Aufgaben:Aufgabe 4.14Z: Auffinden von Echos: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID440__Sto_Z_4_14.png|right|Auffinden von Echos – Messvorrichtung|frame]]
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[[Datei:P_ID440__Sto_Z_4_14.png|right|Echo–Messung|frame]]
 
Zur Messung akustischer Echos in Räumen – zum Beispiel bedingt durch Reflexionen an einer Wand – kann die nebenstehende Anordnung verwendet werden.  
 
Zur Messung akustischer Echos in Räumen – zum Beispiel bedingt durch Reflexionen an einer Wand – kann die nebenstehende Anordnung verwendet werden.  
*Der Rauschgenerator erzeugt ein „im relevanten Frequenzbereich Weißes Rauschen” $x(t)$ mit der Rauschleistungsdichte $N_0 = 10^{-6} \hspace{0.08cm} \rm W/Hz$.  
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*Der Rauschgenerator erzeugt ein „im relevanten Frequenzbereich Weißes Rauschen”  $x(t)$  mit Leistungsdichte  $N_0 = 10^{-6} \hspace{0.08cm} \rm W/Hz$.  
*Dieses ist bandbegrenzt auf $B_x = 20 \hspace{0.08cm} \rm kHz$ und wird auf einen Lautsprecher gegeben.  
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*Dieses ist bandbegrenzt auf  $B_x = 20 \hspace{0.08cm} \rm kHz$  und wird auf einen Lautsprecher gegeben.  
*Die gesamte Messeinrichtung ist für den Widerstandswert $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$ ausgelegt.
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*Die gesamte Messeinrichtung ist für den Widerstandswert  $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$  ausgelegt.
  
  
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:$$y(t) = \sum_{\mu = 1}^M \alpha_\mu \cdot x ( t - t_\mu ) .$$
 
:$$y(t) = \sum_{\mu = 1}^M \alpha_\mu \cdot x ( t - t_\mu ) .$$
  
Hierbei bezeichnen $\alpha_\mu$ Dämpfungsfaktoren und $t_\mu$ Laufzeiten.
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Hierbei bezeichnen  $\alpha_\mu$  Dämpfungsfaktoren und  $t_\mu$  Laufzeiten.
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''Hinweise:''  
 
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte|Kreuzkorrelationsfunktion und Kreuzleistungsdichte]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte|Kreuzkorrelationsfunktion und Kreuzleistungsdichte]].
 
   
 
   
 
*Benutzen Sie für numerische Berechnungen die Parameterwerte
 
*Benutzen Sie für numerische Berechnungen die Parameterwerte
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Geben Sie die AKF $\varphi_x(\tau)$ am Sender an. Wie lautet diese umgerechnet auf den Widerstand $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$? <br>Wie gro&szlig; ist der Effektivwert $\sigma_x$?
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{Geben Sie die AKF&nbsp; $\varphi_x(\tau)$&nbsp; am Sender an.&nbsp; Wie lautet diese umgerechnet auf den Widerstand&nbsp; $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$&nbsp;?&nbsp; Wie gro&szlig; ist der Effektivwert&nbsp; $\sigma_x$&nbsp;?
 
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$\sigma_x \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm V$
 
$\sigma_x \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm V$
  
  
{Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) $\varphi_{xy}(\tau)$  zwischen Sende&ndash; und Empfangssignal. <br>Welche Werte ergeben sich f&uuml;r $\tau = 0$, $\tau = t_1 = 200 \hspace{0.08cm} \rm ms$ und $\tau = t_2 = 250 \hspace{0.08cm} \rm ms$?
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{Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion (KKF)&nbsp; $\varphi_{xy}(\tau)$&nbsp; zwischen Sende&ndash; und Empfangssignal. <br>Welche Werte ergeben sich f&uuml;r&nbsp; $\tau = 0$,&nbsp; $\tau = t_1 = 200 \hspace{0.08cm} \rm ms$&nbsp; und&nbsp; $\tau = t_2 = 250 \hspace{0.08cm} \rm ms$&nbsp;?
 
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$\varphi_{xy}(\tau= 0) \ =  \ $ { 0. } $\ \rm V^2$
 
$\varphi_{xy}(\tau= 0) \ =  \ $ { 0. } $\ \rm V^2$
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{Berechnen Sie das Kreuzleistungsdichtespektrum (KLDS) ${\it \Phi}_{xy}(f)$. <br>Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz $f = 0$?
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{Berechnen Sie das Kreuzleistungsdichtespektrum (KLDS)&nbsp; ${\it \Phi}_{xy}(f)$.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz $f = 0$?
 
