Aufgaben:Aufgabe 4.12Z: Weißes Rauschen: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
 
(3 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)
Zeile 3: Zeile 3:
 
}}
 
}}
 
[[Datei:P_ID409__Sto_Z_4_12.png|right|frame|Leistungsdichtespektren <br>von Weißem Rauschen]]
 
[[Datei:P_ID409__Sto_Z_4_12.png|right|frame|Leistungsdichtespektren <br>von Weißem Rauschen]]
Man bezeichnet ein Rauschsignal $n(t)$ als <i>wei&szlig;</i>, wenn darin alle spektralen Anteile ohne Bevorzugung von irgendwelchen Frequenzen enthalten sind.
+
Man bezeichnet ein Rauschsignal&nbsp; $n(t)$&nbsp; als <i>wei&szlig;</i>, wenn darin alle spektralen Anteile ohne Bevorzugung von irgendwelchen Frequenzen enthalten sind.
* Das physikalische, nur f&uuml;r positive Frequenzen $f$ definierte Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{n+}(f)$ ist konstant (gleich $N_0$) und reicht frequenzm&auml;&szlig;ig bis ins Unendliche.
+
* Das physikalische, nur f&uuml;r positive Frequenzen $f$&nbsp; definierte Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_{n+}(f)$&nbsp; ist konstant&nbsp; $($gleich&nbsp; $N_0)$&nbsp; und reicht frequenzm&auml;&szlig;ig bis ins Unendliche.
* ${\it \Phi}_{n+}(f)$ ist in der oberen Grafik grün dargestellt. Das Pluszeichen im Index soll anzeigen, dass die Funktion nur f&uuml;r positive Werte von $f$ g&uuml;ltig ist.
+
* ${\it \Phi}_{n+}(f)$&nbsp; ist in der oberen Grafik grün dargestellt.&nbsp; Das Pluszeichen im Index soll anzeigen, dass die Funktion nur f&uuml;r positive Werte von $f$&nbsp; g&uuml;ltig ist.
* Zur mathematischen Beschreibung verwendet man meist das zweiseitige Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{n}(f)$. Hier gilt f&uuml;r alle Frequenzen von $-\infty$ bis  $+\infty$ (blauer Kurvenzug im oberen  Bild):
+
* Zur mathematischen Beschreibung verwendet man meist das zweiseitige Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_{n}(f)$.&nbsp; Hier gilt f&uuml;r alle Frequenzen von&nbsp; $-\infty$&nbsp; bis&nbsp; $+\infty$&nbsp; (blauer Kurvenzug im oberen  Bild):
 
:$${\it \Phi}_n (f) ={N_0}/{2}.$$
 
:$${\it \Phi}_n (f) ={N_0}/{2}.$$
  
  
In der unteren Grafik sind die beiden Leistungsdichtespektren ${\it \Phi}_{b}(f)$ und ${\it \Phi}_{b+}(f)$ eines bandbegrenzten wei&szlig;en Rauschsignals $b(t)$ dargestellt. Es gilt mit der einseitigen Bandbreite $B$:
+
In der unteren Grafik sind die beiden Leistungsdichtespektren&nbsp; ${\it \Phi}_{b}(f)$&nbsp; und&nbsp; ${\it \Phi}_{b+}(f)$&nbsp; eines bandbegrenzten wei&szlig;en Rauschsignals&nbsp; $b(t)$&nbsp; dargestellt.&nbsp; Es gilt mit der einseitigen Bandbreite&nbsp; $B$:
 
:$${\it \Phi}_b(f)=\left\{ {N_0/2\atop 0}{\hspace{0.5cm} {\rm f\ddot{u}r}\quad |f|\le B \atop {\rm sonst}}\right.,$$
 
:$${\it \Phi}_b(f)=\left\{ {N_0/2\atop 0}{\hspace{0.5cm} {\rm f\ddot{u}r}\quad |f|\le B \atop {\rm sonst}}\right.,$$
:$${\it \Phi}_{b+}(f)=\left\{ {N_0\atop 0}{\hspace{0.5cm} {\rm f\ddot{u}r}\quad 0 \le f\le B \atop {\rm sonst}}\right..$$
+
:$${\it \Phi}_{b+}(f)=\left\{ {N_0\atop 0}{\hspace{0.5cm} {\rm f\ddot{u}r}\quad 0 \le f\le B \atop {\rm sonst}}\right.$$
  
