Aufgaben:Aufgabe 4.09: Zykloergodizität: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten zwei unterschiedliche Zufallsprozesse, deren Musterfunktionen harmonische Schwingungen mit jeweils gleicher Frequenz  $f_0 = 1/T_0$  sind.  $T_0$  bezeichnet die Periodendauer.
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Wir betrachten zwei unterschiedliche Zufallsprozesse,  deren Musterfunktionen harmonische Schwingungen mit jeweils gleicher Frequenz  $f_0 = 1/T_0$  sind.  $T_0$  bezeichnet die Periodendauer.
  
*Beim oben dargestellten Zufallsprozess  $\{x_i(t)\}$  ist die stochastische Komponente die Amplitude, wobei der Zufallsparameter   $C_i$  alle Werte zwischen  $1\hspace{0.05cm}\rm V$  und  $2\hspace{0.05cm}\rm V$  mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen kann:
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*Beim oben dargestellten Zufallsprozess  $\{x_i(t)\}$  ist die stochastische Komponente die Amplitude,  wobei der Zufallsparameter   $C_i$  alle Werte zwischen  $1\hspace{0.05cm}\rm V$  und  $2\hspace{0.05cm}\rm V$  mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen kann:
 
:$$\{ x_i(t) \} = \{ C_i \cdot \cos (2 \pi  f_{\rm 0} t)\}. $$
 
:$$\{ x_i(t) \} = \{ C_i \cdot \cos (2 \pi  f_{\rm 0} t)\}. $$
  
*Beim Prozess  $\{y_i(t)\}$  weisen alle Musterfunktionen die gleiche Amplitude auf:   $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$.  Hier variiert die Phase  $\varphi_i$, die über alle Musterfunktionen gemittelt gleichverteilt zwischen  $0$  und  $2\pi$  ist:
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*Beim Prozess  $\{y_i(t)\}$  weisen alle Musterfunktionen die gleiche Amplitude auf:   $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$.  Hier variiert die Phase  $\varphi_i$,  die über alle Musterfunktionen gemittelt gleichverteilt zwischen  $0$  und  $2\pi$  ist:
 
:$$\{ y_i(t) \} = \{ x_{\rm 0} \cdot \cos (2 \pi  f_{\rm 0} t - \varphi_i)\}. $$
 
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In diesen Fällen sind auch die meisten der Berechnungsregeln anwendbar, die eigentlich nur für ergodische Prozesse gelten.
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*Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; $($und allen Vielfachen der Periodendauer&nbsp; $T_0)$&nbsp; hat jedes Mustersignal&nbsp; $x_i(t)$&nbsp; einen Wert zwischen&nbsp; $1\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; und&nbsp; $2\hspace{0.05cm}\rm V$.&nbsp; Der Mittelwert ist&nbsp; $1.5\hspace{0.05cm}\rm V$.  
 
*Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; $($und allen Vielfachen der Periodendauer&nbsp; $T_0)$&nbsp; hat jedes Mustersignal&nbsp; $x_i(t)$&nbsp; einen Wert zwischen&nbsp; $1\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; und&nbsp; $2\hspace{0.05cm}\rm V$.&nbsp; Der Mittelwert ist&nbsp; $1.5\hspace{0.05cm}\rm V$.  
*Dagegen ist bei&nbsp; $t = T_0/4$&nbsp; der Signalwert des gesamten Ensembles identisch Null.&nbsp; Das hei&szlig;t:  
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*Dagegen ist bei&nbsp; $t = T_0/4$&nbsp; der Signalwert des gesamten Ensembles identisch Null.&nbsp; Das hei&szlig;t: <br>&nbsp; Bereits der lineare Mittelwert erf&uuml;llt die Bedingung der Stationarit&auml;t nicht:&nbsp; Der Prozess&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; ist nicht station&auml;r und kann deshalb auch nicht ergodisch sein.
*Bereits der lineare Mittelwert erf&uuml;llt die Bedingung der Stationarit&auml;t nicht:&nbsp; Der Prozess&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; ist nicht station&auml;r und kann deshalb auch nicht ergodisch sein.
 
 
*Dagegen sind beim Prozess&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; aufgrund der gleichverteilten Phase zu allen Zeitpunkten die gleichen Momente zu erwarten &nbsp; &rArr; &nbsp; der Prozess ist station&auml;r.  
 