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${\it \Phi}_{xy}(f =0)\ =  \ $ { 15 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$
 
${\it \Phi}_{xy}(f =0)\ =  \ $ { 15 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$
  
  
{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend, wenn Sie anstelle der in '''(1)''' berechneten AKF die N&auml;herung $\varphi_{xy}(\tau) \approx N_0/2 \cdot \delta(\tau)$ verwenden?
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{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend, wenn Sie anstelle der in&nbsp; '''(1)'''&nbsp; berechneten AKF die N&auml;herung&nbsp; $\varphi_{xy}(\tau) \approx N_0/2 \cdot \delta(\tau)$&nbsp; verwenden?
 
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+ Das Rauschen ist nun &bdquo;echt&rdquo; wei&szlig; &ndash; also nicht bandbegrenzt.
 
+ Das Rauschen ist nun &bdquo;echt&rdquo; wei&szlig; &ndash; also nicht bandbegrenzt.
- Die Rauschleistung wird gegen&uuml;ber der Teilaufgabe '''(1)''' vermindert.
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- Die Rauschleistung wird gegen&uuml;ber der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; vermindert.
 
+ Die Kreuzkorrelationsfunktion ist die Summe gewichteter und verschobener Diracs.
 
+ Die Kreuzkorrelationsfunktion ist die Summe gewichteter und verschobener Diracs.
- Das Kreuzleistungsdichtespektrum ist wie in der Teilaufgabe '''(3)'''  berechnet.
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- Das Kreuzleistungsdichtespektrum ist wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; berechnet.
  
  
{Berechnen Sie unter Verwendung der N&auml;herung $\varphi_{xy}(\tau) \approx N_0/2 \cdot \delta(\tau)$ die AKF  $\varphi_y(\tau)$. <br>Welche Gewichte ergeben sich  f&uuml;r $\tau = 0$ &nbsp;und&nbsp; $\tau = \Delta t = t_2 - t_1$?
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{Berechnen Sie unter Verwendung der N&auml;herung&nbsp; $\varphi_{xy}(\tau) \approx N_0/2 \cdot \delta(\tau)$&nbsp; die AKF  $\varphi_y(\tau)$.&nbsp; Welche Gewichte ergeben sich  f&uuml;r&nbsp; $\tau = 0$ &nbsp;und&nbsp; $\tau = \Delta t = t_2 - t_1$&nbsp;?
 
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$\varphi_{y}(\tau= 0) \ =  \ $ { 0.13 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm W\hspace{-0.1cm}/Hz$
 
$\varphi_{y}(\tau= 0) \ =  \ $ { 0.13 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm W\hspace{-0.1cm}/Hz$
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Das zweiseitige Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{x}(f)$  ist im Bereich $\pm B_x$ konstant gleich $N_0/2$. Dessen Fouriertransformierte ist die AKF:
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'''(1)'''&nbsp; Das zweiseitige Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_{x}(f)$&nbsp; ist im Bereich&nbsp; $\pm B_x$&nbsp; konstant gleich&nbsp; $N_0/2$.  
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*Dessen Fouriertransformierte ist die AKF:
 
:$$\varphi_x (\tau) = {N_0}/{2} \cdot 2 B_x \cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau) = 0.02 \hspace {0.08cm}{\rm W} \cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau).$$
 
:$$\varphi_x (\tau) = {N_0}/{2} \cdot 2 B_x \cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau) = 0.02 \hspace {0.08cm}{\rm W} \cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau).$$
  
*Umgerechnet von $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$ auf $R = 1 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$ erh&auml;lt man somit (Multiplikation mit $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$):
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*Umgerechnet von&nbsp; $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$&nbsp; auf&nbsp; $R = 1 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$&nbsp; erh&auml;lt man somit&nbsp; $($Multiplikation mit&nbsp; $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega)$:
 
:$$\varphi_x (\tau) =  0.02 \hspace {0.05cm}{\rm VA} \cdot 50 \hspace {0.05cm}{\rm V/A}\cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau)=  1 \hspace {0.05cm}{\rm V}^2 \cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau).$$
 
:$$\varphi_x (\tau) =  0.02 \hspace {0.05cm}{\rm VA} \cdot 50 \hspace {0.05cm}{\rm V/A}\cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau)=  1 \hspace {0.05cm}{\rm V}^2 \cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau).$$
  
