Aufgaben:Aufgabe 4.14: AKF und KKF bei Rechtecksignalen: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID436__Sto_A_4_14.png|right|framed|AKF und KKF bei Rechtecksignalen]]
 
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Wir betrachten ein periodisches Rechtecksignal $p(t)$ entsprechend der oberen Skizze mit den beiden möglichen Amplitudenwerten $0 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ und der Rechteckdauer $T$. Die Periodendauer beträgt somit $T_0 = 2T$.
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Wir betrachten ein periodisches Rechtecksignal  $p(t)$  entsprechend der oberen Skizze mit den beiden möglichen Amplitudenwerten  $0 \hspace{0.05cm} \rm V$  und  $1 \hspace{0.05cm} \rm V$  und der Rechteckdauer  $T$.  Die Periodendauer beträgt somit  $T_0 = 2T$.
  
Darunter ist das Zufallssignal $z(t)$ gezeichnet.  
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Darunter ist das Zufallssignal  $z(t)$  gezeichnet.  
*Dieses ist zwischen $(2i-1)\cdot T$ und $2i \cdot T$ mit $i=$ ... , $-1, \ 0, +1$, ... (im Bild rot hervorgehoben) jeweils $z(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$.  
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*Dieses ist zwischen  $(2i-1)\cdot T$  und  $2i \cdot T$  jeweils  $z(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$  (im Bild rot hervorgehoben).  
*Dagegen ist in den blau gezeichneten Intervallen zwischen $(2i+1) \cdot T$ der Signalwert zweipunktverteilt $\pm 1 \hspace{0.05cm} \rm V$.
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*In den blau gezeichneten Intervallen zwischen  $2i \cdot T$  und  $(2i+1) \cdot T$  ist der Signalwert zweipunktverteilt  $\pm 1 \hspace{0.05cm} \rm V$.
  
  
Die Wahrscheinlichkeit, dass in den blau dargestellten Intervallen $z(t)=+1 \hspace{0.05cm} \rm V$ gilt, sei allgemein gleich $p$ und unabhängig von den vorher ausgewürfelten Werten.
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Die Wahrscheinlichkeit, dass in den blau dargestellten Intervallen  $z(t)=+1 \hspace{0.05cm} \rm V$  gilt, sei allgemein gleich  $p$  und unabhängig von den vorher ausgewürfelten Werten.
  
 
Das unterste Signal in nebenstehender Grafik kann aus den beiden ersten konstruiert werden. Es gilt:
 
Das unterste Signal in nebenstehender Grafik kann aus den beiden ersten konstruiert werden. Es gilt:
 
:$$s(t) = {1}/{2} \cdot \big[p(t) + z(t)\big].$$
 
:$$s(t) = {1}/{2} \cdot \big[p(t) + z(t)\big].$$
  
*In den rot eingezeichneten Zeitintervallen zwischen $(2i-1) \cdot T$ und $2i \cdot T$ ($i$ ganzzahlig) gilt $s(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$, da hier sowohl $p(t)$ als auch $z(t)$ gleich $0$ sind.  
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*In den rot eingezeichneten Zeitintervallen zwischen  $(2i-1) \cdot T$  und  $2i \cdot T$  $(i$  ganzzahlig$)$  gilt  $s(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$, da hier sowohl  $p(t)$  als auch  $z(t)$  gleich Null sind.  
*In den dazwischen liegenden Intervallen ist der Amplitudenwert zweipunktverteilt zwischen $0 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $1 \hspace{0.05cm} \rm V$, wobei der Wert $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ wieder mit der Wahrscheinlichkeit $p$ auftritt.  
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*In den dazwischen liegenden Intervallen ist der Amplitudenwert zweipunktverteilt zwischen  $0 \hspace{0.05cm} \rm V$  und  $1 \hspace{0.05cm} \rm V$, wobei der Wert  $1 \hspace{0.05cm} \rm V$  wieder mit der Wahrscheinlichkeit  $p$  auftritt.
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*Oder anders ausgedrückt:   Die Signale  $z(t)$  und  $s(t)$  sind äquivalente Mustersignale des identischen Zufallsprozesses mit bipolarer  $(-1 \hspace{0.05cm} \rm V, \ +1 \hspace{0.05cm} \rm V)$  bzw. unipolarer  $(0 \hspace{0.05cm} \rm V, \ 1 \hspace{0.05cm} \rm V)$  Signaldarstellung.
  
  
Oder anders ausgedrückt: Die Signale $z(t)$ und $s(t)$ sind äquivalente Mustersignale des identischen Zufallsprozesses mit bipolarer $(-1 \hspace{0.05cm} \rm V, \ +1 \hspace{0.05cm} \rm V)$ bzw. unipolarer $(0 \hspace{0.05cm} \rm V, \ 1 \hspace{0.05cm} \rm V)$ Signaldarstellung.
 