Bei der Rechnersimulation von Rauschvorg&auml;ngen muss stets von bandbegrenztem Rauschen ausgegangen werden, da nur zeitdiskrete Vorg&auml;nge behandelt werden k&ouml;nnen. Dazu muss das [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Das_Abtasttheorem|Abtasttheorem]] eingehalten werden. Dieses sagt aus, dass die Bandbreite $B$ gemäß dem St&uuml;tzstellenabstand $T_{\rm A}$ der Simulation eingestellt werden muss.
+
Bei der Rechnersimulation von Rauschvorg&auml;ngen muss stets von bandbegrenztem Rauschen ausgegangen werden, da nur zeitdiskrete Vorg&auml;nge behandelt werden k&ouml;nnen. Dazu muss das&nbsp; [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Das_Abtasttheorem|Abtasttheorem]]&nbsp; eingehalten werden.&nbsp; Dieses sagt aus, dass die Bandbreite&nbsp; $B$&nbsp; gemäß dem St&uuml;tzstellenabstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; der Simulation eingestellt werden muss.
  
 
Gehen Sie in der gesamten Aufgabe von folgenden Zahlenwerten aus:
 
Gehen Sie in der gesamten Aufgabe von folgenden Zahlenwerten aus:
* Die Rauschleistungsdichte &ndash; bezogen auf den Widerstand $1 \hspace{0.05cm}\rm \Omega$ &ndash;  betr&auml;gt $N_0 = 4 \cdot 10^{-14}\hspace{0.05cm}\rm  V^2/Hz$.
+
* Die Rauschleistungsdichte &ndash;&nbsp; bezogen auf den Widerstand&nbsp; $1 \hspace{0.05cm}\rm \Omega$&nbsp; &ndash;&nbsp;  betr&auml;gt&nbsp; $N_0 = 4 \cdot 10^{-14}\hspace{0.05cm}\rm  V^2/Hz$.
* Die (einseitige) Bandbreite des bandbegrenzten wei&szlig;en Rauschens betr&auml;gt $B = 100 \hspace{0.08cm}\rm MHz$.
+
* Die (einseitige) Bandbreite des bandbegrenzten wei&szlig;en Rauschens betr&auml;gt&nbsp; $B = 100 \hspace{0.08cm}\rm MHz$.
 +
 
 +
 
 +
 
  
  
Zeile 25: Zeile 28:
  
 
''Hinweise:''  
 
''Hinweise:''  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]].
+
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]].
*Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
+
*Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
*Die Eigenschaften von weißem Rauschen sind im zweiten Teil des Lernvideos [[Der_AWGN-Kanal_(Lernvideo)|Der AWGN-Kanal]] zusammengefasst.
+
*Die Eigenschaften von weißem Rauschen werden im zweiten Teil des Lernvideos&nbsp; [[Der_AWGN-Kanal_(Lernvideo)|Der AWGN-Kanal]]&nbsp; zusammengefasst.
 
   
 
   
  
Zeile 35: Zeile 38:
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Welche Aussagen treffen bei einem wei&szlig;en Rauschsignal $n(t)$ immer zu? Begr&uuml;nden Sie Ihre Antworten.
+
{Welche Aussagen treffen bei einem wei&szlig;en Rauschsignal&nbsp; $n(t)$&nbsp; immer zu?&nbsp; Begr&uuml;nden Sie Ihre Antworten.
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- Die AKF $\varphi_n(\tau)$ hat einen si-f&ouml;rmigen Verlauf.
+
- Die AKF&nbsp; $\varphi_n(\tau)$&nbsp; hat einen si-f&ouml;rmigen Verlauf.
+ Die AKF $\varphi_n(\tau)$ ist ein Dirac bei $\tau = 0$ mit Gewicht $N_0/2$.
+
+ Die AKF&nbsp; $\varphi_n(\tau)$&nbsp; ist ein Dirac bei&nbsp; $\tau = 0$&nbsp; mit Gewicht&nbsp; $N_0/2$.
+ Im mathematisch strengen Sinn gibt es kein wei&szlig;es Rauschen.
+
+ In der Praxis gibt es kein (exakt) wei&szlig;es Rauschen.
 
