Aufgaben:Aufgabe 4.09: Entscheidungsregionen bei Laplace: Unterschied zwischen den Versionen

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===Musterlösung===
 
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'''(1)'''  Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichten unter den Bedingungen $m_0$ bzw. $m_1$ lauten:
+
'''(1)'''&nbsp; Richtig sinddie <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
 +
*Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichten unter den Bedingungen $m_0$ bzw. $m_1$ lauten:
 
:$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 )  
 
:$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 )  
 
\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm},$$
 
\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm},$$
 
:$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_1 )  
 
:$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_1 )  
 
\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm}.$$
 
+
*Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen &nbsp;&#8658;&nbsp; ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 0.5$ lautet die MAP&ndash;Entscheidungsregel: <br>Entscheide für das Symbol $m_0$ &nbsp;&#8660;&nbsp; Signal $s_0$, falls
Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen &nbsp;&#8658;&nbsp; ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 0.5$ lautet die MAP&ndash;Entscheidungsregel: Entscheide für das Symbol $m_0$ &nbsp;&#8660;&nbsp; Signal $s_0$, falls
 
 
:$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) >  
 
:$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) >  
p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}$$
+
p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm}
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}  {1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.05cm} \right ] >
+
\Rightarrow \hspace{0.3cm}  {1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.05cm} \right ] >
 
   {1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1|\hspace{0.05cm} \right ] $$
 
   {1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1|\hspace{0.05cm} \right ] $$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}  | \rho_1 +1|+ | \rho_2 +1| <
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}  | \rho_1 +1|+ | \rho_2 +1| <
   | \rho_1 -1|+ | \rho_2 -1|$$
+
   | \rho_1 -1|+ | \rho_2 -1|\hspace{0.3cm}
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}  L (\rho_1, \rho_2) = | \rho_1 +1|-
+
\Rightarrow \hspace{0.3cm}  L (\rho_1, \rho_2) = | \rho_1 +1|-
 
   | \rho_1 -1|+ | \rho_2 +1| - | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$
 
   | \rho_1 -1|+ | \rho_2 +1| - | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$
 
Richtig sind demnach die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.
 
  
  
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'''(3)'''&nbsp; Das Ergebnis von Teilaufgabe (1) lautete: Entscheide für das Symbol $m_0$, falls
+
'''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
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*Das Ergebnis von Teilaufgabe (1) lautete: Entscheide für das Symbol $m_0$, falls
 
:$$L (\rho_1, \rho_2) = | \rho_1 +1| -
 
:$$L (\rho_1, \rho_2) = | \rho_1 +1| -
 
   | \rho_1 -1|+ | \rho_2 +1| - | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$
 
   | \rho_1 -1|+ | \rho_2 +1| - | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$
 
+
*Im betrachteten (inneren) Bereich $-1 &#8804; \rho_1 &#8804; +1$, $-1 &#8804; \rho_2 &#8804; +1$ gilt mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (2):
Im betrachteten (inneren) Bereich $&ndash;1 &#8804; \rho_1 &#8804; +1$, $&ndash;1 &#8804; \rho_2 &#8804; +1$ gilt mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (2):
 
 
:$$| \rho_1+1| - | \rho_1 -1| = 2\rho_1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} | \rho_2+1| - | \rho_2 -1| = 2\rho_2 \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$| \rho_1+1| - | \rho_1 -1| = 2\rho_1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} | \rho_2+1| - | \rho_2 -1| = 2\rho_2 \hspace{0.05cm}.$$
  
Setzt man dieses Ergebnis oben ein, so ist genau dann für $m_0$ zu entscheiden, falls
+
*Setzt man dieses Ergebnis oben ein, so ist genau dann für $m_0$ zu entscheiden, falls
 
:$$L (\rho_1, \rho_2) = 2 \cdot ( \rho_1+\rho_2) < 0   
 
:$$L (\rho_1, \rho_2) = 2 \cdot ( \rho_1+\rho_2) < 0   
 
  \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_1+\rho_2 < 0\hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_1+\rho_2 < 0\hspace{0.05cm}.$$
  
Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
 
  
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'''(4)'''&nbsp; Richtig ist hier der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
 +
*Für $\rho_1 > 1$ ist $|\rho_1+1| \, -|\rho_1 \, -1| = 2$, während für $D_2 = |\rho_2+1| \,-|\rho_2 \, -1|$ alle Werte zwischen $-2$ und $+2$ möglich sind.
 +
*Die Entscheidungsgröße ist somit $L(\rho_1, \rho_2) = 2 + D_2 &#8805; 0$. In diesem Fall führt die Regel zu einer $m_1$&ndash;Entscheidung.
  