*Der Effektivwert ist die Wurzel aus dem AKF-Wert bei $\tau = 0$: &nbsp;  
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*Der Effektivwert ist die Wurzel aus dem AKF-Wert bei&nbsp; $\tau = 0$: &nbsp;  
 
:$$\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{=  1 \hspace {0.08cm}{\rm V}}.$$
 
:$$\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{=  1 \hspace {0.08cm}{\rm V}}.$$
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:$$\varphi_{xy} (\tau) = \alpha_1 \cdot \overline {x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x(t- t_1+ \tau)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} \alpha_2 \cdot \overline {x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x(t- t_2+ \tau)} .$$
 
:$$\varphi_{xy} (\tau) = \alpha_1 \cdot \overline {x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x(t- t_1+ \tau)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} \alpha_2 \cdot \overline {x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x(t- t_2+ \tau)} .$$
  
*Unter Verwendung der AKF $\varphi_x(\tau)$ kann hierf&uuml;r auch geschrieben werden:
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*Unter Verwendung der AKF&nbsp; $\varphi_x(\tau)$&nbsp; kann hierf&uuml;r auch geschrieben werden:
:$$\varphi_{xy} (\tau) = \alpha_1 \cdot {\varphi_{x}(\tau- t_1)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} \alpha_2\cdot {\varphi_{x}(\tau- t_2)} =  1 \hspace {0.08cm}{\rm V}^2 \cdot \left[ \alpha_1 \cdot {\rm si} (2 \pi B_x (\tau - t_1)) + \alpha_2 \cdot {\rm si} (2 \pi B_x (\tau - t_2))  \right].$$
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:$$\varphi_{xy} (\tau) = \alpha_1 \cdot {\varphi_{x}(\tau- t_1)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} \alpha_2\cdot {\varphi_{x}(\tau- t_2)} =  1 \hspace {0.08cm}{\rm V}^2 \cdot \big[ \alpha_1 \cdot {\rm si} (2 \pi B_x (\tau - t_1)) + \alpha_2 \cdot {\rm si} (2 \pi B_x (\tau - t_2))  \big].$$
  
*Die si-Funktion weist &auml;quidistante Nulldurchg&auml;nge bei allen Vielfachen von $1/(2B_x) = 25 \hspace{0.08cm} &micro; s$ auf, jeweils bezogen auf  deren Mittellagen bei $t_1 = 200 \hspace{0.08cm} {\rm ms}$ bzw. $t_2 = 250 \hspace{0.08cm} {\rm ms}$.  
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*Die si-Funktion weist &auml;quidistante Nulldurchg&auml;nge bei Vielfachen von&nbsp; $1/(2B_x) = 25 \hspace{0.08cm} &micro; \rm s$&nbsp; auf, jeweils bezogen auf  die Mitten bei&nbsp; $t_1 = 200 \hspace{0.08cm} {\rm ms}$&nbsp; bzw.&nbsp; $t_2 = 250 \hspace{0.08cm} {\rm ms}$.  
 
*Daraus ergeben sich die KKF-Werte zu:
 
*Daraus ergeben sich die KKF-Werte zu:
 
:$$\varphi_{xy} (\tau = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0},\hspace{0.5cm}\varphi_{xy} (\tau = t_1)= \alpha_1 \cdot \varphi_{x} (\tau = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5\,{\rm V}^2} ,\hspace{0.5cm} \varphi_{xy} (\tau = t_2)= \alpha_2 \cdot \varphi_{x} (\tau = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.1\,{\rm V}^2} .$$
 
:$$\varphi_{xy} (\tau = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0},\hspace{0.5cm}\varphi_{xy} (\tau = t_1)= \alpha_1 \cdot \varphi_{x} (\tau = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5\,{\rm V}^2} ,\hspace{0.5cm} \varphi_{xy} (\tau = t_2)= \alpha_2 \cdot \varphi_{x} (\tau = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.1\,{\rm V}^2} .$$
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:$${\it \Phi}_{xy} (f) = \alpha_1 \cdot {\it \Phi}_{x} (f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_1} \hspace{0.15cm}+  \hspace{0.15cm}\alpha_2 \cdot {\it \Phi}_{x} (f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_2}. $$
 
:$${\it \Phi}_{xy} (f) = \alpha_1 \cdot {\it \Phi}_{x} (f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_1} \hspace{0.15cm}+  \hspace{0.15cm}\alpha_2 \cdot {\it \Phi}_{x} (f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_2}. $$
  