+ Thermisches Rauschen kann stets als wei&szlig; angen&auml;hert werden.
 
+ Thermisches Rauschen kann stets als wei&szlig; angen&auml;hert werden.
 
- Wei&szlig;es Rauschen ist stets gau&szlig;verteilt.
 
- Wei&szlig;es Rauschen ist stets gau&szlig;verteilt.
  
  
{Berechnen Sie die AKF $\varphi_b(\tau)$ des auf $B = 100 \hspace{0.08cm}\rm MHz$ bandbegrenzten Zufallssignals $b(t)$. Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r $\tau = 0$?
+
{Berechnen Sie die AKF&nbsp; $\varphi_b(\tau)$&nbsp; des auf&nbsp; $B = 100 \hspace{0.08cm}\rm MHz$&nbsp; bandbegrenzten Zufallssignals $b(t)$.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r&nbsp; $\tau = 0$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$\varphi_b(\tau = 0) \ = \ $ { 4 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2$
 
$\varphi_b(\tau = 0) \ = \ $ { 4 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2$
  
  
{Wie gro&szlig; ist der Effektivwert dieses Rauschsignals?
+
{Wie gro&szlig; ist der Effektivwert dieses bandbegrenzten Zufallssignals&nbsp; $b(t)$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$\sigma_b \ = \ $ { 2 3% }  $\ \rm mV$
 
$\sigma_b \ = \ $ { 2 3% }  $\ \rm mV$
  
  
{Welcher Abtastabstand $T_{\rm A}$ ist (mindestens) zu w&auml;hlen, wenn das bandbegrenzte Signal $b(t)$ zur zeitdiskreten Simulation von wei&szlig;em Rauschen eingesetzt wird?
+
{Welcher Abtastabstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; ist (höchstens) zu w&auml;hlen, wenn das bandbegrenzte Signal&nbsp; $b(t)$&nbsp; zur zeitdiskreten Simulation von wei&szlig;em Rauschen eingesetzt wird?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$T_{\rm A} \ =  \ $ { 5 3% } $\ \rm ns$
 
$T_{\rm A} \ =  \ $ { 5 3% } $\ \rm ns$
  
  
{Gehen Sie vom Abtastabstand $T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}\rm  ns$ aus. Welche der Aussagen treffen dann f&uuml;r zwei aufeinanderfolgende Abtastwerte des Signals $b(t)$ zu?
+
{Gehen Sie vom Abtastabstand&nbsp; $T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}\rm  ns$&nbsp; aus.&nbsp; Welche der Aussagen treffen dann f&uuml;r zwei aufeinanderfolgende Abtastwerte des Signals&nbsp; $b(t)$&nbsp; zu?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
 
- Die Abtastwerte sind unkorreliert.
 
- Die Abtastwerte sind unkorreliert.
Zeile 74: Zeile 77:
 
*Die Autokorrelationsfunktion (AKF) ist die Fouriertransformierte des Leistungsdichtespektrums (LDS). Dabei gilt:
 
*Die Autokorrelationsfunktion (AKF) ist die Fouriertransformierte des Leistungsdichtespektrums (LDS). Dabei gilt:
 
:$${\it \Phi}_n (f) =  {N_0}/{2} \hspace{0.3cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.3cm} \varphi_n (\tau)={N_0}/{2}  \cdot {\rm \delta} ( \tau).$$
 
