Aufgaben:Aufgabe 4.09: Zykloergodizität: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten zwei unterschiedliche Zufallsprozesse, deren Musterfunktionen harmonische Schwingungen mit jeweils gleicher Frequenz $f_0 = 1/T_0$ sind. $T_0$ bezeichnet die Periodendauer.
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Wir betrachten zwei unterschiedliche Zufallsprozesse, deren Musterfunktionen harmonische Schwingungen mit jeweils gleicher Frequenz  $f_0 = 1/T_0$  sind.  $T_0$  bezeichnet die Periodendauer.
  
*Beim oben dargestellten Zufallsprozess $\{x_i(t)\}$ ist die Amplitude die stochastische Komponente, wobei der Zufallsparameter  $C_i$ alle Werte zwischen $1\hspace{0.05cm}\rm V$ und $2\hspace{0.05cm}\rm V$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen kann:
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*Beim oben dargestellten Zufallsprozess  $\{x_i(t)\}$  ist die stochastische Komponente die Amplitude, wobei der Zufallsparameter  $C_i$  alle Werte zwischen  $1\hspace{0.05cm}\rm V$  und  $2\hspace{0.05cm}\rm V$  mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen kann:
 
:$$\{ x_i(t) \} = \{ C_i \cdot \cos (2 \pi  f_{\rm 0} t)\}. $$
 
:$$\{ x_i(t) \} = \{ C_i \cdot \cos (2 \pi  f_{\rm 0} t)\}. $$
  
*Beim Prozess $\{y_i(t)\}$ weisen alle Musterfunktionen die gleiche Amplitude auf:   $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$. Hier variiert die Phase $\varphi_i$, die gleichverteilt zwischen $0$ und $2\pi$ ist:
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*Beim Prozess  $\{y_i(t)\}$  weisen alle Musterfunktionen die gleiche Amplitude auf:   $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$.  Hier variiert die Phase  $\varphi_i$, die über alle Musterfunktionen gemittelt gleichverteilt zwischen  $0$  und  $2\pi$  ist:
 
:$$\{ y_i(t) \} = \{ x_{\rm 0} \cdot \cos (2 \pi  f_{\rm 0} t - \varphi_i)\}. $$
 
:$$\{ y_i(t) \} = \{ x_{\rm 0} \cdot \cos (2 \pi  f_{\rm 0} t - \varphi_i)\}. $$
  
Die Eigenschaften <i>zyklostation&auml;r</i> und <i>zykloergodisch</i> sagen aus,  
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Die Eigenschaften&nbsp; &bdquo;zyklostation&auml;r&rdquo;&nbsp; und&nbsp; &bdquo;zykloergodisch&rdquo;&nbsp; sagen aus,  
 
*dass die Prozesse zwar im strengen Sinne nicht als station&auml;r und ergodisch zu bezeichnen sind,  
 
*dass die Prozesse zwar im strengen Sinne nicht als station&auml;r und ergodisch zu bezeichnen sind,  
*die statistischen Kennwerte aber f&uuml;r Vielfache der Periondauer $T_0$ jeweils gleich sind.  
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*alle statistischen Kennwerte aber f&uuml;r Vielfache der Periondauer&nbsp; $T_0$&nbsp; jeweils gleich sind.  
  
  
 
In diesen F&auml;llen sind auch die meisten der Berechnungsregeln anwendbar, die eigentlich nur f&uuml;r ergodische Prozesse gelten.
 
In diesen F&auml;llen sind auch die meisten der Berechnungsregeln anwendbar, die eigentlich nur f&uuml;r ergodische Prozesse gelten.
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
 
   
 
   
  
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- Der Prozess $\{x_i(t)\}$ ist station&auml;r.
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- Der Prozess&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; ist station&auml;r.
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- Der Prozess&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; ist ergodisch.
+ Der Prozess $\{y_i(t)\}$ ist station&auml;r.
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+ Der Prozess&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; ist station&auml;r.
+ Der Prozess $\{y_i(t)\}$ ist ergodisch.
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+ Der Prozess&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; ist ergodisch.
  
  
{Berechnen Sie die Autokorrelationsfunktion $\phi_y(\tau)$ für verschiedene $\tau$-Werte.
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{Berechnen Sie die Autokorrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_y(\tau)$&nbsp; für verschiedene&nbsp; $\tau$-Werte.
 
