}$ &ndash; also für die Signalraumkonstellation auf dem Angabenblatt.
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*In diesem Fall sind alle Dreiecke aus zwei benachbarten blauen Punkten und dem dazwischenliegenden roten Punkt gleichseitig.
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*Auch für $R = R_{\rm min}$ ergeben sich gleichseitige Dreiecke, jetzt aber jeweils gebildet durch zwei rotee und einen blauen Punkt.
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*In diesem Fall ist zwar die Kantenlänge $d_{\rm min}$ deutlich kleiner, aber gleichzeitig ergibt sich auch ein kleineres $E_{\rm B}$, so dass die Leistungseffizienz $\eta$ den gleichen Wert besitzt.
  
Das (stets gewünschte) Maximum der Leistungseffizienz $\eta$ ergibt sich beispielsweise für $R = R_{\rm max}$ &ndash; also für die Signalraumkonstellation entsprechend dem Angabenblatt. In diesem Fall sind alle Dreiecke aus zwei benachbarten roten Punkten und dem dazwischenliegenden blauen Punkt gleichseitig. Auch für $R = R_{\rm min}$ ergeben sich gleichseitige Dreiecke, jetzt aber jeweils gebildet durch zwei blaue und einen roten Punkt. In diesem Fall ist zwar die Kantenlänge $d_{\rm min}$ deutlich kleiner, aber gleichzeitig ergibt sich auch ein kleineres $E_{\rm B}$, so dass die Leistungseffizienz $\eta$ den gleichen Wert besitzt.
 
  
Die vorher betrachteten Sonderfälle $R = 1$ (8&ndash;PSK, linke Grafik zur Teilaufgabe (1)) und $R = 2^{\rm 0.5}$ (rechte Grafik) weisen mit $\eta = 0.439$ bzw. $\eta = 0.5$ (gegenüber $\eta = 0.634$) ein merklich kleineres $\eta$ auf.
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Die vorher betrachteten Sonderfälle $R = 1$ (8&ndash;PSK, linke Grafik bei der ersten Teilaufgabe) und $R = \sqrt{2}$ (rechte Grafik) weisen mit $\eta = 0.439$ bzw. $\eta = 0.5$ (gegenüber $\eta = 0.634$) ein merklich kleineres $\eta$ auf.
 
{{ML-Fuß}}
 
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Aktuelle Version vom 15. März 2019, 16:43 Uhr

Betrachtete 8–QAM

Betrachtet wird hier eine Signalraumkonstellation mit  $M = 8$  Signalraumpunkten:

  • Vier Punkte liegen auf einem Kreis mit Radius  $r = 1$.
  • Vier weitere Punkte liegen um  $45^\circ$  versetzt auf einem zweiten Kreis mit Radius  $R$, wobei gelten soll:
$$R_{\rm min} \le R \le R_{\rm max}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} R_{\rm min}= \frac{ \sqrt{3}-1}{ \sqrt{2}} \approx 0.518 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} R_{\rm max}= \frac{ \sqrt{3}+1}{ \sqrt{2}} \approx 1.932\hspace{0.05cm}.$$

Die beiden Achsen (Basisfunktionen) seien jeweils normiert und werden vereinfachend mit  $I$  und  $Q$  bezeichnet. Zur weiteren Vereinfachung kann  $E = 1$  gesetzt werden.

Im Fragebogen wird von blauen und roten Punkten gesprochen. Entsprechend der Grafik liegen die blauen Punkte auf dem Kreis mit Radius  $r = 1$, die roten auf dem Kreis mit Radius  $R$. Gezeichnet ist der Fall  $R = R_{\rm max}$.

Der Systemparameter  $R$  soll in dieser Aufgabe so bestimmt werden, dass der Quotient

$$\eta = \frac{ (d_{\rm min}/2)^2}{ E_{\rm B}} $$

maximal wird. $\eta$  ist ein Maß für die Güte eines Modulationsalphabets bei gegebener Sendeenergie pro Bit („Power Efficiency”). Es berechnet sich aus

  • der minimalen Distanz  $d_{\rm min}$, und
  • der Bitenergie  $E_{\rm B}$.