'''(4)'''&nbsp; Für $\rho_1 > 1$ ist $|\rho_1+1| \, &ndash;|\rho_1 \, &ndash;1| = 2$, während für $D_2 = |\rho_2+1| \, &ndash;|\rho_2 \, &ndash;1|$ alle Werte zwischen $&ndash;2$ und $+2$ möglich sind. Die Entscheidungsgröße ist somit $L(\rho_1, \rho_2) = 2 + D_2 &#8805; 0$. In diesem Fall führt die Regel zu einer $m_1$&ndash;Entscheidung. Richtig ist demnach hier der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
 
  
  
'''(5)'''&nbsp; Nach ähnlicher Rechnung wie in der Teilaufgabe (3) kommt man zum Ergebnis:
+
'''(5)'''&nbsp; Richtig ist hier der <u>Lösungsvorschlag 1</u>: 
 +
*Nach ähnlicher Rechnung wie in der Teilaufgabe (3) kommt man zum Ergebnis:
 
:$$L (\rho_1, \rho_2) = -2 + D_2 \le 0  \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
:$$L (\rho_1, \rho_2) = -2 + D_2 \le 0  \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
   {\rm Entscheidung\hspace{0.15cm} auf\hspace{0.15cm}} m_0\hspace{0.05cm},$$
+
   {\rm Entscheidung\hspace{0.15cm} auf\hspace{0.15cm}} m_0\hspace{0.05cm}.$$
  
was dem <u>Lösungsvorschlag 1</u> entspricht.
 
  
 
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'''(6)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: Entscheidung auf $m_1$.
'''(6)'''&nbsp; Ähnlich der Teilaufgabe (4) gilt hier:
+
*Ähnlich der Teilaufgabe (4) gilt hier:
 
:$$D_1 = | \rho_1 +1| -    | \rho_1 -1| \in \{-2, ... \hspace{0.05cm} , +2 \}  
 
:$$D_1 = | \rho_1 +1| -    | \rho_1 -1| \in \{-2, ... \hspace{0.05cm} , +2 \}  
 
   \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}L (\rho_1, \rho_2) = 2 + D_1 \ge 0
 
   \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}L (\rho_1, \rho_2) = 2 + D_1 \ge 0
 
   \hspace{0.05cm}.$$
 
   \hspace{0.05cm}.$$
  
Richtig ist also hier der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: Entscheidung auf $m_1$.
 
  
 
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'''(7)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>: Entscheidung auf $m_0$.
'''(7)'''&nbsp; Nach ähnlicher Überlegung wie in der letzten Teilaufgabe kommt man zum Ergebnis:
+
*Nach ähnlicher Überlegung wie in der letzten Teilaufgabe kommt man zum Ergebnis:
 
:$$L (\rho_1, \rho_2) = -2 + D_1 \le 0  \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
:$$L (\rho_1, \rho_2) = -2 + D_1 \le 0  \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
   {\rm Entscheidung\hspace{0.15cm} auf\hspace{0.15cm}} m_0\hspace{0.05cm}.$$
 
