Aufgaben:Aufgabe 4.10Z: Korrelationsdauer: Unterschied zwischen den Versionen

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'''(1)'''  Der quadratische Mittelwert ergibt sich zu $m_{2x} = R \cdot P_x = 50 \hspace{0.05 cm}{\rm \Omega}\cdot 5 \hspace{0.05 cm}{\rm mW}= 0.25 \hspace{0.05 cm}{\rm V}^2$ Daraus folgt der Effektivwert $\sigma_x\hspace{0.15 cm}\underline{= 0.5\hspace{0.05 cm}{\rm V}}$.
 
'''(1)'''  Der quadratische Mittelwert ergibt sich zu $m_{2x} = R \cdot P_x = 50 \hspace{0.05 cm}{\rm \Omega}\cdot 5 \hspace{0.05 cm}{\rm mW}= 0.25 \hspace{0.05 cm}{\rm V}^2$ Daraus folgt der Effektivwert $\sigma_x\hspace{0.15 cm}\underline{= 0.5\hspace{0.05 cm}{\rm V}}$.
  
'''(2)'''  Wegen $P_x = \varphi_x (\tau = 0)$  gilt für die AKF allgemein: $\varphi_x (\tau) = 5 \hspace{0.1cm} {\rm mW} \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(\tau / {\rm \nabla} \tau_x)^2}.$
 
Daraus erhält man:
 
:$$\varphi_x (\tau = {\rm 2\hspace{0.1cm} \mu s}) = 5 \hspace{0.1cm} {\rm mW} \cdot {\rm e}^{- {\rm 0.16 }\pi } \hspace{0.15cm}\underline{= 3.025 \hspace{0.1cm} \rm mW},$$
 
:$$\varphi_x (\tau = {\rm 5\hspace{0.1cm} \rm \mu s}) = 5 \hspace{0.1cm} {\rm mW} \cdot {\rm e}^{- \pi } \hspace{0.15cm}\underline{= 0.216 \hspace{0.1cm} \rm mW}.$$
 
  
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'''(2)'''  Wegen $P_x = \varphi_x (\tau = 0)$  gilt für die AKF allgemein:
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:$$\varphi_x (\tau) = 5 \hspace{0.1cm} {\rm mW} \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(\tau / {\rm \nabla} \tau_x)^2}.$$
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*Daraus erhält man:
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:$$\varphi_x (\tau = {\rm 2\hspace{0.1cm} µ s}) = 5 \hspace{0.1cm} {\rm mW} \cdot {\rm e}^{- {\rm 0.16 }\pi } \hspace{0.15cm}\underline{= 3.025 \hspace{0.1cm} \rm mW},$$
 +
:$$\varphi_x (\tau = {\rm 5\hspace{0.1cm} \rm µ s}) = 5 \hspace{0.1cm} {\rm mW} \cdot {\rm e}^{- \pi } \hspace{0.15cm}\underline{= 0.216 \hspace{0.1cm} \rm mW}.$$
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[[Datei:P_ID394__Sto_Z_4_10_e.png|right|frame|Zweimal Gaußsche AKF]]
 
'''(3)'''  Hier gilt folgende Bestimmungsgleichung:
 
'''(3)'''  Hier gilt folgende Bestimmungsgleichung:
 
:$${\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(T_{\rm K} / {\rm \nabla} \tau_x)^2} \stackrel{!}{=} {\rm 0.5} \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} (T_{\rm K} / {\rm \nabla} \tau_x)^2 = \sqrt{{ \ln(2)}/{\pi}}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(T_{\rm K} / {\rm \nabla} \tau_x)^2} \stackrel{!}{=} {\rm 0.5} \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} (T_{\rm K} / {\rm \nabla} \tau_x)^2 = \sqrt{{ \ln(2)}/{\pi}}\hspace{0.05cm}.$$
  
Daraus folgt $T_{\rm K}\hspace{0.15 cm}\underline{= 2.35\hspace{0.05 cm}{\rm \mu s}}$. Bei anderer AKF-Form erhält man ein anderes Verhältnis für $T_{\rm K} / {\rm \nabla} \tau_x$.
+
Daraus folgt $T_{\rm K}\hspace{0.15 cm}\underline{= 2.35\hspace{0.05 cm}{\rm µ s}}$. Bei anderer AKF-Form erhält man ein anderes Verhältnis für $T_{\rm K} / {\rm \nabla} \tau_x$.
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[[Datei:P_ID394__Sto_Z_4_10_e.png|right|Zweimal Gaußsche AKF]]
 
 
'''(4)'''  Wegen $P_x = P_y$ sind die quadratischen Mittelwerte von $x$ und $y$ gleich, und zwar jeweils $0.25\hspace{0.05 cm}\rm V^2$. Unter Berücksichtigung des Mittelwertes $m_y = -0.3 \hspace{0.05 cm}\rm V$ gilt:
 
