Aufgaben:Aufgabe 4.09: Entscheidungsregionen bei Laplace: Unterschied zwischen den Versionen

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{{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit}}
 
{{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit}}
  
[[Datei:P_ID2044__Dig_A_4_9.png|right|frame|Drei verschiedene Entscheidungsregionen für Laplace]]
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[[Datei:P_ID2044__Dig_A_4_9.png|right|frame|Drei Entscheidungsregionen <br>für Laplace]]
Wir betrachten ein Übertragungssystem, basierend auf den Basisfunktionen $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$. Die zwei gleichwahrscheinlichen Sendesignale sind durch die Signalpunkte
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Wir betrachten ein Übertragungssystem,&nbsp; basierend auf den Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_2(t)$.&nbsp; Die beiden gleichwahrscheinlichen Sendesignale sind durch die Signalpunkte
 
:$$\boldsymbol{ s }_0 = (-\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}-\sqrt{E})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}  
 
:$$\boldsymbol{ s }_0 = (-\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}-\sqrt{E})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}  
 
   \boldsymbol{ s }_1 = (+\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}+\sqrt{E})\hspace{0.05cm}$$
 
   \boldsymbol{ s }_1 = (+\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}+\sqrt{E})\hspace{0.05cm}$$
  
gegeben. Im Folgenden normieren wir zur Vereinfachung den Energieparameter zu $E = 1$ und erhalten somit
+
gegeben.&nbsp; Im Folgenden normieren wir zur Vereinfachung den Energieparameter zu&nbsp; $E = 1$&nbsp; und erhalten somit
:$$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (-1, \hspace{0.1cm}-1) \hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0\hspace{0.05cm}, $$
+
:$$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (-1, \hspace{0.1cm}-1) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0\hspace{0.05cm}, $$
:$$  \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  (+1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1\hspace{0.05cm}.$$
+
:$$  \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  (+1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1\hspace{0.05cm}.$$
  
Die Nachrichten $m_0$ und $m_1$ sind den so festgelegten Signalen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ eindeutig zugeordnet.
+
Die Nachrichten&nbsp; $m_0$&nbsp; und&nbsp; $m_1$&nbsp; sind den so festgelegten Signalen&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; eindeutig zugeordnet.
  
Die zwei Rauschkomponenten $n_1(t)$ und $n_2(t)$ seien unabhängig voneinander und jeweils laplace&ndash;verteilt mit Parameter $a = 1$:
+
Die zwei Rauschkomponenten&nbsp; $n_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $n_2(t)$&nbsp; seien unabhängig voneinander und jeweils laplace&ndash;verteilt mit Parameter&nbsp; $a = 1$:
 
:$$p_{n_1} (\eta_1) =  {1}/{2} \cdot  {\rm e}^{- | \eta_1|} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
 
:$$p_{n_1} (\eta_1) =  {1}/{2} \cdot  {\rm e}^{- | \eta_1|} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
  p_{n_2} (\eta_2) = {1}/{2} \cdot  {\rm e}^{- | \eta_2|} \hspace{0.05cm}$$
+
  p_{n_2} (\eta_2) = {1}/{2} \cdot  {\rm e}^{- | \eta_2|} \hspace{0.05cm} \hspace{0.3cm}
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }} (\eta_1, \eta_2) =  {1}/{4} \cdot  {\rm e}^{- | \eta_1|- | \eta_2|} \hspace{0.05cm}. $
+
\Rightarrow \hspace{0.3cm} \boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }} (\eta_1, \eta_2) =  {1}/{4} \cdot  {\rm e}^{- | \eta_1|- | \eta_2|} \hspace{0.05cm}. $$
  
Die Eigenschaften eines solchen Laplace&ndash;Rauschens werden in der [[Zusatzaufgaben:4.9_Laplace-verteiltes_Rauschen| Aufgabe Z4.9]] noch eingehend behandelt.
+
Die Eigenschaften eines solchen Laplace&ndash;Rauschens werden in der&nbsp; [[Aufgaben:4.09Z_Laplace-verteiltes_Rauschen| "Aufgabe 4.9Z"]]&nbsp; noch eingehend behandelt.
  