   {\rm Entscheidung\hspace{0.15cm} auf\hspace{0.15cm}} m_0\hspace{0.05cm}.$$
  
Dies entspricht dem <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
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[[Datei:P_ID2050__Dig_A_4_9h.png|right|frame|Zusammenfassung der Ergebnisse]]
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'''(8)'''&nbsp; Die Ergebnisse der Teilaufgaben (3) bis (7) sind in der Grafik zusammengefasst:
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* Teilgebiet $T_0$: &nbsp;  Entscheidung auf $m_0$ bzw. $m_1$ gemäß Aufgabe (3).
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* Teilgebiet $T_1$: &nbsp;  Entscheidung auf $m_1$ gemäß Aufgabe (4).
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* Teilgebiet $T_2$: &nbsp;  Entscheidung auf $m_0$ gemäß Aufgabe (5).
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* Teilgebiet $T_3$: &nbsp;  Entscheidung auf $m_1$ gemäß Aufgabe (6).
 +
* Teilgebiet $T_4$: &nbsp;  Entscheidung auf $m_0$ gemäß Aufgabe (7).
 +
* Teilgebiet $T_5$: &nbsp;  Nach dem Ergebnis von Aufgabe (5) sollte man auf $m_0$ entscheiden, nach Aufgabe (6) auf $m_1$. Das bedeutet: Bei Laplace&ndash;Rauschen ist es egal, ob man $T_5$ der Region $I_0$ oder $I_1$ zuordnet.
 +
* Teilgebiet $T_6$: &nbsp;  Auch dieses Gebiet kann man aufgrund der Ergebnisse von Aufgabe (4) und (7) sowohl der Region $I_0$ als auch der Region $I_1$ zuordnen.
  
  
'''(8)'''&nbsp; Die Ergebnisse der Teilaufgaben (3) bis (7) sind in der folgenden Grafik zusammengefasst:
+
Man erkennt:
* <b>Teilgebiet <i>T_0</i> :</b> Entscheidung auf $m_0$ bzw. $m_1$ gemäß Aufgabe (3).
+
*Für die Teilaufgabe $T_0$... $T_4$ gibt es eine feste Zuordnung zu den Entscheidungsregionen $I_0$ (rot) bzw. $I_1$ (blau).  
[[Datei:P_ID2050__Dig_A_4_9h.png|right|frame|Zusammenfassung der Ergebnisse]]
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*Dagegen können die beiden gelb markierten Bereiche $T_5$ und $T_6$ ohne Verlust an Optimalität sowohl $I_0$ als auch $I_1$ zugeordnet werden.
* <b>Teilgebiet <i>T_1</i> :</b> Entscheidung auf $m_1$ gemäß Aufgabe (4).
 
* <b>Teilgebiet <i>T_2</i> :</b> Entscheidung auf $m_0$ gemäß Aufgabe (5).
 
* <b>Teilgebiet <i>T_3</i> :</b> Entscheidung auf $m_1$ gemäß Aufgabe (6).
 
* <b>Teilgebiet <i>T_4</i> :</b> Entscheidung auf $m_0$ gemäß Aufgabe (7).
 
* <b>Teilgebiet <i>T_5</i> :</b> Nach dem Ergebnis von Aufgabe (5) sollte man auf $m_0$ entscheiden, nach Aufgabe (6) auf $m_1$. Das bedeutet: Bei Laplace&ndash;Rauschen ist es egal, ob man $T_5$ der Region $I_0$ oder $I_1$ zuordnet.
 
* <b>Teilgebiet <i>T_6</i> :</b> Auch dieses Gebiet kann man aufgrund der Ergebnisse von Aufgabe (4) und (7) sowohl der Region $I_0$ als auch der Region $I_1$ zuordnen.
 
  
  
Für die Teilaufgabe $T_0, \ ... \ , T_4$ gibt es eine feste Zuordnung zu den Entscheidungsregionen $I_0$ (rot) bzw. $I_1$ (blau). Dagegen können die beiden gelb markierten Bereiche $T_5$ und $T_6$ ohne Verlust an Optimalität sowohl $I_0$ als auch $I_1$ zugeordnet werden. Vergleicht man diese Grafik mit den Varianten <b><i>A, B</i></b> und <b><i>C</i></b> auf der Angabenseite, so erhält man das Ergebnis:
+
Vergleicht man diese Grafik mit den Varianten '''A''', '''B''' und '''C''' auf der Angabenseite, so erkennt man,  dass die <u>Vorschläge 1 und 2</u> richtig sind:
* Die Varianten <b><i>A</i></b> und <b><i>B</i></b> sind gleich gut und beide sind optimal. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich in beiden Fällen zu $p_{\rm min} = {\rm e}^{\rm &ndash;2}$.
+
* Die Varianten '''A''' und '''B''' sind gleich gut. Beide sind optimal. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich in beiden Fällen zu $p_{\rm min} = {\rm e}^{\rm -2}$.
* Die Variante <b><i>C</i></b> ist nicht optimal; bezüglich der Teilaufgabe $T_1$ und $T_2$ gibt es Fehlzuordnungen. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist demzufolge größer als $p_{\rm min}$. Richtig sind also die <u>Vorschläge 1 und 2</u>.
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* Die Variante '''C''' ist nicht optimal; bezüglich der Teilaufgabe $T_1$ und $T_2$ gibt es Fehlzuordnungen. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist demzufolge größer als $p_{\rm min}$.  
 
