Aufgaben:Aufgabe 4.14Z: Offset–QPSK vs. MSK: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 28. Juli 2017, 14:08 Uhr

Koeffizientenzuordnung bei O-QPSK und MSK

Eine Realisierungsmöglichkeit für die MSK bietet die Offset–QPSK (kurz: O–QPSK), wie aus den Blockschaltbildern im Theorieteil hervorgeht.

Beim normalen Offset–QPSK–Betrieb werden jeweils zwei Bit der Quellensymbolfolge $〈q_k〉$ einem Bit $a_{{\rm I}ν}$ im Inphasezweig und sowie einem Bit $a_{{\rm Q}ν}$ im Quadraturzweig zugeordnet.

Die Grafik zeigt diese Seriell–Parallel–Wandlung in den drei oberen Diagrammen für die ersten vier Bit des grün gezeichneten Quellensignals $q(t)$. Dabei ist zu beachten:

Die Darstellung der Offset–QPSK gilt für einen rechteckigförmigen Grundimpuls. Die Koeffizienten $a_{{\rm I}ν}$ und $a_{{\rm Q}ν}$ können die Werte $±1$ annehmen.
Durchläuft der Zeitindex der Quellensymbole die Werte $k =1,$ ... $, 8$, so nimmt die Zeitvariable $ν$ nur die Werte $1,$ ... $, 4$ an.
Die Skizze berücksichtigt auch den Zeitversatz (Offset) für den Quadraturzweig.

Bei der MSK–Realisierung mittels Offset–QPSK ist eine Umcodierung erforderlich. Hierbei gilt mit $q_k ∈ \{+1, –1\}$ und $a_k ∈ \{+1, –1\}$:

$$a_k = (-1)^{k+1} \cdot a_{k-1} \cdot q_k \hspace{0.05cm}.$$

Beispielsweise erhält man unter der Annahme $a_0 = +1$:

$$a_1 = a_0 \cdot q_1 = +1,\hspace{0.2cm}a_2 = -a_1 \cdot q_2 = +1,$$

$$a_3 = a_2 \cdot q_3 = -1,\hspace{0.2cm}a_4 = -a_3 \cdot q_4 = -1 \hspace{0.05cm}.$$

Weiter ist zu berücksichtigen:

Die Koeffizienten $a_0 = +1$, $a_2 = +1$, $a_4 = -1$ sowie die noch zu berechnenden Koeffizienten $a_6$ und $a_8$ werden dem Signal $s_{\rm I}(t)$ zugeordnet.
Dagegen werden die Koeffizienten $a_1 = +1$ und $a_3 = -1$ sowie alle weiteren Koeffizienten mit ungeradem Index dem Signal $s_{\rm Q}(t)$ beaufschlagt.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Nichtlineare digitale Modulation.
Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt Realisierung der MSK als Offset-QPSK.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
In Aufgabe 4.14 wird die zugehörige Phasenfunktion $ϕ(t)$ ermittelt, wobei ebenfalls der (auf $1$ normierte) MSK–Grundimpuls zugrunde gelegt wird:

$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f:\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}. \\ \end{array}$$

Fragebogen

$T_B$ =

$μs$

$O–QPSK: T$ =

$μs$

$O–QPSK: a_{I3}$ =

$a_{Q3}$ =

$a_{I4}$ =

$a_{Q4}$ =

$MSK: T$ =

$μs$

$ MSK: a_5$ =

$a_6$ =

$a_7$ =

$a_8$ =

Musterlösung

1. Aus der oberen Skizze kann man $T_B = 1 μs$ ablesen.

2. Bei QPSK bzw. Offset–QPSK ist aufgrund der Seriell–Parallel–Wandlung die Symboldauer T doppelt so groß wie die Bitdauer: $$ T = 2 \cdot T_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm \mu s}} \hspace{0.05cm}.$$

3. Entsprechend der aus der Skizze für die ersten Bit erkennbaren Zuordnung gilt: $$ a_{\rm I3} = q_5 \hspace{0.15cm}\underline {= +1},\hspace{0.2cm}a_{\rm Q3} = q_6 \hspace{0.15cm}\underline {= +1},$$ $$a_{\rm I4} = q_7 \hspace{0.15cm}\underline { = -1},\hspace{0.2cm}a_{\rm Q4} = q_8 \hspace{0.15cm}\underline {= +1} \hspace{0.05cm}.$$

4. Bei der MSK ist die Symboldauer T gleich der Bitdauer: $$T = T_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = 1\,{\rm \mu s}} \hspace{0.05cm}.$$ 5. Entsprechend der angegebenen Umcodiervorschrift gilt mit $a_4 = –1$: $$q_5 = +1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_5 = a_4 \cdot q_5 \hspace{0.15cm}\underline {= -1},$$ $$q_6 = +1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_6 = -a_5 \cdot q_6 \hspace{0.15cm}\underline {= +1},$$ $$ q_7 = -1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_7 = a_6 \cdot q_7 \hspace{0.15cm}\underline {= -1}, $$ $$q_8 = +1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_8 = -a_7 \cdot q_8\hspace{0.15cm}\underline { = +1}\hspace{0.05cm}.$$