Das Empfangssignal $\boldsymbol{r}$ setzt sich additiv aus dem Sendesignal $\boldsymbol{s}$ und dem Rauschsignal $\boldsymbol{n}$ zusammen:
+
Das Empfangssignal&nbsp; $\boldsymbol{r}$&nbsp; setzt sich additiv aus dem Sendesignal&nbsp; $\boldsymbol{s}$&nbsp; und dem&nbsp; Rauschsignal&nbsp; $\boldsymbol{n}$&nbsp; zusammen:
 
:$$\boldsymbol{ r } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \boldsymbol{ s } + \boldsymbol{ n }
 
:$$\boldsymbol{ r } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \boldsymbol{ s } + \boldsymbol{ n }
 
   \hspace{0.05cm}, \hspace{0.45cm}\boldsymbol{ r } = ( r_1, r_2)
 
   \hspace{0.05cm}, \hspace{0.45cm}\boldsymbol{ r } = ( r_1, r_2)
   \hspace{0.05cm},$$
+
   \hspace{0.05cm},\hspace{0.45cm}
:$$ \boldsymbol{ s } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} ( s_1, s_2)
+
\boldsymbol{ s } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} ( s_1, s_2)
   \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\boldsymbol{ n } = ( n_1, n_2)  
+
   \hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}\boldsymbol{ n } = ( n_1, n_2)  
 
   \hspace{0.05cm}. $$
 
   \hspace{0.05cm}. $$
  
Die entsprechend Realisierungen sind wie folgt bezeichnet:
+
Die entsprechenden Realisierungen sind wie folgt bezeichnet:
:$$\boldsymbol{ s }\hspace{-0.1cm} \ : \ \hspace{-0.1cm} \hspace{0.1cm} (s_{01},s_{02}){\hspace{0.15cm}\rm bzw. \hspace{0.15cm}} (s_{11},s_{12})  
+
:$$\boldsymbol{ s }\text{:} \hspace{0.4cm} (s_{01},s_{02}){\hspace{0.15cm}\rm bzw. \hspace{0.15cm}} (s_{11},s_{12})  
   \hspace{0.05cm},$$
+
   \hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm} \boldsymbol{ r }\text{:} \hspace{0.4cm} (\rho_{1},\rho_{2})
:$$ \boldsymbol{ r } \hspace{-0.1cm} \ : \ \hspace{-0.1cm} \hspace{0.1cm} (\rho_{1},\rho_{2})
+
   \hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}\boldsymbol{ n }\text{:} \hspace{0.4cm} (\eta_{1},\eta_{2})
   \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\boldsymbol{ n }: \hspace{0.1cm} (\eta_{1},\eta_{2})
 
 
   \hspace{0.05cm}.$$
 
   \hspace{0.05cm}.$$
  
Die Entscheidungsregel des MAP&ndash; und des ML&ndash;Empfängers (beide sind aufgrund der gleichen Symbolwahrscheinlichkeiten identisch) lauten:
+
Die Entscheidungsregel des MAP&ndash; und des ML&ndash;Empfängers&nbsp; $($beide sind aufgrund der gleichen Symbolwahrscheinlichkeiten identisch$)$&nbsp; lauten:
  
Entscheide für das Symbol $m_0$, falls
+
&rArr; &nbsp; Entscheide für das Symbol&nbsp; $m_0$, falls &nbsp; $p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) >  
:$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) >  
+
p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}.$
p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}.$$
 
  
Mit den weiteren Voraussetzungen kann hierfür (Entscheidung für $m_0$) auch geschrieben werden:
+
&rArr; &nbsp; Mit den weiteren Voraussetzungen kann hierfür&nbsp; $($Entscheidung für&nbsp; $m_0)$&nbsp; auch geschrieben werden:
 
:$${1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.1cm} \right ] >
 
:$${1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.1cm} \right ] >
 
   {1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| \hspace{0.1cm} \right ] $$
 
   {1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| \hspace{0.1cm} \right ] $$
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   | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$
 
   | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$
  
Auf diese Funktion $L(\rho_1, \rho_2)$ wird in den nachfolgenden Aufgaben häufig Bezug genommen.
+
&rArr; &nbsp; Auf diese Funktion&nbsp; $L(\rho_1, \rho_2)$&nbsp; wird im Fragebogen häufiger Bezug genommen.
  