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$\varphi_y(\tau=0)\ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V^2$
 
$\varphi_y(\tau=0)\ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V^2$
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{Welche der folgenden Aussagen sind bez&uuml;glich $\{y_i(t)\}$ zutreffend?
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{Welche der folgenden Aussagen sind bez&uuml;glich&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; zutreffend?
 
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+ Alle Mustersignale sind gleichsignalfrei.
 
+ Alle Mustersignale sind gleichsignalfrei.
- Alle Mustersignale besitzen einen Effektivwert von $2\hspace{0.05cm}\rm V$.
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+ Alle Mustersignale besitzen den Effektivwert&nbsp; $2\hspace{0.05cm}\rm V$.
- Die AKF hat die doppelte Periodendauer $(2T_0)$ wie die Mustersignale $(T_0)$.
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- Die AKF hat die doppelte Periodendauer&nbsp; $(2T_0)$&nbsp; wie die Mustersignale&nbsp; $(T_0)$.
  
  
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{{ML-Kopf}}
 
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'''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 3 und 4</u>:
 
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 3 und 4</u>:
*Zum Zeitpunkt $t = 0$ (und allen Vielfachen der Periodendauer $T_0$) hat jedes Mustersignal $x_i(t)$ einen Wert zwischen $1\hspace{0.05cm}\rm V$ und $2\hspace{0.05cm}\rm V$. Der Mittelwert beträgt $1.5\hspace{0.05cm}\rm V$.  
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*Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; $($und allen Vielfachen der Periodendauer&nbsp; $T_0)$&nbsp; hat jedes Mustersignal&nbsp; $x_i(t)$&nbsp; einen Wert zwischen&nbsp; $1\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; und&nbsp; $2\hspace{0.05cm}\rm V$.&nbsp; Der Mittelwert ist&nbsp; $1.5\hspace{0.05cm}\rm V$.  
*Dagegen ist bei $t = T_0/4$ der Signalwert des gesamten Ensembles identisch $0$. Das hei&szlig;t:  
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*Dagegen ist bei&nbsp; $t = T_0/4$&nbsp; der Signalwert des gesamten Ensembles identisch Null.&nbsp; Das hei&szlig;t:  
*Bereits der lineare Mittelwert erf&uuml;llt die Bedingung der Stationarit&auml;t nicht; der Prozess $\{x_i(t)\}$ ist nicht station&auml;r und kann deshalb auch nicht ergodisch sein.
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*Bereits der lineare Mittelwert erf&uuml;llt die Bedingung der Stationarit&auml;t nicht:&nbsp; Der Prozess&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; ist nicht station&auml;r und kann deshalb auch nicht ergodisch sein.
*Dagegen sind beim Prozess $\{y_i(t)\}$ aufgrund der gleichverteilten Phase zu allen Zeitpunkten die gleichen Momente zu erwarten &nbsp; &rArr; &nbsp; der Prozess ist station&auml;r.  
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*Dagegen sind beim Prozess&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; aufgrund der gleichverteilten Phase zu allen Zeitpunkten die gleichen Momente zu erwarten &nbsp; &rArr; &nbsp; der Prozess ist station&auml;r.  
*Da bei der AKF-Berechnung die Phasenbeziehungen verloren gehen, steht jede einzelne Musterfunktion stellvertretend f&uuml;r den gesamten Prozess. Deshalb kann hier hypothetisch von Ergodizit&auml;t ausgegangen werden.  
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*Da bei der AKF-Berechnung die Phasenbeziehungen verloren gehen, steht jede einzelne Musterfunktion stellvertretend f&uuml;r den gesamten Prozess.&nbsp; Deshalb kann hier hypothetisch von Ergodizit&auml;t ausgegangen werden.  
 
*Am Ende der Aufgabe ist zu &uuml;berpr&uuml;fen, ob diese Annahme gerechtfertigt ist.  
 
*Am Ende der Aufgabe ist zu &uuml;berpr&uuml;fen, ob diese Annahme gerechtfertigt ist.  
  