:$${\it \Phi}_n (f) =  {N_0}/{2} \hspace{0.3cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.3cm} \varphi_n (\tau)={N_0}/{2}  \cdot {\rm \delta} ( \tau).$$
*Allerdings gibt es in der Physik kein &bdquo;echt&rdquo; wei&szlig;es Rauschen, da ein solches eine unendlich gro&szlig;e Signalleistung aufweisen m&uuml;sste (das Integral &uuml;ber das LDS sowie der AKF-Wert bei $\tau = 0$ sind jeweils unendlich groß).  
+
*Allerdings gibt es in der Physik kein &bdquo;echt&rdquo; wei&szlig;es Rauschen, da ein solches eine unendlich gro&szlig;e Signalleistung aufweisen m&uuml;sste&nbsp; $($das Integral &uuml;ber das LDS sowie der AKF-Wert bei&nbsp; $\tau = 0$&nbsp; sind jeweils unendlich groß$)$.  
*<i>Thermisches Rauschen</i> hat bis zu Frequenzen von etwa 6000 GHz ein konstantes LDS. Da alle (derzeitigen) &Uuml;bertragungssysteme in einem sehr viel niedrigeren Frequenzbereich arbeiten, kann man thermisches Rauschen mit guter N&auml;herung als &bdquo;wei&szlig;&rdquo; bezeichnen.
+
*Thermisches Rauschen hat bis zu Frequenzen von etwa&nbsp; $\text{6000 GHz}$&nbsp; ein konstantes LDS. Da alle (derzeitigen) &Uuml;bertragungssysteme in einem sehr viel niedrigeren Frequenzbereich arbeiten, kann man thermisches Rauschen mit guter N&auml;herung als &bdquo;wei&szlig;&rdquo; bezeichnen.
 
*Die statistische Eigenschaft &bdquo;wei&szlig;&rdquo; sagt nichts &uuml;ber die Amplitudenverteilung aus, die allein durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) festgelegt ist.  
 
*Die statistische Eigenschaft &bdquo;wei&szlig;&rdquo; sagt nichts &uuml;ber die Amplitudenverteilung aus, die allein durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) festgelegt ist.  
*Betrachtet man die Phase eines bandpassf&ouml;rmigen Signals als die stochastische Gr&ouml;&szlig;e, so wird diese oft als gleichverteilt zwischen $0$ und $2\pi$ modelliert.  
+
*Betrachtet man die Phase eines bandpassf&ouml;rmigen Signals als die stochastische Gr&ouml;&szlig;e, so wird diese oft als gleichverteilt zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $2\pi$&nbsp; modelliert.  
 
*Bestehen zwischen den jeweiligen Phasenwinkeln zu unterschiedlichen Zeiten keine statistischen Bindungen, so ist auch dieser Zufallsprozess &bdquo;wei&szlig;&rdquo;.
 
*Bestehen zwischen den jeweiligen Phasenwinkeln zu unterschiedlichen Zeiten keine statistischen Bindungen, so ist auch dieser Zufallsprozess &bdquo;wei&szlig;&rdquo;.
 +
  
  
 
[[Datei:P_ID410__Sto_Z_4_12_b.png|right|frame|AKF von bandbegrenztem Rauschen]]
 
[[Datei:P_ID410__Sto_Z_4_12_b.png|right|frame|AKF von bandbegrenztem Rauschen]]
'''(2)'''&nbsp; Das Leistungsdichtespektrum ist ein Rechteck der Breite $2B$ und der H&ouml;he $N_0/2$. <br>Die Fourierr&uuml;cktransformation ergibt eine si-Funktion:
+
'''(2)'''&nbsp; Das Leistungsdichtespektrum ist ein Rechteck der Breite&nbsp; $2B$&nbsp; und der H&ouml;he&nbsp; $N_0/2$.  
 +
*Die Fourierr&uuml;cktransformation ergibt eine si-Funktion:
 
:$$\varphi_b(\tau) = N_0 \cdot B \cdot {\rm si} (2 \pi B \tau)\hspace{0.3cm}
 
:$$\varphi_b(\tau) = N_0 \cdot B \cdot {\rm si} (2 \pi B \tau)\hspace{0.3cm}
 
\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_b(\tau = 0) = N_0 \cdot B \hspace{0.15cm}\underline {=4}\cdot 10^{-6} \ \rm V^2.$$
 
\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_b(\tau = 0) = N_0 \cdot B \hspace{0.15cm}\underline {=4}\cdot 10^{-6} \ \rm V^2.$$
  
  
'''(3)'''&nbsp; Der AKF-Wert an der Stelle $\tau = 0$ ergibt die Leistung. Die Wurzel hieraus bezeichnet man als den Effektivwert:
 
