Aufgaben:Aufgabe 4.10: Binär und quaternär: Unterschied zwischen den Versionen

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'''(1)'''  Der AKF-Wert an der Stelle $\tau = 0$ entspricht der mittleren Signalleistung, also dem quadratischen Mittelwert von $q(t)$. Für diesen gilt:
 
'''(1)'''  Der AKF-Wert an der Stelle $\tau = 0$ entspricht der mittleren Signalleistung, also dem quadratischen Mittelwert von $q(t)$. Für diesen gilt:
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:$$\varphi_q(\tau = 0)=  {1}/{6 } \cdot  ({\rm 3\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot ({\rm 1\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot (-{\rm 1\,V})^2 + {1}/{6 } \cdot (-{\rm 3\,V})^2= \rm {22}/{6 }\, \rm V^2\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 3.667 \,V^2}.$$
 
:$$\varphi_q(\tau = 0)=  {1}/{6 } \cdot  ({\rm 3\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot ({\rm 1\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot (-{\rm 1\,V})^2 + {1}/{6 } \cdot (-{\rm 3\,V})^2= \rm {22}/{6 }\, \rm V^2\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 3.667 \,V^2}.$$
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'''(2)'''  Die einzelnen Symbole wurden als statistisch unabhängig vorausgesetzt. Deshalb und wegen des fehlenden Gleichanteils gilt hier für jeden ganzzahligen Wert von $\nu$:
 
'''(2)'''  Die einzelnen Symbole wurden als statistisch unabhängig vorausgesetzt. Deshalb und wegen des fehlenden Gleichanteils gilt hier für jeden ganzzahligen Wert von $\nu$:
:$${\rm E} \left [ q(t) \cdot q ( t + \nu T) \right ] = {\rm E}  \left [ q(t) \right ] \cdot {\rm E} \left [  q ( t + \nu T) \right ]\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
 
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Somit hat die gesuchte AKF den rechts skizzierten Verlauf. Im Bereich $-T \le \tau \le +T$ ist die AKF aufgrund der rechteckförmigen Impulsform abschnittsweise linear, also dreieckförmig.
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:$${\rm E} \big [ q(t) \cdot q ( t + \nu T) \big ] = {\rm E}  \big [ q(t) \big ] \cdot {\rm E} \big [  q ( t + \nu T) \big ]\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
  
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*Somit hat die gesuchte AKF den rechts skizzierten Verlauf.
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*Im Bereich $-T \le \tau \le +T$ ist die AKF aufgrund der rechteckförmigen Impulsform abschnittsweise linear, also dreieckförmig.
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'''(3)'''&nbsp; Die AKF $\varphi_b(\tau)$ des Bin&auml;rsignals ist aufgrund der statistisch unabh&auml;ngigen Symbole im Bereich $| \tau| > T$ ebenfalls identisch $0$, und für $-T \le \tau \le +T$ ergibt sich ebenfalls eine Dreiecksform. F&uuml;r den quadratischen Mittelwert erh&auml;lt man:
 
'''(3)'''&nbsp; Die AKF $\varphi_b(\tau)$ des Bin&auml;rsignals ist aufgrund der statistisch unabh&auml;ngigen Symbole im Bereich $| \tau| > T$ ebenfalls identisch $0$, und für $-T \le \tau \le +T$ ergibt sich ebenfalls eine Dreiecksform. F&uuml;r den quadratischen Mittelwert erh&auml;lt man:
 
:$$\varphi_b (\tau = 0) = b_{\rm 0}^{\rm 2}.$$
 
:$$\varphi_b (\tau = 0) = b_{\rm 0}^{\rm 2}.$$
  
 
Mit $b_0\hspace{0.15cm}\underline{= 1.915\, \rm V}$ sind die beiden Autokorrelationsfunktionen $\varphi_q(\tau)$  und $\varphi_b(\tau)$  identisch.
 
Mit $b_0\hspace{0.15cm}\underline{= 1.915\, \rm V}$ sind die beiden Autokorrelationsfunktionen $\varphi_q(\tau)$  und $\varphi_b(\tau)$  identisch.
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'''(4)'''&nbsp; Richtig sind  <u>die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>. Aus der Autokorrelationsfunktion lassen sich tatsächlich ermitteln:
 
'''(4)'''&nbsp; Richtig sind  <u>die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>. Aus der Autokorrelationsfunktion lassen sich tatsächlich ermitteln:
*die Periodendauer $T_0$ (diese ist f&uuml;r die Mustersignale und die AKF gleich),
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*die Periodendauer $T_0$: &nbsp; diese ist f&uuml;r die Mustersignale und die AKF gleich;
* der lineare Mittelwert (Wurzel aus dem Endwert der AKF f&uuml;r $\tau \to \infty$, und
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* der lineare Mittelwert: &nbsp;Wurzel aus dem Endwert der AKF f&uuml;r $\tau \to \infty$; und
* die Varianz (Differenz der AKF-Werte von $\tau = 0$ und $\tau \to \infty$).  
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* die Varianz: &nbsp;Differenz der AKF-Werte von $\tau = 0$ und $\tau \to \infty$.  
  
  
 
Nicht ermittelt werden k&ouml;nnen:
 
Nicht ermittelt werden k&ouml;nnen:
* die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (trotz $\varphi_q(\tau) =\varphi_b(\tau)$) ist $f_q(q) \ne f_b(b)$),
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* die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion: &nbsp;trotz $\varphi_q(\tau) =\varphi_b(\tau)$ ist $f_q(q) \ne f_b(b)$;
* die Momente h&ouml;herer Ordnung (f&uuml;r deren Berechnung ben&ouml;tigt man die WDF), sowie
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* die Momente h&ouml;herer Ordnung: &nbsp;f&uuml;r deren Berechnung ben&ouml;tigt man die WDF; sowie
 
* alle Phasenbeziehungen und Symmetrieeigenschaften.
 
