Aufgaben:Aufgabe 4.09Z: Periodische AKF: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten in dieser Aufgabe einen periodischen und gleichzeitig ergodischen stochastischen Prozess  $\{x_i(t)\}$, der durch die dargestellte Musterfunktion $x(t)$ vollständig charakterisiert ist.
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Wir betrachten in dieser Aufgabe einen periodischen und gleichzeitig ergodischen stochastischen Prozess  $\{x_i(t)\}$, der durch die dargestellte Musterfunktion  $x(t)$  vollständig charakterisiert ist.
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Weitere Mustersignale des Zufallsprozesses  $\{x_i(t)\}$  erhält man durch Verschiebung um unterschiedlich große Verzögerungen  $\tau_i$, wobei  $\tau_i$  als gleichverteilt zwischen  $0$  und der Periodendauer  $T_0$  angenommen wird.
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Weitere Mustersignale des Zufallsprozesses $\{x_i(t)\}$ erhält man durch Verschiebung um unterschiedlich große Verzögerungen $\tau_i$, wobei $\tau_i$ als gleichverteilt zwischen $0$ und der Periodendauer $T_0$ angenommen wird.
 
  
  
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
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{Ermitteln Sie die Periodendauer $T_0$, normiert auf die in der Skizze definierte Zeitdauer $T$.
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$T_0/T \ = \ $  { 5 3% }
 
$T_0/T \ = \ $  { 5 3% }
  
  
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{Wie gro&szlig; ist die (auf den Widerstand&nbsp; $1 \hspace{0.05cm} \rm \Omega$&nbsp; bezogene) Prozessleistung?
 
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$P_x \ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V^2$
 
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{Berechnen Sie die AKF-Werte f&uuml;r $\tau = T$ und $\tau = 2T$.
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$\varphi_x(\tau = T) \ = \ $ { 0.6 3% } $\ \rm V^2$
 
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{Skizzieren Sie den AKF-Verlauf unter Ber&uuml;cksichtigung von Symmetrieen. Welche Werte ergeben sich f&uuml;r $\tau = 3T$ und $\tau = 4T$?
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{Skizzieren Sie den AKF-Verlauf unter Ber&uuml;cksichtigung von Symmetrieen.&nbsp; Welche Werte ergeben sich f&uuml;r&nbsp; $\tau = 3T$&nbsp; und&nbsp; $\tau = 4T$?
 
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{Berechnen Sie den Erwartungswert der AKF bez&uuml;glich aller $\tau$-Werte. Interpretieren Sie das Ergebnis.
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{Berechnen Sie den Erwartungswert der AKF bez&uuml;glich aller&nbsp; $\tau$-Werte.&nbsp; Interpretieren Sie das Ergebnis.
 
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${\rm E}\big[\varphi_x(\tau)\big]\ = \ $ { 0.16 3% } $\ \rm V^2$
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'''(1)'''&nbsp; Die (normierte) Periodendauer betr&auml;gt $T_0/T \hspace{0.15cm}\underline{= 5}.$
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'''(2)'''&nbsp; Aufgrund der Periodizit&auml;t gen&uuml;gt die Mittelung &uuml;ber eine Periodendauer $T_0$:
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:$$m_x = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} x(t) \hspace{0.1cm}{\rm d}  t  =  \frac{1}{5  T} \cdot  (2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot 2  T - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot 2 T) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.4 \,V}.$$
  
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*oben das Produkt $x(t) \cdot x(t+T)$,
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*oben das Produkt&nbsp; $x(t) \cdot x(t+T)$,
*unten das Produkt $x(t) \cdot x(t+2T)$.   
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*unten das Produkt&nbsp; $x(t) \cdot x(t+2T)$.   
  
  
Zu beachten ist, dass $x(t+T)$ eine Verschiebung des Signals $x(t)$ um $T$ nach links bedeutet.  
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Zu beachten ist, dass&nbsp; $x(t+T)$&nbsp; eine Verschiebung des Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; um&nbsp; $T$&nbsp; nach links bedeutet.  
  