:$$\sigma_b = \sqrt{\varphi_b(\tau = 0)} \hspace{0.15cm}\underline {=2 \hspace{0.05cm}\rm V}.$$
 
  
'''(4)'''&nbsp; Die in '''(3)''' berechnete AKF hat Nullstellen im &auml;quidistanten Abstand von $T_{\rm A}= 1/(2B)\hspace{0.15cm}\underline {=5\hspace{0.05cm} \rm ns}$. Das bedeutet:
+
'''(3)'''&nbsp; Der AKF-Wert an der Stelle&nbsp; $\tau = 0$&nbsp; ergibt die Leistung.&nbsp;
*Es bestehen somit keine statistischen Bindungen zwischen den beiden Signalwerten $b(t)$ und $b(t + \nu \cdot T_{\rm A})$,  
+
*Die Wurzel hieraus bezeichnet man als den Effektivwert:
*wobei $\nu$ alle ganzzahligen Werte annehmen kann.
+
:$$\sigma_b = \sqrt{\varphi_b(\tau = 0)} \hspace{0.15cm}\underline {=2 \hspace{0.05cm}\rm V}.$$
 +
 +
 
 +
'''(4)'''&nbsp; Die in&nbsp; '''(3)'''&nbsp; berechnete AKF hat Nullstellen im &auml;quidistanten Abstand von&nbsp; $T_{\rm A}= 1/(2B)\hspace{0.15cm}\underline {=5\hspace{0.05cm} \rm ns}$:&nbsp;
 +
*Es bestehen keine statistischen Bindungen zwischen den beiden Signalwerten&nbsp; $b(t)$&nbsp; und&nbsp; $b(t + \nu \cdot T_{\rm A})$,  
 +
*wobei&nbsp; $\nu$&nbsp; alle ganzzahligen Werte annehmen kann.
 +
 
  
  
'''(5)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Der AKF-Wert bei $\tau = T_{\rm A}  = 1 \hspace{0.05cm}\rm ns$ betr&auml;gt
+
'''(5)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.  
 +
*Der AKF-Wert bei&nbsp; $\tau = T_{\rm A}  = 1 \hspace{0.05cm}\rm ns$&nbsp; betr&auml;gt
 
:$$\varphi_b(\tau = T_{\rm A}) = {\rm 4 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm}V^2 \cdot si (\pi/5) \approx  3.742 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm}V^2} > 0.$$
 
:$$\varphi_b(\tau = T_{\rm A}) = {\rm 4 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm}V^2 \cdot si (\pi/5) \approx  3.742 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm}V^2} > 0.$$
  
*Dieses Ergebnis besagt: &nbsp; Zwei um $T_{\rm A}  = 1 \hspace{0.05cm}\rm ns$ auseinander liegende Signalwerte sind positiv korreliert:  
+
*Dieses Ergebnis besagt: &nbsp; Zwei um&nbsp; $T_{\rm A}  = 1 \hspace{0.05cm}\rm ns$&nbsp; auseinander liegende Signalwerte sind positiv korreliert:  
*Ist $b(t)$ positiv und gro&szlig;, dann ist mit gro&szlig;er Wahrscheinlichkeit auch $b(t+1 \hspace{0.05cm}\rm ns)$ positiv und gro&szlig;.  
+
*Ist&nbsp; $b(t)$&nbsp; positiv und gro&szlig;, dann ist mit gro&szlig;er Wahrscheinlichkeit auch&nbsp; $b(t+1 \hspace{0.05cm}\rm ns)$&nbsp; positiv und gro&szlig;.  
*Dagegen besteht zwischen $b(t)$ und $b(t+7 \hspace{0.05cm}\rm ns)$ eine negative Korrelation: &nbsp; Ist $b(t)$ positiv, so ist $b(t+7 \hspace{0.05cm}\rm ns)$ wahrscheinlich negativ.
+
*Dagegen besteht zwischen&nbsp; $b(t)$&nbsp; und&nbsp; $b(t+7 \hspace{0.05cm}\rm ns)$&nbsp; eine negative Korrelation: &nbsp; Ist&nbsp; $b(t)$&nbsp; positiv, so ist&nbsp; $b(t+7 \hspace{0.05cm}\rm ns)$&nbsp; wahrscheinlich negativ.
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  

Aktuelle Version vom 2. Dezember 2019, 11:46 Uhr

Leistungsdichtespektren
von Weißem Rauschen

Man bezeichnet ein Rauschsignal  $n(t)$  als weiß, wenn darin alle spektralen Anteile ohne Bevorzugung von irgendwelchen Frequenzen enthalten sind.