'''(4)'''  Wegen $P_x = P_y$ sind die quadratischen Mittelwerte von $x$ und $y$ gleich, und zwar jeweils $0.25\hspace{0.05 cm}\rm V^2$. Unter Berücksichtigung des Mittelwertes $m_y = -0.3 \hspace{0.05 cm}\rm V$ gilt:
$m_y^2 + \sigma_y^2 = \rm 0.25 \hspace{0.05 cm} V^2.$ Daraus folgt $\sigma_y\hspace{0.15 cm}\underline{= 0.4\hspace{0.05 cm}{\rm V}}$
+
$m_y^2 + \sigma_y^2 = \rm 0.25 \hspace{0.05 cm} V^2.$ Daraus folgt  
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:$$\sigma_y\hspace{0.15 cm}\underline{= 0.4\hspace{0.05 cm}{\rm V}}.$$
  
  
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Daraus folgt:
 
Daraus folgt:
:$$\varphi_y(\tau) = 1.8 \hspace{0.1cm} {\rm mW} + 3.2 \hspace{0.1cm} {\rm mW} \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(\tau / {\rm \nabla} \tau_y)^2} \hspace{0.3cm }\Rightarrow \hspace{0.3cm }\varphi_y(\tau = 10\hspace{0.05 cm}{\rm \mu s})
+
:$$\varphi_y(\tau) = 1.8 \hspace{0.1cm} {\rm mW} + 3.2 \hspace{0.1cm} {\rm mW} \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(\tau / {\rm \nabla} \tau_y)^2} \hspace{0.3cm }\Rightarrow \hspace{0.3cm }\varphi_y(\tau = 10\hspace{0.05 cm}{\rm µ s})
 
\hspace{0.15 cm}\underline{=1.938\hspace{0.05 cm}\rm  mW}.$$
 
\hspace{0.15 cm}\underline{=1.938\hspace{0.05 cm}\rm  mW}.$$
  

Version vom 18. August 2018, 14:33 Uhr

Musterfunktionen ergodischer Prozesse

Das nebenstehende Bild zeigt Mustersignale zweier Zufallsprozesse $\{x_i(t)\}$ und $\{y_i(t)\}$ mit jeweils gleicher Leistung $P_x = P_y = 5\hspace{0.05 cm} \rm mW$. Vorausgesetzt ist hierbei der Widerstand $R = 50\hspace{0.05 cm}\rm \Omega$.


Der Zufallsprozess $\{x_i(t)\}$

  • ist mittelwertfrei $(m_x = 0)$,
  • besitzt die gaußförmige AKF   $\varphi_x (\tau) = \varphi_x (\tau = 0) \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(\tau / {\rm \nabla} \tau_x)^2},$
  • und weist die äquivalente AKF-Dauer $\nabla \tau_x = 5\hspace{0.05 cm}\rm µ s $ auf.


Wie aus dem unteren Bild zu erkennen ist, hat der Zufallsprozess $\{y_i(t)\}$ sehr viel stärkere innere statistische Bindungen als der Zufallsprozess $\{x_i(t)\}$.

Oder anders ausgedrückt:

  • Der Zufallsprozess $\{y_i(t)\}$ ist niederfrequenter als $\{x_i(t)\}$.
  • Die äquivalente AKF-Dauer ist $\nabla \tau_y = 10 \hspace{0.05 cm}\rm µ s $.


Aus der Skizze ist auch zu erkennen, dass $\{y_i(t)\}$ im Gegensatz zu $\{x_i(t)\}$ nicht gleichsignalfrei ist.

Der Gleichsignalanteil beträgt vielmehr $m_y = -0.3 \hspace{0.05 cm}\rm V$.



Hinweise:



Fragebogen

1

Welchen Effektivwert $(\sigma_x)$ besitzen die Mustersignale des Prozesses $\{x_i(t)\}$?

$\sigma_x \ = \ $

$\ \rm V$

2

Welche AKFµWerte ergeben sich für $\tau = 2\hspace{0.05 cm}\rm µs$  bzw.  $\tau = 5\hspace{0.05 cm}\rm µ s$?

$\varphi_x(\tau = 2\hspace{0.05 cm}{\rm µ s}) \ = \ $

$\ \rm mW$
$\varphi_x(\tau = 5\hspace{0.05 cm}{\rm µ s}) \ = \ $

$\ \rm mW$

3

Wie groß ist die Korrelationsdauer $T_{\rm K}$, also derjenige Zeitpunkt, bei dem die AKF auf die Hälfte des Maximums abgefallen ist?

$T_{\rm K} \ = \ $

$\ \rm µ s$

4

Welchen Effektivwert $(\sigma_y)$ besitzen die Mustersignale des Prozesses $\{y_i(t)\}$?