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-[[Datei:P_ID1742__Mod_Z_4_13.png|right|]]
+[[Datei:P_ID1742__Mod_Z_4_13.png|right|frame|Koeffizientenzuordnung bei O-QPSK und MSK]]
-Eine Realisierungsmöglichkeit für die MSK bietet die Offset–QPSK (kurz: O–QPSK), wie aus den [http://www.lntwww.de/Modulationsverfahren/Nichtlineare_Modulationsverfahren#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK_.281.29 Blockschaltbildern] im Theorieteil hervorgeht.
+Eine Realisierungsmöglichkeit für die MSK bietet die Offset–QPSK (kurz: O–QPSK), wie aus den [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_Modulationsverfahren#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK_.281.29|Blockschaltbildern]] im Theorieteil hervorgeht.
-Beim normalen O–QPSK–Betrieb werden jeweils zwei Bit der Quellensymbolfolge 〈$q_k$〉 einem Bit $a_{Iν}$ im Inphasezweig und sowie einem Bit $a_{Qν}$ im Quadraturzweig zugeordnet.
+Beim normalen Offset–QPSK–Betrieb werden jeweils zwei Bit der Quellensymbolfolge $〈q_k〉$ einem Bit $a_{{\rm I}ν}$ im Inphasezweig und sowie einem Bit $a_{{\rm Q}ν}$ im Quadraturzweig zugeordnet.
-Die Grafik zeigt diese Seriell–Parallel–Wandlung in den drei oberen Diagrammen für die ersten vier Bit des grün gezeichneten Quellensignals. Dabei ist zu beachten:
+Die Grafik zeigt diese Seriell–Parallel–Wandlung in den drei oberen Diagrammen für die ersten vier Bit des grün gezeichneten Quellensignals $q(t)$. Dabei ist zu beachten:
-:* Die Darstellung der O–QPSK gilt für einen rechteckigen Grundimpuls. Mögliche Werte der Koeffizienten $a_{Iν}$ und $a_{Qν}$ sind ±1.
+* Die Darstellung der Offset–QPSK gilt für einen rechteckigförmigen Grundimpuls. Die Koeffizienten $a_{{\rm I}ν}$ und $a_{{\rm Q}ν}$ können die Werte $±1$ annehmen.
-:* Durchläuft der Index k der Quellensymbole die Werte 1 bis 8, so nimmt die Variable ν nur die Werte 1 ... 4 an.
+* Durchläuft der Zeitindex der Quellensymbole die Werte $k =1,$ ... $, 8$, so nimmt die Zeitvariable $ν$ nur die Werte $1,$ ... $, 4$ an.
-:* Die Skizze berücksichtigt den Zeitversatz (Offset) für den Quadraturzweig.
+* Die Skizze berücksichtigt auch den Zeitversatz (Offset) für den Quadraturzweig.
-Bei der MSK–Realisierung mittels O–QPSK ist eine Umcodierung erforderlich. Hierbei gilt mit $q_k$ ∈ {+1, –1} und $a_k$ ∈ {+1, –1}:
-$$a_k = (-1)^{k+1} \cdot a_{k-1} \cdot q_k \hspace{0.05cm}.$$
+Bei der MSK–Realisierung mittels Offset–QPSK ist eine Umcodierung erforderlich. Hierbei gilt mit $q_k ∈ \{+1, –1\}$ und $a_k ∈ \{+1, –1\}$:
-Beispielsweise erhält man unter der Annahme $a-0 = +1$:
+:$$a_k = (-1)^{k+1} \cdot a_{k-1} \cdot q_k \hspace{0.05cm}.$$
-$$a_1 =  a_0 \cdot q_1 = +1,\hspace{0.2cm}a_2 = -a_1 \cdot q_2 = +1,$$
+Beispielsweise erhält man unter der Annahme $a_0 = +1$:
-$$a_3  =  a_2 \cdot q_3 = -1,\hspace{0.2cm}a_4 = -a_3 \cdot q_4 = -1 \hspace{0.05cm}.$$
+:$$a_1 =  a_0 \cdot q_1 = +1,\hspace{0.2cm}a_2 = -a_1 \cdot q_2 = +1,$$
+:$$a_3  =  a_2 \cdot q_3 = -1,\hspace{0.2cm}a_4 = -a_3 \cdot q_4 = -1 \hspace{0.05cm}.$$
 Weiter ist zu berücksichtigen:
-:* Die Koeffizienten $a_0 = +1$, $a_2 = +1$, $a_4 = –1$ sowie die noch zu berechnenden Koeffizienten a6 und a8 werden dem Signal $s_I(t)$ zugeordnet.
+* Die Koeffizienten $a_0 = +1$, $a_2 = +1$, $a_4 = -1$ sowie die noch zu berechnenden Koeffizienten $a_6$ und $a_8$ werden dem Signal $s_{\rm I}(t)$ zugeordnet.
-:* Dagegen werden die Koeffizienten $a_1 = +1$ und $a_3 = –1$ sowie alle weiteren Koeffizienten mit ungeradem Index dem Signal sQ(t) beaufschlagt.
+* Dagegen werden die Koeffizienten $a_1 = +1$ und $a_3 = -1$ sowie alle weiteren Koeffizienten mit ungeradem Index dem Signal $s_{\rm Q}(t)$ beaufschlagt.
+''Hinweise:''
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation|Nichtlineare digitale Modulation]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Realisierung der MSK als Offset-QPSK]].
+*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
+*In [[Aufgaben:4.14_Phasenverlauf_der_MSK |Aufgabe 4.14]] wird die zugehörige Phasenfunktion $ϕ(t)$ ermittelt, wobei ebenfalls der (auf $1$ normierte) MSK–Grundimpuls zugrunde gelegt wird:
+:$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f:\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}. \\ \end{array}$$
-''' Hinweis:''' Die Aufgabe gehört zu [http://www.lntwww.de/Modulationsverfahren/Nichtlineare_Modulationsverfahren Kapitel 4.4]. In [http://www.lntwww.de/Aufgaben:4.13_Phasenverlauf_der_MSK Aufgabe A4.13] wird die zugehörige Phasenfunktion $ϕ(t)$ ermittelt, wobei wiederum der (auf 1 normierte) MSK–Grundimpuls zugrunde gelegt wird:
-$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}. \\ \end{array}$$
 ===Fragebogen===