*Dagegen sind beim Prozess&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; aufgrund der gleichverteilten Phase zu allen Zeitpunkten die gleichen Momente zu erwarten &nbsp; &rArr; &nbsp; der Prozess ist station&auml;r.  
*Da bei der AKF-Berechnung die Phasenbeziehungen verloren gehen, steht jede einzelne Musterfunktion stellvertretend f&uuml;r den gesamten Prozess.&nbsp; Deshalb kann hier hypothetisch von Ergodizit&auml;t ausgegangen werden.  
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*Da bei der AKF-Berechnung die Phasenbeziehungen verloren gehen,&nbsp; steht jede einzelne Musterfunktion stellvertretend f&uuml;r den gesamten Prozess.&nbsp; Deshalb kann hier hypothetisch von Ergodizit&auml;t ausgegangen werden.  
 
*Am Ende der Aufgabe ist zu &uuml;berpr&uuml;fen, ob diese Annahme gerechtfertigt ist.  
 
*Am Ende der Aufgabe ist zu &uuml;berpr&uuml;fen, ob diese Annahme gerechtfertigt ist.  
  
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:$$\varphi_y (\tau) = \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (4 \pi \it{f_{\rm 0} t} + {\rm 2} \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )}  \hspace{0.1cm}\rm d \it t \ {\rm +} \ \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (-2 \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )}  \hspace{0.1cm}\rm d \it t. $$
 
:$$\varphi_y (\tau) = \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (4 \pi \it{f_{\rm 0} t} + {\rm 2} \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )}  \hspace{0.1cm}\rm d \it t \ {\rm +} \ \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (-2 \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )}  \hspace{0.1cm}\rm d \it t. $$
  
*Das erste Integral ist Null&nbsp; (Integration &uuml;ber zwei Perioden der Cosinusfunktion).  
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*Das erste Integral ist Null&nbsp; (Integration &uuml;ber zwei Perioden der Cosinusfunktion).&nbsp; Der zweite Integrand ist unabh&auml;ngig von der Integrationsvariablen&nbsp; $t$.&nbsp; Daraus folgt: &nbsp;  
*Der zweite Integrand ist unabh&auml;ngig von der Integrationsvariablen&nbsp; $t$.&nbsp; Daraus folgt: &nbsp; $\varphi_y (\tau) ={{ x}_0^2}/{\rm 2} \cdot \cos (2 \pi {f_{\rm 0} \tau}). $  
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:$$\varphi_y (\tau) ={{ x}_0^2}/{\rm 2} \cdot \cos (2 \pi {f_{\rm 0} \tau}). $$  
 
*F&uuml;r die angegebenen Zeitpunkte gilt mit&nbsp; $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$:
 
*F&uuml;r die angegebenen Zeitpunkte gilt mit&nbsp; $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$:
 
:$$\varphi_y (0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 2\hspace{0.05cm}{\rm V}^2}, \hspace{0.5cm}  \varphi_y (0.25 \cdot { T}_{\rm 0}{\rm )} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}, \hspace{0.5cm} \varphi_y (\rm 1.5 \cdot {\it T}_{\rm 0} {\rm )} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm -2\hspace{0.05cm}{\rm V}^2}.$$
 
