Aufgaben:Aufgabe 4.13Z: AMI-Code: Unterschied zwischen den Versionen

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Zur Spektralanpassung (Formung) eines Digitalsignals an die Eigenschaften des Kanals verwendet man so genannte <i>Pseudotern&auml;rcodes</i>. Bei diesen Codes wird die bin&auml;re Quellensymbolfolge $\langle q_\nu  \rangle$ nach einer festen Vorschrift in eine Folge $\langle c_\nu  \rangle$  von Tern&auml;rsymbolen umgesetzt:
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Zur Spektralanpassung (Formung) eines Digitalsignals an die Eigenschaften des Kanals verwendet man so genannte&nbsp; <i>Pseudotern&auml;rcodes</i>.&nbsp; Bei diesen Codes wird die bin&auml;re Quellensymbolfolge&nbsp; $\langle q_\nu  \rangle$&nbsp; nach einer festen Vorschrift in eine Folge&nbsp; $\langle c_\nu  \rangle$&nbsp; von Tern&auml;rsymbolen umgesetzt:
 
:$$q_{\nu} \in \{ -1,\hspace{0.1cm} +1 \} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} c_{\nu} \in \{ -1, \hspace{0.1cm}0, \hspace{0.1cm}+1 \} .$$
 
:$$q_{\nu} \in \{ -1,\hspace{0.1cm} +1 \} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} c_{\nu} \in \{ -1, \hspace{0.1cm}0, \hspace{0.1cm}+1 \} .$$
  
Der bekannteste Vertreter dieser Codeklasse  ist der AMI-Code (von <i>Alternate Mark Inversion</i>). Hier wird  
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Der bekannteste Vertreter dieser Codeklasse  ist der AMI-Code (von <i>Alternate Mark Inversion</i>).&nbsp; Hier wird  
*der Bin&auml;rwert $q_\nu  = -1$ stets auf $c_\nu  = 0$ abgebildet,  
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*der Bin&auml;rwert&nbsp; $q_\nu  = -1$&nbsp; stets auf&nbsp; $c_\nu  = 0$&nbsp; abgebildet,  
*w&auml;hrend $q_\nu  = +1$ abwechselnd (alternierend) durch die Tern&auml;rwerte $c_\nu  = +1$ und $c_\nu  = -1$ dargestellt wird.  
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*w&auml;hrend&nbsp; $q_\nu  = +1$&nbsp; abwechselnd (alternierend) durch die Tern&auml;rwerte&nbsp; $c_\nu  = +1$&nbsp; und&nbsp; $c_\nu  = -1$&nbsp; dargestellt wird.  
  
  
Vereinbarungsgemäß soll beim ersten Auftreten von $q_\nu  = +1$ das Tern&auml;rsymbol $c_\nu  = +1$ ausgew&auml;hlt werden.
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Vereinbarungsgemäß soll beim ersten Auftreten von&nbsp; $q_\nu  = +1$&nbsp; das Tern&auml;rsymbol&nbsp; $c_\nu  = +1$&nbsp; ausgew&auml;hlt werden.
  
 
Weiter wird vorausgesetzt, dass  
 
Weiter wird vorausgesetzt, dass  
 
*die zwei m&ouml;glichen Quellensymbole jeweils gleichwahrscheinlich sind und  
 
*die zwei m&ouml;glichen Quellensymbole jeweils gleichwahrscheinlich sind und  
*die Quellensymbolfolge $\langle q_\nu  \rangle$ keine inneren statistischen Bindungen aufweist.  
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*die Quellensymbolfolge&nbsp; $\langle q_\nu  \rangle&nbsp;$ keine inneren statistischen Bindungen aufweist.  
  
  
Somit sind alle diskreten AKF-Werte gleich Null mit Ausnahme von $\varphi_q(k=0)$:
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Somit sind alle diskreten AKF-Werte gleich Null mit Ausnahme von&nbsp; $\varphi_q(k=0)$:
 
:$$\varphi_q ( k \cdot T) = 0 \hspace{0.5cm} {\rm f alls} \hspace{0.5cm} k \not= 0.$$
 
:$$\varphi_q ( k \cdot T) = 0 \hspace{0.5cm} {\rm f alls} \hspace{0.5cm} k \not= 0.$$
  