  
  
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''Hinweise:''  
 
''Hinweise:''  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte|Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte|Kreuzkorrelationsfunktion und Kreuzleistungsdichte]].
*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
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*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
 
   
 
   
*Skizzieren Sie die gesuchten Korrelationsfunktionen jeweils im Bereich von $-7T$ bis $7T$.
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*Skizzieren Sie die gesuchten Korrelationsfunktionen jeweils im Bereich von  $-7T$  bis  $+7T$.
  
  
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Berechnen Sie die AKF $\varphi_z(\tau)$ und skizzieren Sie diese f&uuml;r $p = 0.25$. <br>Welche Werte ergeben sich f&uuml;r $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$?
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{Berechnen Sie die AKF&nbsp; $\varphi_z(\tau)$&nbsp; und skizzieren Sie diese f&uuml;r&nbsp; $p = 0.25$.&nbsp; Welche Werte ergeben sich f&uuml;r&nbsp; $\tau = 0$,&nbsp; $\tau = 3T$&nbsp; und&nbsp; $\tau = 6T$?
 
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$\varphi_z(\tau= 0) \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \rm V^2$
 
$\varphi_z(\tau= 0) \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \rm V^2$
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{Berechnen Sie nun unter Zuhilfenahme des Ergebnisses aus '''(1)''' die AKF $\varphi_p(\tau)$. <br>Welche Werte ergeben sich f&uuml;r $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$?
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{Berechnen Sie nun unter Zuhilfenahme des Ergebnisses aus&nbsp; '''(1)'''&nbsp; die AKF&nbsp; $\varphi_p(\tau)$.&nbsp; Welche Werte ergeben sich f&uuml;r&nbsp; $\tau = 0$,&nbsp; $\tau = 3T$&nbsp; und&nbsp; $\tau = 6T$?
 
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$\varphi_p(\tau= 0) \ =  \ $ { 0.5 3% } $\ \rm V^2$
 
$\varphi_p(\tau= 0) \ =  \ $ { 0.5 3% } $\ \rm V^2$
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{Es gelte  wieder $p = 0.25$. Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion $\varphi_{pz}(\tau)$ f&uuml;r $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$?
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{Es gelte  wieder&nbsp; $p = 0.25$.&nbsp; Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_{pz}(\tau)$ f&uuml;r&nbsp; $\tau = 0$,&nbsp; $\tau = 3T$&nbsp; und&nbsp; $\tau = 6T$&nbsp;?
 
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$\varphi_{pz}(\tau= 0) \ =  \ $ { -0.26--0.24 } $\ \rm V^2$
 
$\varphi_{pz}(\tau= 0) \ =  \ $ { -0.26--0.24 } $\ \rm V^2$
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{Welche AKF $\varphi_c(\tau)$ ergibt sich allgemein f&uuml;r die Summe $c(t) = a(t) + b(t)$?
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{Welche AKF $\varphi_c(\tau)$ ergibt sich allgemein f&uuml;r die Summe&nbsp; $c(t) = a(t) + b(t)$&nbsp;?
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+
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- $\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) + \varphi_b(\tau)$.
 
- $\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) + \varphi_b(\tau)$.
 
+ $\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) +  \varphi_{ab}(\tau) +  \varphi_{ba}(\tau) + \varphi_b(\tau)$.
 
+ $\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) +  \varphi_{ab}(\tau) +  \varphi_{ba}(\tau) + \varphi_b(\tau)$.
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{Berechnen Sie unter Ber&uuml;cksichtigung des Ergebnisses von '''(4)''' die AKF $\varphi_s(\tau)$. <br>Welche Werte ergeben sich mit $p = 0.25$ f&uuml;r $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$?
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{Berechnen Sie unter Ber&uuml;cksichtigung des Ergebnisses von&nbsp; '''(4)'''&nbsp; die AKF&nbsp; $\varphi_s(\tau)$.&nbsp; Welche Werte ergeben sich mit&nbsp; $p = 0.25$&nbsp; f&uuml;r&nbsp; $\tau = 0$,&nbsp; $\tau = 3T$&nbsp; und&nbsp; $\tau = 6T$&nbsp;?
 
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$\varphi_s(\tau= 0) \ =  \ $ { 0.125 3% } $\ \rm V^2$
 
$\varphi_s(\tau= 0) \ =  \ $ { 0.125 3% } $\ \rm V^2$
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Der AKF-Wert bei $\tau = 0$ gibt die mittlere Leistung an:
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'''(1)'''&nbsp; Der AKF-Wert bei&nbsp; $\tau = 0$&nbsp; gibt die mittlere Leistung an:
 
:$$\varphi_z ( \tau = 0) = {1}/{2} \cdot (1 {\rm V})^2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 {\rm V}^2}.$$
 
:$$\varphi_z ( \tau = 0) = {1}/{2} \cdot (1 {\rm V})^2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 {\rm V}^2}.$$
  
F&uuml;r $\tau = \pm T$, $\underline{\tau = \pm 3T}$, ... &nbsp; ergibt sich $\varphi_z ( \tau)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}$.  
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*F&uuml;r&nbsp; $\tau = \pm T$, $\underline{\tau = \pm 3T}$, ... &nbsp; ergibt sich&nbsp; $\varphi_z ( \tau)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}$.  
  