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Version vom 20. November 2017, 17:40 Uhr

Drei Entscheidungsregionen für Laplace

Wir betrachten ein Übertragungssystem, basierend auf den Basisfunktionen $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$. Die beiden gleichwahrscheinlichen Sendesignale sind durch die Signalpunkte

$$\boldsymbol{ s }_0 = (-\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}-\sqrt{E})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_1 = (+\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}+\sqrt{E})\hspace{0.05cm}$$

gegeben. Im Folgenden normieren wir zur Vereinfachung den Energieparameter zu $E = 1$ und erhalten somit

$$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (-1, \hspace{0.1cm}-1) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0\hspace{0.05cm}, $$
$$ \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (+1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1\hspace{0.05cm}.$$

Die Nachrichten $m_0$ und $m_1$ sind den so festgelegten Signalen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ eindeutig zugeordnet.

Die zwei Rauschkomponenten $n_1(t)$ und $n_2(t)$ seien unabhängig voneinander und jeweils laplace–verteilt mit Parameter $a = 1$:

$$p_{n_1} (\eta_1) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- | \eta_1|} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} p_{n_2} (\eta_2) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- | \eta_2|} \hspace{0.05cm} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }} (\eta_1, \eta_2) = {1}/{4} \cdot {\rm e}^{- | \eta_1|- | \eta_2|} \hspace{0.05cm}. $$

Die Eigenschaften eines solchen Laplace–Rauschens werden in der Aufgabe 4.9Z noch eingehend behandelt.

Das Empfangssignal $\boldsymbol{r}$ setzt sich additiv aus dem Sendesignal $\boldsymbol{s}$ und dem Rauschsignal $\boldsymbol{n}$ zusammen:

$$\boldsymbol{ r } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \boldsymbol{ s } + \boldsymbol{ n } \hspace{0.05cm}, \hspace{0.45cm}\boldsymbol{ r } = ( r_1, r_2) \hspace{0.05cm},$$
$$ \boldsymbol{ s } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} ( s_1, s_2) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\boldsymbol{ n } = ( n_1, n_2) \hspace{0.05cm}. $$

Die entsprechenden Realisierungen sind wie folgt bezeichnet:

$$\boldsymbol{ s }\text{:} \hspace{0.4cm} (s_{01},s_{02}){\hspace{0.15cm}\rm bzw. \hspace{0.15cm}} (s_{11},s_{12}) \hspace{0.05cm},$$
$$ \boldsymbol{ r }\text{:} \hspace{0.4cm} (\rho_{1},\rho_{2}) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\boldsymbol{ n }\text{:} \hspace{0.4cm} (\eta_{1},\eta_{2}) \hspace{0.05cm}.$$

Die Entscheidungsregel des MAP– und des ML–Empfängers (beide sind aufgrund der gleichen Symbolwahrscheinlichkeiten identisch) lauten:

Entscheide für das Symbol $m_0$, falls   $p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) > p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}.$

Mit den weiteren Voraussetzungen kann hierfür (Entscheidung für $m_0$) auch geschrieben werden:

$${1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.1cm} \right ] > {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| \hspace{0.1cm} \right ] $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} | \rho_1 +1|+ | \rho_2 +1| < | \rho_1 -1|+ | \rho_2 -1|$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L (\rho_1, \rho_2) = | \rho_1 +1|+ | \rho_2 +1| - | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$

Auf diese Funktion $L(\rho_1, \rho_2)$ wird im Fragebogen häufig Bezug genommen.

Die Grafik zeigt drei verschiedene Entscheidungsregionen $(I_0, I_1)$.