Die Grafik zeigt drei verschiedene Entscheidungsregionen ($I_0, I_1$). Bei AWGN&ndash;Rauschen wäre nur die obere Variante <i>A</i> optimal. Auch beim hier betrachteten Laplace&ndash;Rauschen führt die Variante <i>A</i> zur kleinstmöglichen Fehlerwahrscheinlichkeit, siehe [[Zusatzaufgaben:4.9_Laplace-verteiltes_Rauschen| Aufgabe Z4.9]]:
+
Die Grafik zeigt drei verschiedene Entscheidungsregionen&nbsp; $(I_0, \ I_1)$.  
:$$p_{\rm min} = {\rm Pr}({\cal{E}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} {\rm optimaler\hspace{0.15cm} Empf\ddot{a}nger}) = {\rm e}^{-2} \approx 13.5\,\%\hspace{0.05cm}.$$
+
:*Bei AWGN&ndash;Rauschen wäre nur die obere Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; optimal.  
 +
:*Auch beim betrachteten Laplace&ndash;Rauschen führt die Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; zur kleinstmöglichen Fehlerwahrscheinlichkeit, siehe&nbsp; [[Aufgaben:4.09Z_Laplace-verteiltes_Rauschen| "Aufgabe 4.9Z"]]:
 +
::$$p_{\rm min} = {\rm Pr}({\cal{E}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} {\rm optimaler\hspace{0.15cm} Empf\ddot{a}nger}) = {\rm e}^{-2} \approx 13.5\,\%\hspace{0.05cm}.$$
  
Zu untersuchen ist, ob die Variante <i>B</i> bzw. die Variante <i>C</i> ebenfalls optimal ist, das heißt, ob auch deren Fehlerwahrscheinlichkeiten kleinstmöglich gleich $\rho_{\rm min}$ sind.
+
:*Zu untersuchen ist,&nbsp; ob auch die Variante &nbsp;$\rm B$&nbsp; bzw. die Variante &nbsp;$\rm C$&nbsp; optimal ist,&nbsp; das heißt,&nbsp; ob auch deren Fehlerwahrscheinlichkeiten kleinstmöglich gleich &nbsp;$p_{\rm min}$&nbsp; sind.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
Hinweis:&nbsp; Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| "Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit"]].
 +
  
''Hinweis:''
 
* Die Aufgabe bezieht sich auf die letzten Theorieseiten des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
 
  
  
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Multiple-Choice
+
{Welche der Entscheidungsregeln sind richtig?&nbsp; Entscheide für&nbsp; $m_0$,&nbsp; falls
 +
|type="[]"}
 +
+ $p_{\it r\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m_0) > p_{\it r\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m_1)$,
 +
+ $L(\rho_1, \ \rho_2) = |\rho_1+1| \, -|\rho_1 \, &ndash;1| + |\rho_2+1| \, -|\rho_2 \, &ndash;1| < 0$,
 +
- $L(\rho_1, \ \rho_2) = \rho_1 + \rho_2 &#8805; 0$.
 +
 
 +
{Wie lässt sich der Ausdruck&nbsp; $|x+1| \ -|x \ -1|$&nbsp; umformen?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ correct
+
+ Für&nbsp; $x &#8805; +1$&nbsp; ist&nbsp; $|x + 1| \, -|x -1| = 2$.
- false
+
+ Für&nbsp; $x &#8804; \, -1$&nbsp; ist&nbsp; $|x+1| \,-|x \, -1| = \, -2$.
 +
+ Für&nbsp; $-1 &#8804; x &#8804; +1$&nbsp; ist&nbsp; $|x+1| \, -|x \, -1| = 2x$.
  
{Input-Box Frage
+
{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich&nbsp; $-1 &#8804; \rho_1 &#8804; +1$,&nbsp; $-1 &#8804; \rho_2 &#8804; +1$?
|type="{}"}
+
|type="()"}
$xyz$ = { 5.4 3% } $ab$
+
+ Entscheidung für&nbsp; $m_0$,&nbsp; falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
 +
- Entscheidung für&nbsp; $m_1$,&nbsp; falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
 +
 
 +
{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich&nbsp; $\rho_1 > +1$?
 +
|type="()"}
 +
- Entscheidung für&nbsp; $m_0$&nbsp; im gesamten Bereich.
 +
+ Entscheidung für&nbsp; $m_1$&nbsp; im gesamten Bereich.
 +
- Entscheidung für&nbsp; $m_0$,&nbsp;  falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
 +
 
 +
{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich&nbsp; $\rho_1 < \, -1$?
 +
|type="()"}
 +
+ Entscheidung für&nbsp; $m_0$&nbsp; im gesamten Bereich.
 +
- Entscheidung für&nbsp; $m_1$&nbsp; im gesamten Bereich.
 +
- Entscheidung für&nbsp; $m_0$,&nbsp; falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
 +
 
 +
{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich&nbsp; $\rho_2 > +1$?
 +
|type="()"}
 +
- Entscheidung für&nbsp; $m_0$&nbsp; im gesamten Bereich.
 +
+ Entscheidung für&nbsp; $m_1$&nbsp; im gesamten Bereich.
 +
- Entscheidung für&nbsp; $m_0$,&nbsp; falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
 +
 