F&uuml;r die Zwischenwerte $\tau = \pm 2T$, $\tau = \pm 4T$, $\underline{\tau = \pm 6T}$, ... &nbsp; gilt:
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*F&uuml;r die Zwischenwerte&nbsp; $\tau = \pm 2T$,&nbsp; $\tau = \pm 4T$,&nbsp; $\underline{\tau = \pm 6T}$, ... &nbsp; gilt:
:$$\varphi_z ( \tau) =  \frac {1 {\rm V}^2}{2}  \left(p \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm} + \hspace{0.2cm}p \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}(p-1) \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}(p-1)\right)  = \hspace{0.1cm}ßtext{...} \hspace{0.1cm}= 0.5\, {\rm V}^2 \cdot (1-2p)^2 .$$
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:$$\varphi_z ( \tau) =  \frac {1 {\rm V}^2}{2}  \left(p \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm} + \hspace{0.2cm}p \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}(p-1) \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}(p-1)\right)  = \hspace{0.1cm}\text{...} \hspace{0.1cm}= 0.5\, {\rm V}^2 \cdot (1-2p)^2 .$$
  
 
[[Datei:P_ID437__Sto_A_4_14_a.png|frame|right|Autokorrelationsfunktionen und Kreuzkorrelationsfunktion]]
 
[[Datei:P_ID437__Sto_A_4_14_a.png|frame|right|Autokorrelationsfunktionen und Kreuzkorrelationsfunktion]]
*Hierbei steht $p$ f&uuml;r $p \cdot (+1)$ und $(p-1)$ f&uuml;r $(1-p) \cdot (-1)$, also jeweils Wahrscheinlichkeit mal normierter Amplitudenwert.  
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*Hierbei steht&nbsp; $p$ f&uuml;r&nbsp; $p \cdot (+1)$&nbsp; und&nbsp; $(p-1)$&nbsp; f&uuml;r $(1-p) \cdot (-1)$, also jeweils Wahrscheinlichkeit mal normierter Amplitudenwert.  
*Mit $p = 0.25$ erhält man $\varphi_z ( \tau = \pm 6 T) \hspace{0.15cm}\underline{=0.125 \rm V^2}$.
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*Mit&nbsp; $p = 0.25$&nbsp; erhält man&nbsp; $\varphi_z ( \tau = \pm 6 T) \hspace{0.15cm}\underline{=0.125 \rm V^2}$.
  
  
Die blaue Kurve zeigt $\varphi_z(\tau)$ f&uuml;r $p = 0.25$ im Bereich von $-7T \le \tau \le +7T$:  
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Die blaue Kurve zeigt&nbsp; $\varphi_z(\tau)$&nbsp; f&uuml;r&nbsp; $p = 0.25$&nbsp; im Bereich von&nbsp; $-7T \le \tau \le +7T$:  
 
*Aufgrund des rechteckf&ouml;rmigen Signalverlaufs ergibt sich eine Summe von Dreieckfunktionen.  
 
*Aufgrund des rechteckf&ouml;rmigen Signalverlaufs ergibt sich eine Summe von Dreieckfunktionen.  
*F&uuml;r $p = 0.5$ w&uuml;rden die &auml;u&szlig;eren (kleineren) Dreiecke verschwinden.
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*F&uuml;r&nbsp; $p = 0.5$&nbsp; w&uuml;rden die &auml;u&szlig;eren (kleineren) Dreiecke verschwinden.
 
<br clear=all>
 
<br clear=all>
'''(2)'''&nbsp; Die AKF $\varphi_p(\tau)$ des unipolaren periodischen Signals $p(t)$  ist in der allgemeing&uuml;ltigen Darstellung von '''(1)''' &nbsp; &rArr; &nbsp; AKF $\varphi_z(\tau)$ als Sonderfall f&uuml;r $p = 1$ enthalten.  
+
'''(2)'''&nbsp; Die AKF&nbsp; $\varphi_p(\tau)$&nbsp; des unipolaren periodischen Signals&nbsp; $p(t)$&nbsp; ist in der allgemeing&uuml;ltigen Darstellung von&nbsp; '''(1)''' &nbsp; &rArr; &nbsp; AKF&nbsp; $\varphi_z(\tau)$ als Sonderfall f&uuml;r&nbsp; $p = 1$&nbsp; enthalten.  
 
