Aufgaben:Aufgabe 4.11: Analyse von Prüfmatrizen: Unterschied zwischen den Versionen
Aus LNTwww
| (Eine dazwischenliegende Version desselben Benutzers wird nicht angezeigt) | |||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Grundlegendes zu den Low–density Parity–check Codes}} | {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Grundlegendes zu den Low–density Parity–check Codes}} | ||
| − | [[Datei:P_ID3067__KC_A_4_11_v2.png|right|frame|Produktcode, beschrieben durch die Prüfmatrix]] | + | [[Datei:P_ID3067__KC_A_4_11_v2.png|right|frame|Produktcode, beschrieben durch die Prüfmatrix $\mathbf{H}$]] |
In nebenstehender Grafik ist oben ein Produktcode angegeben, der durch folgende Prüfgleichungen gekennzeichnet ist: | In nebenstehender Grafik ist oben ein Produktcode angegeben, der durch folgende Prüfgleichungen gekennzeichnet ist: | ||
:$$p_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_1 \oplus u_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} | :$$p_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_1 \oplus u_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} | ||
| Zeile 8: | Zeile 8: | ||
p_4 = u_2 \oplus u_4\hspace{0.05cm}.$$ | p_4 = u_2 \oplus u_4\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Darunter sind die Prüfmatrizen $\mathbf{H}_1, \ \mathbf{H}_2$ und $\mathbf{H}_3$ angegeben. Zu prüfen ist, welche der Matrizen den gegebenen Produktcode entsprechend der Gleichung $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{H}^{\rm T}$ richtig beschreiben, wenn von folgenden Definitionen ausgegangen wird: | + | Darunter sind die Prüfmatrizen $\mathbf{H}_1, \ \mathbf{H}_2$ und $\mathbf{H}_3$ angegeben. Zu prüfen ist, welche der Matrizen den gegebenen Produktcode entsprechend der Gleichung $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{H}^{\rm T}$ richtig beschreiben, wenn von folgenden Definitionen ausgegangen wird: |
| − | * dem Codewort $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$, | + | * dem Codewort $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$, |
| − | * dem Codewort $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$. | + | * dem Codewort $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$. |
| − | Alle $\mathbf{H}$–Matrizen beinhalten weniger Einsen als Nullen. Dies ist ein Kennzeichen der so genannten <i>Low–density Parity–check Codes</i> (kurz: LDPC–Codes). Bei den praxisrelevanten LDPC–Codes ist der Einsen–Anteil allerdings noch geringer als bei diesen Beispielen. | + | Alle $\mathbf{H}$–Matrizen beinhalten weniger Einsen als Nullen. Dies ist ein Kennzeichen der so genannten <i>Low–density Parity–check Codes</i> (kurz: $\rm LDPC$–Codes). Bei den praxisrelevanten LDPC–Codes ist der Einsen–Anteil allerdings noch deutlich geringer als bei diesen Beispielen. |
Weiterhin ist für die Aufgabe anzumerken: | Weiterhin ist für die Aufgabe anzumerken: | ||
| − | * Ein $(n, \ k)$–Blockcode ist systematisch, wenn die ersten $k | + | * Ein $(n, \ k)$–Blockcode ist systematisch, wenn die ersten $k$ Bit des Codewortes $\underline{x}$ das Informationswort $\underline{u}$ beinhaltet. Mit der Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$ muss dann die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ mit einer $k × k$–Diagonalmatrix enden. |
| − | * Ein <i>regulärer Code</i> (hinsichtlich LDPC–Anwendung) liegt vor, wenn das Hamming–Gewicht aller Zeilen ⇒ $w_{\rm Z}$ und das Hamming–Gewicht aller Spalten ⇒ $w_{\rm S}$ jeweils gleich | + | * Ein <i>regulärer Code</i> (hinsichtlich LDPC–Anwendung) liegt vor, wenn das Hamming–Gewicht aller Zeilen ⇒ $w_{\rm Z}$ und das Hamming–Gewicht aller Spalten ⇒ $w_{\rm S}$ jeweils gleich sind. Andernfalls spricht man von einem <i>irregulären LDPC–Code</i>. |