*Au&szlig;erhalb des Bereichs $|f|  \le B_x$ ist das LDS ${\it \Phi}_{x}(f)$ &ndash; und dementsprechend auch das KLDS ${\it \Phi}_{xy}(f)$ &ndash; identisch $0$.  
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*Au&szlig;erhalb des Bereichs&nbsp; $|f|  \le B_x$&nbsp; ist das LDS&nbsp; ${\it \Phi}_{x}(f)$&nbsp; &ndash; und dementsprechend auch das KLDS&nbsp; ${\it \Phi}_{xy}(f)$ &ndash; identisch Null.  
*Innerhalb dieses Intervalls gilt dagegen  ${\it \Phi}_{x}(f) = N_0/2$. Daraus folgt in diesem Bereich:
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*Innerhalb dieses Intervalls gilt dagegen&nbsp; ${\it \Phi}_{x}(f) = N_0/2$. Daraus folgt in diesem Bereich:
 
[[Datei:P_ID450__Sto_Z_4_14_d.png|right|frame|AKF und KKF bei weißem Rauschen]]
 
[[Datei:P_ID450__Sto_Z_4_14_d.png|right|frame|AKF und KKF bei weißem Rauschen]]
 
:$${\it \Phi}_{xy} (f) = {N_0}/{2} \left( \alpha_1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_1} \hspace{0.15cm}+  \hspace{0.15cm}\alpha_2 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_2} \right). $$
 
:$${\it \Phi}_{xy} (f) = {N_0}/{2} \left( \alpha_1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_1} \hspace{0.15cm}+  \hspace{0.15cm}\alpha_2 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_2} \right). $$
  
*Es ist ersichtlich, dass ${\it \Phi}_{xy}(f)$ im Gegensatz zu ${\it \Phi}_{x}(f)$ eine komplexe Funktion ist. Bei $f = 0$ gilt:
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*Es ist ersichtlich, dass&nbsp; ${\it \Phi}_{xy}(f)$&nbsp; im Gegensatz zu&nbsp; ${\it \Phi}_{x}(f)$&nbsp; eine komplexe Funktion ist.&nbsp; Bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; gilt:
 
:$${\it \Phi}_{xy} (f = 0) = {N_0}/{2} \left( \alpha_1 \hspace{0.15cm}+  \hspace{0.15cm}\alpha_2 \right) = 0.3 \cdot 10^{-6}\hspace{0.05cm}{\rm W/Hz} \hspace{0.15cm}\underline{= 15 \cdot 10^{-6}\hspace{0.07cm}{\rm V^2/Hz}} . $$
 
:$${\it \Phi}_{xy} (f = 0) = {N_0}/{2} \left( \alpha_1 \hspace{0.15cm}+  \hspace{0.15cm}\alpha_2 \right) = 0.3 \cdot 10^{-6}\hspace{0.05cm}{\rm W/Hz} \hspace{0.15cm}\underline{= 15 \cdot 10^{-6}\hspace{0.07cm}{\rm V^2/Hz}} . $$
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'''(4)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
 
'''(4)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
*Die Fouriertransformierte einer diracf&ouml;rmigen AKF f&uuml;hrt zu einem f&uuml;r alle Frequenzen $f$ konstanten LDS, das hei&szlig;t tats&auml;chlich zu &bdquo; echt Wei&szlig;em Rauschen&rdquo;.  
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*Die Fouriertransformierte einer diracf&ouml;rmigen AKF f&uuml;hrt zu einem f&uuml;r alle Frequenzen&nbsp; $f$&nbsp; konstanten LDS, das hei&szlig;t tats&auml;chlich zu &bdquo;echt Wei&szlig;em Rauschen&rdquo;.  
*Dieses besitzt eine unendlich gro&szlig;e Leistung, und f&uuml;r die KKF kann dann entsprechend der oberen Grafik geschrieben werden:
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*Dieses besitzt eine unendlich gro&szlig;e Leistung, und f&uuml;r die KKF kann dann gemäß der oberen Grafik geschrieben werden:
 
:$$\varphi_{xy} (\tau) =  \alpha_1 \cdot { N_0}/{2} \cdot {\rm \delta}( \tau - t_1) \hspace {0.1cm}+ \hspace {0.1cm}  \alpha_2 \cdot { N_0}/{2} \cdot {\rm \delta}( \tau - t_2) .$$
 
:$$\varphi_{xy} (\tau) =  \alpha_1 \cdot { N_0}/{2} \cdot {\rm \delta}( \tau - t_1) \hspace {0.1cm}+ \hspace {0.1cm}  \alpha_2 \cdot { N_0}/{2} \cdot {\rm \delta}( \tau - t_2) .$$
*Im Frequenzbereich ist für $|f|  \le B_x$ tats&auml;chlich kein Unterschied gegen&uuml;ber der Teilaufgabe '''(3)''' feststellbar.  
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*Im Frequenzbereich ist für&nbsp; $|f|  \le B_x$&nbsp; tats&auml;chlich kein Unterschied gegen&uuml;ber der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; feststellbar.  
 