*Man erh&auml;lt nun eine periodische AKF (siehe roter Kurvenverlauf in obiger Skizze) mit
 
*Man erh&auml;lt nun eine periodische AKF (siehe roter Kurvenverlauf in obiger Skizze) mit
 
:$$\varphi_p ( \tau = 0) = \varphi_p ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_p ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} \text{...} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 {\rm V}^2},$$
 
:$$\varphi_p ( \tau = 0) = \varphi_p ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_p ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} \text{...} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 {\rm V}^2},$$
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'''(3)'''&nbsp; Auch f&uuml;r die KKF ergibt sich f&uuml;r $\tau = \pm T$, $\underline{\tau = \pm 3T}$, ... &nbsp;  stets der Wert $0$.  
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*Dagegen sind die KKF-Werte f&uuml;r $\tau = \pm 2T$,  $\tau = \pm 2T$, ... &nbsp;  identisch mit denen bei  $\tau = 0$:
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'''(3)'''&nbsp; Auch f&uuml;r die Kreuzkorrelationsfunktion ergibt sich f&uuml;r&nbsp; $\tau = \pm T$,&nbsp; $\underline{\tau = \pm 3T}$, ... &nbsp;  stets der Wert Null.  
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*Dagegen sind die KKF-Werte f&uuml;r&nbsp; $\tau = \pm 2T$,&nbsp; $\tau = \pm 2T$, ... &nbsp;  identisch mit denen bei&nbsp; $\tau = 0$:
 
:$$\varphi_{pz} ( \tau = 0)  = \varphi_{pz} ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_{pz} ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} \text{...}  \hspace{0.1cm}=  \frac {1 {\rm V}^2}{2}  \left( p - (1-p)\right) = \frac {2p -1}{2}\,  {\rm V}^2  .$$
 
:$$\varphi_{pz} ( \tau = 0)  = \varphi_{pz} ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_{pz} ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} \text{...}  \hspace{0.1cm}=  \frac {1 {\rm V}^2}{2}  \left( p - (1-p)\right) = \frac {2p -1}{2}\,  {\rm V}^2  .$$
  
*Man erhält mit $p = 0.25$ folgende Ergebnisse (siehe grüne Kurve in obiger Skizze):
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*Man erhält mit&nbsp; $p = 0.25$&nbsp; folgende Ergebnisse (siehe grüne Kurve in obiger Skizze):
 
:$$\varphi_{pz} ( \tau = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.25 {\rm V}^2},\hspace{0.5cm}
 
:$$\varphi_{pz} ( \tau = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.25 {\rm V}^2},\hspace{0.5cm}
 
\varphi_{pz} ( \tau = 3T)\hspace{0.15cm}\underline{= 0},\hspace{0.5cm}
 
\varphi_{pz} ( \tau = 3T)\hspace{0.15cm}\underline{= 0},\hspace{0.5cm}
 
\varphi_{pz} ( \tau = 6T)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.25 {\rm V}^2}.$$
 
\varphi_{pz} ( \tau = 6T)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.25 {\rm V}^2}.$$
  
*Mit $p = 1$ würde dagegen $z(z) \equiv p(t)$gelten und damit nat&uuml;rlich auch $\varphi_{pz}(\tau) \equiv \varphi_{p}(\tau) \equiv \varphi_{z}(\tau)$.  
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*Mit&nbsp; $p = 1$&nbsp; würde dagegen&nbsp; $z(t) \equiv p(t)$&nbsp; gelten und damit nat&uuml;rlich auch&nbsp; $\varphi_{pz}(\tau) \equiv \varphi_{p}(\tau) \equiv \varphi_{z}(\tau)$.  
*Für den Sonderfall $p = 0.5$ erg&auml;be sich keine Korrelation zwischen $p(t)$ und $z(t)$ und damit $\varphi_{pz}(\tau) \equiv 0$.
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*Für den Sonderfall&nbsp; $p = 0.5$&nbsp; erg&auml;be sich keine Korrelation zwischen&nbsp; $p(t)$&nbsp; und&nbsp; $z(t)$&nbsp; und damit&nbsp; $\varphi_{pz}(\tau) \equiv 0$.
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*Richtig ist somit  der <u>L&ouml;sungsvorschlag 2</u>.  
 
*Richtig ist somit  der <u>L&ouml;sungsvorschlag 2</u>.  
*Der L&ouml;sungsvorschlag 1 trifft nur zu, wenn $a(t)$ und $b(t)$  unkorreliert sind.  
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*Der L&ouml;sungsvorschlag 1 trifft nur zu, wenn&nbsp; $a(t)$&nbsp; und&nbsp; $b(t)$&nbsp; unkorreliert sind.  
 
*Der letzte Vorschlag, die Faltungsoperation, ist immer falsch.  
 