Hierbei  bezeichnet $T$ den Abstand der Quellen&ndash; bzw. Codesymbole. Verwenden Sie den Wert $T = 1 \hspace{0.05cm} \rm &micro; s$.
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Hierbei  bezeichnet&nbsp; $T$&nbsp; den Abstand der Quellen&ndash; bzw. Codesymbole.&nbsp; Verwenden Sie den Wert&nbsp; $T = 1 \hspace{0.05cm} \rm &micro; s$.
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Das Bild zeigt die gegebenen Autokorrelationsfunktionen.&nbsp; Bitte beachten Sie:
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* Rot eingezeichnet sind jeweils die zeitdiskreten Darstellungen&nbsp; ${\rm A} \{ \varphi_q(\tau) \}$&nbsp; und&nbsp; ${\rm A} \{ \varphi_c(\tau) \}$&nbsp; der Autokorrelationsfunktionen, jeweils mit dem Bezugswert&nbsp; $T$.
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* Die blau dargestellten Funktionen zeigen die zeitkontinuierlichen Verläufe&nbsp; $\varphi_q(\tau)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_c(\tau)$&nbsp; der AKF, wobei Rechteckimpulse vorausgesetzt sind.
  
Das Bild zeigt die gegebenen Autokorrelationsfunktionen. Bitte beachten Sie:
 
  
* Rot eingezeichnet sind jeweils die zeitdiskreten Darstellungen ${\rm A} \{ \varphi_q(\tau) \}$ und ${\rm A} \{ \varphi_c(\tau) \}$ der Autokorrelationsfunktionen, jeweils mit dem Bezugswert $T$ .
 
* Die blau dargestellten Funktionen zeigen die zeitkontinuierlichen Verläufe $\varphi_q(\tau)$ und $\varphi_c(\tau)$ der AKF, wobei Rechtecksignale vorausgesetzt sind.
 
  
  
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''Hinweise:''  
 
''Hinweise:''  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]].
*Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]] sowie auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)#Numerische_LDS-Ermittlung|Numerische_LDS-Ermittlung]].
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*Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]]&nbsp; sowie auf die Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)#Numerische_LDS-Ermittlung|Numerische_LDS-Ermittlung]].
 
   
 
   
*Benutzen Sie die folgende Fourierkorrespondenz, wobei ${\rm \Delta} (t)$ einen um $t = 0$ symmetrischen Dreieckimpuls mit ${\rm \Delta} (t= 0) = 1$ und ${\rm \Delta} (t) = 0$ für $|t| \ge T$  bezeichnet:  
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*Benutzen Sie die folgende Fourierkorrespondenz, wobei&nbsp; ${\rm \Delta} (t)$&nbsp; einen um&nbsp; $t = 0$&nbsp; symmetrischen Dreieckimpuls mit&nbsp; ${\rm \Delta} (t= 0) = 1$&nbsp; und&nbsp; ${\rm \Delta} (t) = 0$&nbsp; für&nbsp; $|t| \ge T$&nbsp; bezeichnet:  
 
:$${\rm \Delta} (t) \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} T \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T).$$
 
:$${\rm \Delta} (t) \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} T \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T).$$
  
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Wie gro&szlig; ist der diskrete AKF&ndash;Wert der Quellensymbole f&uuml;r $k = 0$?
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{Wie gro&szlig; ist der diskrete AKF&ndash;Wert der Quellensymbole f&uuml;r&nbsp; $k = 0$?
 
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$\varphi_q(k=0) \ = \ $ { 1 3% }
 
$\varphi_q(k=0) \ = \ $ { 1 3% }
  
  
{Welche Aussagen gelten für die LDS&ndash;Funktionen ${\it \Phi}_q(f)$  und ${\rm P} \{ {\it \Phi}_q(f) \}$?
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{Welche Aussagen gelten für die LDS&ndash;Funktionen&nbsp; ${\it \Phi}_q(f)$&nbsp; und&nbsp; ${\rm P} \{ {\it \Phi}_q(f) \}$?
 
|type="[]"}
 
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+ ${\rm P} \{ {\it \Phi}_q(f) \}$ ist f&uuml;r alle Frequenzen eine Konstante.
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+ ${\rm P} \{ {\it \Phi}_q(f) \}$&nbsp; ist f&uuml;r alle Frequenzen eine Konstante.
- ${\it \Phi}_q(f)$ ist f&uuml;r $|f \cdot T| < 0.5$ konstant und au&szlig;erhalb $0$.
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- ${\it \Phi}_q(f)$&nbsp; ist f&uuml;r&nbsp; $|f \cdot T| < 0.5$&nbsp; konstant und au&szlig;erhalb Null.
+ ${\it \Phi}_q(f)$ verl&auml;uft $\rm si^2$-f&ouml;rmig.
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+ ${\it \Phi}_q(f)$&nbsp; verl&auml;uft&nbsp; $\rm si^2$-f&ouml;rmig.
  