  
  
'''(2)'''&nbsp; Aufgrund der Ergodizit&auml;t kann jede Musterfunktion zur AKF&ndash;Berechung herangezogen werden. Wir benutzen hier willk&uuml;rlich die Phase $\varphi_i = 0$.  
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*Aufgrund der Periodizit&auml;t gen&uuml;gt die Mitteilung &uuml;ber nur eine Periodendauer $T_0$. Dann gilt:
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'''(2)'''&nbsp; Aufgrund der Ergodizit&auml;t kann jede Musterfunktion zur AKF&ndash;Berechung herangezogen werden.&nbsp; Wir benutzen hier willk&uuml;rlich die Phase&nbsp; $\varphi_i = 0$.  
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*Aufgrund der Periodizit&auml;t gen&uuml;gt die Mitteilung &uuml;ber nur eine Periodendauer&nbsp; $T_0$.&nbsp; Dann gilt:
 
:$$\varphi_y (\tau) = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} y(t) \cdot y (t+\tau) \hspace{0.1cm}{\rm d} t = \frac{{ x}_0^2}{{ T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \cos (2 \pi {f_{\rm 0} t}) \cdot \cos (2 \pi {f_{\rm 0} (t+\tau)})  \hspace{0.1cm}\rm d \it t.$$
 
:$$\varphi_y (\tau) = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} y(t) \cdot y (t+\tau) \hspace{0.1cm}{\rm d} t = \frac{{ x}_0^2}{{ T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \cos (2 \pi {f_{\rm 0} t}) \cdot \cos (2 \pi {f_{\rm 0} (t+\tau)})  \hspace{0.1cm}\rm d \it t.$$
  
 
*Mit der trigonometrischen Beziehung &nbsp; $\cos (\alpha) \cdot \cos (\beta)= {1}/{2} \cdot \cos (\alpha + \beta) + {1}/{2} \cdot \cos (\alpha - \beta)$ &nbsp; folgt daraus weiter:
 
*Mit der trigonometrischen Beziehung &nbsp; $\cos (\alpha) \cdot \cos (\beta)= {1}/{2} \cdot \cos (\alpha + \beta) + {1}/{2} \cdot \cos (\alpha - \beta)$ &nbsp; folgt daraus weiter:
:$$\varphi_y (\tau) = \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (4 \pi \it{f_{\rm 0} t} + {\rm 2} \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )}  \hspace{0.1cm}\rm d \it t + \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (-2 \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )}  \hspace{0.1cm}\rm d \it t. $$
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:$$\varphi_y (\tau) = \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (4 \pi \it{f_{\rm 0} t} + {\rm 2} \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )}  \hspace{0.1cm}\rm d \it t \ {\rm +} \ \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (-2 \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )}  \hspace{0.1cm}\rm d \it t. $$
  
*Das erste Integral ist Null (Integration &uuml;ber zwei Perioden der Cosinusfunktion).  
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*Das erste Integral ist Null&nbsp; (Integration &uuml;ber zwei Perioden der Cosinusfunktion).  
*Der zweite Integrand ist unabh&auml;ngig von der Integrationsvariablen $t$. Daraus folgt: &nbsp; $\varphi_y (\tau) ={{ x}_0^2}/{\rm 2} \cdot \cos (2 \pi {f_{\rm 0} \tau}). $  
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*Der zweite Integrand ist unabh&auml;ngig von der Integrationsvariablen&nbsp; $t$.&nbsp; Daraus folgt: &nbsp; $\varphi_y (\tau) ={{ x}_0^2}/{\rm 2} \cdot \cos (2 \pi {f_{\rm 0} \tau}). $  
*F&uuml;r die angegebenen Zeitpunkte gilt mit $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$:
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*F&uuml;r die angegebenen Zeitpunkte gilt mit&nbsp; $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$:
 
:$$\varphi_y (0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 2\hspace{0.05cm}{\rm V}^2}, \hspace{0.5cm}  \varphi_y (0.25 \cdot { T}_{\rm 0}{\rm )} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}, \hspace{0.5cm} \varphi_y (\rm 1.5 \cdot {\it T}_{\rm 0} {\rm )} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm -2\hspace{0.05cm}{\rm V}^2}.$$
 
:$$\varphi_y (0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 2\hspace{0.05cm}{\rm V}^2}, \hspace{0.5cm}  \varphi_y (0.25 \cdot { T}_{\rm 0}{\rm )} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}, \hspace{0.5cm} \varphi_y (\rm 1.5 \cdot {\it T}_{\rm 0} {\rm )} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm -2\hspace{0.05cm}{\rm V}^2}.$$
  