*Der letzte Vorschlag, die Faltungsoperation, ist immer falsch.  
*Eine ähnliche Gleichung w&uuml;rde sich nur dann ergeben, wenn wir die WDF $f_c(c)$ der Summe &nbsp;$c(t) = a(t) + b(t)$&nbsp; betrachten und $a(t)$ und $b(t)$ statistisch unabh&auml;ngig sind: &nbsp; $f_c (c) = f_a (a) \star f_b (b) .$
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*Eine ähnliche Gleichung w&uuml;rde sich nur dann ergeben, wenn wir die WDF&nbsp; $f_c(c)$&nbsp; der Summe &nbsp;$c(t) = a(t) + b(t)$&nbsp; betrachten und&nbsp; $a(t)$&nbsp; und&nbsp; $b(t)$&nbsp; statistisch unabh&auml;ngig sind: &nbsp; $f_c (c) = f_a (a) \star f_b (b) .$
  
  
  
'''(5)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis von '''(4)''' und unter Ber&uuml;cksichtigung des Faktors $1/2$ erh&auml;lt man:
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'''(5)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis aus&nbsp; '''(4)'''&nbsp; und unter Ber&uuml;cksichtigung des Faktors&nbsp; $1/2$&nbsp; erh&auml;lt man:
 
:$$\varphi_s ( \tau ) = {1}/{4} \cdot \big[ \varphi_{p} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{z} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 2 \cdot \varphi_{pz} ( \tau )  \big] . $$
 
:$$\varphi_s ( \tau ) = {1}/{4} \cdot \big[ \varphi_{p} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{z} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 2 \cdot \varphi_{pz} ( \tau )  \big] . $$
  
*Hierbei ist bereits ber&uuml;cksichtigt, dass die KKF zwischen $p(t)$ und $z(t)$ eine gerade Funktion ist, so dass auch $\varphi_{pz}(\tau) = \varphi_{zp}(\tau)$ gilt.  
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*Hierbei ist bereits ber&uuml;cksichtigt, dass die KKF zwischen&nbsp; $p(t)$&nbsp; und&nbsp; $z(t)$&nbsp; eine gerade Funktion ist, so dass auch&nbsp; $\varphi_{pz}(\tau) = \varphi_{zp}(\tau)$&nbsp; gilt.  
*F&uuml;r $\tau = 0$ erh&auml;lt man deshalb mit den obigen Ergebnissen allgemein:
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*F&uuml;r&nbsp; $\tau = 0$&nbsp; erh&auml;lt man deshalb mit den obigen Ergebnissen allgemein:
 
:$$\varphi_s( \tau = 0) =  {1}/{4} \cdot  \left( 0.5 {\rm V}^2 +0.5 {\rm V}^2 + 2 \cdot \frac{2p-1}{2} {\rm V}^2\right) .$$
 
:$$\varphi_s( \tau = 0) =  {1}/{4} \cdot  \left( 0.5 {\rm V}^2 +0.5 {\rm V}^2 + 2 \cdot \frac{2p-1}{2} {\rm V}^2\right) .$$
*Mit $p = 0.25$ ergibt sich $ \varphi_{pz} ( \tau = 0 ) = 0.125\rm V^2$. Dieses Ergebnis ist plausibel. Im Mittel ist nur in jedem achten Intervall $s(t)=1 \hspace{0.05cm} \rm V$; ansonsten ist $s(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$.
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*Mit&nbsp; $p = 0.25$&nbsp; ergibt sich&nbsp; $\varphi_{pz} ( \tau = 0 ) = 0.125\rm V^2$.&nbsp; Dieses Ergebnis ist plausibel.&nbsp; Im Mittel ist nur in jedem achten Intervall&nbsp; $s(t)=1 \hspace{0.05cm} \rm V$;&nbsp; ansonsten ist&nbsp; $s(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$.
  
*F&uuml;r geradzahlige Vielfache von $T$ gilt:
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*F&uuml;r geradzahlige Vielfache von&nbsp; $T$&nbsp; gilt:
 
:$$  \varphi_s ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_s ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} \text{ ...} \hspace{0.1cm} =  \frac {0.5 {\rm V}^2}{4}  \left( (1-2p)^2 +1 + 2  \cdot (2p -1)\right) = 0.5 \, {\rm V}^2  \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} p^2.$$
 
:$$  \varphi_s ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_s ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} \text{ ...} \hspace{0.1cm} =  \frac {0.5 {\rm V}^2}{4}  \left( (1-2p)^2 +1 + 2  \cdot (2p -1)\right) = 0.5 \, {\rm V}^2  \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} p^2.$$
  
*Mit $p = 0.5$ erh&auml;lt man hierf&uuml;r den Wert $0.03125 \hspace{0.1cm}{\rm V}^2$. Alle AKF-Werte bei ungeradzahligen Vielfachen von $T$ sind wieder $0$.  
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*Mit&nbsp; $p = 0.5$&nbsp; erh&auml;lt man hierf&uuml;r den Wert&nbsp; $0.03125 \hspace{0.1cm}{\rm V}^2$.&nbsp; Alle AKF-Werte bei ungeradzahligen Vielfachen von&nbsp; $T$&nbsp; sind wieder Null.  
*Damit ergibt sich der skizzierte AKF&ndash;Verlauf. Die gesuchten Zahlenwerte sind somit:
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*Damit ergibt sich der skizzierte AKF&ndash;Verlauf.  
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[[Datei:P_ID441__Sto_A_4_14_e.png|framed|right|AKF eines unipolaren Rechtecksignals]]
 