*Da nun aber echt wei&szlig;es Rauschen vorliegt, ist aber hier das KLDS nicht auf diesen Bereich beschr&auml;nkt.  
 
*Da nun aber echt wei&szlig;es Rauschen vorliegt, ist aber hier das KLDS nicht auf diesen Bereich beschr&auml;nkt.  
  
  
'''(5)'''&nbsp; Für die AKF des echobehafteten Signals gilt: &nbsp; $\varphi_{y} (\tau)  =  \overline {y(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y(t+\tau)}$. Diese AKF $\varphi_{y} (\tau)$ lässt sich demzufolge als die folgende Summe darstellen:
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'''(5)'''&nbsp; Für die AKF des echobehafteten Signals gilt: &nbsp; $\varphi_{y} (\tau)  =  \overline {y(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y(t+\tau)}$.  
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*Diese AKF $\varphi_{y} (\tau)$ lässt sich demzufolge als die folgende Summe darstellen:
 
:$$\alpha_1^2 \cdot \overline {x(t - t_1) \cdot x(t - t_1+ \tau)} \hspace{0.03cm} + \hspace{0.03cm} \alpha_1\hspace{0.02cm}\alpha_2 \cdot  \overline {x(t - t_1) \cdot x(t - t_2+ \tau)} +  \hspace{0.05cm} \alpha_2\hspace{0.02cm}\alpha_1 \cdot  \overline {x(t - t_2) \cdot x(t - t_1+ \tau)}\hspace{0.03cm} + \hspace{0.03cm} \alpha_2^2 \cdot  \overline {x(t - t_2) \cdot x(t - t_2+ \tau)}. $$
 
:$$\alpha_1^2 \cdot \overline {x(t - t_1) \cdot x(t - t_1+ \tau)} \hspace{0.03cm} + \hspace{0.03cm} \alpha_1\hspace{0.02cm}\alpha_2 \cdot  \overline {x(t - t_1) \cdot x(t - t_2+ \tau)} +  \hspace{0.05cm} \alpha_2\hspace{0.02cm}\alpha_1 \cdot  \overline {x(t - t_2) \cdot x(t - t_1+ \tau)}\hspace{0.03cm} + \hspace{0.03cm} \alpha_2^2 \cdot  \overline {x(t - t_2) \cdot x(t - t_2+ \tau)}. $$
  
F&uuml;r den ersten und den letzten Mittelwert gilt:
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*F&uuml;r den ersten und den letzten Mittelwert gilt:
 
:$$\overline {x(t - t_1) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_1+ \tau)} = \overline {x(t - t_2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_2+ \tau)} = \overline {x(t ) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t + \tau)} =\varphi_x(\tau).$$
 
:$$\overline {x(t - t_1) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_1+ \tau)} = \overline {x(t - t_2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_2+ \tau)} = \overline {x(t ) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t + \tau)} =\varphi_x(\tau).$$
  
Dagegen erh&auml;lt man f&uuml;r den zweiten und den dritten Mittelwert mit $\Delta t = t_2 - t_1= 50 \ \rm ms$:
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*Dagegen erh&auml;lt man f&uuml;r den zweiten und den dritten Mittelwert mit&nbsp; $\Delta t = t_2 - t_1= 50 \ \rm ms$:
 
:$$\overline {x(t - t_1) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_2+ \tau)} = \overline {x(t ) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t + t_1- t_2+ \tau)} =\varphi_x(\tau - \Delta t),$$
 
:$$\overline {x(t - t_1) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_2+ \tau)} = \overline {x(t ) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t + t_1- t_2+ \tau)} =\varphi_x(\tau - \Delta t),$$
 
:$$\overline {x(t - t_2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_1+ \tau)} = \overline {x(t ) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t + t_2- t_1+ \tau)} =\varphi_x(\tau + \Delta t).$$
 
:$$\overline {x(t - t_2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_1+ \tau)} = \overline {x(t ) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t + t_2- t_1+ \tau)} =\varphi_x(\tau + \Delta t).$$
  