  • Bei AWGN–Rauschen wäre nur die obere Variante A optimal.
  • Auch beim hier betrachteten Laplace–Rauschen führt die Variante A zur kleinstmöglichen Fehlerwahrscheinlichkeit, siehe Aufgabe 4.9Z :
$$p_{\rm min} = {\rm Pr}({\cal{E}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} {\rm optimaler\hspace{0.15cm} Empf\ddot{a}nger}) = {\rm e}^{-2} \approx 13.5\,\%\hspace{0.05cm}.$$

Zu untersuchen ist, ob die Variante B bzw. die Variante C ebenfalls optimal ist, das heißt, ob auch deren Fehlerwahrscheinlichkeiten kleinstmöglich gleich $p_{\rm min}$ sind.


Hinweise:



Fragebogen

1

Welche der Entscheidungsregeln sind richtig? Entscheide für $m_0$, falls

$p_{\it r\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m_0) > p_{\it r\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m_1)$,
$L(\rho_1, \ \rho_2) = |\rho_1+1| \, -|\rho_1 \, –1| + |\rho_2+1| \, -|\rho_2 \, –1| < 0$,
$L(\rho_1, \ \rho_2) = \rho_1 + \rho_2 ≥ 0$.

2

Wie lässt sich der Ausdruck $|x+1| \ -|x \ -1|$ umformen?

Für $x ≥ +1$ ist $|x + 1| \, -|x -1| = 2$.
Für $x ≤ \, -1$ ist $|x+1| \,-|x \, -1| = \, -2$.
Für $-1 ≤ x ≤ +1$ ist $|x+1| \, -|x \, -1| = 2x$.

3

Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $-1 ≤ \rho_1 ≤ +1$, $-1 ≤ \rho_2 ≤ +1$?

Entscheidung für $m_0$, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
Entscheidung für $m_1$, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

4

Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_1 > +1$?

Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.
Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich.
Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

5

Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_1 < \, -1$?

Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.
Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich.
Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

6

Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_2 > +1$?

Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.
Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich.
Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

7

Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_2 < -1$?

Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.
Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich.
Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

8

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

Die Variante A führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
Die Variante B führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
Die Variante C führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.


Musterlösung

(1)  Richtig sinddie Lösungsvorschläge 1 und 2:

  • Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichten unter den Bedingungen $m_0$ bzw. $m_1$ lauten:
$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm},$$
$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm}.$$
  • Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen  ⇒  ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 0.5$ lautet die MAP–Entscheidungsregel:
    Entscheide für das Symbol $m_0$  ⇔  Signal $s_0$, falls
$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) > p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.05cm} \right ] > {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1|\hspace{0.05cm} \right ] $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} | \rho_1 +1|+ | \rho_2 +1| < | \rho_1 -1|+ | \rho_2 -1|\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} L (\rho_1, \rho_2) = | \rho_1 +1|- | \rho_1 -1|+ | \rho_2 +1| - | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$


(2)  Alle Aussagen treffen zu: Für $x ≥ 1$ ist

$$| x +1|- | x -1| = x +1 -x +1 =2 \hspace{0.05cm}.$$

Ebenso gilt für $x ≤ \, –1$, zum Beispiel $x = \, –3$:

$$| x +1|- | x -1| = | -3 +1|- | -3 -1| = 2-4 = -2 \hspace{0.05cm}.$$

Dagegen gilt im mittleren Bereich $–1 ≤ x ≤ +1$:

$$| x+1|- | x -1| = x +1 -1 +x =2x \hspace{0.05cm}.$$


(3)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

  • Das Ergebnis von Teilaufgabe (1) lautete: Entscheide für das Symbol $m_0$, falls
$$L (\rho_1, \rho_2) = | \rho_1 +1| - | \rho_1 -1|+ | \rho_2 +1| - | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$
  • Im betrachteten (inneren) Bereich $-1 ≤ \rho_1 ≤ +1$, $-1 ≤ \rho_2 ≤ +1$ gilt mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (2):
$$| \rho_1+1| - | \rho_1 -1| = 2\rho_1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} | \rho_2+1| - | \rho_2 -1| = 2\rho_2 \hspace{0.05cm}.$$
  • Setzt man dieses Ergebnis oben ein, so ist genau dann für $m_0$ zu entscheiden, falls
$$L (\rho_1, \rho_2) = 2 \cdot ( \rho_1+\rho_2) < 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_1+\rho_2 < 0\hspace{0.05cm}.$$


