Aufgabe 4.11: C-Programm „akf1”

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Sie sehen nebenstehend das C-Programm „akf1” zur Berechnung der diskreten AKF-Werte $\varphi_x(k)$ mit dem Index $k = 0$, ... , $l$. Hierzu ist Folgendes zu bemerken:

• Der an das Programm übergebene Long-Wert sei $l = 10$. Die AKF-Werte $\varphi_x(0)$, ... , $\varphi_x(10)$ werden mit dem Float-Feld $\rm AKF[ \ ]$ an das aufrufende Programm zurückgegeben. In den Zeilen 7 und 8 des rechts anggebenen Programms wird dieses Feld mit Nullen vorbelegt.

• Die zu analysierenden Zufallsgrößen $x_\nu$ werden mit der Float-Funktion $x( \ )$ erzeugt (siehe Zeile 4). Diese Funktion wird insgesamt $N + l + 1 = 10011$ mal aufgerufen (Zeile 9 und 18).

• Im Gegensatz zu dem im Theoriteil angegebenen Algorithmus, der im Programm „akf2” von Zusatzaufgabe 4.11 direkt umgesetzt ist, benötigt man hier ein Hilfsfeld $H[ \ ]$ mit nur $l + 1 = 11$ Speicherelementen.

• Vor Beginn des eigentlichen Berechnungsalgorithmus (Zeile 11 bis 21) stehen in den 11 Speicherzellen die Zufallswerte $x_1$, ... , $x_{11}$.

• Die äußere Schleife mit der Laufvariablen $z$ (rot markiert) wird $N$-mal durchlaufen. In der inneren Schleife (weiß markiert) werden mit dem Laufindex $k = 0$, ... , $l$ alle Speicherzellen des Feldes ${\rm AKF}[ k ]$ um den Betrag $x_\nu \cdot x_{\nu+k}$ erhöht.

• In den Zeilen 22 und 23 werden schließlich alle AKF-Werte durch die Anzahl $N$ dividiert.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Autokorrelationsfunktion.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Numerische AKF-Ermittlung.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Welche Elemente $i$ und $j$ des Hilfsfeldes $H[ \ ]$ werden beim ersten Durchlauf $(z=0)$ zur Berechnung des AKF-Wertes $\varphi(k=6)$ verwendet? Welche Zufallswerte $x_\nu$ stehen in diesen Speicherzellen?

$i \ = $

$j \ = $

2

Welche Speicherzelle $H[ i ]$ wird nach dem ersten Schleifendurchgang $(z=0)$ mit einer neuen Zufallsgröße $x_\nu$ belegt? Welcher Index $\nu$ wird dabei eingetragen?

$i \ = $

$v \ =

3

Welche Speicherelemente $H[ i ]$ und $H[ j ]$ werden beim Schleifendurchlauf $z=83$ zur Berechnung des AKF-Wertes $\varphi(k=6)$ verwendet? Welche Zufallswerte stehen in diesen Speicherzellen?

$i \ = $

$j \ = $

Musterlösung

Musterlösung

1.  Aus z = 0 und k = 6 ergibt sich gemäß dem Programm: i = 0 und j = 6. Die entsprechenden Speicherinhalte sind H[0] = x₁ und H[6] = x₇.

2.   In das Feld H[0] wird die Zufallsgröße x₁₂ eingetragen: i = 0, Index ν = 12.

3.  Das nachfolgende Bild zeigt die Belegung des Hilfsfeldes H[0] ... H[10] mit den Zufallswerten x_ν. Jeweils grün hinterlegt ist die Speicherzelle H[i]. In diesen Speicherplatz wird jeweils am Ende der Schleife (Zeile 18) die neue Zufallsgröße eingetragen.

Für z = 83 und k = 6 ergibt sich i = 83 mod 11 = 6 und j = (i + k) mod 11 = 1. In diesen Speicherzellen liegen die Zufallsgrößen x₈₄ und x₉₀. Am Ende des Schleifendurchlaufs z = 83 wird in H[6] der Wert x₈₄ durch x₉₅ ersetzt.