  
{Die Quellensymbolfolge sei $\langle q_\nu  \rangle = \langle +1, -1, +1, +1, -1, +1, +1, -1, -1, -1  \rangle$.  
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{Die Quellensymbolfolge sei&nbsp; $\langle q_\nu  \rangle = \langle +1, -1, +1, +1, -1, +1, +1, -1, -1, -1  \rangle$.  
<br>Wie lauten die Codesymbole $c_\nu$? Geben Sie das Codesymbol $c_6$ ein.
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<br>Wie lauten die Codesymbole&nbsp; $c_\nu$&nbsp;? Geben Sie das Codesymbol&nbsp; $c_6$&nbsp; ein.
 
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$c_6 \ = \ $ { -1.01--0.99  }
 
$c_6 \ = \ $ { -1.01--0.99  }
  
  
{Wie gro&szlig; ist der diskrete AKF&ndash;Wert der Codesymbole f&uuml;r $k = 0$.
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{Wie gro&szlig; ist der diskrete AKF&ndash;Wert der Codesymbole f&uuml;r&nbsp; $k = 0$.
 
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$\varphi_c(k=0) \ = \ $ { 0.5 3% }
 
$\varphi_c(k=0) \ = \ $ { 0.5 3% }
  
  
{Berechnen Sie die AKF-Werte $\varphi_c(k=+1)$ und $\varphi_c(k=-1)$.
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{Berechnen Sie die AKF-Werte&nbsp; $\varphi_c(k=+1)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_c(k=-1)$.
 
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$\varphi_c(k=+1) \ = \ $ { -0.26--0.24 }
 
$\varphi_c(k=+1) \ = \ $ { -0.26--0.24 }
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{Welche spektrale Leistungsdichte ${\it \Phi}_c(f)$ ergibt sich für die Frequenz $f=0$  bzw. für $f = 500  \hspace{0.08cm} \rm kHz$. &nbsp; <i>Hinweis:</i> &nbsp; F&uuml;r $|k| \ge 2$ sind alle AKF&ndash;Werte $\varphi_c(k) \equiv 0$.
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{Welche spektrale Leistungsdichte&nbsp; ${\it \Phi}_c(f)$&nbsp; ergibt sich für die Frequenz&nbsp;$f=0$  bzw. für&nbsp;$f = 500  \hspace{0.08cm} \rm kHz$. &nbsp; <i>Hinweis:</i> &nbsp; F&uuml;r&nbsp; $|k| \ge 2$&nbsp; sind alle AKF&ndash;Werte&nbsp; $\varphi_c(k) \equiv 0$.
 
|type="{}"}
 
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${\it \Phi}_c(f = 0) \ = \ $ { 0. } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm 1/Hz$
 
${\it \Phi}_c(f = 0) \ = \ $ { 0. } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm 1/Hz$
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Der diskrete AKF-Wert f&uuml;r $k = 0$ gibt den quadratischen Mittelwert (hier gleich der Varianz) der Quellensymbole an.  
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'''(1)'''&nbsp; Der diskrete AKF-Wert f&uuml;r&nbsp; $k = 0$&nbsp; gibt den quadratischen Mittelwert (hier gleich der Varianz) der Quellensymbole an.  
*Da $q_\nu$ nur die Werte $-1$ und $+1$ annehmen kann, ist $\varphi_q(k=0)\hspace{0.15cm}\underline{= 1}$.
+
*Da&nbsp; $q_\nu$&nbsp; nur die Werte&nbsp; $-1$&nbsp; und&nbsp; $+1$&nbsp; annehmen kann, ist&nbsp; $\varphi_q(k=0)\hspace{0.15cm}\underline{= 1}$.
  
  
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*Die zeitdiskrete AKF und deren Fouriertransformierte lauten:
 
*Die zeitdiskrete AKF und deren Fouriertransformierte lauten:
 
:$${\rm A} \{ \varphi_q ( \tau ) \} =  \varphi_q ( k = 0) \cdot T \cdot \delta (\tau) \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} {\rm P} \{{\it \Phi_q}( f) \} =  \varphi_q ( k = 0) \cdot T = T.$$
 
:$${\rm A} \{ \varphi_q ( \tau ) \} =  \varphi_q ( k = 0) \cdot T \cdot \delta (\tau) \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} {\rm P} \{{\it \Phi_q}( f) \} =  \varphi_q ( k = 0) \cdot T = T.$$
*Es ist ber&uuml;cksichtigt, dass $\varphi_q(k=0)= \sigma_q^2= 1$ ist. Das bedeutet:  &nbsp;  
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*Es ist ber&uuml;cksichtigt, dass&nbsp; $\varphi_q(k=0)= \sigma_q^2= 1$&nbsp; ist.&nbsp; Das bedeutet:  &nbsp;  
:Die periodische Fortsetzung von ${\rm P} \{ {\it \Phi}_q(f) \}$ ergibt somit f&uuml;r alle Frequenzen den gleichen Wert.
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:Die periodische Fortsetzung von&nbsp; ${\rm P} \{ {\it \Phi}_q(f) \}$&nbsp; ergibt somit f&uuml;r alle Frequenzen den gleichen Wert.
 