:$$\varphi_y (0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 2\hspace{0.05cm}{\rm V}^2}, \hspace{0.5cm}  \varphi_y (0.25 \cdot { T}_{\rm 0}{\rm )} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}, \hspace{0.5cm} \varphi_y (\rm 1.5 \cdot {\it T}_{\rm 0} {\rm )} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm -2\hspace{0.05cm}{\rm V}^2}.$$
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*Der Mittelwert&nbsp; $m_y$&nbsp; kann aus dem Grenzwert der AKF f&uuml;r&nbsp; $\tau \to \infty$&nbsp; ermittelt werden, wenn man die periodischen Anteile ausschlie&szlig;t.&nbsp; Daraus folgt&nbsp; $m_y= 0$.
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*Der Mittelwert&nbsp; $m_y$&nbsp; kann aus dem Grenzwert der AKF f&uuml;r&nbsp; $\tau \to \infty$&nbsp; ermittelt werden,&nbsp; wenn man die periodischen Anteile ausschlie&szlig;t.&nbsp; Daraus folgt&nbsp; $m_y= 0$.
*Die Varianz (Leistung) ist gleich dem AKF&ndash;Wert an der Stelle&nbsp; $\tau = 0$, also&nbsp; $2\hspace{0.05cm}\rm V^2$.&nbsp; Der Effektivwert ist die Quadratwurzel daraus: &nbsp; $\sigma_y \approx 1.414\hspace{0.05cm}\rm V$.
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*Die Varianz (Leistung) ist gleich dem AKF&ndash;Wert an der Stelle&nbsp; $\tau = 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\sigma_y^2=2\hspace{0.05cm}\rm V^2$.&nbsp; Der Effektivwert ist die Quadratwurzel daraus: &nbsp; $\sigma_y \approx 1.414\hspace{0.05cm}\rm V$.
*Die Periodendauer eines periodischen Zufallsprozesses bleibt in der AKF erhalten, das hei&szlig;t, auch die Periodendauer der AKF betr&auml;gt&nbsp; $T_0$.  
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*Die Periodendauer eines periodischen Zufallsprozesses bleibt in der AKF erhalten,&nbsp; das hei&szlig;t,&nbsp; auch die Periodendauer der AKF betr&auml;gt&nbsp; $T_0$.  
 
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Aktuelle Version vom 19. März 2022, 17:14 Uhr

Zur Verdeutlichung der Eigenschaft „Zykloergodizität”

Wir betrachten zwei unterschiedliche Zufallsprozesse,  deren Musterfunktionen harmonische Schwingungen mit jeweils gleicher Frequenz  $f_0 = 1/T_0$  sind.  $T_0$  bezeichnet die Periodendauer.

  • Beim oben dargestellten Zufallsprozess  $\{x_i(t)\}$  ist die stochastische Komponente die Amplitude,  wobei der Zufallsparameter  $C_i$  alle Werte zwischen  $1\hspace{0.05cm}\rm V$  und  $2\hspace{0.05cm}\rm V$  mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen kann:
$$\{ x_i(t) \} = \{ C_i \cdot \cos (2 \pi f_{\rm 0} t)\}. $$
  • Beim Prozess  $\{y_i(t)\}$  weisen alle Musterfunktionen die gleiche Amplitude auf:   $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$.  Hier variiert die Phase  $\varphi_i$,  die über alle Musterfunktionen gemittelt gleichverteilt zwischen  $0$  und  $2\pi$  ist:
$$\{ y_i(t) \} = \{ x_{\rm 0} \cdot \cos (2 \pi f_{\rm 0} t - \varphi_i)\}. $$

Die Eigenschaften  „zyklostationär”  und  „zykloergodisch”  sagen aus,

  • dass die Prozesse zwar im strengen Sinne nicht als stationär und ergodisch zu bezeichnen sind,
  • alle statistischen Kennwerte aber für Vielfache der Periondauer  $T_0$  jeweils gleich sind.


In diesen Fällen sind auch die meisten der Berechnungsregeln anwendbar,  die eigentlich nur für ergodische Prozesse gelten.


Hinweis:  Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Autokorrelationsfunktion.


Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

Der Prozess  $\{x_i(t)\}$  ist stationär.
Der Prozess  $\{x_i(t)\}$  ist ergodisch.
Der Prozess  $\{y_i(t)\}$  ist stationär.
Der Prozess  $\{y_i(t)\}$  ist ergodisch.

2

Berechnen Sie die Autokorrelationsfunktion  $\varphi_y(\tau)$  für verschiedene  $\tau$-Werte.

$\varphi_y(\tau=0)\ = \ $

$\ \rm V^2$
$\varphi_y(\tau=0.25 \cdot T_0)\ = \ $

$\ \rm V^2$
$\varphi_y(\tau=1.50 \cdot T_0)\ = \ $

$\ \rm V^2$

3

Welche der folgenden Aussagen sind bezüglich  $\{y_i(t)\}$  zutreffend?

Alle Mustersignale sind gleichsignalfrei.
Alle Mustersignale besitzen den Effektivwert  $2\hspace{0.05cm}\rm V$.
Die AKF hat die doppelte Periodendauer  $(2T_0)$  wie die Mustersignale  $(T_0)$.


