Aufgaben:Aufgabe 4.13: Gaußförmige AKF: Unterschied zwischen den Versionen

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Der hier betrachtete Zufallsprozess $\{x_i(t)\}$ sei durch die oben skizzierte Autokorrelationsfunktion (AKF) charakterisiert.
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Der hier betrachtete Zufallsprozess  $\{x_i(t)\}$  sei durch die oben skizzierte Autokorrelationsfunktion (AKF) charakterisiert.  Dieser Zufallsprozess ist mittelwertfrei und die äquivalente AKF-Dauer beträgt  ${ {\rm \nabla} }\tau_x = 5 \hspace{0.08cm} \rm  µ s$:
Dieser Zufallsprozess ist mittelwertfrei und die äquivalente AKF-Dauer beträgt ${ {\rm \nabla} }\tau_x = 5 \hspace{0.08cm} \rm  µ s$:
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:$$\varphi_x(\tau)=\rm 0.25 V^2\cdot \rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\tau}{/ 5 \hspace{0.08cm}{\rm µ}s })^2} .$$
:$$\varphi_x(\it \tau)=\rm 0.25 V^2\cdot \rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\tau}{/ 5 \hspace{0.08cm}{\rm µ}s })^2} .$$
 
  
  
Im unteren Bild ist die AKF des Prozesses $\{y_i(t)\}$ dargestellt. Diese lautet mit der äquivalenten AKF-Dauer ${ {\rm \nabla} }\tau_y = 10 \hspace{0.08cm} \rm  µ s$:
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Im unteren Bild ist die AKF des Prozesses  $\{y_i(t)\}$  dargestellt.  Diese lautet mit der äquivalenten AKF-Dauer  ${ {\rm \nabla} }\tau_y = 10 \hspace{0.08cm} \rm  µ s$:
:$$ \varphi_y(\it \tau)=\rm 0.16 V^2 + \rm 0.09 V^2\cdot\rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\tau}/{\nabla \it \tau_y})^2} .$$
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:$$ \varphi_y(\tau)=\rm 0.16 V^2 + \rm 0.09 V^2\cdot\rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\tau}/{\nabla \it \tau_y})^2} .$$
  
 
In dieser Aufgabe werden die Leistungsdichtespektren der beiden Prozesse gesucht.
 
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''Hinweise:''  
 
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]].
*Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
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*Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
 
   
 
   
 
*Zur Lösung dieser Aufgabe können Sie die  folgende Fourierkorrespondenz benutzen:
 
*Zur Lösung dieser Aufgabe können Sie die  folgende Fourierkorrespondenz benutzen:
:$$\rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\it f}/{\rm \Delta\it f})^2}\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \ {\rm \Delta \it f} \cdot \rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\rm \Delta\it f} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\it t )^{\rm 2}}.$$
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:$$\rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\it f}/{\rm \Delta\it f})^2}\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \ {\rm \Delta \it f} \cdot \rm e^{-\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} ({\rm \Delta\it f} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\it t {\rm )}^{\rm 2}}.$$
  
  
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{Wie gro&szlig; ist die &auml;quivalente LDS-Bandbreite des Prozesses $\{x_i(t)\}$?
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{Wie gro&szlig; ist die &auml;quivalente LDS-Bandbreite des Prozesses&nbsp; $\{x_i(t)\}$?
 
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$ {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_x \ = \ $ { 200 3% } $\  \rm kHz$
 
$ {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_x \ = \ $ { 200 3% } $\  \rm kHz$
  
  
{Wie lautet ${\it \Phi}_x(f)$? Geben Sie die LDS-Werte f&uuml;r $f= 0$ und $f = 200 \hspace{0.08cm} \rm kHz$ ein.
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{Wie lautet&nbsp; ${\it \Phi}_x(f)$?&nbsp; Geben Sie die LDS-Werte f&uuml;r&nbsp; $f= 0$&nbsp; und&nbsp; $f = 200 \hspace{0.08cm} \rm kHz$&nbsp; ein.
 
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${\it \Phi}_x(f = 0)\ = \ $ { 1.25 3% }  $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$
 
${\it \Phi}_x(f = 0)\ = \ $ { 1.25 3% }  $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$
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{Welche Aussagen gelten, wenn der Zufallsprozess keine periodischen Anteile besitzt? Vorausgesetzt wird desweiteren eine konstante Leistung.
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{Welche Aussagen gelten, wenn der Zufallsprozess keine periodischen Anteile besitzt?&nbsp; Vorausgesetzt wird desweiteren eine konstante Leistung.
 
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+ Die Prozessleistung ist das Integral &uuml;ber das LDS.
 