Insgesamt ergibt sich somit wieder eine symmetrische AKF, wie in der unteren Grafik dargestellt:
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*Insgesamt ergibt sich somit wieder eine symmetrische AKF, wie in der unteren Grafik dargestellt:
 
:$$\varphi_{y} (\tau) = {N_0}/{2} \cdot \left[ ( \alpha_1^2 \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}  \alpha_2^2  ) \cdot {\rm \delta} (\tau)  \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \alpha_1 \cdot \alpha_2 \cdot {\rm \delta}(\tau - \Delta t) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \alpha_1 \cdot \alpha_2 \cdot {\rm \delta}(\tau + \Delta t) \right].$$
 
:$$\varphi_{y} (\tau) = {N_0}/{2} \cdot \left[ ( \alpha_1^2 \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}  \alpha_2^2  ) \cdot {\rm \delta} (\tau)  \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \alpha_1 \cdot \alpha_2 \cdot {\rm \delta}(\tau - \Delta t) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \alpha_1 \cdot \alpha_2 \cdot {\rm \delta}(\tau + \Delta t) \right].$$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_{y} (\tau = 0 ) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.13 \cdot 10^{-6}\, {\rm W/Hz}},
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_{y} (\tau = 0 ) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.13 \cdot 10^{-6}\, {\rm W/Hz}},

Aktuelle Version vom 3. Dezember 2019, 17:24 Uhr

Echo–Messung

Zur Messung akustischer Echos in Räumen – zum Beispiel bedingt durch Reflexionen an einer Wand – kann die nebenstehende Anordnung verwendet werden.

  • Der Rauschgenerator erzeugt ein „im relevanten Frequenzbereich Weißes Rauschen”  $x(t)$  mit Leistungsdichte  $N_0 = 10^{-6} \hspace{0.08cm} \rm W/Hz$.
  • Dieses ist bandbegrenzt auf  $B_x = 20 \hspace{0.08cm} \rm kHz$  und wird auf einen Lautsprecher gegeben.
  • Die gesamte Messeinrichtung ist für den Widerstandswert  $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$  ausgelegt.


Das vom Mikrofon aufgenommene Signal ist im allgemeinsten Fall wie folgt beschreibbar:

$$y(t) = \sum_{\mu = 1}^M \alpha_\mu \cdot x ( t - t_\mu ) .$$

Hierbei bezeichnen  $\alpha_\mu$  Dämpfungsfaktoren und  $t_\mu$  Laufzeiten.





Hinweise:

  • Benutzen Sie für numerische Berechnungen die Parameterwerte
$$\alpha_1 = 0.5, \hspace{0.2cm}t_1 = 200 \,{\rm ms}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0.1, \hspace{0.2cm}t_2 = 250 \,{\rm ms}.$$



Fragebogen

1

Geben Sie die AKF  $\varphi_x(\tau)$  am Sender an.  Wie lautet diese umgerechnet auf den Widerstand  $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$ ?  Wie groß ist der Effektivwert  $\sigma_x$ ?

$\sigma_x \ = \ $

$\ \rm V$

2

Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion (KKF)  $\varphi_{xy}(\tau)$  zwischen Sende– und Empfangssignal.
Welche Werte ergeben sich für  $\tau = 0$,  $\tau = t_1 = 200 \hspace{0.08cm} \rm ms$  und  $\tau = t_2 = 250 \hspace{0.08cm} \rm ms$ ?

$\varphi_{xy}(\tau= 0) \ = \ $

$\ \rm V^2$
$\varphi_{xy}(\tau= t_1) \ = \ $

$\ \rm V^2$
$\varphi_{xy}(\tau= t_2) \ = \ $

$\ \rm V^2$

3

Berechnen Sie das Kreuzleistungsdichtespektrum (KLDS)  ${\it \Phi}_{xy}(f)$.  Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz $f = 0$?

${\it \Phi}_{xy}(f =0)\ = \ $

$\ \cdot 10^{-6}\ \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$

4

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend, wenn Sie anstelle der in  (1)  berechneten AKF die Näherung  $\varphi_{xy}(\tau) \approx N_0/2 \cdot \delta(\tau)$  verwenden?

Das Rauschen ist nun „echt” weiß – also nicht bandbegrenzt.
Die Rauschleistung wird gegenüber der Teilaufgabe  (1)  vermindert.
Die Kreuzkorrelationsfunktion ist die Summe gewichteter und verschobener Diracs.
Das Kreuzleistungsdichtespektrum ist wie in der Teilaufgabe  (3)  berechnet.

