Aufgaben:Aufgabe 4.09: Entscheidungsregionen bei Laplace: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten ein Übertragungssystem, basierend auf den Basisfunktionen $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$. Die zwei gleichwahrscheinlichen Sendesignale sind durch die Signalpunkte
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Wir betrachten ein Übertragungssystem, basierend auf den Basisfunktionen $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$. Die beiden gleichwahrscheinlichen Sendesignale sind durch die Signalpunkte
 
:$$\boldsymbol{ s }_0 = (-\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}-\sqrt{E})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}  
 
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   \boldsymbol{ s }_1 = (+\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}+\sqrt{E})\hspace{0.05cm}$$
 
   \boldsymbol{ s }_1 = (+\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}+\sqrt{E})\hspace{0.05cm}$$
  
 
gegeben. Im Folgenden normieren wir zur Vereinfachung den Energieparameter zu $E = 1$ und erhalten somit
 
gegeben. Im Folgenden normieren wir zur Vereinfachung den Energieparameter zu $E = 1$ und erhalten somit
:$$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (-1, \hspace{0.1cm}-1) \hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0\hspace{0.05cm}, $$
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:$$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (-1, \hspace{0.1cm}-1) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0\hspace{0.05cm}, $$
:$$  \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  (+1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1\hspace{0.05cm}.$$
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:$$  \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  (+1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1\hspace{0.05cm}.$$
  
 
Die Nachrichten $m_0$ und $m_1$ sind den so festgelegten Signalen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ eindeutig zugeordnet.
 
Die Nachrichten $m_0$ und $m_1$ sind den so festgelegten Signalen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ eindeutig zugeordnet.
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Die zwei Rauschkomponenten $n_1(t)$ und $n_2(t)$ seien unabhängig voneinander und jeweils laplace–verteilt mit Parameter $a = 1$:
 
Die zwei Rauschkomponenten $n_1(t)$ und $n_2(t)$ seien unabhängig voneinander und jeweils laplace–verteilt mit Parameter $a = 1$:
 
:$$p_{n_1} (\eta_1) =  {1}/{2} \cdot  {\rm e}^{- | \eta_1|} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
 
:$$p_{n_1} (\eta_1) =  {1}/{2} \cdot  {\rm e}^{- | \eta_1|} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
  p_{n_2} (\eta_2) = {1}/{2} \cdot  {\rm e}^{- | \eta_2|} \hspace{0.05cm}$$
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  p_{n_2} (\eta_2) = {1}/{2} \cdot  {\rm e}^{- | \eta_2|} \hspace{0.05cm} \hspace{0.3cm}
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }} (\eta_1, \eta_2) =  {1}/{4} \cdot  {\rm e}^{- | \eta_1|- | \eta_2|} \hspace{0.05cm}. $$
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\Rightarrow \hspace{0.3cm} \boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }} (\eta_1, \eta_2) =  {1}/{4} \cdot  {\rm e}^{- | \eta_1|- | \eta_2|} \hspace{0.05cm}. $$
  
Die Eigenschaften eines solchen Laplace–Rauschens werden in der [[Zusatzaufgaben:4.9_Laplace-verteiltes_Rauschen| Aufgabe Z4.9]] noch eingehend behandelt.
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Die Eigenschaften eines solchen Laplace–Rauschens werden in der [[Aufgaben:4.09Z_Laplace-verteiltes_Rauschen| Aufgabe 4.9Z]] noch eingehend behandelt.
  