(4)  Richtig ist hier der Lösungsvorschlag 2:

  • Für $\rho_1 > 1$ ist $|\rho_1+1| \, -|\rho_1 \, -1| = 2$, während für $D_2 = |\rho_2+1| \,-|\rho_2 \, -1|$ alle Werte zwischen $-2$ und $+2$ möglich sind.
  • Die Entscheidungsgröße ist somit $L(\rho_1, \rho_2) = 2 + D_2 ≥ 0$. In diesem Fall führt die Regel zu einer $m_1$–Entscheidung.


(5)  Richtig ist hier der Lösungsvorschlag 1:

  • Nach ähnlicher Rechnung wie in der Teilaufgabe (3) kommt man zum Ergebnis:
$$L (\rho_1, \rho_2) = -2 + D_2 \le 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Entscheidung\hspace{0.15cm} auf\hspace{0.15cm}} m_0\hspace{0.05cm}.$$


(6)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2: Entscheidung auf $m_1$.

  • Ähnlich der Teilaufgabe (4) gilt hier:
$$D_1 = | \rho_1 +1| - | \rho_1 -1| \in \{-2, ... \hspace{0.05cm} , +2 \} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}L (\rho_1, \rho_2) = 2 + D_1 \ge 0 \hspace{0.05cm}.$$


(7)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1: Entscheidung auf $m_0$.

  • Nach ähnlicher Überlegung wie in der letzten Teilaufgabe kommt man zum Ergebnis:
$$L (\rho_1, \rho_2) = -2 + D_1 \le 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Entscheidung\hspace{0.15cm} auf\hspace{0.15cm}} m_0\hspace{0.05cm}.$$


Zusammenfassung der Ergebnisse

(8)  Die Ergebnisse der Teilaufgaben (3) bis (7) sind in der Grafik zusammengefasst:

  • Teilgebiet $T_0$:   Entscheidung auf $m_0$ bzw. $m_1$ gemäß Aufgabe (3).
  • Teilgebiet $T_1$:   Entscheidung auf $m_1$ gemäß Aufgabe (4).
  • Teilgebiet $T_2$:   Entscheidung auf $m_0$ gemäß Aufgabe (5).
  • Teilgebiet $T_3$:   Entscheidung auf $m_1$ gemäß Aufgabe (6).
  • Teilgebiet $T_4$:   Entscheidung auf $m_0$ gemäß Aufgabe (7).
  • Teilgebiet $T_5$:   Nach dem Ergebnis von Aufgabe (5) sollte man auf $m_0$ entscheiden, nach Aufgabe (6) auf $m_1$. Das bedeutet: Bei Laplace–Rauschen ist es egal, ob man $T_5$ der Region $I_0$ oder $I_1$ zuordnet.
  • Teilgebiet $T_6$:   Auch dieses Gebiet kann man aufgrund der Ergebnisse von Aufgabe (4) und (7) sowohl der Region $I_0$ als auch der Region $I_1$ zuordnen.


Man erkennt:

  • Für die Teilaufgabe $T_0$, ... $T_4$ gibt es eine feste Zuordnung zu den Entscheidungsregionen $I_0$ (rot) bzw. $I_1$ (blau).
  • Dagegen können die beiden gelb markierten Bereiche $T_5$ und $T_6$ ohne Verlust an Optimalität sowohl $I_0$ als auch $I_1$ zugeordnet werden.


Vergleicht man diese Grafik mit den Varianten A, B und C auf der Angabenseite, so erkennt man, dass die Vorschläge 1 und 2 richtig sind:

  • Die Varianten A und B sind gleich gut. Beide sind optimal. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich in beiden Fällen zu $p_{\rm min} = {\rm e}^{\rm -2}$.
  • Die Variante C ist nicht optimal; bezüglich der Teilaufgabe $T_1$ und $T_2$ gibt es Fehlzuordnungen. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist demzufolge größer als $p_{\rm min}$.