  • Das physikalische, nur für positive Frequenzen $f$  definierte Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_{n+}(f)$  ist konstant  $($gleich  $N_0)$  und reicht frequenzmäßig bis ins Unendliche.
  • ${\it \Phi}_{n+}(f)$  ist in der oberen Grafik grün dargestellt.  Das Pluszeichen im Index soll anzeigen, dass die Funktion nur für positive Werte von $f$  gültig ist.
  • Zur mathematischen Beschreibung verwendet man meist das zweiseitige Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_{n}(f)$.  Hier gilt für alle Frequenzen von  $-\infty$  bis  $+\infty$  (blauer Kurvenzug im oberen Bild):
$${\it \Phi}_n (f) ={N_0}/{2}.$$


In der unteren Grafik sind die beiden Leistungsdichtespektren  ${\it \Phi}_{b}(f)$  und  ${\it \Phi}_{b+}(f)$  eines bandbegrenzten weißen Rauschsignals  $b(t)$  dargestellt.  Es gilt mit der einseitigen Bandbreite  $B$:

$${\it \Phi}_b(f)=\left\{ {N_0/2\atop 0}{\hspace{0.5cm} {\rm f\ddot{u}r}\quad |f|\le B \atop {\rm sonst}}\right.,$$
$${\it \Phi}_{b+}(f)=\left\{ {N_0\atop 0}{\hspace{0.5cm} {\rm f\ddot{u}r}\quad 0 \le f\le B \atop {\rm sonst}}\right.$$

Bei der Rechnersimulation von Rauschvorgängen muss stets von bandbegrenztem Rauschen ausgegangen werden, da nur zeitdiskrete Vorgänge behandelt werden können. Dazu muss das  Abtasttheorem  eingehalten werden.  Dieses sagt aus, dass die Bandbreite  $B$  gemäß dem Stützstellenabstand  $T_{\rm A}$  der Simulation eingestellt werden muss.

Gehen Sie in der gesamten Aufgabe von folgenden Zahlenwerten aus:

  • Die Rauschleistungsdichte –  bezogen auf den Widerstand  $1 \hspace{0.05cm}\rm \Omega$  –  beträgt  $N_0 = 4 \cdot 10^{-14}\hspace{0.05cm}\rm V^2/Hz$.
  • Die (einseitige) Bandbreite des bandbegrenzten weißen Rauschens beträgt  $B = 100 \hspace{0.08cm}\rm MHz$.





Hinweise:



Fragebogen

1

Welche Aussagen treffen bei einem weißen Rauschsignal  $n(t)$  immer zu?  Begründen Sie Ihre Antworten.

Die AKF  $\varphi_n(\tau)$  hat einen si-förmigen Verlauf.
Die AKF  $\varphi_n(\tau)$  ist ein Dirac bei  $\tau = 0$  mit Gewicht  $N_0/2$.
In der Praxis gibt es kein (exakt) weißes Rauschen.
Thermisches Rauschen kann stets als weiß angenähert werden.
Weißes Rauschen ist stets gaußverteilt.

2

Berechnen Sie die AKF  $\varphi_b(\tau)$  des auf  $B = 100 \hspace{0.08cm}\rm MHz$  bandbegrenzten Zufallssignals $b(t)$.  Welcher Wert ergibt sich für  $\tau = 0$?

$\varphi_b(\tau = 0) \ = \ $

$\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2$

3

Wie groß ist der Effektivwert dieses bandbegrenzten Zufallssignals  $b(t)$?

$\sigma_b \ = \ $

$\ \rm mV$

4

Welcher Abtastabstand  $T_{\rm A}$  ist (höchstens) zu wählen, wenn das bandbegrenzte Signal  $b(t)$  zur zeitdiskreten Simulation von weißem Rauschen eingesetzt wird?