 +
{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich&nbsp; $\rho_2 <  -1$?
 +
|type="()"}
 +
+ Entscheidung für&nbsp; $m_0$&nbsp; im gesamten Bereich.
 +
- Entscheidung für&nbsp; $m_1$&nbsp; im gesamten Bereich.
 +
- Entscheidung für&nbsp; $m_0$,&nbsp;  falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
 +
 
 +
{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 +
|type="[]"}
 +
+ Die Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
 +
+ Die Variante &nbsp;$\rm B$&nbsp; führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
 +
- Die Variante &nbsp;$\rm C$&nbsp; führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
 
</quiz>
 
</quiz>
  
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp;  
+
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
'''(2)'''&nbsp;  
+
*Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichten unter den Bedingungen&nbsp; $m_0$&nbsp; bzw.&nbsp; $m_1$&nbsp; lauten:
'''(3)'''&nbsp;  
+
:$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 )
'''(4)'''&nbsp;  
+
\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm},$$
'''(5)'''&nbsp;  
+
:$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_1 )
 +
\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm}.$$
 +
*Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen &nbsp; &#8658; &nbsp; ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 0.5$&nbsp; lautet die MAP&ndash;Entscheidungsregel: &nbsp; Entscheide für das Symbol&nbsp; $m_0$ &nbsp; &#8660; &nbsp; Signal&nbsp; $s_0$,&nbsp; falls
 +
:$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) >
 +
p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm}
 +
\Rightarrow \hspace{0.3cm}  {1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.05cm} \right ] >
 +
  {1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1|\hspace{0.05cm} \right ] $$
 +
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}  | \rho_1 +1|+ | \rho_2 +1| <
 +
  | \rho_1 -1|+ | \rho_2 -1|\hspace{0.3cm}
 +
\Rightarrow \hspace{0.3cm}  L (\rho_1, \rho_2) = | \rho_1 +1|-
 +
  | \rho_1 -1|+ | \rho_2 +1| - | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
 
 +
'''(2)'''&nbsp; <u>Alle Aussagen treffen zu</u>:
 +
*Für&nbsp; $x &#8805; 1$&nbsp; ist
 +
:$$| x +1|- | x -1| = x +1 -x +1 =2 \hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
*Ebenso gilt für&nbsp; $x &#8804; \, &ndash;1$,&nbsp; zum Beispiel&nbsp; $x = \, &ndash;3$:
 +
:$$| x +1|- | x -1| = | -3 +1|- | -3 -1| = 2-4 = -2 \hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
*Dagegen gilt im mittleren Bereich&nbsp; $&ndash;1 &#8804; x &#8804; +1$:
 +
:$$| x+1|- | x -1| = x +1 -1 +x =2x \hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
 
 +
'''(3)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
 +
*Das Ergebnis von Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; lautete:&nbsp; Entscheide für das Symbol&nbsp; $m_0$,&nbsp; falls
 +
:$$L (\rho_1, \rho_2) = | \rho_1 +1| -
 +
  | \rho_1 -1|+ | \rho_2 +1| - | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$
 +
*Im betrachteten&nbsp; (inneren)&nbsp; Bereich&nbsp; $-1 &#8804; \rho_1 &#8804; +1$,&nbsp; $-1 &#8804; \rho_2 &#8804; +1$&nbsp; gilt mit dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)''':
 +
:$$| \rho_1+1| - | \rho_1 -1| = 2\rho_1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} | \rho_2+1| - | \rho_2 -1| = 2\rho_2 \hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
*Setzt man dieses Ergebnis oben ein,&nbsp; so ist genau dann für&nbsp; $m_0$&nbsp; zu entscheiden,&nbsp; falls
 +
:$$L (\rho_1, \rho_2) = 2 \cdot ( \rho_1+\rho_2) < 0 
 +
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_1+\rho_2 < 0\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
 
 +
'''(4)'''&nbsp; Richtig ist hier der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
 +
*Für&nbsp; $\rho_1 > 1$&nbsp; ist&nbsp; $|\rho_1+1| \, -|\rho_1 \, -1| = 2$,&nbsp; während für&nbsp; $D_2 = |\rho_2+1| \,-|\rho_2 \, -1|$&nbsp; alle Werte zwischen&nbsp; $-2$&nbsp; und&nbsp; $+2$&nbsp; möglich sind.
 +
 +
*Die Entscheidungsgröße ist somit&nbsp; $L(\rho_1, \rho_2) = 2 + D_2 &#8805; 0$.&nbsp; In diesem Fall führt die Regel zu einer&nbsp; $m_1$&ndash;Entscheidung.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''(5)'''&nbsp; Richtig ist hier der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>: 
 +
*Nach ähnlicher Rechnung wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; kommt man zum Ergebnis:
 +
:$$L (\rho_1, \rho_2) = -2 + D_2 \le 0  \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
 +
  {\rm Entscheidung\hspace{0.15cm} auf\hspace{0.15cm}} m_0\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
 