[[Datei:P_ID441__Sto_A_4_14_e.png|framed|right|AKF eines unipolaren Rechtecksignals]]
 
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Die gesuchten Zahlenwerte sind somit:
 
:$$\varphi_{s} ( \tau = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.125 {\rm V}^2},$$
 
:$$\varphi_{s} ( \tau = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.125 {\rm V}^2},$$
 
:$$\varphi_{s} ( \tau = 3T)\hspace{0.15cm}\underline{= 0},$$
 
:$$\varphi_{s} ( \tau = 3T)\hspace{0.15cm}\underline{= 0},$$
 
:$$\varphi_{s} ( \tau = 6T)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.03125 {\rm V}^2}.$$
 
:$$\varphi_{s} ( \tau = 6T)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.03125 {\rm V}^2}.$$
  
Ein Vergleich mit der Skizze zur Teilaufgabe '''(1)''' zeigt, dass das bin&auml;re Signal $s(t)$ bis auf den Faktor $1/4$ die gleiche AKF aufweist wie das Tern&auml;rsignal $z(t)$.
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Ein Vergleich mit der Skizze zur Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; zeigt, dass das bin&auml;re Signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; bis auf den Faktor&nbsp; $1/4$&nbsp; die gleiche AKF aufweist wie das Tern&auml;rsignal&nbsp; $z(t)$.
 
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[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^4.6 KKF und Kreuzleistungsdichte^]]
 
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Aktuelle Version vom 2. Dezember 2019, 17:58 Uhr

AKF und KKF bei Rechtecksignalen

Wir betrachten ein periodisches Rechtecksignal  $p(t)$  entsprechend der oberen Skizze mit den beiden möglichen Amplitudenwerten  $0 \hspace{0.05cm} \rm V$  und  $1 \hspace{0.05cm} \rm V$  und der Rechteckdauer  $T$.  Die Periodendauer beträgt somit  $T_0 = 2T$.

Darunter ist das Zufallssignal  $z(t)$  gezeichnet.

  • Dieses ist zwischen  $(2i-1)\cdot T$  und  $2i \cdot T$  jeweils  $z(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$  (im Bild rot hervorgehoben).
  • In den blau gezeichneten Intervallen zwischen  $2i \cdot T$  und  $(2i+1) \cdot T$  ist der Signalwert zweipunktverteilt  $\pm 1 \hspace{0.05cm} \rm V$.


Die Wahrscheinlichkeit, dass in den blau dargestellten Intervallen  $z(t)=+1 \hspace{0.05cm} \rm V$  gilt, sei allgemein gleich  $p$  und unabhängig von den vorher ausgewürfelten Werten.

Das unterste Signal in nebenstehender Grafik kann aus den beiden ersten konstruiert werden. Es gilt:

$$s(t) = {1}/{2} \cdot \big[p(t) + z(t)\big].$$
  • In den rot eingezeichneten Zeitintervallen zwischen  $(2i-1) \cdot T$  und  $2i \cdot T$  $(i$  ganzzahlig$)$  gilt  $s(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$, da hier sowohl  $p(t)$  als auch  $z(t)$  gleich Null sind.
  • In den dazwischen liegenden Intervallen ist der Amplitudenwert zweipunktverteilt zwischen  $0 \hspace{0.05cm} \rm V$  und  $1 \hspace{0.05cm} \rm V$, wobei der Wert  $1 \hspace{0.05cm} \rm V$  wieder mit der Wahrscheinlichkeit  $p$  auftritt.
  • Oder anders ausgedrückt:   Die Signale  $z(t)$  und  $s(t)$  sind äquivalente Mustersignale des identischen Zufallsprozesses mit bipolarer  $(-1 \hspace{0.05cm} \rm V, \ +1 \hspace{0.05cm} \rm V)$  bzw. unipolarer  $(0 \hspace{0.05cm} \rm V, \ 1 \hspace{0.05cm} \rm V)$  Signaldarstellung.





Hinweise:

  • Skizzieren Sie die gesuchten Korrelationsfunktionen jeweils im Bereich von  $-7T$  bis  $+7T$.



Fragebogen

1

Berechnen Sie die AKF  $\varphi_z(\tau)$  und skizzieren Sie diese für  $p = 0.25$.  Welche Werte ergeben sich für  $\tau = 0$,  $\tau = 3T$  und  $\tau = 6T$?