*Dagegen kann die zeitkontinuierliche AKF wie folgt dargestellt werden: &nbsp;  
 
*Dagegen kann die zeitkontinuierliche AKF wie folgt dargestellt werden: &nbsp;  
 
:$$ \varphi_q ( \tau ) = {\rm A} \{ \varphi_q ( \tau ) \} \star ( {\rm \Delta} ( \tau) / T ).$$
 
:$$ \varphi_q ( \tau ) = {\rm A} \{ \varphi_q ( \tau ) \} \star ( {\rm \Delta} ( \tau) / T ).$$
 
*Das dazugeh&ouml;rige Leistungsdichtespektrum (Fouriertransformierte der AKF) ist dann das Produkt der Fouriertransformierten der beiden Faltungsterme: &nbsp;  
 
*Das dazugeh&ouml;rige Leistungsdichtespektrum (Fouriertransformierte der AKF) ist dann das Produkt der Fouriertransformierten der beiden Faltungsterme: &nbsp;  
 
:$$ {\it \Phi_q} ( f) =  {\rm P} \{ {\it \Phi_q}( f) \} \cdot {\rm si}^2 (\pi f T ) = T \cdot {\rm si}^2 (\pi f T ) .$$
 
:$$ {\it \Phi_q} ( f) =  {\rm P} \{ {\it \Phi_q}( f) \} \cdot {\rm si}^2 (\pi f T ) = T \cdot {\rm si}^2 (\pi f T ) .$$
*Aufgrund der gew&auml;hlten AKF-Interpolation (mit Geradenabschnitten) aus ihren Abtastwerten ergibt sich ein si<sup>2</sup>-f&ouml;rmiges LDS.  
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*Aufgrund der gew&auml;hlten AKF-Interpolation (mit Geradenabschnitten) aus ihren Abtastwerten ergibt sich ein&nbsp; $\rm si^2$-f&ouml;rmiges LDS.  
*Ein rechteckförmiges Spektrum gemäß L&ouml;sungsvorschlag '''(2)''' w&uuml;rde sich nur bei si-f&ouml;rmiger Interpolation einstellen.  
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*Ein rechteckförmiges Spektrum gemäß L&ouml;sungsvorschlag&nbsp; '''(2)'''&nbsp; w&uuml;rde sich nur bei&nbsp; $\rm si$-f&ouml;rmiger Interpolation einstellen.  
  
  
  
'''(3)'''&nbsp; Die codierte Folge lautet: &nbsp; $\langle +1, 0, -1, +1, 0, -1, +1, 0, 0, 0 \rangle$.  
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'''(3)'''&nbsp; Die codierte Folge lautet: &nbsp; $\langle +1, \ 0, -1, +1, \ 0, -1, +1, \ 0, \ 0, \ 0 \rangle$.&nbsp; Das 6. Symbol ist somit&nbsp; $c_6\hspace{0.15cm}\underline{= -1}$.
:Das 6. Symbol ist somit $c_6\hspace{0.15cm}\underline{= -1}$.
 
  
  
'''(4)'''&nbsp; Die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Werte $-1$, $\ 0$ und $+1$ sind $0.25, 0.5, 0.25$. Daraus folgt:
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'''(4)'''&nbsp; Die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Werte&nbsp; $-1$&nbsp;, $\ 0$&nbsp; und $+1$&nbsp; sind&nbsp; $0.25, 0.5, 0.25$.&nbsp; Daraus folgt:
 
:$$\varphi_c ( k = 0) = 0.25 \cdot (-1)^2 + 0.5 \cdot 0^2 +0.25 \cdot (+1)^2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}. $$
 
:$$\varphi_c ( k = 0) = 0.25 \cdot (-1)^2 + 0.5 \cdot 0^2 +0.25 \cdot (+1)^2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}. $$
  