+ Die Prozessleistung ist das Integral &uuml;ber das LDS.
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{Berechnen Sie das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_y(f)$. Welche Werte ergeben sich f&uuml;r den kontinuierlichen LDS-Anteil bei $f= 0$ und $f = 200 \hspace{0.08cm} \rm kHz$?
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{Berechnen Sie das Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_y(f)$.&nbsp; Welche Werte ergeben sich f&uuml;r den kontinuierlichen LDS-Anteil bei&nbsp; $f= 0$&nbsp; und&nbsp; $f = 200 \hspace{0.08cm} \rm kHz$?
 
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${\it \Phi}_y(f = 0)\ =  \ $ { 0.9 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$
 
${\it \Phi}_y(f = 0)\ =  \ $ { 0.9 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$
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{Welche der folgenden Aussagen stimmen bez&uuml;glich des Prozesses $\{y_i(t)\}$?
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{Welche der folgenden Aussagen stimmen bez&uuml;glich des Prozesses&nbsp; $\{y_i(t)\}$?
 
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- Das LDS beinhaltet einen Dirac bei der Frequenz  $ f =  {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_y$.
 
- Das LDS beinhaltet einen Dirac bei der Frequenz  $ f =  {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_y$.
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:$$K\cdot{\rm e}^{-\pi({\tau}/{\nabla\tau_x})^2}\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ \frac{\it K}{\nabla \it f_x}\cdot{\rm e}^{-\pi({f}/{\nabla f_x})^2}.$$
 
:$$K\cdot{\rm e}^{-\pi({\tau}/{\nabla\tau_x})^2}\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ \frac{\it K}{\nabla \it f_x}\cdot{\rm e}^{-\pi({f}/{\nabla f_x})^2}.$$
  
Mit $K = 0.25 \hspace{0.05cm}\rm V^2$ und $ {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_x = 200\hspace{0.05cm} \rm kHz$ erh&auml;lt man:
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*Mit&nbsp; $K = 0.25 \hspace{0.05cm}\rm V^2$&nbsp; und&nbsp; $ {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_x = 200\hspace{0.05cm} \rm kHz$&nbsp; erh&auml;lt man:
 
:$${\it \Phi_x}(f)=1.25\cdot\rm 10^{-\rm 6}\hspace{0.1cm}\frac{V^2}{Hz}\cdot\rm e^{-\pi({\it f}/{\nabla\it f_x})^2}\hspace{0.3cm}
 
:$${\it \Phi_x}(f)=1.25\cdot\rm 10^{-\rm 6}\hspace{0.1cm}\frac{V^2}{Hz}\cdot\rm e^{-\pi({\it f}/{\nabla\it f_x})^2}\hspace{0.3cm}
 
\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\it \Phi_x}(f = 0)=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 1.25 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz},
 
\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\it \Phi_x}(f = 0)=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 1.25 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz},
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'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
 
'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
*Ein mittelwertfreier Prozess hat stets ein kontinuierliches LDS zur Folge. Dieses ist um so schmaler, je breiter die AKF ist (Reziprozit&auml;tsgesetz).
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*Ein mittelwertfreier Prozess hat stets ein kontinuierliches LDS zur Folge.&nbsp; Dieses ist um so schmaler, je breiter die AKF ist (Reziprozit&auml;tsgesetz).
*De Prozessleistung ist gleich dem Integral &uuml;ber das LDS.
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*Die Prozessleistung ist gleich dem Integral &uuml;ber das LDS.
*Deshalb muss bei konstanter Leistung eine breitere AKF (schmaleres LDS) durch h&ouml;here LDS-Werte ausgeglichen werden.  
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*Deshalb muss bei konstanter Leistung eine breitere AKF&nbsp; (schmaleres LDS)&nbsp; durch h&ouml;here LDS-Werte ausgeglichen werden.  
*Ein Gleichanteil oder periodische Anteile führen stets zu Diracfunktionen im LDS; ansonsten ist das LDS stets wertkontinuierlich.  
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*Ein Gleichanteil oder periodische Anteile führen stets zu Diracfunktionen im LDS;&nbsp; ansonsten ist das LDS stets wertkontinuierlich.  
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'''(4)'''&nbsp; Analog zu Teilaufgabe '''(2)''' gilt mit $ {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_y = 100\hspace{0.05cm} \rm kHz$:
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'''(4)'''&nbsp; Analog zu Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; gilt mit&nbsp; $ {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_y = 100\hspace{0.05cm} \rm kHz$:
 
:$${\it \Phi_y}(f)=\frac{\rm 0.09 V^2}{\nabla\it f_y}\cdot\rm e^{-\pi({\it f}/{\nabla\it f_y})^2}+\it m_y^{\rm 2}\cdot\delta(f).$$
 
:$${\it \Phi_y}(f)=\frac{\rm 0.09 V^2}{\nabla\it f_y}\cdot\rm e^{-\pi({\it f}/{\nabla\it f_y})^2}+\it m_y^{\rm 2}\cdot\delta(f).$$
  
 
*Aufgrund des Gleichanteils gibt es zus&auml;tzlich zum kontinuierlichen LDS-Anteil noch einen Dirac bei der Frequenz $f = 0$.  
 