Es ist darauf zu achten, dass  $d_{\rm min}^2$  und  $E_{\rm B}$  in gleicher Weise normiert sind, was aber bereits durch die Aufgabenstellung implizit vorgegeben ist.



Hinweise:



Fragebogen

1

Berechnen Sie die mittlere Energie  $E_{\rm B}$  pro Bit abhängig von  $R$, insbesondere für  $R = 1$  und  $R = \sqrt{2}$.

$R = 1 \text{:} \hspace{0.55cm} E_{\rm B}\ = \ $

$R = \sqrt{2} \text{:} \hspace{0.2cm} E_{\rm B}\ = \ $

2

Welche Aussagen gelten für den minimalen Abstand zweier Signalraumpunkte?

Für  $R < R_{\rm min}$  tritt die minimale Distanz zwischen zwei roten Punkten auf.
Für  $R > R_{\rm max}$  tritt die minimale Distanz zwischen zwei blauen Punkten auf.
Für  $R_{\rm min} ≤ R ≤ R_{\rm max}$  tritt die minimale Distanz zwischen „Rot” und „Blau” auf.

3

Berechnen Sie die minimale Distanz abhängig von  $R$, insbesondere für

$R = 1 \text{:} \hspace{0.55cm} d_{\rm min}\ = \ $

$R = \sqrt{2} \text{:} \hspace{0.2cm} d_{\rm min}\ = \ $

4

Geben Sie die Leistungseffizienz  $\eta$  allgemein an. Welches  $\eta$  ergibt sich für  $R = 1$?

$\eta\ = \ $

5

Welche Leistungseffizienzwerte ergeben sich für  $R = R_{\rm min}$  und  $R = R_{\rm max}$? Interpretation.

$R = R_{\rm min} \text{:} \hspace{0.35cm} \eta\ = \ $

$R = R_{\rm max} \text{:} \hspace{0.2cm} \eta\ = \ $


Musterlösung

(1)  Wegen $M = 8$  ⇒  $b = 3$ gilt für die mittlere Signalenergie pro Bit $E_{\rm B} = E_{\rm S}/3$, wobei die mittlere Signalenergie pro Symbol ($E_{\rm S}$) als der mittlere quadratische Abstand der Signalraumpunkte vom Ursprung zu berechnen ist. Mit $r = 1$ erhält man:

Sonderfälle der 8–QAM
$$E_{\rm S} = {1}/{8 } \cdot ( 4 \cdot r^2 + 4 \cdot R^2) = ({1 + R^2})/{2 } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} E_{\rm B} = {E_{\rm S}}/{3} = ({1 + R^2})/{6} \hspace{0.05cm}.$$

Insbesondere gilt:

  • Für $R = 1$ ergibt sich eine 8–PSK   ⇒   $E_{\rm S} = 1$ und $E_{\rm B} \ \underline {= 0.333}$ (siehe linke Grafik).
  • Die rechte Grafik gilt für $R = \sqrt{2}$. In diesem Fall ist $E_{\rm B} \ \underline {= 0.5}$.


Anzumerken ist, dass diese Energien eigentlich noch mit der Normierungsenergie $E$ zu multiplizieren sind.


(2)  Alle Aussagen treffen zu:

  • Im gezeichneten Beispiel auf dem Angabenblatt mit $R = R_{\rm max}$ ist der Abstand zwischen zwei benachbarten blauen Punkten genau so groß wie der Abstand zwischen einem roten (äußeren) und einem blauen (inneren) Punkt.
Zur Berechnung der minimalen Distanz
  • Für $R > R_{\rm max}$ ist der Abstand zwischen zwei blauen Punkten am geringsten.
  • Für $R < R_{\rm min}$ tritt der minimale Abstand zwischen zwei roten Punkten auf.