| − | * Die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ eines herkömmlichen linearen $(n, \ k)$–Blockcodes besteht aus exakt $m = n - k$ Zeilen und $n$ Spalten. Bei den LDPC–Codes lautet dagegen die Forderung: $m ≥ n - k$. Das Gleichheitszeichen trifft dann zu, wenn die $m$ Prüfgleichungen statistisch unabhängig sind. | + | * Die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ eines herkömmlichen linearen $(n, \ k)$–Blockcodes besteht aus exakt $m = n - k$ Zeilen und $n$ Spalten. Bei den LDPC–Codes lautet dagegen die Forderung: $m ≥ n - k$. Das Gleichheitszeichen trifft dann zu, wenn die $m$ Prüfgleichungen statistisch unabhängig sind. |
| − | * Aus der Prüfmatrix $\mathbf{H}$ lässt sich eine untere Schranke für die Coderate $R$ angeben: | + | * Aus der Prüfmatrix $\mathbf{H}$ lässt sich eine untere Schranke für die Coderate $R$ angeben: |
:$$R \ge 1 - \frac{{\rm E}[w_{\rm S}]}{{\rm E}[w_{\rm Z}]} | :$$R \ge 1 - \frac{{\rm E}[w_{\rm S}]}{{\rm E}[w_{\rm Z}]} | ||
\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm} | \hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm} | ||
| Zeile 27: | Zeile 27: | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | *Diese Gleichung gilt für reguläre und irreguläre LDPC–Codes gleichermaßen, wobei den regulären Codes ${\rm E}[w_{\rm S}] = w_{\rm S}$ und ${\rm E}[w_{\rm Z}] = w_{\rm Z}$ berücksichtigt werden kann. | + | *Diese Gleichung gilt für reguläre und irreguläre LDPC–Codes gleichermaßen, wobei den regulären Codes ${\rm E}[w_{\rm S}] = w_{\rm S}$ und ${\rm E}[w_{\rm Z}] = w_{\rm Z}$ berücksichtigt werden kann. |
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| Zeile 35: | Zeile 38: | ||
''Hinweise:'' | ''Hinweise:'' | ||
| − | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low%E2%80%93density_Parity%E2%80%93check_Codes| Grundlegendes zu den Low–density Parity–check]]. | + | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low%E2%80%93density_Parity%E2%80%93check_Codes| Grundlegendes zu den Low–density Parity–check]]. |
| − | * Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low–density_Parity–check_Codes#Einige_Charakteristika_der_LDPC.E2.80.93Codes|Einige Charakteristika der LDPC–Codes]]. | + | * Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low–density_Parity–check_Codes#Einige_Charakteristika_der_LDPC.E2.80.93Codes|Einige Charakteristika der LDPC–Codes]]. |
| Zeile 44: | Zeile 47: | ||
{Welche Prüfmatrix beschreibt den vorgegebenen Produktcode entsprechend der oberen Skizze? | {Welche Prüfmatrix beschreibt den vorgegebenen Produktcode entsprechend der oberen Skizze? | ||
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
| − | + $\mathbf{H}_1$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$. | + | + $\mathbf{H}_1$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$. |
| − | - $\mathbf{H}_1$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$. | + | - $\mathbf{H}_1$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$. |
| − | + $\mathbf{H}_2$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$. | + | + $\mathbf{H}_2$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$. |
| − | - $\mathbf{H}_3$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$. | + | - $\mathbf{H}_3$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$. |
| − | {Für die restlichen Teilaufgaben soll stets von $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$ ausgegangen werden. <br>Welche Aussagen gelten für die Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$? | + | {Für die restlichen Teilaufgaben soll stets von $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$ ausgegangen werden. <br>Welche Aussagen gelten für die Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
+ Der Code ist systematisch. | + Der Code ist systematisch. | ||
- Der Code ist regulär. | - Der Code ist regulär. | ||
| − | - Für die Coderate gilt $R > 1/2$. | + | - Für die Coderate gilt $R > 1/2$. |
| − | + Für die Coderate gilt $R = 1/2$. | + | + Für die Coderate gilt $R = 1/2$. |