 
Das Empfangssignal $\boldsymbol{r}$ setzt sich additiv aus dem Sendesignal $\boldsymbol{s}$ und dem Rauschsignal $\boldsymbol{n}$ zusammen:
 
Das Empfangssignal $\boldsymbol{r}$ setzt sich additiv aus dem Sendesignal $\boldsymbol{s}$ und dem Rauschsignal $\boldsymbol{n}$ zusammen:
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Die entsprechenden Realisierungen sind wie folgt bezeichnet:
 
Die entsprechenden Realisierungen sind wie folgt bezeichnet:
:$$\boldsymbol{ s }\hspace{-0.1cm} \ : \ \hspace{-0.1cm} \hspace{0.1cm} (s_{01},s_{02}){\hspace{0.15cm}\rm bzw. \hspace{0.15cm}} (s_{11},s_{12})  
+
:$$\boldsymbol{ s }\text{:} \hspace{0.4cm} (s_{01},s_{02}){\hspace{0.15cm}\rm bzw. \hspace{0.15cm}} (s_{11},s_{12})  
 
   \hspace{0.05cm},$$
 
   \hspace{0.05cm},$$
:$$ \boldsymbol{ r } \hspace{-0.1cm} \ : \ \hspace{-0.1cm} \hspace{0.1cm} (\rho_{1},\rho_{2})
+
:$$ \boldsymbol{ r }\text{:} \hspace{0.4cm} (\rho_{1},\rho_{2})
   \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\boldsymbol{ n }: \hspace{0.1cm} (\eta_{1},\eta_{2})
+
   \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\boldsymbol{ n }\text{:} \hspace{0.4cm} (\eta_{1},\eta_{2})
 
   \hspace{0.05cm}.$$
 
   \hspace{0.05cm}.$$
  
 
Die Entscheidungsregel des MAP– und des ML–Empfängers (beide sind aufgrund der gleichen Symbolwahrscheinlichkeiten identisch) lauten:
 
Die Entscheidungsregel des MAP– und des ML–Empfängers (beide sind aufgrund der gleichen Symbolwahrscheinlichkeiten identisch) lauten:
  
Entscheide für das Symbol $m_0$, falls
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Entscheide für das Symbol $m_0$, falls   $p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) >  
:$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) >  
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p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}.$
p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}.$$
 
  
 
Mit den weiteren Voraussetzungen kann hierfür (Entscheidung für $m_0$) auch geschrieben werden:
 
Mit den weiteren Voraussetzungen kann hierfür (Entscheidung für $m_0$) auch geschrieben werden:
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   | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$
 
   | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$
  
Auf diese Funktion $L(\rho_1, \rho_2)$ wird in den nachfolgenden Aufgaben häufig Bezug genommen.
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Auf diese Funktion $L(\rho_1, \rho_2)$ wird im Fragebogen häufig Bezug genommen.
  
Die Grafik zeigt drei verschiedene Entscheidungsregionen ($I_0, I_1$). Bei AWGN&ndash;Rauschen wäre nur die obere Variante <i>A</i> optimal. Auch beim hier betrachteten Laplace&ndash;Rauschen führt die Variante <i>A</i> zur kleinstmöglichen Fehlerwahrscheinlichkeit, siehe [[Zusatzaufgaben:4.9_Laplace-verteiltes_Rauschen| Aufgabe Z4.9]]:
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Die Grafik zeigt drei verschiedene Entscheidungsregionen $(I_0, I_1)$.  
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*Bei AWGN&ndash;Rauschen wäre nur die obere Variante '''A''' optimal.  
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*Auch beim hier betrachteten Laplace&ndash;Rauschen führt die Variante '''A''' zur kleinstmöglichen Fehlerwahrscheinlichkeit, siehe [[Aufgaben:4.09Z_Laplace-verteiltes_Rauschen| Aufgabe 4.9Z]] :
 
:$$p_{\rm min} = {\rm Pr}({\cal{E}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} {\rm optimaler\hspace{0.15cm} Empf\ddot{a}nger}) = {\rm e}^{-2} \approx 13.5\,\%\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$p_{\rm min} = {\rm Pr}({\cal{E}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} {\rm optimaler\hspace{0.15cm} Empf\ddot{a}nger}) = {\rm e}^{-2} \approx 13.5\,\%\hspace{0.05cm}.$$
  