(3)  Die Grafik verdeutlicht die geometrische Berechnung. Mit „Pythagoras” erhält man:

$$d_{\rm min}^2 =(R/\sqrt{2})^2 + (R/\sqrt{2}-1)^2 = 1 - \sqrt{2} \cdot R + R^2 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}d_{\rm min} = \sqrt{ 1 - \sqrt{2} \cdot R + R^2} \hspace{0.05cm}.$$

Insbesondere gilt für $R = 1$ (8–PSK):

$$d_{\rm min} = \sqrt{ 2 - \sqrt{2} } \hspace{0.1cm} \underline{= 0.765} \hspace{0.1cm} (= 2 \cdot \sin (22.5^{\circ}) ) \hspace{0.05cm}.$$

Dagegen ist für $\underline {R = \sqrt{2}}$ entsprechend der rechten Grafik zur Teilaufgabe (1) die minimale Distanz $d_{\rm min} \ \underline {= 1}$.


(4)  Mit den Ergebnissen von (1) und (3) erhält man allgemein bzw. für $R = 1$ (8–PSK):

$$\eta = \frac{ d_{\rm min}^2}{ 4 \cdot E_{\rm B}} = \frac{ 1 - \sqrt{2} \cdot R + R^2}{ 4 \cdot (1 + R^2)/6} = \frac{ 3/2 \cdot(1 - \sqrt{2} \cdot R + R^2)}{ 1 + R^2}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} R = 1: \hspace{0.2cm}\eta = \frac{ 3/2 \cdot(2 - \sqrt{2}) }{ 2} = 3/4 \cdot(2 - \sqrt{2})\hspace{0.1cm} \underline{\approx 0.439}\hspace{0.05cm}.$$


(5)  Für $R = R_{\rm min} = (\sqrt{3}-1)/\sqrt{2}$ ergibt sich folgender Wert:

$$\eta = \frac{ 3/2 \cdot(1 - \sqrt{2} \cdot R + R^2)}{ 1 + R^2} = 3/2 \cdot \left [ 1 - \frac{ \sqrt{2} \cdot R }{ 1 + R^2}\right ]\hspace{0.05cm},$$
$$\sqrt{2} \cdot R = \sqrt{3}- 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 1 + R^2 = 3 - \sqrt{3} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \eta = 3/2 \cdot \left [ 1 - \frac{ \sqrt{3}- 1 }{ 3 - \sqrt{3}}\right ]\hspace{0.1cm} \underline{\approx 0.634}\hspace{0.05cm}.$$

Für $R = R_{\rm max}= (\sqrt{3}+1)/\sqrt{2}$ ergibt sich genau der gleiche Wert.

  • Das (stets gewünschte) Maximum der Leistungseffizienz $\eta$ ergibt sich beispielsweise für $R = R_{\rm max}$ – also für die Signalraumkonstellation auf dem Angabenblatt.
  • In diesem Fall sind alle Dreiecke aus zwei benachbarten blauen Punkten und dem dazwischenliegenden roten Punkt gleichseitig.
  • Auch für $R = R_{\rm min}$ ergeben sich gleichseitige Dreiecke, jetzt aber jeweils gebildet durch zwei rotee und einen blauen Punkt.
  • In diesem Fall ist zwar die Kantenlänge $d_{\rm min}$ deutlich kleiner, aber gleichzeitig ergibt sich auch ein kleineres $E_{\rm B}$, so dass die Leistungseffizienz $\eta$ den gleichen Wert besitzt.


Die vorher betrachteten Sonderfälle $R = 1$ (8–PSK, linke Grafik bei der ersten Teilaufgabe) und $R = \sqrt{2}$ (rechte Grafik) weisen mit $\eta = 0.439$ bzw. $\eta = 0.5$ (gegenüber $\eta = 0.634$) ein merklich kleineres $\eta$ auf.