 
Aus diesen Skizzen folgen die Beziehungen:  
 
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'''(5)'''&nbsp; Eine Autokorrelationsfunktion ist stets gerade: &nbsp; $\varphi_x (-\tau)= \varphi_x (\tau)$. Bei periodischen Prozessen ist die AKF zudem ebenfalls periodisch und zwar mit genau der gleichen Periodendauer $T_0$ wie die einzelnen Musterfunktionen. Daraus folgt:
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'''(5)'''&nbsp; Eine Autokorrelationsfunktion ist stets gerade: &nbsp; $\varphi_x (-\tau)= \varphi_x (\tau)$.&nbsp;
[[Datei:P_ID383__Sto_Z_4_9_e.png|right|frame|AKF&ndash;Berechnung von Rechtecksignalen]]
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*Bei periodischen Prozessen ist die AKF zudem ebenfalls periodisch und zwar mit der gleichen Periodendauer&nbsp; $T_0$&nbsp; wie die einzelnen Musterfunktionen. Daraus folgt:
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[[Datei:P_ID383__Sto_Z_4_9_e.png|right|frame|Gesuchte Autokorrelationsfunktion]]
  
 
:$$\varphi_x ( 0) =  \varphi_x (5 T) = \varphi_x (10 T) = \ \text{...} \ = \it P_x = \rm 2 \,V^2,$$
 
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:$$\varphi_x (4 T) = \varphi_x (-4 T) =\varphi_x ( T) = \ \text{...} \  \hspace{0.15cm}\underline{=  \rm 0.6 \,V^2}.$$
 
:$$\varphi_x (4 T) = \varphi_x (-4 T) =\varphi_x ( T) = \ \text{...} \  \hspace{0.15cm}\underline{=  \rm 0.6 \,V^2}.$$
  
Die berechneten AKF-Werte k&ouml;nnen durch Geradenabschnitte miteinander verbunden werden, da die Integration &uuml;ber Rechteckfunktionen stets lineare Teilabschnitte ergibt.
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*Die berechneten AKF-Werte k&ouml;nnen durch Geradenabschnitte miteinander verbunden werden, da die Integration &uuml;ber Rechteckfunktionen stets lineare Teilabschnitte ergibt.
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'''(6)'''&nbsp; Die fünf Intervalle ($0$ bis $T$), ($T$ bis $2T$), ... , ($4$ bis $5T$) liefern die Beiträge  
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'''(6)'''&nbsp; Die fünf Intervalle&nbsp; $(0$ bis $T)$,&nbsp; $(T$ bis $2T)$, ... ,&nbsp; $(4T$ bis $5T)$&nbsp; liefern die Beiträge  
 
:$$(+1.3;  -0.3;    -1.2;  -0.3;  +1.3) \cdot \rm V^2.$$  
 
:$$(+1.3;  -0.3;    -1.2;  -0.3;  +1.3) \cdot \rm V^2.$$  
Daraus ergibt sich der Erwartungswert (lineare Mittelwert):
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*Daraus ergibt sich der Erwartungswert (lineare Mittelwert):
 
:$${\rm E}\big[\varphi_x(\tau)\big] = 1/5 \cdot (1.3-0.3 -1.2 -0.3 +1.3]\hspace{0.15cm}\underline{=  \rm 0.16 \,V^2}.$$
 
:$${\rm E}\big[\varphi_x(\tau)\big] = 1/5 \cdot (1.3-0.3 -1.2 -0.3 +1.3]\hspace{0.15cm}\underline{=  \rm 0.16 \,V^2}.$$
  
Dies entspricht dem Quadrat des Mittelwertes $m_x$ &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Teilaufgabe '''(2)'''.
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*Dies entspricht dem Quadrat des Mittelwertes&nbsp; $m_x$ &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''.
  
 
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Aktuelle Version vom 29. November 2019, 16:27 Uhr

Periodisches mehrstufiges Rechtecksignal

Wir betrachten in dieser Aufgabe einen periodischen und gleichzeitig ergodischen stochastischen Prozess  $\{x_i(t)\}$, der durch die dargestellte Musterfunktion  $x(t)$  vollständig charakterisiert ist.

Weitere Mustersignale des Zufallsprozesses  $\{x_i(t)\}$  erhält man durch Verschiebung um unterschiedlich große Verzögerungen  $\tau_i$, wobei  $\tau_i$  als gleichverteilt zwischen  $0$  und der Periodendauer  $T_0$  angenommen wird.




Hinweis:


Fragebogen

1

Ermitteln Sie die Periodendauer  $T_0$, normiert auf die in der Skizze definierte Zeitdauer  $T$.

$T_0/T \ = \ $

2

Wie groß ist der Gleichsignalanteil (lineare Mittelwert)  $m_x$  des beschriebenen Prozesses  $\{x_i(t)\}$?