  
'''(3)'''&nbsp; Richtig ist nur <u>der erste Lösungsvorschlag</u>:
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*Der Mittelwert $m_y$ kann aus dem Grenzwert der AKF f&uuml;r $\tau \to \infty$ ermittelt werden, wenn man die periodischen Anteile ausschlie&szlig;t. Daraus folgt $m_y= 0$.
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'''(3)'''&nbsp; Richtig sind <u>beiden ersten Lösungsvorschläge</u>:
*Die Varianz (Leistung) ist gleich dem AKF&ndash;Wert an der Stelle $\tau = 0$, also $2\hspace{0.05cm}\rm V^2$. Der Effektivwert ist die Quadratwurzel daraus: &nbsp; $\sigma_y \approx 1.414\hspace{0.05cm}\rm V$.
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*Der Mittelwert&nbsp; $m_y$&nbsp; kann aus dem Grenzwert der AKF f&uuml;r&nbsp; $\tau \to \infty$&nbsp; ermittelt werden, wenn man die periodischen Anteile ausschlie&szlig;t.&nbsp; Daraus folgt&nbsp; $m_y= 0$.
*Die Periodendauer eines periodischen Zufallsprozesses bleibt in der AKF erhalten, das hei&szlig;t, auch die Periodendauer der AKF betr&auml;gt $T_0$.  
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*Die Varianz (Leistung) ist gleich dem AKF&ndash;Wert an der Stelle&nbsp; $\tau = 0$, also&nbsp; $2\hspace{0.05cm}\rm V^2$.&nbsp; Der Effektivwert ist die Quadratwurzel daraus: &nbsp; $\sigma_y \approx 1.414\hspace{0.05cm}\rm V$.
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*Die Periodendauer eines periodischen Zufallsprozesses bleibt in der AKF erhalten, das hei&szlig;t, auch die Periodendauer der AKF betr&auml;gt&nbsp; $T_0$.  
 
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Aktuelle Version vom 29. November 2019, 15:40 Uhr

Zur Verdeutlichung der Eigenschaft „Zykloergodizität”

Wir betrachten zwei unterschiedliche Zufallsprozesse, deren Musterfunktionen harmonische Schwingungen mit jeweils gleicher Frequenz  $f_0 = 1/T_0$  sind.  $T_0$  bezeichnet die Periodendauer.

  • Beim oben dargestellten Zufallsprozess  $\{x_i(t)\}$  ist die stochastische Komponente die Amplitude, wobei der Zufallsparameter  $C_i$  alle Werte zwischen  $1\hspace{0.05cm}\rm V$  und  $2\hspace{0.05cm}\rm V$  mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen kann:
$$\{ x_i(t) \} = \{ C_i \cdot \cos (2 \pi f_{\rm 0} t)\}. $$
  • Beim Prozess  $\{y_i(t)\}$  weisen alle Musterfunktionen die gleiche Amplitude auf:   $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$.  Hier variiert die Phase  $\varphi_i$, die über alle Musterfunktionen gemittelt gleichverteilt zwischen  $0$  und  $2\pi$  ist:
$$\{ y_i(t) \} = \{ x_{\rm 0} \cdot \cos (2 \pi f_{\rm 0} t - \varphi_i)\}. $$

Die Eigenschaften  „zyklostationär”  und  „zykloergodisch”  sagen aus,

  • dass die Prozesse zwar im strengen Sinne nicht als stationär und ergodisch zu bezeichnen sind,
  • alle statistischen Kennwerte aber für Vielfache der Periondauer  $T_0$  jeweils gleich sind.


In diesen Fällen sind auch die meisten der Berechnungsregeln anwendbar, die eigentlich nur für ergodische Prozesse gelten.





Hinweis:


Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

Der Prozess  $\{x_i(t)\}$  ist stationär.
Der Prozess  $\{x_i(t)\}$  ist ergodisch.
Der Prozess  $\{y_i(t)\}$  ist stationär.
Der Prozess  $\{y_i(t)\}$  ist ergodisch.

2

Berechnen Sie die Autokorrelationsfunktion  $\varphi_y(\tau)$  für verschiedene  $\tau$-Werte.

$\varphi_y(\tau=0)\ = \ $

$\ \rm V^2$
$\varphi_y(\tau=0.25 \cdot T_0)\ = \ $

$\ \rm V^2$
$\varphi_y(\tau=1.50 \cdot T_0)\ = \ $

$\ \rm V^2$

3

Welche der folgenden Aussagen sind bezüglich  $\{y_i(t)\}$  zutreffend?