Zu untersuchen ist, ob die Variante <i>B</i> bzw. die Variante <i>C</i> ebenfalls optimal ist, das heißt, ob auch deren Fehlerwahrscheinlichkeiten kleinstmöglich gleich $\rho_{\rm min}$ sind.
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Zu untersuchen ist, ob die Variante '''B''' bzw. die Variante '''C''' ebenfalls optimal ist, das heißt, ob auch deren Fehlerwahrscheinlichkeiten kleinstmöglich gleich $p_{\rm min}$ sind.
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* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
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*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
  
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* Die Aufgabe bezieht sich auf die letzten Theorieseiten des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
 
  
  
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{Welche der Entscheidungsregeln sind richtig? Entscheide für $m_0$, falls
 
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+ $\rho_{\it r|m}(\rho_1, \ \rho_2|m_0) > p_{\it r|m}(\rho_1, \ \rho_2|m_1)$,
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+ $p_{\it r\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m_0) > p_{\it r\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m_1)$,
+ $L(\rho_1, \ \rho_2) = |\rho_1+1| \, &ndash;|\rho_1 \, &ndash;1| + |\rho_2+1| \, &ndash;|\rho_2 \, &ndash;1| < 0$,
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+ $L(\rho_1, \ \rho_2) = |\rho_1+1| \, -|\rho_1 \, &ndash;1| + |\rho_2+1| \, -|\rho_2 \, &ndash;1| < 0$,
 
- $L(\rho_1, \ \rho_2) = \rho_1 + \rho_2 &#8805; 0$.
 
- $L(\rho_1, \ \rho_2) = \rho_1 + \rho_2 &#8805; 0$.
  
{Wie lässt sich der Ausdruck $|x+1| \ &ndash;|x \ &ndash;1|$ umformen?
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{Wie lässt sich der Ausdruck $|x+1| \ -|x \ -1|$ umformen?
 
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+ Für $x &#8805; 1$ ist $|x + 1| \, &ndash;|x \, &ndash;1| = 2$.
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+ Für $x &#8805; +1$ ist $|x + 1| \, -|x -1| = 2$.
+ Für $x &#8804; \, &ndash;1$ ist $|x+1| \, &ndash;|x \, &ndash;1| = \, &ndash;2$.
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+ Für $x &#8804; \, -1$ ist $|x+1| \,-|x \, -1| = \, -2$.
+ Für $&ndash;1 &#8804; x &#8804; 1$ ist $|x+1| \, &ndash;|x \, &ndash;1| = 2x$.
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+ Für $-1 &#8804; x &#8804; +1$ ist $|x+1| \, -|x \, -1| = 2x$.
  
{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $&ndash;1 &#8804; \rho_1 &#8804; +1$, $&ndash;1 &#8804; \rho_2 &#8804; +1$?
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{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $-1 &#8804; \rho_1 &#8804; +1$, $-1 &#8804; \rho_2 &#8804; +1$?
 
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+ Entscheidung für $m_0$, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
 
+ Entscheidung für $m_0$, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
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- Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
 
- Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
  
{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_1 < \, &ndash;1$?
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{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_1 < \, -1$?
 
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+ Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.
 
+ Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.
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- Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
 
- Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
  
{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_2 < \, &ndash;1$?
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+ Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.
 
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{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 
{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 
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+ Die Variante <i>A</i> führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
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+ Die Variante '''A''' führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
+ Die Variante <i>B</i> führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
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+ Die Variante '''B''' führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
- Die Variante <i>C</i> führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
+
- Die Variante '''C''' führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
 
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Version vom 20. November 2017, 17:12 Uhr

Drei Entscheidungsregionen für Laplace

Wir betrachten ein Übertragungssystem, basierend auf den Basisfunktionen $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$. Die beiden gleichwahrscheinlichen Sendesignale sind durch die Signalpunkte

$$\boldsymbol{ s }_0 = (-\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}-\sqrt{E})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_1 = (+\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}+\sqrt{E})\hspace{0.05cm}$$

gegeben. Im Folgenden normieren wir zur Vereinfachung den Energieparameter zu $E = 1$ und erhalten somit

$$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (-1, \hspace{0.1cm}-1) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0\hspace{0.05cm}, $$
$$ \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (+1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1\hspace{0.05cm}.$$

Die Nachrichten $m_0$ und $m_1$ sind den so festgelegten Signalen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ eindeutig zugeordnet.