 +
'''(6)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>:&nbsp; Entscheidung auf&nbsp; $m_1$.
 +
*Ähnlich der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; gilt hier:
 +
:$$D_1 = | \rho_1 +1| -    | \rho_1 -1| \in \{-2, ... \hspace{0.05cm} , +2 \}
 +
  \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}L (\rho_1, \rho_2) = 2 + D_1 \ge 0
 +
  \hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
 
 +
'''(7)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>:&nbsp; Entscheidung auf&nbsp; $m_0$.
 +
*Nach ähnlicher Überlegung wie in der letzten Teilaufgabe kommt man zum Ergebnis:
 +
:$$L (\rho_1, \rho_2) = -2 + D_1 \le 0  \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
 +
  {\rm Entscheidung\hspace{0.15cm} auf\hspace{0.15cm}} m_0\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
 
 +
[[Datei:P_ID2050__Dig_A_4_9h.png|right|frame|Zusammenfassung der Ergebnisse]]
 +
'''(8)'''&nbsp; Die Ergebnisse der Teilaufgaben&nbsp; '''(3)'''&nbsp; bis&nbsp; '''(7)'''&nbsp; sind in der Grafik zusammengefasst:
 +
* Teilgebiet $T_0$: &nbsp;  Entscheidung auf&nbsp; $m_0$&nbsp; bzw.&nbsp; $m_1$&nbsp; gemäß Aufgabe&nbsp; '''(3)'''.
 +
* Teilgebiet $T_1$: &nbsp;  Entscheidung auf&nbsp; $m_1$&nbsp; gemäß Aufgabe&nbsp; '''(4)'''.
 +
* Teilgebiet $T_2$: &nbsp;  Entscheidung auf&nbsp; $m_0$&nbsp; gemäß Aufgabe&nbsp; '''(5)'''.
 +
* Teilgebiet $T_3$: &nbsp; Entscheidung auf&nbsp; $m_1$&nbsp; gemäß Aufgabe&nbsp; '''(6)'''.
 +
* Teilgebiet $T_4$: &nbsp;  Entscheidung auf&nbsp; $m_0$&nbsp; gemäß Aufgabe&nbsp; '''(7)'''.
 +
* Teilgebiet $T_5$: &nbsp;  Nach Aufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; sollte man auf&nbsp; $m_0$&nbsp; entscheiden,&nbsp; nach Aufgabe&nbsp; '''(6)'''&nbsp; auf&nbsp; $m_1$ <br>&rArr; &nbsp; Bei Laplace&ndash;Rauschen ist es egal,&nbsp; ob man&nbsp; $T_5$&nbsp; der Region&nbsp; $I_0$&nbsp; oder&nbsp; $I_1$&nbsp; zuordnet.
 +
* Teilgebiet $T_6$: &nbsp;  Auch dieses Gebiet kann man aufgrund der Ergebnisse von Aufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; und&nbsp; '''(7)'''&nbsp; sowohl der Region&nbsp; $I_0$&nbsp; als auch der Region&nbsp; $I_1$&nbsp; zuordnen.
 +
 
 +
 
 +
Man erkennt:
 +
#Für die Teilaufgabe&nbsp; $T_0$,  ... ,&nbsp; $T_4$&nbsp; gibt es eine feste Zuordnung zu den Entscheidungsregionen&nbsp; $I_0$&nbsp; (rot)&nbsp; bzw.&nbsp; $I_1$&nbsp; (blau).
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#Dagegen können die beiden gelb markierten Bereiche&nbsp; $T_5$&nbsp; und&nbsp; $T_6$&nbsp; ohne Verlust an Optimalität sowohl&nbsp; $I_0$&nbsp; als auch&nbsp; $I_1$&nbsp; zugeordnet werden. 
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Vergleicht man diese Grafik mit den Varianten&nbsp; $\rm A$,&nbsp; $\rm B$&nbsp; und&nbsp; $\rm C$&nbsp; auf der Angabenseite,&nbsp; so erkennt man,&nbsp;  dass die&nbsp; <u>Vorschläge 1 und 2</u>&nbsp; richtig sind:
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# Die Varianten&nbsp; $\rm A$&nbsp; und&nbsp; $\rm B$&nbsp; sind gleich gut.&nbsp; Beide sind optimal.&nbsp; Die Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich in beiden Fällen zu&nbsp; $p_{\rm min} = {\rm e}^{\rm -2}$.
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# Die Variante&nbsp; $\rm C$&nbsp; ist nicht optimal;&nbsp; bezüglich der Teilgebiete&nbsp; $T_1$&nbsp; und&nbsp; $T_2$&nbsp; gibt es Fehlzuordnungen.&nbsp; Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist demzufolge größer als&nbsp; $p_{\rm min}$.
 