$m_x \ = \ $

$\ \rm V$

3

Wie groß ist die (auf den Widerstand  $1 \hspace{0.05cm} \rm \Omega$  bezogene) Prozessleistung?

$P_x \ = \ $

$\ \rm V^2$

4

Berechnen Sie die AKF-Werte für  $\tau = T$  und  $\tau = 2T$.

$\varphi_x(\tau = T) \ = \ $

$\ \rm V^2$
$\varphi_x(\tau = 2T) \ = \ $

$\ \rm V^2$

5

Skizzieren Sie den AKF-Verlauf unter Berücksichtigung von Symmetrieen.  Welche Werte ergeben sich für  $\tau = 3T$  und  $\tau = 4T$?

$\varphi_x(\tau = 3T) \ = \ $

$\ \rm V^2$
$\varphi_x(\tau = 4T)\ = \ $

$\ \rm V^2$

6

Berechnen Sie den Erwartungswert der AKF bezüglich aller  $\tau$-Werte.  Interpretieren Sie das Ergebnis.

${\rm E}\big[\varphi_x(\tau)\big]\ = \ $

$\ \rm V^2$


Musterlösung

Zur AKF–Berechnung

(1)  Die (normierte) Periodendauer beträgt  $T_0/T \hspace{0.15cm}\underline{= 5}.$


(2)  Aufgrund der Periodizität genügt die Mittelung über eine Periodendauer  $T_0$:

$$m_x = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} x(t) \hspace{0.1cm}{\rm d} t = \frac{1}{5 T} \cdot (2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot 2 T - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot 2 T) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.4 \,V}.$$


(3)  In analoger Weise zur letzten Teilaufgabe erhält man für die mittlere Leistung:

$$P_x = \frac{2 T}{5 T} \cdot \big[(\rm 2V)^2 +(- \rm 1V)^2 \big]\hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 2 \,V^2}.$$


(4)  Die nebenstehende Grafik zeigt jeweils im Bereich von  $0$  bis  $T_0 = 5T$

  • oben das Produkt  $x(t) \cdot x(t+T)$,
  • unten das Produkt  $x(t) \cdot x(t+2T)$.


Zu beachten ist, dass  $x(t+T)$  eine Verschiebung des Signals  $x(t)$  um  $T$  nach links bedeutet.

Aus diesen Skizzen folgen die Beziehungen:

$$\varphi_x (T)= \rm {1}/{5 } \cdot (\rm 4V^2 + \rm 1V^2 - \rm 2V^2) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6\, V^2},$$
$$\varphi_x ( 2 T)= \rm {1}/{5 } \cdot(-\rm 2V^2 \cdot 3) \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2}.$$


(5)  Eine Autokorrelationsfunktion ist stets gerade:   $\varphi_x (-\tau)= \varphi_x (\tau)$. 

  • Bei periodischen Prozessen ist die AKF zudem ebenfalls periodisch und zwar mit der gleichen Periodendauer  $T_0$  wie die einzelnen Musterfunktionen. Daraus folgt:
Gesuchte Autokorrelationsfunktion
$$\varphi_x ( 0) = \varphi_x (5 T) = \varphi_x (10 T) = \ \text{...} \ = \it P_x = \rm 2 \,V^2,$$
$$\varphi_x (3 T) = \varphi_x (-3 T) =\varphi_x (2 T) = \ \text{...} \ \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2},$$
$$\varphi_x (4 T) = \varphi_x (-4 T) =\varphi_x ( T) = \ \text{...} \ \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6 \,V^2}.$$
  • Die berechneten AKF-Werte können durch Geradenabschnitte miteinander verbunden werden, da die Integration über Rechteckfunktionen stets lineare Teilabschnitte ergibt.


(6)  Die fünf Intervalle  $(0$ bis $T)$,  $(T$ bis $2T)$, ... ,  $(4T$ bis $5T)$  liefern die Beiträge

$$(+1.3; -0.3; -1.2; -0.3; +1.3) \cdot \rm V^2.$$
  • Daraus ergibt sich der Erwartungswert (lineare Mittelwert):
$${\rm E}\big[\varphi_x(\tau)\big] = 1/5 \cdot (1.3-0.3 -1.2 -0.3 +1.3]\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.16 \,V^2}.$$
  • Dies entspricht dem Quadrat des Mittelwertes  $m_x$   ⇒   siehe Teilaufgabe  (2).