  
'''(5)'''&nbsp; F&uuml;r den AKF-Wert bei $k = 1$ betrachtet man das Produkt $c_{\nu} \cdot c_{\nu+1}$.  
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'''(5)'''&nbsp; F&uuml;r den AKF-Wert bei&nbsp; $k = 1$&nbsp; betrachtet man das Produkt&nbsp; $c_{\nu} \cdot c_{\nu+1}$.&nbsp; Es ergeben sich die rechts gezeigten Kombinationen.  
*Es ergeben sich die rechts gezeigten Kombinationen.  
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*Einen Beitrag liefern nur Produkte&nbsp; $c_{\nu} \cdot c_{\nu+1} \ne 0$&nbsp; mit&nbsp; ${\rm Pr}\big[c_{\nu} \cdot c_{\nu+1}\big] \ne 0$:
*Einen Beitrag liefern nur Produkte $c_{\nu} \cdot c_{\nu+1} \ne 0$ mit ${\rm Pr}\big[c_{\nu} \cdot c_{\nu+1}\big] \ne 0$:
 
 
:$$\varphi_c ( k = 1) = {\rm Pr} \big [( c_{\nu} = +1) \cap ( c_{\nu + 1} = -1) \big ] \cdot (+1) \cdot (-1) + {\rm Pr} \big [ ( c_{\nu} = -1) \cap ( c_{\nu + 1} = +1) \big ] \cdot (-1) \cdot (+1).$$
 
:$$\varphi_c ( k = 1) = {\rm Pr} \big [( c_{\nu} = +1) \cap ( c_{\nu + 1} = -1) \big ] \cdot (+1) \cdot (-1) + {\rm Pr} \big [ ( c_{\nu} = -1) \cap ( c_{\nu + 1} = +1) \big ] \cdot (-1) \cdot (+1).$$
 
[[Datei:P_ID428__Sto_Z_4_13_e.png|right|frame|Zur AKF-Berechnung des AMI-Codes]]
 
[[Datei:P_ID428__Sto_Z_4_13_e.png|right|frame|Zur AKF-Berechnung des AMI-Codes]]
In der Tabelle sind diese Terme rot gekennzeichnet. Weiter gilt:
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*In der Tabelle sind diese Terme rot gekennzeichnet. Weiter gilt:
 
:$$ {\rm Pr} \big [ ( c_{\nu} = +1) \cap ( c_{\nu + 1} = -1) \big ] = $$
 
:$$ {\rm Pr} \big [ ( c_{\nu} = +1) \cap ( c_{\nu + 1} = -1) \big ] = $$
 
:$$  = {\rm Pr}  ( c_{\nu} = +1)  \cdot {\rm Pr} \left (  c_{\nu + 1} = -1 | c_{\nu } = +1) \right )  = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{8} . $$
 
:$$  = {\rm Pr}  ( c_{\nu} = +1)  \cdot {\rm Pr} \left (  c_{\nu + 1} = -1 | c_{\nu } = +1) \right )  = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{8} . $$
Hierbei ist vorausgesetzt, dass $+1$ mit der Wahrscheinlichkeit $0.25$ auftritt und danach $-1$ nur in der H&auml;lfte der F&auml;lle folgt.  
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:Hierbei ist vorausgesetzt, dass&nbsp; $+1$&nbsp; mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $0.25$&nbsp; auftritt und danach&nbsp; $-1$&nbsp; nur in der H&auml;lfte der F&auml;lle folgt.  
  
Das gleiche Ergebnis erh&auml;lt man f&uuml;r den zweiten Beitrag. Damit gilt:
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*Das gleiche Ergebnis erh&auml;lt man f&uuml;r den zweiten Beitrag. Damit gilt:
 
:$$\varphi_c ( k = 1) = \frac {1}{8} \cdot (+1)\cdot (-1) + \frac {1}{8} \cdot (-1)\cdot (+1) \hspace{0.15cm}\underline{= -0.25}.$$
 
:$$\varphi_c ( k = 1) = \frac {1}{8} \cdot (+1)\cdot (-1) + \frac {1}{8} \cdot (-1)\cdot (+1) \hspace{0.15cm}\underline{= -0.25}.$$
 
:$$\varphi_c ( k = -1) = \varphi_c ( k = 1) \hspace{0.15cm}\underline{= -0.25}.$$
 
:$$\varphi_c ( k = -1) = \varphi_c ( k = 1) \hspace{0.15cm}\underline{= -0.25}.$$
Zur Berechnung von $\varphi_c ( k = 2)$  muss &uuml;ber $3^3 = 27$ Kombinationen gemittelt werden. Das Ergebnis ist jedoch Null.
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*Zur Berechnung von&nbsp; $\varphi_c ( k = 2)$&nbsp; muss &uuml;ber&nbsp; $3^3 = 27$&nbsp; Kombinationen gemittelt werden. Das Ergebnis ist Null.
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'''(6)'''&nbsp; Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten AKF ${\rm A} \{ \varphi_c(\tau) \}$ lautet:
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'''(6)'''&nbsp; Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten AKF&nbsp; ${\rm A} \{ \varphi_c(\tau) \}$&nbsp; lautet:
 