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Aktuelle Version vom 29. Juli 2022, 17:25 Uhr

Drei Entscheidungsregionen
für Laplace

Wir betrachten ein Übertragungssystem,  basierend auf den Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$.  Die beiden gleichwahrscheinlichen Sendesignale sind durch die Signalpunkte

$$\boldsymbol{ s }_0 = (-\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}-\sqrt{E})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_1 = (+\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}+\sqrt{E})\hspace{0.05cm}$$

gegeben.  Im Folgenden normieren wir zur Vereinfachung den Energieparameter zu  $E = 1$  und erhalten somit

$$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (-1, \hspace{0.1cm}-1) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0\hspace{0.05cm}, $$
$$ \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (+1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1\hspace{0.05cm}.$$

Die Nachrichten  $m_0$  und  $m_1$  sind den so festgelegten Signalen  $\boldsymbol{s}_0$  und  $\boldsymbol{s}_1$  eindeutig zugeordnet.

Die zwei Rauschkomponenten  $n_1(t)$  und  $n_2(t)$  seien unabhängig voneinander und jeweils laplace–verteilt mit Parameter  $a = 1$:

$$p_{n_1} (\eta_1) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- | \eta_1|} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} p_{n_2} (\eta_2) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- | \eta_2|} \hspace{0.05cm} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }} (\eta_1, \eta_2) = {1}/{4} \cdot {\rm e}^{- | \eta_1|- | \eta_2|} \hspace{0.05cm}. $$

Die Eigenschaften eines solchen Laplace–Rauschens werden in der  "Aufgabe 4.9Z"  noch eingehend behandelt.

Das Empfangssignal  $\boldsymbol{r}$  setzt sich additiv aus dem Sendesignal  $\boldsymbol{s}$  und dem  Rauschsignal  $\boldsymbol{n}$  zusammen:

$$\boldsymbol{ r } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \boldsymbol{ s } + \boldsymbol{ n } \hspace{0.05cm}, \hspace{0.45cm}\boldsymbol{ r } = ( r_1, r_2) \hspace{0.05cm},\hspace{0.45cm} \boldsymbol{ s } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} ( s_1, s_2) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}\boldsymbol{ n } = ( n_1, n_2) \hspace{0.05cm}. $$

Die entsprechenden Realisierungen sind wie folgt bezeichnet:

$$\boldsymbol{ s }\text{:} \hspace{0.4cm} (s_{01},s_{02}){\hspace{0.15cm}\rm bzw. \hspace{0.15cm}} (s_{11},s_{12}) \hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm} \boldsymbol{ r }\text{:} \hspace{0.4cm} (\rho_{1},\rho_{2}) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}\boldsymbol{ n }\text{:} \hspace{0.4cm} (\eta_{1},\eta_{2}) \hspace{0.05cm}.$$

Die Entscheidungsregel des MAP– und des ML–Empfängers  $($beide sind aufgrund der gleichen Symbolwahrscheinlichkeiten identisch$)$  lauten:

⇒   Entscheide für das Symbol  $m_0$, falls   $p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) > p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}.$

⇒   Mit den weiteren Voraussetzungen kann hierfür  $($Entscheidung für  $m_0)$  auch geschrieben werden:

$${1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.1cm} \right ] > {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| \hspace{0.1cm} \right ] $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} | \rho_1 +1|+ | \rho_2 +1| < | \rho_1 -1|+ | \rho_2 -1|$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L (\rho_1, \rho_2) = | \rho_1 +1|+ | \rho_2 +1| - | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$

⇒   Auf diese Funktion  $L(\rho_1, \rho_2)$  wird im Fragebogen häufiger Bezug genommen.

Die Grafik zeigt drei verschiedene Entscheidungsregionen  $(I_0, \ I_1)$.

  • Bei AWGN–Rauschen wäre nur die obere Variante  $\rm A$  optimal.
  • Auch beim betrachteten Laplace–Rauschen führt die Variante  $\rm A$  zur kleinstmöglichen Fehlerwahrscheinlichkeit, siehe  "Aufgabe 4.9Z":
$$p_{\rm min} = {\rm Pr}({\cal{E}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} {\rm optimaler\hspace{0.15cm} Empf\ddot{a}nger}) = {\rm e}^{-2} \approx 13.5\,\%\hspace{0.05cm}.$$
  • Zu untersuchen ist,  ob auch die Variante  $\rm B$  bzw. die Variante  $\rm C$  optimal ist,  das heißt,  ob auch deren Fehlerwahrscheinlichkeiten kleinstmöglich gleich  $p_{\rm min}$  sind.