*Aufgrund des Gleichanteils gibt es zus&auml;tzlich zum kontinuierlichen LDS-Anteil noch einen Dirac bei der Frequenz $f = 0$.  
*Der kontinuierliche LDS&ndash;Anteil bei $f= 0$ betr&auml;gt ${\it \Phi_y}(f = 0)=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 0.9 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz}.$  
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*Der kontinuierliche LDS&ndash;Anteil bei $f= 0$ betr&auml;gt&nbsp; ${\it \Phi_y}(f = 0)=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 0.9 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz}.$  
*Der Anteil bei $f = 2 \cdot {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_y = 200 \hspace{0.05cm}\rm kHz$ ist um den Faktor ${\rm e}^{-4} \approx 0.0183$  geringer &nbsp; &rArr; &nbsp;  ${\it \Phi_y}(f )=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 0.0165 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz}.$
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*Der Anteil bei $f = 2 \cdot {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_y = 200 \hspace{0.05cm}\rm kHz$&nbsp; ist um den Faktor&nbsp; ${\rm e}^{-4} \approx 0.0183$&nbsp; geringer &nbsp; &rArr; &nbsp;  ${\it \Phi_y}(f )=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 0.0165 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz}.$
  
  
 
'''(5)'''&nbsp; Richtig ist  <u>nur der zweite Lösungsvorschlag</u>:
 
'''(5)'''&nbsp; Richtig ist  <u>nur der zweite Lösungsvorschlag</u>:
*Das LDS eines mittelwertbehafteten Prozesses beinhaltet allgemein eine Diracfunktion bei $f=0$ mit Gewicht $m_y^2$.
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*Das LDS eines mittelwertbehafteten Prozesses beinhaltet allgemein eine Diracfunktion bei $f=0$&nbsp; mit Gewicht&nbsp; $m_y^2$.
* Im vorliegenden Fall ist dieser Wert gleich $0.16 \ \rm V^2$.  
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* Im vorliegenden Fall ist dieser Wert gleich&nbsp; $0.16 \ \rm V^2$.  
*Da $\delta(f)$ die Einheit $\rm 1/Hz = s$ besitzt, unterscheiden sich die Einheiten des kontinuierlichen und des diskreten LDS-Anteils.  
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*Da&nbsp; $\delta(f)$&nbsp; die Einheit&nbsp; $\rm 1/Hz = s$&nbsp; besitzt, unterscheiden sich die Einheiten des kontinuierlichen und des diskreten LDS-Anteils.  
  
 
{{ML-Fuß}}
 
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Aktuelle Version vom 2. Dezember 2019, 12:06 Uhr

Zweimal gaußförmige AKF

Der hier betrachtete Zufallsprozess  $\{x_i(t)\}$  sei durch die oben skizzierte Autokorrelationsfunktion (AKF) charakterisiert.  Dieser Zufallsprozess ist mittelwertfrei und die äquivalente AKF-Dauer beträgt  ${ {\rm \nabla} }\tau_x = 5 \hspace{0.08cm} \rm µ s$:

$$\varphi_x(\tau)=\rm 0.25 V^2\cdot \rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\tau}{/ 5 \hspace{0.08cm}{\rm µ}s })^2} .$$


Im unteren Bild ist die AKF des Prozesses  $\{y_i(t)\}$  dargestellt.  Diese lautet mit der äquivalenten AKF-Dauer  ${ {\rm \nabla} }\tau_y = 10 \hspace{0.08cm} \rm µ s$:

$$ \varphi_y(\tau)=\rm 0.16 V^2 + \rm 0.09 V^2\cdot\rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\tau}/{\nabla \it \tau_y})^2} .$$

In dieser Aufgabe werden die Leistungsdichtespektren der beiden Prozesse gesucht.





Hinweise:

  • Zur Lösung dieser Aufgabe können Sie die folgende Fourierkorrespondenz benutzen:
$$\rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\it f}/{\rm \Delta\it f})^2}\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \ {\rm \Delta \it f} \cdot \rm e^{-\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} ({\rm \Delta\it f} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\it t {\rm )}^{\rm 2}}.$$


Fragebogen

1

Wie groß ist die äquivalente LDS-Bandbreite des Prozesses  $\{x_i(t)\}$?

$ {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_x \ = \ $

$\ \rm kHz$

2

Wie lautet  ${\it \Phi}_x(f)$?  Geben Sie die LDS-Werte für  $f= 0$  und  $f = 200 \hspace{0.08cm} \rm kHz$  ein.