:$$P \{{\it \Phi_c}( f) \} =  T\cdot  \varphi_c ( k = 0) +2T \cdot \varphi_c ( k = 1) \cdot {\rm cos} ( 2 \pi f T ).$$
 
:$$P \{{\it \Phi_c}( f) \} =  T\cdot  \varphi_c ( k = 0) +2T \cdot \varphi_c ( k = 1) \cdot {\rm cos} ( 2 \pi f T ).$$
  
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:$$P \{{\it \Phi}_c( f) \} =  \frac {T}{2} (1 - {\rm cos} ( 2 \pi f T ) )= T \cdot {\rm sin}^2 ( \pi f T ).$$
 
:$$P \{{\it \Phi}_c( f) \} =  \frac {T}{2} (1 - {\rm cos} ( 2 \pi f T ) )= T \cdot {\rm sin}^2 ( \pi f T ).$$
  
*Wie unter Punkt '''(2)''' gezeigt, gilt dann f&uuml;r das LDS &ndash; also die Fouriertransformierte von $\varphi_c(\tau)$:
+
*Wie unter Punkt&nbsp; '''(2)''' gezeigt, gilt dann f&uuml;r das LDS &ndash; also die Fouriertransformierte von&nbsp; $\varphi_c(\tau)$:
 
:$${\it \Phi_c}( f) = T \cdot {\rm sin}^2 ( \pi f T ) \cdot  {\rm si}^2 ( \pi f T ) = T \cdot \frac {{\rm sin}^4 ( \pi f T )}{( \pi f T )^2 } .$$
 
:$${\it \Phi_c}( f) = T \cdot {\rm sin}^2 ( \pi f T ) \cdot  {\rm si}^2 ( \pi f T ) = T \cdot \frac {{\rm sin}^4 ( \pi f T )}{( \pi f T )^2 } .$$
 
:$$\Rightarrow  \hspace{0.3cm} {\it \Phi_c}( f = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}, \hspace{0.8cm}
 
:$$\Rightarrow  \hspace{0.3cm} {\it \Phi_c}( f = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}, \hspace{0.8cm}

Aktuelle Version vom 2. Dezember 2019, 15:42 Uhr

AKF bei AMI-Codierung

Zur Spektralanpassung (Formung) eines Digitalsignals an die Eigenschaften des Kanals verwendet man so genannte  Pseudoternärcodes.  Bei diesen Codes wird die binäre Quellensymbolfolge  $\langle q_\nu \rangle$  nach einer festen Vorschrift in eine Folge  $\langle c_\nu \rangle$  von Ternärsymbolen umgesetzt:

$$q_{\nu} \in \{ -1,\hspace{0.1cm} +1 \} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} c_{\nu} \in \{ -1, \hspace{0.1cm}0, \hspace{0.1cm}+1 \} .$$

Der bekannteste Vertreter dieser Codeklasse ist der AMI-Code (von Alternate Mark Inversion).  Hier wird

  • der Binärwert  $q_\nu = -1$  stets auf  $c_\nu = 0$  abgebildet,
  • während  $q_\nu = +1$  abwechselnd (alternierend) durch die Ternärwerte  $c_\nu = +1$  und  $c_\nu = -1$  dargestellt wird.


Vereinbarungsgemäß soll beim ersten Auftreten von  $q_\nu = +1$  das Ternärsymbol  $c_\nu = +1$  ausgewählt werden.

Weiter wird vorausgesetzt, dass

  • die zwei möglichen Quellensymbole jeweils gleichwahrscheinlich sind und
  • die Quellensymbolfolge  $\langle q_\nu \rangle $ keine inneren statistischen Bindungen aufweist.


Somit sind alle diskreten AKF-Werte gleich Null mit Ausnahme von  $\varphi_q(k=0)$:

$$\varphi_q ( k \cdot T) = 0 \hspace{0.5cm} {\rm f alls} \hspace{0.5cm} k \not= 0.$$

Hierbei bezeichnet  $T$  den Abstand der Quellen– bzw. Codesymbole.  Verwenden Sie den Wert  $T = 1 \hspace{0.05cm} \rm µ s$.