| − | {Welche Aussagen gelten für die Prüfmatrix $\mathbf{H}_3$? | + | {Welche Aussagen gelten für die Prüfmatrix $\mathbf{H}_3$? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
| − | - Es ist kein Zusammenhang zwischen $\mathbf{H}_1$ und $\mathbf{H}_3$ erkennbar. | + | - Es ist kein Zusammenhang zwischen $\mathbf{H}_1$ und $\mathbf{H}_3$ erkennbar. |
| − | + Die $\mathbf{H}_3$–Zeilen sind Linearkombinationen von je zwei $\mathbf{H}_1$–Zeilen. | + | + Die $\mathbf{H}_3$–Zeilen sind Linearkombinationen von je zwei $\mathbf{H}_1$–Zeilen. |
| − | + Die vier Prüfgleichungen gemäß $\mathbf{H}_3$ sind linear unabhängig. | + | + Die vier Prüfgleichungen gemäß $\mathbf{H}_3$ sind linear unabhängig. |
| − | {Welche Aussagen gelten für den durch $\mathbf{H}_3$ gekennzeichneten Code? | + | {Welche Aussagen gelten für den durch $\mathbf{H}_3$ gekennzeichneten Code? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
- Der Code ist systematisch. | - Der Code ist systematisch. | ||
+ Der Code ist regulär. | + Der Code ist regulär. | ||
| − | + Für die Coderate gilt $R ≥ 1/2$. | + | + Für die Coderate gilt $R ≥ 1/2$. |
| − | + Für die Coderate gilt $R = 1/2$. | + | + Für die Coderate gilt $R = 1/2$. |
</quiz> | </quiz> | ||
| Zeile 81: | Zeile 84: | ||
| − | Bei gleicher Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$ | + | Bei gleicher Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$ liefern die anderen Prüfmatrizen keinen sinnvollen Gleichungssatz: |
* Entsprechend Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$: | * Entsprechend Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$: | ||
:$$u_1 \oplus p_1 \oplus u_3 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} | :$$u_1 \oplus p_1 \oplus u_3 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} | ||
| Zeile 96: | Zeile 99: | ||
'''(2)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>: | '''(2)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>: | ||
* Der Code ist systematisch, weil $\mathbf{H}_1$ mit einer $4 × 4$–Diagonalmatrix endet. | * Der Code ist systematisch, weil $\mathbf{H}_1$ mit einer $4 × 4$–Diagonalmatrix endet. | ||
| − | * Bei einem regulären (LDPC)–Code müssten in jeder Zeile und in jeder Spalte gleich viele Einsen sein. Die erste Bedingung ist erfüllt $(w_{\rm Z} = 3)$, nicht aber die zweite. Vielmehr gibt es (gleich oft) eine Eins bzw. zwei Einsen pro Spalte ⇒ ${\rm E}[w_{\rm S}] = 1.5$. | + | * Bei einem regulären (LDPC)–Code müssten in jeder Zeile und in jeder Spalte gleich viele Einsen sein. |
| + | *Die erste Bedingung ist erfüllt $(w_{\rm Z} = 3)$, nicht aber die zweite. Vielmehr gibt es (gleich oft) eine Eins bzw. zwei Einsen pro Spalte ⇒ ${\rm E}[w_{\rm S}] = 1.5$. | ||
* Bei einem irregulären Code lautet die untere Schranke für die Coderate: | * Bei einem irregulären Code lautet die untere Schranke für die Coderate: | ||
:$$R \ge 1 - \frac{{\rm E}[w_{\rm S}]}{{\rm E}[w_{\rm Z}]} | :$$R \ge 1 - \frac{{\rm E}[w_{\rm S}]}{{\rm E}[w_{\rm Z}]} | ||
| Zeile 103: | Zeile 107: | ||
* Wegen der gegebenen Codestruktur ($k = 4$ Informationsbits, $m = 4$ Prüfbits ⇒ $n = 8$ Codebits) ist hier die Coderate auch in der herkömmlichen Form angebbar: $R = k/n$ ⇒ Richtig ist Lösungsvorschlag 4 im Gegensatz zur Antwort 3. | * Wegen der gegebenen Codestruktur ($k = 4$ Informationsbits, $m = 4$ Prüfbits ⇒ $n = 8$ Codebits) ist hier die Coderate auch in der herkömmlichen Form angebbar: $R = k/n$ ⇒ Richtig ist Lösungsvorschlag 4 im Gegensatz zur Antwort 3. | ||
| + | |||
| Zeile 112: | Zeile 117: | ||
| − | Durch Linearkombinationen werden aus den vier linear unabhängigen Gleichungen bezüglich $\mathbf{H}_1$ nun vier linear unabhängige Gleichungen bezüglich $\mathbf{H}_3$ | + | Durch Linearkombinationen werden aus den vier linear unabhängigen Gleichungen bezüglich $\mathbf{H}_1$ nun vier linear unabhängige Gleichungen bezüglich $\mathbf{H}_3$ <br>⇒ Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>. |