$\sigma_y \ = \ $

$\ \rm V$

5

Berechnen Sie die AKF $\varphi_x(\tau)$. Wie groß ist der AKF-Wert bei $\tau = 10\hspace{0.05 cm}\rm µ s$?
Welcher AKF–Verlauf ergäbe sich bei positivem Mittelwert $(m_y = +0.3 \hspace{0.05 cm}\rm V)$?

$\varphi_y(\tau = 10\hspace{0.05 cm}{\rm µ s}) \ = \ $

$\ \rm mW$


Musterlösung

(1)  Der quadratische Mittelwert ergibt sich zu $m_{2x} = R \cdot P_x = 50 \hspace{0.05 cm}{\rm \Omega}\cdot 5 \hspace{0.05 cm}{\rm mW}= 0.25 \hspace{0.05 cm}{\rm V}^2$ Daraus folgt der Effektivwert $\sigma_x\hspace{0.15 cm}\underline{= 0.5\hspace{0.05 cm}{\rm V}}$.


(2)  Wegen $P_x = \varphi_x (\tau = 0)$ gilt für die AKF allgemein:

$$\varphi_x (\tau) = 5 \hspace{0.1cm} {\rm mW} \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(\tau / {\rm \nabla} \tau_x)^2}.$$
  • Daraus erhält man:
$$\varphi_x (\tau = {\rm 2\hspace{0.1cm} µ s}) = 5 \hspace{0.1cm} {\rm mW} \cdot {\rm e}^{- {\rm 0.16 }\pi } \hspace{0.15cm}\underline{= 3.025 \hspace{0.1cm} \rm mW},$$
$$\varphi_x (\tau = {\rm 5\hspace{0.1cm} \rm µ s}) = 5 \hspace{0.1cm} {\rm mW} \cdot {\rm e}^{- \pi } \hspace{0.15cm}\underline{= 0.216 \hspace{0.1cm} \rm mW}.$$


Zweimal Gaußsche AKF

(3)  Hier gilt folgende Bestimmungsgleichung:

$${\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(T_{\rm K} / {\rm \nabla} \tau_x)^2} \stackrel{!}{=} {\rm 0.5} \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} (T_{\rm K} / {\rm \nabla} \tau_x)^2 = \sqrt{{ \ln(2)}/{\pi}}\hspace{0.05cm}.$$

Daraus folgt $T_{\rm K}\hspace{0.15 cm}\underline{= 2.35\hspace{0.05 cm}{\rm µ s}}$. Bei anderer AKF-Form erhält man ein anderes Verhältnis für $T_{\rm K} / {\rm \nabla} \tau_x$.


(4)  Wegen $P_x = P_y$ sind die quadratischen Mittelwerte von $x$ und $y$ gleich, und zwar jeweils $0.25\hspace{0.05 cm}\rm V^2$. Unter Berücksichtigung des Mittelwertes $m_y = -0.3 \hspace{0.05 cm}\rm V$ gilt: $m_y^2 + \sigma_y^2 = \rm 0.25 \hspace{0.05 cm} V^2.$ Daraus folgt

$$\sigma_y\hspace{0.15 cm}\underline{= 0.4\hspace{0.05 cm}{\rm V}}.$$


(5)  Bezogen auf den Einheitswiderstand $ R = 1 \hspace{0.05 cm}{\rm \Omega}$ lautet die AKF des Prozesses $\{y_i(t)\}$:

$$\varphi_y (\tau) = m_y^2 + \sigma_y^2 \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(\tau / {\rm \nabla} \tau_y)^2}.$$

Rechts sehen Sie den Funktionsverlauf. Bezogen auf den Widerstand $ R = 50 \hspace{0.05 cm}{\rm \Omega}$ ergeben sich die nachfolgend angegebenen AKF-Werte:

$$\varphi_y (\tau = 0) = 5 \hspace{0.1cm} {\rm mW} , \hspace{0.5cm} \varphi_y (\tau \rightarrow \infty) = 1.8\hspace{0.1cm} {\rm mW} .$$

Daraus folgt:

$$\varphi_y(\tau) = 1.8 \hspace{0.1cm} {\rm mW} + 3.2 \hspace{0.1cm} {\rm mW} \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(\tau / {\rm \nabla} \tau_y)^2} \hspace{0.3cm }\Rightarrow \hspace{0.3cm }\varphi_y(\tau = 10\hspace{0.05 cm}{\rm µ s}) \hspace{0.15 cm}\underline{=1.938\hspace{0.05 cm}\rm mW}.$$

Bei positivem Mittelwert $m_y$ (mit gleichem Betrag) würde sich an der AKF nichts ändern, da $m_y$ in die AKF-Gleichung quadratisch eingeht.