Das Bild zeigt die gegebenen Autokorrelationsfunktionen.  Bitte beachten Sie:

  • Rot eingezeichnet sind jeweils die zeitdiskreten Darstellungen  ${\rm A} \{ \varphi_q(\tau) \}$  und  ${\rm A} \{ \varphi_c(\tau) \}$  der Autokorrelationsfunktionen, jeweils mit dem Bezugswert  $T$.
  • Die blau dargestellten Funktionen zeigen die zeitkontinuierlichen Verläufe  $\varphi_q(\tau)$  und  $\varphi_c(\tau)$  der AKF, wobei Rechteckimpulse vorausgesetzt sind.




Hinweise:

  • Benutzen Sie die folgende Fourierkorrespondenz, wobei  ${\rm \Delta} (t)$  einen um  $t = 0$  symmetrischen Dreieckimpuls mit  ${\rm \Delta} (t= 0) = 1$  und  ${\rm \Delta} (t) = 0$  für  $|t| \ge T$  bezeichnet:
$${\rm \Delta} (t) \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} T \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T).$$


Fragebogen

1

Wie groß ist der diskrete AKF–Wert der Quellensymbole für  $k = 0$?

$\varphi_q(k=0) \ = \ $

2

Welche Aussagen gelten für die LDS–Funktionen  ${\it \Phi}_q(f)$  und  ${\rm P} \{ {\it \Phi}_q(f) \}$?

${\rm P} \{ {\it \Phi}_q(f) \}$  ist für alle Frequenzen eine Konstante.
${\it \Phi}_q(f)$  ist für  $|f \cdot T| < 0.5$  konstant und außerhalb Null.
${\it \Phi}_q(f)$  verläuft  $\rm si^2$-förmig.

3

Die Quellensymbolfolge sei  $\langle q_\nu \rangle = \langle +1, -1, +1, +1, -1, +1, +1, -1, -1, -1 \rangle$.
Wie lauten die Codesymbole  $c_\nu$ ? Geben Sie das Codesymbol  $c_6$  ein.

$c_6 \ = \ $

4

Wie groß ist der diskrete AKF–Wert der Codesymbole für  $k = 0$.

$\varphi_c(k=0) \ = \ $

5

Berechnen Sie die AKF-Werte  $\varphi_c(k=+1)$  und  $\varphi_c(k=-1)$.

$\varphi_c(k=+1) \ = \ $

$\varphi_c(k=-1) \ = \ $

6

Welche spektrale Leistungsdichte  ${\it \Phi}_c(f)$  ergibt sich für die Frequenz $f=0$ bzw. für $f = 500 \hspace{0.08cm} \rm kHz$.   Hinweis:   Für  $|k| \ge 2$  sind alle AKF–Werte  $\varphi_c(k) \equiv 0$.

${\it \Phi}_c(f = 0) \ = \ $

$\ \cdot 10^{-6} \ \rm 1/Hz$
${\it \Phi}_c(f = 500 \hspace{0.08cm} \rm kHz)\ = \ $

$\ \cdot 10^{-6} \ \rm 1/Hz$


Musterlösung

(1)  Der diskrete AKF-Wert für  $k = 0$  gibt den quadratischen Mittelwert (hier gleich der Varianz) der Quellensymbole an.

  • Da  $q_\nu$  nur die Werte  $-1$  und  $+1$  annehmen kann, ist  $\varphi_q(k=0)\hspace{0.15cm}\underline{= 1}$.


(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • Die zeitdiskrete AKF und deren Fouriertransformierte lauten:
$${\rm A} \{ \varphi_q ( \tau ) \} = \varphi_q ( k = 0) \cdot T \cdot \delta (\tau) \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} {\rm P} \{{\it \Phi_q}( f) \} = \varphi_q ( k = 0) \cdot T = T.$$
  • Es ist berücksichtigt, dass  $\varphi_q(k=0)= \sigma_q^2= 1$  ist.  Das bedeutet:  
Die periodische Fortsetzung von  ${\rm P} \{ {\it \Phi}_q(f) \}$  ergibt somit für alle Frequenzen den gleichen Wert.
  • Dagegen kann die zeitkontinuierliche AKF wie folgt dargestellt werden:  
$$ \varphi_q ( \tau ) = {\rm A} \{ \varphi_q ( \tau ) \} \star ( {\rm \Delta} ( \tau) / T ).$$
  • Das dazugehörige Leistungsdichtespektrum (Fouriertransformierte der AKF) ist dann das Produkt der Fouriertransformierten der beiden Faltungsterme:  
$$ {\it \Phi_q} ( f) = {\rm P} \{ {\it \Phi_q}( f) \} \cdot {\rm si}^2 (\pi f T ) = T \cdot {\rm si}^2 (\pi f T ) .$$
  • Aufgrund der gewählten AKF-Interpolation (mit Geradenabschnitten) aus ihren Abtastwerten ergibt sich ein  $\rm si^2$-förmiges LDS.
  • Ein rechteckförmiges Spektrum gemäß Lösungsvorschlag  (2)  würde sich nur bei  $\rm si$-förmiger Interpolation einstellen.