$T_{\rm A} \ = \ $

$\ \rm ns$

5

Gehen Sie vom Abtastabstand  $T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}\rm ns$  aus.  Welche der Aussagen treffen dann für zwei aufeinanderfolgende Abtastwerte des Signals  $b(t)$  zu?

Die Abtastwerte sind unkorreliert.
Die Abtastwerte sind positiv korreliert.
Die Abtastwerte sind negativ korreliert.


Musterlösung

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2, 3 und 4:

  • Die Autokorrelationsfunktion (AKF) ist die Fouriertransformierte des Leistungsdichtespektrums (LDS). Dabei gilt:
$${\it \Phi}_n (f) = {N_0}/{2} \hspace{0.3cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.3cm} \varphi_n (\tau)={N_0}/{2} \cdot {\rm \delta} ( \tau).$$
  • Allerdings gibt es in der Physik kein „echt” weißes Rauschen, da ein solches eine unendlich große Signalleistung aufweisen müsste  $($das Integral über das LDS sowie der AKF-Wert bei  $\tau = 0$  sind jeweils unendlich groß$)$.
  • Thermisches Rauschen hat bis zu Frequenzen von etwa  $\text{6000 GHz}$  ein konstantes LDS. Da alle (derzeitigen) Übertragungssysteme in einem sehr viel niedrigeren Frequenzbereich arbeiten, kann man thermisches Rauschen mit guter Näherung als „weiß” bezeichnen.
  • Die statistische Eigenschaft „weiß” sagt nichts über die Amplitudenverteilung aus, die allein durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) festgelegt ist.
  • Betrachtet man die Phase eines bandpassförmigen Signals als die stochastische Größe, so wird diese oft als gleichverteilt zwischen  $0$  und  $2\pi$  modelliert.
  • Bestehen zwischen den jeweiligen Phasenwinkeln zu unterschiedlichen Zeiten keine statistischen Bindungen, so ist auch dieser Zufallsprozess „weiß”.


AKF von bandbegrenztem Rauschen

(2)  Das Leistungsdichtespektrum ist ein Rechteck der Breite  $2B$  und der Höhe  $N_0/2$.

  • Die Fourierrücktransformation ergibt eine si-Funktion:
$$\varphi_b(\tau) = N_0 \cdot B \cdot {\rm si} (2 \pi B \tau)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_b(\tau = 0) = N_0 \cdot B \hspace{0.15cm}\underline {=4}\cdot 10^{-6} \ \rm V^2.$$


(3)  Der AKF-Wert an der Stelle  $\tau = 0$  ergibt die Leistung. 

  • Die Wurzel hieraus bezeichnet man als den Effektivwert:
$$\sigma_b = \sqrt{\varphi_b(\tau = 0)} \hspace{0.15cm}\underline {=2 \hspace{0.05cm}\rm V}.$$


(4)  Die in  (3)  berechnete AKF hat Nullstellen im äquidistanten Abstand von  $T_{\rm A}= 1/(2B)\hspace{0.15cm}\underline {=5\hspace{0.05cm} \rm ns}$: 

  • Es bestehen keine statistischen Bindungen zwischen den beiden Signalwerten  $b(t)$  und  $b(t + \nu \cdot T_{\rm A})$,
  • wobei  $\nu$  alle ganzzahligen Werte annehmen kann.


(5)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2.

  • Der AKF-Wert bei  $\tau = T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}\rm ns$  beträgt
$$\varphi_b(\tau = T_{\rm A}) = {\rm 4 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm}V^2 \cdot si (\pi/5) \approx 3.742 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm}V^2} > 0.$$
  • Dieses Ergebnis besagt:   Zwei um  $T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}\rm ns$  auseinander liegende Signalwerte sind positiv korreliert:
  • Ist  $b(t)$  positiv und groß, dann ist mit großer Wahrscheinlichkeit auch  $b(t+1 \hspace{0.05cm}\rm ns)$  positiv und groß.
  • Dagegen besteht zwischen  $b(t)$  und  $b(t+7 \hspace{0.05cm}\rm ns)$  eine negative Korrelation:   Ist  $b(t)$  positiv, so ist  $b(t+7 \hspace{0.05cm}\rm ns)$  wahrscheinlich negativ.