$\varphi_z(\tau= 0) \ = \ $

$\ \rm V^2$
$\varphi_z(\tau= 3T) \ = \ $

$\ \rm V^2$
$\varphi_z(\tau= 6T) \ = \ $

$\ \rm V^2$

2

Berechnen Sie nun unter Zuhilfenahme des Ergebnisses aus  (1)  die AKF  $\varphi_p(\tau)$.  Welche Werte ergeben sich für  $\tau = 0$,  $\tau = 3T$  und  $\tau = 6T$?

$\varphi_p(\tau= 0) \ = \ $

$\ \rm V^2$
$\varphi_p(\tau= 3T) \ = \ $

$\ \rm V^2$
$\varphi_p(\tau= 6T) \ = \ $

$\ \rm V^2$

3

Es gelte wieder  $p = 0.25$.  Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion  $\varphi_{pz}(\tau)$ für  $\tau = 0$,  $\tau = 3T$  und  $\tau = 6T$ ?

$\varphi_{pz}(\tau= 0) \ = \ $

$\ \rm V^2$
$\varphi_{pz}(\tau= 3T) \ = \ $

$\ \rm V^2$
$\varphi_{pz}(\tau= 6T) \ = \ $

$\ \rm V^2$

4

Welche AKF $\varphi_c(\tau)$ ergibt sich allgemein für die Summe  $c(t) = a(t) + b(t)$ ?

$\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) + \varphi_b(\tau)$.
$\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) + \varphi_{ab}(\tau) + \varphi_{ba}(\tau) + \varphi_b(\tau)$.
$\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) \star \varphi_b(\tau)$.

5

Berechnen Sie unter Berücksichtigung des Ergebnisses von  (4)  die AKF  $\varphi_s(\tau)$.  Welche Werte ergeben sich mit  $p = 0.25$  für  $\tau = 0$,  $\tau = 3T$  und  $\tau = 6T$ ?

$\varphi_s(\tau= 0) \ = \ $

$\ \rm V^2$
$\varphi_s(\tau= 3T) \ = \ $

$\ \rm V^2$
$\varphi_s(\tau= 6T) \ = \ $

$\ \rm V^2$


Musterlösung

(1)  Der AKF-Wert bei  $\tau = 0$  gibt die mittlere Leistung an:

$$\varphi_z ( \tau = 0) = {1}/{2} \cdot (1 {\rm V})^2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 {\rm V}^2}.$$
  • Für  $\tau = \pm T$, $\underline{\tau = \pm 3T}$, ...   ergibt sich  $\varphi_z ( \tau)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}$.
  • Für die Zwischenwerte  $\tau = \pm 2T$,  $\tau = \pm 4T$,  $\underline{\tau = \pm 6T}$, ...   gilt:
$$\varphi_z ( \tau) = \frac {1 {\rm V}^2}{2} \left(p \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm} + \hspace{0.2cm}p \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}(p-1) \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}(p-1)\right) = \hspace{0.1cm}\text{...} \hspace{0.1cm}= 0.5\, {\rm V}^2 \cdot (1-2p)^2 .$$
Autokorrelationsfunktionen und Kreuzkorrelationsfunktion
  • Hierbei steht  $p$ für  $p \cdot (+1)$  und  $(p-1)$  für $(1-p) \cdot (-1)$, also jeweils Wahrscheinlichkeit mal normierter Amplitudenwert.
  • Mit  $p = 0.25$  erhält man  $\varphi_z ( \tau = \pm 6 T) \hspace{0.15cm}\underline{=0.125 \rm V^2}$.


Die blaue Kurve zeigt  $\varphi_z(\tau)$  für  $p = 0.25$  im Bereich von  $-7T \le \tau \le +7T$:

  • Aufgrund des rechteckförmigen Signalverlaufs ergibt sich eine Summe von Dreieckfunktionen.
  • Für  $p = 0.5$  würden die äußeren (kleineren) Dreiecke verschwinden.


(2)  Die AKF  $\varphi_p(\tau)$  des unipolaren periodischen Signals  $p(t)$  ist in der allgemeingültigen Darstellung von  (1)   ⇒   AKF  $\varphi_z(\tau)$ als Sonderfall für  $p = 1$  enthalten.

  • Man erhält nun eine periodische AKF (siehe roter Kurvenverlauf in obiger Skizze) mit
$$\varphi_p ( \tau = 0) = \varphi_p ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_p ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} \text{...} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 {\rm V}^2},$$
$$\varphi_p ( \tau = \pm T) = \varphi_p ( \tau = \pm 3T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$


(3)  Auch für die Kreuzkorrelationsfunktion ergibt sich für  $\tau = \pm T$,  $\underline{\tau = \pm 3T}$, ...   stets der Wert Null.