5

Berechnen Sie unter Verwendung der Näherung  $\varphi_{xy}(\tau) \approx N_0/2 \cdot \delta(\tau)$  die AKF $\varphi_y(\tau)$.  Welche Gewichte ergeben sich für  $\tau = 0$  und  $\tau = \Delta t = t_2 - t_1$ ?

$\varphi_{y}(\tau= 0) \ = \ $

$\ \cdot 10^{-6}\ \rm W\hspace{-0.1cm}/Hz$
$\varphi_{y}(\tau= \Delta t) \ = \ $

$\ \cdot 10^{-6}\ \rm W\hspace{-0.1cm}/Hz$


Musterlösung

(1)  Das zweiseitige Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_{x}(f)$  ist im Bereich  $\pm B_x$  konstant gleich  $N_0/2$.

  • Dessen Fouriertransformierte ist die AKF:
$$\varphi_x (\tau) = {N_0}/{2} \cdot 2 B_x \cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau) = 0.02 \hspace {0.08cm}{\rm W} \cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau).$$
  • Umgerechnet von  $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$  auf  $R = 1 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$  erhält man somit  $($Multiplikation mit  $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega)$:
$$\varphi_x (\tau) = 0.02 \hspace {0.05cm}{\rm VA} \cdot 50 \hspace {0.05cm}{\rm V/A}\cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau)= 1 \hspace {0.05cm}{\rm V}^2 \cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau).$$
  • Der Effektivwert ist die Wurzel aus dem AKF-Wert bei  $\tau = 0$:  
$$\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{= 1 \hspace {0.08cm}{\rm V}}.$$


(2)  Für die Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) gilt im vorliegenden Fall:

$$\varphi_{xy} (\tau) = \overline {x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y(t+\tau)} = \overline {x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\big [ \alpha_1 \cdot x(t- t_1+ \tau)\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} \alpha_2 \cdot x(t- t_2+ \tau)\big] } . $$
  • Nach Aufspaltung der Mittelwertbildung auf die beiden Terme erhält man hieraus:
$$\varphi_{xy} (\tau) = \alpha_1 \cdot \overline {x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x(t- t_1+ \tau)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} \alpha_2 \cdot \overline {x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x(t- t_2+ \tau)} .$$
  • Unter Verwendung der AKF  $\varphi_x(\tau)$  kann hierfür auch geschrieben werden:
$$\varphi_{xy} (\tau) = \alpha_1 \cdot {\varphi_{x}(\tau- t_1)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} \alpha_2\cdot {\varphi_{x}(\tau- t_2)} = 1 \hspace {0.08cm}{\rm V}^2 \cdot \big[ \alpha_1 \cdot {\rm si} (2 \pi B_x (\tau - t_1)) + \alpha_2 \cdot {\rm si} (2 \pi B_x (\tau - t_2)) \big].$$
  • Die si-Funktion weist äquidistante Nulldurchgänge bei Vielfachen von  $1/(2B_x) = 25 \hspace{0.08cm} µ \rm s$  auf, jeweils bezogen auf die Mitten bei  $t_1 = 200 \hspace{0.08cm} {\rm ms}$  bzw.  $t_2 = 250 \hspace{0.08cm} {\rm ms}$.
  • Daraus ergeben sich die KKF-Werte zu:
$$\varphi_{xy} (\tau = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0},\hspace{0.5cm}\varphi_{xy} (\tau = t_1)= \alpha_1 \cdot \varphi_{x} (\tau = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5\,{\rm V}^2} ,\hspace{0.5cm} \varphi_{xy} (\tau = t_2)= \alpha_2 \cdot \varphi_{x} (\tau = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.1\,{\rm V}^2} .$$


(3)  Das Kreuzleistungsdichtespektrum (KLDS) ist die Fouriertransformierte der KKF, ebenso wie das Leistungsdichtespektrum (LDS) die Fouriertransformierte der AKF angibt. Für dieses gilt:

$${\it \Phi}_{xy} (f) = \alpha_1 \cdot {\it \Phi}_{x} (f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_1} \hspace{0.15cm}+ \hspace{0.15cm}\alpha_2 \cdot {\it \Phi}_{x} (f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_2}. $$
  • Außerhalb des Bereichs  $|f| \le B_x$  ist das LDS  ${\it \Phi}_{x}(f)$  – und dementsprechend auch das KLDS  ${\it \Phi}_{xy}(f)$ – identisch Null.
  • Innerhalb dieses Intervalls gilt dagegen  ${\it \Phi}_{x}(f) = N_0/2$. Daraus folgt in diesem Bereich:
AKF und KKF bei weißem Rauschen
$${\it \Phi}_{xy} (f) = {N_0}/{2} \left( \alpha_1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_1} \hspace{0.15cm}+ \hspace{0.15cm}\alpha_2 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_2} \right). $$
  • Es ist ersichtlich, dass  ${\it \Phi}_{xy}(f)$  im Gegensatz zu  ${\it \Phi}_{x}(f)$  eine komplexe Funktion ist.  Bei  $f = 0$  gilt:
$${\it \Phi}_{xy} (f = 0) = {N_0}/{2} \left( \alpha_1 \hspace{0.15cm}+ \hspace{0.15cm}\alpha_2 \right) = 0.3 \cdot 10^{-6}\hspace{0.05cm}{\rm W/Hz} \hspace{0.15cm}\underline{= 15 \cdot 10^{-6}\hspace{0.07cm}{\rm V^2/Hz}} . $$


(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • Die Fouriertransformierte einer diracförmigen AKF führt zu einem für alle Frequenzen  $f$  konstanten LDS, das heißt tatsächlich zu „echt Weißem Rauschen”.
  • Dieses besitzt eine unendlich große Leistung, und für die KKF kann dann gemäß der oberen Grafik geschrieben werden:
$$\varphi_{xy} (\tau) = \alpha_1 \cdot { N_0}/{2} \cdot {\rm \delta}( \tau - t_1) \hspace {0.1cm}+ \hspace {0.1cm} \alpha_2 \cdot { N_0}/{2} \cdot {\rm \delta}( \tau - t_2) .$$
  • Im Frequenzbereich ist für  $|f| \le B_x$  tatsächlich kein Unterschied gegenüber der Teilaufgabe  (3)  feststellbar.
  • Da nun aber echt weißes Rauschen vorliegt, ist aber hier das KLDS nicht auf diesen Bereich beschränkt.


(5)  Für die AKF des echobehafteten Signals gilt:   $\varphi_{y} (\tau) = \overline {y(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y(t+\tau)}$.

  • Diese AKF $\varphi_{y} (\tau)$ lässt sich demzufolge als die folgende Summe darstellen:
$$\alpha_1^2 \cdot \overline {x(t - t_1) \cdot x(t - t_1+ \tau)} \hspace{0.03cm} + \hspace{0.03cm} \alpha_1\hspace{0.02cm}\alpha_2 \cdot \overline {x(t - t_1) \cdot x(t - t_2+ \tau)} + \hspace{0.05cm} \alpha_2\hspace{0.02cm}\alpha_1 \cdot \overline {x(t - t_2) \cdot x(t - t_1+ \tau)}\hspace{0.03cm} + \hspace{0.03cm} \alpha_2^2 \cdot \overline {x(t - t_2) \cdot x(t - t_2+ \tau)}. $$
  • Für den ersten und den letzten Mittelwert gilt:
$$\overline {x(t - t_1) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_1+ \tau)} = \overline {x(t - t_2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_2+ \tau)} = \overline {x(t ) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t + \tau)} =\varphi_x(\tau).$$
  • Dagegen erhält man für den zweiten und den dritten Mittelwert mit  $\Delta t = t_2 - t_1= 50 \ \rm ms$:
$$\overline {x(t - t_1) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_2+ \tau)} = \overline {x(t ) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t + t_1- t_2+ \tau)} =\varphi_x(\tau - \Delta t),$$
$$\overline {x(t - t_2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_1+ \tau)} = \overline {x(t ) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t + t_2- t_1+ \tau)} =\varphi_x(\tau + \Delta t).$$
  • Insgesamt ergibt sich somit wieder eine symmetrische AKF, wie in der unteren Grafik dargestellt:
$$\varphi_{y} (\tau) = {N_0}/{2} \cdot \left[ ( \alpha_1^2 \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \alpha_2^2 ) \cdot {\rm \delta} (\tau) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \alpha_1 \cdot \alpha_2 \cdot {\rm \delta}(\tau - \Delta t) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \alpha_1 \cdot \alpha_2 \cdot {\rm \delta}(\tau + \Delta t) \right].$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_{y} (\tau = 0 ) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.13 \cdot 10^{-6}\, {\rm W/Hz}}, \hspace{0.3cm}\varphi_{y} (\tau = \Delta t )\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.025 \cdot 10^{-6}\, {\rm W/Hz}}.$$