(3)  Die codierte Folge lautet:   $\langle +1, \ 0, -1, +1, \ 0, -1, +1, \ 0, \ 0, \ 0 \rangle$.  Das 6. Symbol ist somit  $c_6\hspace{0.15cm}\underline{= -1}$.


(4)  Die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Werte  $-1$ , $\ 0$  und $+1$  sind  $0.25, 0.5, 0.25$.  Daraus folgt:

$$\varphi_c ( k = 0) = 0.25 \cdot (-1)^2 + 0.5 \cdot 0^2 +0.25 \cdot (+1)^2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}. $$


(5)  Für den AKF-Wert bei  $k = 1$  betrachtet man das Produkt  $c_{\nu} \cdot c_{\nu+1}$.  Es ergeben sich die rechts gezeigten Kombinationen.

  • Einen Beitrag liefern nur Produkte  $c_{\nu} \cdot c_{\nu+1} \ne 0$  mit  ${\rm Pr}\big[c_{\nu} \cdot c_{\nu+1}\big] \ne 0$:
$$\varphi_c ( k = 1) = {\rm Pr} \big [( c_{\nu} = +1) \cap ( c_{\nu + 1} = -1) \big ] \cdot (+1) \cdot (-1) + {\rm Pr} \big [ ( c_{\nu} = -1) \cap ( c_{\nu + 1} = +1) \big ] \cdot (-1) \cdot (+1).$$
Zur AKF-Berechnung des AMI-Codes
  • In der Tabelle sind diese Terme rot gekennzeichnet. Weiter gilt:
$$ {\rm Pr} \big [ ( c_{\nu} = +1) \cap ( c_{\nu + 1} = -1) \big ] = $$
$$ = {\rm Pr} ( c_{\nu} = +1) \cdot {\rm Pr} \left ( c_{\nu + 1} = -1 | c_{\nu } = +1) \right ) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{8} . $$
Hierbei ist vorausgesetzt, dass  $+1$  mit der Wahrscheinlichkeit  $0.25$  auftritt und danach  $-1$  nur in der Hälfte der Fälle folgt.
  • Das gleiche Ergebnis erhält man für den zweiten Beitrag. Damit gilt:
$$\varphi_c ( k = 1) = \frac {1}{8} \cdot (+1)\cdot (-1) + \frac {1}{8} \cdot (-1)\cdot (+1) \hspace{0.15cm}\underline{= -0.25}.$$
$$\varphi_c ( k = -1) = \varphi_c ( k = 1) \hspace{0.15cm}\underline{= -0.25}.$$
  • Zur Berechnung von  $\varphi_c ( k = 2)$  muss über  $3^3 = 27$  Kombinationen gemittelt werden. Das Ergebnis ist Null.


(6)  Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten AKF  ${\rm A} \{ \varphi_c(\tau) \}$  lautet:

$$P \{{\it \Phi_c}( f) \} = T\cdot \varphi_c ( k = 0) +2T \cdot \varphi_c ( k = 1) \cdot {\rm cos} ( 2 \pi f T ).$$
  • Mit dem Ergebnis der letzten Teilaufgabe folgt daraus:
$$P \{{\it \Phi}_c( f) \} = \frac {T}{2} (1 - {\rm cos} ( 2 \pi f T ) )= T \cdot {\rm sin}^2 ( \pi f T ).$$
  • Wie unter Punkt  (2) gezeigt, gilt dann für das LDS – also die Fouriertransformierte von  $\varphi_c(\tau)$:
$${\it \Phi_c}( f) = T \cdot {\rm sin}^2 ( \pi f T ) \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T ) = T \cdot \frac {{\rm sin}^4 ( \pi f T )}{( \pi f T )^2 } .$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\it \Phi_c}( f = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}, \hspace{0.8cm} {\it \Phi_c}( f = {\rm500 \hspace{0.1cm}kHz}) = T \cdot \frac {{\rm sin}^4 ( \pi /2 )}{( \pi /2 )^2 } = \frac {4 T}{\pi^2} \rm \hspace{0.15cm}\underline{= 0.405 \cdot 10^{-6} \ {1}/{Hz}}.$$