Hinweis:  Die Aufgabe gehört zum Kapitel  "Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit".



Fragebogen

1

Welche der Entscheidungsregeln sind richtig?  Entscheide für  $m_0$,  falls

$p_{\it r\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m_0) > p_{\it r\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m_1)$,
$L(\rho_1, \ \rho_2) = |\rho_1+1| \, -|\rho_1 \, –1| + |\rho_2+1| \, -|\rho_2 \, –1| < 0$,
$L(\rho_1, \ \rho_2) = \rho_1 + \rho_2 ≥ 0$.

2

Wie lässt sich der Ausdruck  $|x+1| \ -|x \ -1|$  umformen?

Für  $x ≥ +1$  ist  $|x + 1| \, -|x -1| = 2$.
Für  $x ≤ \, -1$  ist  $|x+1| \,-|x \, -1| = \, -2$.
Für  $-1 ≤ x ≤ +1$  ist  $|x+1| \, -|x \, -1| = 2x$.

3

Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich  $-1 ≤ \rho_1 ≤ +1$,  $-1 ≤ \rho_2 ≤ +1$?

Entscheidung für  $m_0$,  falls  $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
Entscheidung für  $m_1$,  falls  $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

4

Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich  $\rho_1 > +1$?

Entscheidung für  $m_0$  im gesamten Bereich.
Entscheidung für  $m_1$  im gesamten Bereich.
Entscheidung für  $m_0$,  falls  $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

5

Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich  $\rho_1 < \, -1$?

Entscheidung für  $m_0$  im gesamten Bereich.
Entscheidung für  $m_1$  im gesamten Bereich.
Entscheidung für  $m_0$,  falls  $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

6

Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich  $\rho_2 > +1$?

Entscheidung für  $m_0$  im gesamten Bereich.
Entscheidung für  $m_1$  im gesamten Bereich.
Entscheidung für  $m_0$,  falls  $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

7

Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich  $\rho_2 < -1$?

Entscheidung für  $m_0$  im gesamten Bereich.
Entscheidung für  $m_1$  im gesamten Bereich.
Entscheidung für  $m_0$,  falls  $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

8

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

Die Variante  $\rm A$  führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
Die Variante  $\rm B$  führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
Die Variante  $\rm C$  führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.


Musterlösung

(1)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 1 und 2:

  • Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichten unter den Bedingungen  $m_0$  bzw.  $m_1$  lauten:
$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm},$$
$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm}.$$
  • Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen   ⇒   ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 0.5$  lautet die MAP–Entscheidungsregel:   Entscheide für das Symbol  $m_0$   ⇔   Signal  $s_0$,  falls
$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) > p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.05cm} \right ] > {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1|\hspace{0.05cm} \right ] $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} | \rho_1 +1|+ | \rho_2 +1| < | \rho_1 -1|+ | \rho_2 -1|\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} L (\rho_1, \rho_2) = | \rho_1 +1|- | \rho_1 -1|+ | \rho_2 +1| - | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$


(2)  Alle Aussagen treffen zu:

  • Für  $x ≥ 1$  ist
$$| x +1|- | x -1| = x +1 -x +1 =2 \hspace{0.05cm}.$$
  • Ebenso gilt für  $x ≤ \, –1$,  zum Beispiel  $x = \, –3$:
$$| x +1|- | x -1| = | -3 +1|- | -3 -1| = 2-4 = -2 \hspace{0.05cm}.$$
  • Dagegen gilt im mittleren Bereich  $–1 ≤ x ≤ +1$:
$$| x+1|- | x -1| = x +1 -1 +x =2x \hspace{0.05cm}.$$


(3)  Richtig ist der  Lösungsvorschlag 1:

  • Das Ergebnis von Teilaufgabe  (1)  lautete:  Entscheide für das Symbol  $m_0$,  falls
$$L (\rho_1, \rho_2) = | \rho_1 +1| - | \rho_1 -1|+ | \rho_2 +1| - | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$
  • Im betrachteten  (inneren)  Bereich  $-1 ≤ \rho_1 ≤ +1$,  $-1 ≤ \rho_2 ≤ +1$  gilt mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  (2):
$$| \rho_1+1| - | \rho_1 -1| = 2\rho_1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} | \rho_2+1| - | \rho_2 -1| = 2\rho_2 \hspace{0.05cm}.$$
  • Setzt man dieses Ergebnis oben ein,  so ist genau dann für  $m_0$  zu entscheiden,  falls
$$L (\rho_1, \rho_2) = 2 \cdot ( \rho_1+\rho_2) < 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_1+\rho_2 < 0\hspace{0.05cm}.$$