Aktuelle Version vom 10. Juli 2019, 14:57 Uhr
Produktcode, beschrieben durch die Prüfmatrix $\mathbf{H}$
In nebenstehender Grafik ist oben ein Produktcode angegeben, der durch folgende Prüfgleichungen gekennzeichnet ist:
- $$p_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_1 \oplus u_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} p_2 = u_3 \oplus u_4\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} p_3 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_1 \oplus u_3\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} p_4 = u_2 \oplus u_4\hspace{0.05cm}.$$
Darunter sind die Prüfmatrizen $\mathbf{H}_1, \ \mathbf{H}_2$ und $\mathbf{H}_3$ angegeben. Zu prüfen ist, welche der Matrizen den gegebenen Produktcode entsprechend der Gleichung $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{H}^{\rm T}$ richtig beschreiben, wenn von folgenden Definitionen ausgegangen wird:
- dem Codewort $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$,
- dem Codewort $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.
Alle $\mathbf{H}$–Matrizen beinhalten weniger Einsen als Nullen. Dies ist ein Kennzeichen der so genannten Low–density Parity–check Codes (kurz: $\rm LDPC$–Codes). Bei den praxisrelevanten LDPC–Codes ist der Einsen–Anteil allerdings noch deutlich geringer als bei diesen Beispielen.
Weiterhin ist für die Aufgabe anzumerken:
- Ein $(n, \ k)$–Blockcode ist systematisch, wenn die ersten $k$ Bit des Codewortes $\underline{x}$ das Informationswort $\underline{u}$ beinhaltet. Mit der Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$ muss dann die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ mit einer $k × k$–Diagonalmatrix enden.
- Ein regulärer Code (hinsichtlich LDPC–Anwendung) liegt vor, wenn das Hamming–Gewicht aller Zeilen ⇒ $w_{\rm Z}$ und das Hamming–Gewicht aller Spalten ⇒ $w_{\rm S}$ jeweils gleich sind. Andernfalls spricht man von einem irregulären LDPC–Code.
- Die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ eines herkömmlichen linearen $(n, \ k)$–Blockcodes besteht aus exakt $m = n - k$ Zeilen und $n$ Spalten. Bei den LDPC–Codes lautet dagegen die Forderung: $m ≥ n - k$. Das Gleichheitszeichen trifft dann zu, wenn die $m$ Prüfgleichungen statistisch unabhängig sind.
- Aus der Prüfmatrix $\mathbf{H}$ lässt sich eine untere Schranke für die Coderate $R$ angeben:
- $$R \ge 1 - \frac{{\rm E}[w_{\rm S}]}{{\rm E}[w_{\rm Z}]} \hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm} {\rm E}[w_{\rm S}] =\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n}w_{\rm S}(i) \hspace{0.5cm}{\rm und}\hspace{0.5cm} {\rm E}[w_{\rm Z}] =\frac{1}{m} \cdot \sum_{j = 1}^{ m}w_{\rm Z}(j) \hspace{0.05cm}.$$
- Diese Gleichung gilt für reguläre und irreguläre LDPC–Codes gleichermaßen, wobei den regulären Codes ${\rm E}[w_{\rm S}] = w_{\rm S}$ und ${\rm E}[w_{\rm Z}] = w_{\rm Z}$ berücksichtigt werden kann.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Grundlegendes zu den Low–density Parity–check.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Einige Charakteristika der LDPC–Codes.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:
- Mit der Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$ bezeichnet die Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$ folgende Prüfgleichungen:
- $$u_1 \oplus u_2 \oplus p_1 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} u_3 \oplus u_4 \oplus p_2 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} u_1 \oplus u_3 \oplus p_3 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} u_2 \oplus u_4 \oplus p_4 = 0\hspace{0.05cm}.$$
- Dies entspricht genau den vorne getroffenen Annahmen. Das gleiche Ergebnis erhält man für $\mathbf{H}_2$ und der Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.