Musterlösung

(1)  Richtig sind die  die Lösungsvorschläge 3 und 4:

  • Zum Zeitpunkt  $t = 0$  $($und allen Vielfachen der Periodendauer  $T_0)$  hat jedes Mustersignal  $x_i(t)$  einen Wert zwischen  $1\hspace{0.05cm}\rm V$  und  $2\hspace{0.05cm}\rm V$.  Der Mittelwert ist  $1.5\hspace{0.05cm}\rm V$.
  • Dagegen ist bei  $t = T_0/4$  der Signalwert des gesamten Ensembles identisch Null.  Das heißt:
      Bereits der lineare Mittelwert erfüllt die Bedingung der Stationarität nicht:  Der Prozess  $\{x_i(t)\}$  ist nicht stationär und kann deshalb auch nicht ergodisch sein.
  • Dagegen sind beim Prozess  $\{y_i(t)\}$  aufgrund der gleichverteilten Phase zu allen Zeitpunkten die gleichen Momente zu erwarten   ⇒   der Prozess ist stationär.
  • Da bei der AKF-Berechnung die Phasenbeziehungen verloren gehen,  steht jede einzelne Musterfunktion stellvertretend für den gesamten Prozess.  Deshalb kann hier hypothetisch von Ergodizität ausgegangen werden.
  • Am Ende der Aufgabe ist zu überprüfen, ob diese Annahme gerechtfertigt ist.



(2)  Aufgrund der Ergodizität kann jede Musterfunktion zur AKF–Berechung herangezogen werden.  Wir benutzen hier willkürlich die Phase  $\varphi_i = 0$.

  • Aufgrund der Periodizität genügt die Mitteilung über nur eine Periodendauer  $T_0$.  Dann gilt:
$$\varphi_y (\tau) = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} y(t) \cdot y (t+\tau) \hspace{0.1cm}{\rm d} t = \frac{{ x}_0^2}{{ T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \cos (2 \pi {f_{\rm 0} t}) \cdot \cos (2 \pi {f_{\rm 0} (t+\tau)}) \hspace{0.1cm}\rm d \it t.$$
  • Mit der trigonometrischen Beziehung   $\cos (\alpha) \cdot \cos (\beta)= {1}/{2} \cdot \cos (\alpha + \beta) + {1}/{2} \cdot \cos (\alpha - \beta)$   folgt daraus weiter:
$$\varphi_y (\tau) = \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (4 \pi \it{f_{\rm 0} t} + {\rm 2} \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )} \hspace{0.1cm}\rm d \it t \ {\rm +} \ \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (-2 \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )} \hspace{0.1cm}\rm d \it t. $$
  • Das erste Integral ist Null  (Integration über zwei Perioden der Cosinusfunktion).  Der zweite Integrand ist unabhängig von der Integrationsvariablen  $t$.  Daraus folgt:  
$$\varphi_y (\tau) ={{ x}_0^2}/{\rm 2} \cdot \cos (2 \pi {f_{\rm 0} \tau}). $$
  • Für die angegebenen Zeitpunkte gilt mit  $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$:
$$\varphi_y (0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 2\hspace{0.05cm}{\rm V}^2}, \hspace{0.5cm} \varphi_y (0.25 \cdot { T}_{\rm 0}{\rm )} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}, \hspace{0.5cm} \varphi_y (\rm 1.5 \cdot {\it T}_{\rm 0} {\rm )} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm -2\hspace{0.05cm}{\rm V}^2}.$$


(3)  Richtig sind die  beiden ersten Lösungsvorschläge:

  • Der Mittelwert  $m_y$  kann aus dem Grenzwert der AKF für  $\tau \to \infty$  ermittelt werden,  wenn man die periodischen Anteile ausschließt.  Daraus folgt  $m_y= 0$.
  • Die Varianz (Leistung) ist gleich dem AKF–Wert an der Stelle  $\tau = 0$   ⇒   $\sigma_y^2=2\hspace{0.05cm}\rm V^2$.  Der Effektivwert ist die Quadratwurzel daraus:   $\sigma_y \approx 1.414\hspace{0.05cm}\rm V$.
  • Die Periodendauer eines periodischen Zufallsprozesses bleibt in der AKF erhalten,  das heißt,  auch die Periodendauer der AKF beträgt  $T_0$.