* alle Phasenbeziehungen und Symmetrieeigenschaften.
  

Version vom 18. August 2018, 14:15 Uhr

Binärsignal und Quaternärsignal

Wir betrachten hier ein Binärsignal $b(t)$ und ein Quarternärsignal $q(t)$, wobei gilt:

  • Die beiden Signale sind rechteckförmig, und die Dauer der einzelnen Rechtecke beträgt jeweils $T$ (Symboldauer).
  • Die durch die Impulshöhen der einzelnen Rechteckimpulse dargestellten Symbole (mit Stufenzahl $M = 2$  bzw.  $M = 4$) sind statistisch unabhängig.
  • Wegen der bipolaren Signalkonstellation sind beide Signale gleichsignalfrei, wenn die Symbolwahrscheinlichkeiten geeignet (symmetrisch) gewählt werden.
  • Aufgrund der letztgenannten Eigenschaft folgt für die Wahrscheinlichkeiten der Binärsymbole:
$${\rm Pr}\big[b(t) = +b_0\big] = {\rm Pr}\big[b(t) = -b_0\big] ={1}/{2}.$$
  • Dagegen gelte für das Quarternärsignal:
$${\rm Pr}\big[q(t) = +3 \hspace{0.05cm}{\rm V}\big] = {\rm Pr}\big[q(t) = -3 \hspace{0.05cm}{\rm V}\big]= {1}/{6},$$
$${\rm Pr}\big[q(t) = +1 \hspace{0.05cm}{\rm V}\big] = {\rm Pr}\big[q(t) = -1 \hspace{0.05cm}{\rm V}\big]= {2}/{6}.$$



Hinweis:



Fragebogen

1

Berechnen Sie den AKF–Wert $\varphi_q(\tau = 0)$ des Quarternärsignals.

$\varphi_q(\tau = 0) \ = \ $

$\ \rm V^2$

2

Wie groß ist der AKF–Wert bei $\tau = T$? Begründen Sie, warum die AKF–Werte für $|\tau| > T$ genauso groß sind. Skizzieren Sie den AKF–Verlauf.

$\varphi_q(\tau = T) \ = \ $

$\ \rm V^2$

3

Mit welchen Amplitudenwerten $(\pm b_0)$ hat das Binärsignal $b(t)$ genau die gleiche AKF?

$b_0\ = \ $

$\ \rm V$

4

Welche der folgenden Beschreibungsgrößen eines stochastischen Prozesses lassen sich aus der AKF ermitteln?

Periodendauer.
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
Linearer Mittelwert.
Varianz.
Moment 3. Ordnung.
Phasenbeziehungen.


Musterlösung

(1)  Der AKF-Wert an der Stelle $\tau = 0$ entspricht der mittleren Signalleistung, also dem quadratischen Mittelwert von $q(t)$. Für diesen gilt:

Dreieckförmige AKF
$$\varphi_q(\tau = 0)= {1}/{6 } \cdot ({\rm 3\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot ({\rm 1\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot (-{\rm 1\,V})^2 + {1}/{6 } \cdot (-{\rm 3\,V})^2= \rm {22}/{6 }\, \rm V^2\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 3.667 \,V^2}.$$


(2)  Die einzelnen Symbole wurden als statistisch unabhängig vorausgesetzt. Deshalb und wegen des fehlenden Gleichanteils gilt hier für jeden ganzzahligen Wert von $\nu$:

$${\rm E} \big [ q(t) \cdot q ( t + \nu T) \big ] = {\rm E} \big [ q(t) \big ] \cdot {\rm E} \big [ q ( t + \nu T) \big ]\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
  • Somit hat die gesuchte AKF den rechts skizzierten Verlauf.
  • Im Bereich $-T \le \tau \le +T$ ist die AKF aufgrund der rechteckförmigen Impulsform abschnittsweise linear, also dreieckförmig.


(3)  Die AKF $\varphi_b(\tau)$ des Binärsignals ist aufgrund der statistisch unabhängigen Symbole im Bereich $| \tau| > T$ ebenfalls identisch $0$, und für $-T \le \tau \le +T$ ergibt sich ebenfalls eine Dreiecksform. Für den quadratischen Mittelwert erhält man:

$$\varphi_b (\tau = 0) = b_{\rm 0}^{\rm 2}.$$

Mit $b_0\hspace{0.15cm}\underline{= 1.915\, \rm V}$ sind die beiden Autokorrelationsfunktionen $\varphi_q(\tau)$ und $\varphi_b(\tau)$ identisch.


(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4. Aus der Autokorrelationsfunktion lassen sich tatsächlich ermitteln:

  • die Periodendauer $T_0$:   diese ist für die Mustersignale und die AKF gleich;
  • der lineare Mittelwert:  Wurzel aus dem Endwert der AKF für $\tau \to \infty$; und
  • die Varianz:  Differenz der AKF-Werte von $\tau = 0$ und $\tau \to \infty$.


Nicht ermittelt werden können:

  • die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:  trotz $\varphi_q(\tau) =\varphi_b(\tau)$ ist $f_q(q) \ne f_b(b)$;
  • die Momente höherer Ordnung:  für deren Berechnung benötigt man die WDF; sowie
  • alle Phasenbeziehungen und Symmetrieeigenschaften.