Bei gleicher Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$ liefern die anderen Prüfmatrizen keinen sinnvollen Gleichungssatz:
- Entsprechend Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$:
- $$u_1 \oplus p_1 \oplus u_3 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} u_2 \oplus p_2 \oplus p_3 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} u_1 \oplus u_2 \oplus u_4 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} p_1 \oplus p_2 \oplus p_4 = 0\hspace{0.05cm};$$
- entsprechend Prüfmatrix $\mathbf{H}_3$:
- $$u_1 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_2 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} u_3 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_4 \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm} u_1 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_2 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_3 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm}u_4 \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm} p_1 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} u_2 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} u_3 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm}u_4 \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm} p_1 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} u_2 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_3 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_4 \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm} 0\hspace{0.05cm}.$$
(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:
- Der Code ist systematisch, weil $\mathbf{H}_1$ mit einer $4 × 4$–Diagonalmatrix endet.
- Bei einem regulären (LDPC)–Code müssten in jeder Zeile und in jeder Spalte gleich viele Einsen sein.
- Die erste Bedingung ist erfüllt $(w_{\rm Z} = 3)$, nicht aber die zweite. Vielmehr gibt es (gleich oft) eine Eins bzw. zwei Einsen pro Spalte ⇒ ${\rm E}[w_{\rm S}] = 1.5$.
- Bei einem irregulären Code lautet die untere Schranke für die Coderate:
- $$R \ge 1 - \frac{{\rm E}[w_{\rm S}]}{{\rm E}[w_{\rm Z}]} = 1 - \frac{1.5}{3} = 1/2 \hspace{0.05cm}.$$
- Wegen der gegebenen Codestruktur ($k = 4$ Informationsbits, $m = 4$ Prüfbits ⇒ $n = 8$ Codebits) ist hier die Coderate auch in der herkömmlichen Form angebbar: $R = k/n$ ⇒ Richtig ist Lösungsvorschlag 4 im Gegensatz zur Antwort 3.
(3) Die $\mathbf{H}_3$–Zeilen ergeben sich aus Linearkombinationen von $\mathbf{H}_1$–Zeilen:
- Die erste $\mathbf{H}_3$–Zeile ist die Summe von Zeile 1 und Zeile 4.
- Die zweite $\mathbf{H}_3$–Zeile ist die Summe von Zeile 2 und Zeile 3.
- Die dritte $\mathbf{H}_3$–Zeile ist die Summe von Zeile 1 und Zeile 3.
- Die vierte $\mathbf{H}_3$–Zeile ist die Summe von Zeile 2 und Zeile 4.
Durch Linearkombinationen werden aus den vier linear unabhängigen Gleichungen bezüglich $\mathbf{H}_1$ nun vier linear unabhängige Gleichungen bezüglich $\mathbf{H}_3$
⇒ Richtig sind also die Lösungsvorschläge 2 und 3.
(4) Hier sind die Lösungsvorschläge 2, 3 und 4 richtig:
- Wäre der durch $\mathbf{H}_3$ beschriebene Code systematisch, müsste $\mathbf{H}_3$ mit einer $4 × 4$–Diagonalmatrix enden. Dies ist hier nicht der Fall.
- Die Hamming–Gewichte aller Zeilen sind gleich $(w_{\rm Z} = 4)$ und auch alle Spalten haben jeweils das gleiche Hamming–Gewicht $(w_{\rm S} = 2)$ ⇒ der Code ist regulär.
- Daraus ergibt sich für die Coderate $R ≥ 1 - 2/4 = 1/2$. Da aber auch die vier Zeilen von $\mathbf{H}_3$ vier unabhängige Gleichungen beschreiben, gilt ebenfalls das Gleichheitszeichen ⇒ $R = 1/2$.