Alle Mustersignale sind gleichsignalfrei.
Alle Mustersignale besitzen den Effektivwert  $2\hspace{0.05cm}\rm V$.
Die AKF hat die doppelte Periodendauer  $(2T_0)$  wie die Mustersignale  $(T_0)$.


Musterlösung

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 3 und 4:

  • Zum Zeitpunkt  $t = 0$  $($und allen Vielfachen der Periodendauer  $T_0)$  hat jedes Mustersignal  $x_i(t)$  einen Wert zwischen  $1\hspace{0.05cm}\rm V$  und  $2\hspace{0.05cm}\rm V$.  Der Mittelwert ist  $1.5\hspace{0.05cm}\rm V$.
  • Dagegen ist bei  $t = T_0/4$  der Signalwert des gesamten Ensembles identisch Null.  Das heißt:
  • Bereits der lineare Mittelwert erfüllt die Bedingung der Stationarität nicht:  Der Prozess  $\{x_i(t)\}$  ist nicht stationär und kann deshalb auch nicht ergodisch sein.
  • Dagegen sind beim Prozess  $\{y_i(t)\}$  aufgrund der gleichverteilten Phase zu allen Zeitpunkten die gleichen Momente zu erwarten   ⇒   der Prozess ist stationär.
  • Da bei der AKF-Berechnung die Phasenbeziehungen verloren gehen, steht jede einzelne Musterfunktion stellvertretend für den gesamten Prozess.  Deshalb kann hier hypothetisch von Ergodizität ausgegangen werden.
  • Am Ende der Aufgabe ist zu überprüfen, ob diese Annahme gerechtfertigt ist.



(2)  Aufgrund der Ergodizität kann jede Musterfunktion zur AKF–Berechung herangezogen werden.  Wir benutzen hier willkürlich die Phase  $\varphi_i = 0$.

  • Aufgrund der Periodizität genügt die Mitteilung über nur eine Periodendauer  $T_0$.  Dann gilt:
$$\varphi_y (\tau) = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} y(t) \cdot y (t+\tau) \hspace{0.1cm}{\rm d} t = \frac{{ x}_0^2}{{ T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \cos (2 \pi {f_{\rm 0} t}) \cdot \cos (2 \pi {f_{\rm 0} (t+\tau)}) \hspace{0.1cm}\rm d \it t.$$
  • Mit der trigonometrischen Beziehung   $\cos (\alpha) \cdot \cos (\beta)= {1}/{2} \cdot \cos (\alpha + \beta) + {1}/{2} \cdot \cos (\alpha - \beta)$   folgt daraus weiter:
$$\varphi_y (\tau) = \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (4 \pi \it{f_{\rm 0} t} + {\rm 2} \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )} \hspace{0.1cm}\rm d \it t \ {\rm +} \ \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (-2 \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )} \hspace{0.1cm}\rm d \it t. $$
  • Das erste Integral ist Null  (Integration über zwei Perioden der Cosinusfunktion).
  • Der zweite Integrand ist unabhängig von der Integrationsvariablen  $t$.  Daraus folgt:   $\varphi_y (\tau) ={{ x}_0^2}/{\rm 2} \cdot \cos (2 \pi {f_{\rm 0} \tau}). $
  • Für die angegebenen Zeitpunkte gilt mit  $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$:
$$\varphi_y (0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 2\hspace{0.05cm}{\rm V}^2}, \hspace{0.5cm} \varphi_y (0.25 \cdot { T}_{\rm 0}{\rm )} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}, \hspace{0.5cm} \varphi_y (\rm 1.5 \cdot {\it T}_{\rm 0} {\rm )} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm -2\hspace{0.05cm}{\rm V}^2}.$$


(3)  Richtig sind beiden ersten Lösungsvorschläge:

  • Der Mittelwert  $m_y$  kann aus dem Grenzwert der AKF für  $\tau \to \infty$  ermittelt werden, wenn man die periodischen Anteile ausschließt.  Daraus folgt  $m_y= 0$.
  • Die Varianz (Leistung) ist gleich dem AKF–Wert an der Stelle  $\tau = 0$, also  $2\hspace{0.05cm}\rm V^2$.  Der Effektivwert ist die Quadratwurzel daraus:   $\sigma_y \approx 1.414\hspace{0.05cm}\rm V$.
  • Die Periodendauer eines periodischen Zufallsprozesses bleibt in der AKF erhalten, das heißt, auch die Periodendauer der AKF beträgt  $T_0$.