  • Dagegen sind die KKF-Werte für  $\tau = \pm 2T$,  $\tau = \pm 2T$, ...   identisch mit denen bei  $\tau = 0$:
$$\varphi_{pz} ( \tau = 0) = \varphi_{pz} ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_{pz} ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} \text{...} \hspace{0.1cm}= \frac {1 {\rm V}^2}{2} \left( p - (1-p)\right) = \frac {2p -1}{2}\, {\rm V}^2 .$$
  • Man erhält mit  $p = 0.25$  folgende Ergebnisse (siehe grüne Kurve in obiger Skizze):
$$\varphi_{pz} ( \tau = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.25 {\rm V}^2},\hspace{0.5cm} \varphi_{pz} ( \tau = 3T)\hspace{0.15cm}\underline{= 0},\hspace{0.5cm} \varphi_{pz} ( \tau = 6T)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.25 {\rm V}^2}.$$
  • Mit  $p = 1$  würde dagegen  $z(t) \equiv p(t)$  gelten und damit natürlich auch  $\varphi_{pz}(\tau) \equiv \varphi_{p}(\tau) \equiv \varphi_{z}(\tau)$.
  • Für den Sonderfall  $p = 0.5$  ergäbe sich keine Korrelation zwischen  $p(t)$  und  $z(t)$  und damit  $\varphi_{pz}(\tau) \equiv 0$.



(4)  Durch Einsetzen von  $c(t) = a(t) + b(t)$  in die allgemeine AKF-Definition erhält man:

$$\varphi_c ( \tau ) = \overline{c(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} c(t + \tau)} = \overline{a(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} a(t + \tau)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\overline{a(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} b(t + \tau)} +\overline{b(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} a(t + \tau)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\overline{b(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} b(t + \tau)}. $$
$$\Rightarrow \hspace{0.5cm} \varphi_c ( \tau ) = \varphi_{a} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{ab} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{ba} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}\varphi_{a} ( \tau ). $$
  • Richtig ist somit der Lösungsvorschlag 2.
  • Der Lösungsvorschlag 1 trifft nur zu, wenn  $a(t)$  und  $b(t)$  unkorreliert sind.
  • Der letzte Vorschlag, die Faltungsoperation, ist immer falsch.
  • Eine ähnliche Gleichung würde sich nur dann ergeben, wenn wir die WDF  $f_c(c)$  der Summe  $c(t) = a(t) + b(t)$  betrachten und  $a(t)$  und  $b(t)$  statistisch unabhängig sind:   $f_c (c) = f_a (a) \star f_b (b) .$


(5)  Mit dem Ergebnis aus  (4)  und unter Berücksichtigung des Faktors  $1/2$  erhält man:

$$\varphi_s ( \tau ) = {1}/{4} \cdot \big[ \varphi_{p} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{z} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 2 \cdot \varphi_{pz} ( \tau ) \big] . $$
  • Hierbei ist bereits berücksichtigt, dass die KKF zwischen  $p(t)$  und  $z(t)$  eine gerade Funktion ist, so dass auch  $\varphi_{pz}(\tau) = \varphi_{zp}(\tau)$  gilt.
  • Für  $\tau = 0$  erhält man deshalb mit den obigen Ergebnissen allgemein:
$$\varphi_s( \tau = 0) = {1}/{4} \cdot \left( 0.5 {\rm V}^2 +0.5 {\rm V}^2 + 2 \cdot \frac{2p-1}{2} {\rm V}^2\right) .$$
  • Mit  $p = 0.25$  ergibt sich  $\varphi_{pz} ( \tau = 0 ) = 0.125\rm V^2$.  Dieses Ergebnis ist plausibel.  Im Mittel ist nur in jedem achten Intervall  $s(t)=1 \hspace{0.05cm} \rm V$;  ansonsten ist  $s(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$.
  • Für geradzahlige Vielfache von  $T$  gilt:
$$ \varphi_s ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_s ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} \text{ ...} \hspace{0.1cm} = \frac {0.5 {\rm V}^2}{4} \left( (1-2p)^2 +1 + 2 \cdot (2p -1)\right) = 0.5 \, {\rm V}^2 \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} p^2.$$
  • Mit  $p = 0.5$  erhält man hierfür den Wert  $0.03125 \hspace{0.1cm}{\rm V}^2$.  Alle AKF-Werte bei ungeradzahligen Vielfachen von  $T$  sind wieder Null.
  • Damit ergibt sich der skizzierte AKF–Verlauf.


AKF eines unipolaren Rechtecksignals

Die gesuchten Zahlenwerte sind somit:

$$\varphi_{s} ( \tau = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.125 {\rm V}^2},$$
$$\varphi_{s} ( \tau = 3T)\hspace{0.15cm}\underline{= 0},$$
$$\varphi_{s} ( \tau = 6T)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.03125 {\rm V}^2}.$$

Ein Vergleich mit der Skizze zur Teilaufgabe  (1)  zeigt, dass das binäre Signal  $s(t)$  bis auf den Faktor  $1/4$  die gleiche AKF aufweist wie das Ternärsignal  $z(t)$.