${\it \Phi}_x(f = 0)\ = \ $

$\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$
${\it \Phi}_x(f = 200 \hspace{0.08cm} \rm kHz)\ = \ $

$\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$

3

Welche Aussagen gelten, wenn der Zufallsprozess keine periodischen Anteile besitzt?  Vorausgesetzt wird desweiteren eine konstante Leistung.

Die Prozessleistung ist das Integral über das LDS.
Bei mittelwertfreiem Prozess ist das LDS stets kontinuierlich.
Je breiter die AKF ist, um so breiter ist auch das LDS.
Eine breitere AKF bewirkt höhere LDS-Werte.

4

Berechnen Sie das Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_y(f)$.  Welche Werte ergeben sich für den kontinuierlichen LDS-Anteil bei  $f= 0$  und  $f = 200 \hspace{0.08cm} \rm kHz$?

${\it \Phi}_y(f = 0)\ = \ $

$\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$
${\it \Phi}_y(f = 200 \hspace{0.08cm} \rm kHz)\ = \ $

$\ \cdot 10^{-6} \hspace{0.05cm} \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$

5

Welche der folgenden Aussagen stimmen bezüglich des Prozesses  $\{y_i(t)\}$?

Das LDS beinhaltet einen Dirac bei der Frequenz $ f = {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_y$.
Das LDS beinhaltet einen Dirac bei der Frequenz $f= 0$.
Diracgewicht und kontinuierliches LDS haben gleiche Einheit.


Musterlösung

(1)  Die äquivalente LDS-Bandbreite ist der Kehrwert der äquivalenten AKF-Dauer:

$$\nabla f_x = 1 / \nabla \tau_x \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 200\hspace{0.1cm}kHz}}.$$


(2)  Die angegebene Fourierkorrespondenz kann man wie folgt an die Aufgabenstellung anpassen:

$$K\cdot{\rm e}^{-\pi({\tau}/{\nabla\tau_x})^2}\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ \frac{\it K}{\nabla \it f_x}\cdot{\rm e}^{-\pi({f}/{\nabla f_x})^2}.$$
  • Mit  $K = 0.25 \hspace{0.05cm}\rm V^2$  und  $ {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_x = 200\hspace{0.05cm} \rm kHz$  erhält man:
$${\it \Phi_x}(f)=1.25\cdot\rm 10^{-\rm 6}\hspace{0.1cm}\frac{V^2}{Hz}\cdot\rm e^{-\pi({\it f}/{\nabla\it f_x})^2}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\it \Phi_x}(f = 0)=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 1.25 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz}, \hspace{0.5cm}{\it \Phi_x}(f = 200 \hspace{0.05cm} \rm kHz)=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 0.054 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz}.$$


(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 4:

  • Ein mittelwertfreier Prozess hat stets ein kontinuierliches LDS zur Folge.  Dieses ist um so schmaler, je breiter die AKF ist (Reziprozitätsgesetz).
  • Die Prozessleistung ist gleich dem Integral über das LDS.
  • Deshalb muss bei konstanter Leistung eine breitere AKF  (schmaleres LDS)  durch höhere LDS-Werte ausgeglichen werden.
  • Ein Gleichanteil oder periodische Anteile führen stets zu Diracfunktionen im LDS;  ansonsten ist das LDS stets wertkontinuierlich.


(4)  Analog zu Teilaufgabe  (2)  gilt mit  $ {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_y = 100\hspace{0.05cm} \rm kHz$:

$${\it \Phi_y}(f)=\frac{\rm 0.09 V^2}{\nabla\it f_y}\cdot\rm e^{-\pi({\it f}/{\nabla\it f_y})^2}+\it m_y^{\rm 2}\cdot\delta(f).$$
  • Aufgrund des Gleichanteils gibt es zusätzlich zum kontinuierlichen LDS-Anteil noch einen Dirac bei der Frequenz $f = 0$.
  • Der kontinuierliche LDS–Anteil bei $f= 0$ beträgt  ${\it \Phi_y}(f = 0)=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 0.9 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz}.$
  • Der Anteil bei $f = 2 \cdot {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_y = 200 \hspace{0.05cm}\rm kHz$  ist um den Faktor  ${\rm e}^{-4} \approx 0.0183$  geringer   ⇒   ${\it \Phi_y}(f )=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 0.0165 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz}.$


(5)  Richtig ist nur der zweite Lösungsvorschlag:

  • Das LDS eines mittelwertbehafteten Prozesses beinhaltet allgemein eine Diracfunktion bei $f=0$  mit Gewicht  $m_y^2$.
  • Im vorliegenden Fall ist dieser Wert gleich  $0.16 \ \rm V^2$.
  • Da  $\delta(f)$  die Einheit  $\rm 1/Hz = s$  besitzt, unterscheiden sich die Einheiten des kontinuierlichen und des diskreten LDS-Anteils.