(4)  Richtig ist hier der  Lösungsvorschlag 2:

  • Für  $\rho_1 > 1$  ist  $|\rho_1+1| \, -|\rho_1 \, -1| = 2$,  während für  $D_2 = |\rho_2+1| \,-|\rho_2 \, -1|$  alle Werte zwischen  $-2$  und  $+2$  möglich sind.
  • Die Entscheidungsgröße ist somit  $L(\rho_1, \rho_2) = 2 + D_2 ≥ 0$.  In diesem Fall führt die Regel zu einer  $m_1$–Entscheidung.


(5)  Richtig ist hier der  Lösungsvorschlag 1:

  • Nach ähnlicher Rechnung wie in der Teilaufgabe  (3)  kommt man zum Ergebnis:
$$L (\rho_1, \rho_2) = -2 + D_2 \le 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Entscheidung\hspace{0.15cm} auf\hspace{0.15cm}} m_0\hspace{0.05cm}.$$


(6)  Richtig ist der  Lösungsvorschlag 2:  Entscheidung auf  $m_1$.

  • Ähnlich der Teilaufgabe  (4)  gilt hier:
$$D_1 = | \rho_1 +1| - | \rho_1 -1| \in \{-2, ... \hspace{0.05cm} , +2 \} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}L (\rho_1, \rho_2) = 2 + D_1 \ge 0 \hspace{0.05cm}.$$


(7)  Richtig ist der  Lösungsvorschlag 1:  Entscheidung auf  $m_0$.

  • Nach ähnlicher Überlegung wie in der letzten Teilaufgabe kommt man zum Ergebnis:
$$L (\rho_1, \rho_2) = -2 + D_1 \le 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Entscheidung\hspace{0.15cm} auf\hspace{0.15cm}} m_0\hspace{0.05cm}.$$


Zusammenfassung der Ergebnisse

(8)  Die Ergebnisse der Teilaufgaben  (3)  bis  (7)  sind in der Grafik zusammengefasst:

  • Teilgebiet $T_0$:   Entscheidung auf  $m_0$  bzw.  $m_1$  gemäß Aufgabe  (3).
  • Teilgebiet $T_1$:   Entscheidung auf  $m_1$  gemäß Aufgabe  (4).
  • Teilgebiet $T_2$:   Entscheidung auf  $m_0$  gemäß Aufgabe  (5).
  • Teilgebiet $T_3$:   Entscheidung auf  $m_1$  gemäß Aufgabe  (6).
  • Teilgebiet $T_4$:   Entscheidung auf  $m_0$  gemäß Aufgabe  (7).
  • Teilgebiet $T_5$:   Nach Aufgabe  (5)  sollte man auf  $m_0$  entscheiden,  nach Aufgabe  (6)  auf  $m_1$
    ⇒   Bei Laplace–Rauschen ist es egal,  ob man  $T_5$  der Region  $I_0$  oder  $I_1$  zuordnet.
  • Teilgebiet $T_6$:   Auch dieses Gebiet kann man aufgrund der Ergebnisse von Aufgabe  (4)  und  (7)  sowohl der Region  $I_0$  als auch der Region  $I_1$  zuordnen.


Man erkennt:

  1. Für die Teilaufgabe  $T_0$, ... ,  $T_4$  gibt es eine feste Zuordnung zu den Entscheidungsregionen  $I_0$  (rot)  bzw.  $I_1$  (blau).
  2. Dagegen können die beiden gelb markierten Bereiche  $T_5$  und  $T_6$  ohne Verlust an Optimalität sowohl  $I_0$  als auch  $I_1$  zugeordnet werden.


Vergleicht man diese Grafik mit den Varianten  $\rm A$,  $\rm B$  und  $\rm C$  auf der Angabenseite,  so erkennt man,  dass die  Vorschläge 1 und 2  richtig sind:

  1. Die Varianten  $\rm A$  und  $\rm B$  sind gleich gut.  Beide sind optimal.  Die Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich in beiden Fällen zu  $p_{\rm min} = {\rm e}^{\rm -2}$.
  2. Die Variante  $\rm C$  ist nicht optimal;  bezüglich der Teilgebiete  $T_1$  und  $T_2$  gibt es Fehlzuordnungen.  Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist demzufolge größer als  $p_{\rm min}$.