Die zwei Rauschkomponenten $n_1(t)$ und $n_2(t)$ seien unabhängig voneinander und jeweils laplace–verteilt mit Parameter $a = 1$:

$$p_{n_1} (\eta_1) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- | \eta_1|} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} p_{n_2} (\eta_2) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- | \eta_2|} \hspace{0.05cm} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }} (\eta_1, \eta_2) = {1}/{4} \cdot {\rm e}^{- | \eta_1|- | \eta_2|} \hspace{0.05cm}. $$

Die Eigenschaften eines solchen Laplace–Rauschens werden in der Aufgabe 4.9Z noch eingehend behandelt.

Das Empfangssignal $\boldsymbol{r}$ setzt sich additiv aus dem Sendesignal $\boldsymbol{s}$ und dem Rauschsignal $\boldsymbol{n}$ zusammen:

$$\boldsymbol{ r } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \boldsymbol{ s } + \boldsymbol{ n } \hspace{0.05cm}, \hspace{0.45cm}\boldsymbol{ r } = ( r_1, r_2) \hspace{0.05cm},$$
$$ \boldsymbol{ s } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} ( s_1, s_2) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\boldsymbol{ n } = ( n_1, n_2) \hspace{0.05cm}. $$

Die entsprechenden Realisierungen sind wie folgt bezeichnet:

$$\boldsymbol{ s }\text{:} \hspace{0.4cm} (s_{01},s_{02}){\hspace{0.15cm}\rm bzw. \hspace{0.15cm}} (s_{11},s_{12}) \hspace{0.05cm},$$
$$ \boldsymbol{ r }\text{:} \hspace{0.4cm} (\rho_{1},\rho_{2}) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\boldsymbol{ n }\text{:} \hspace{0.4cm} (\eta_{1},\eta_{2}) \hspace{0.05cm}.$$

Die Entscheidungsregel des MAP– und des ML–Empfängers (beide sind aufgrund der gleichen Symbolwahrscheinlichkeiten identisch) lauten:

Entscheide für das Symbol $m_0$, falls   $p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) > p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}.$

Mit den weiteren Voraussetzungen kann hierfür (Entscheidung für $m_0$) auch geschrieben werden:

$${1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.1cm} \right ] > {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| \hspace{0.1cm} \right ] $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} | \rho_1 +1|+ | \rho_2 +1| < | \rho_1 -1|+ | \rho_2 -1|$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L (\rho_1, \rho_2) = | \rho_1 +1|+ | \rho_2 +1| - | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$

Auf diese Funktion $L(\rho_1, \rho_2)$ wird im Fragebogen häufig Bezug genommen.

Die Grafik zeigt drei verschiedene Entscheidungsregionen $(I_0, I_1)$.

  • Bei AWGN–Rauschen wäre nur die obere Variante A optimal.
  • Auch beim hier betrachteten Laplace–Rauschen führt die Variante A zur kleinstmöglichen Fehlerwahrscheinlichkeit, siehe Aufgabe 4.9Z :
$$p_{\rm min} = {\rm Pr}({\cal{E}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} {\rm optimaler\hspace{0.15cm} Empf\ddot{a}nger}) = {\rm e}^{-2} \approx 13.5\,\%\hspace{0.05cm}.$$

Zu untersuchen ist, ob die Variante B bzw. die Variante C ebenfalls optimal ist, das heißt, ob auch deren Fehlerwahrscheinlichkeiten kleinstmöglich gleich $p_{\rm min}$ sind.


Hinweise:



Fragebogen

1

Welche der Entscheidungsregeln sind richtig? Entscheide für $m_0$, falls

$p_{\it r\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m_0) > p_{\it r\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m_1)$,
$L(\rho_1, \ \rho_2) = |\rho_1+1| \, -|\rho_1 \, –1| + |\rho_2+1| \, -|\rho_2 \, –1| < 0$,
$L(\rho_1, \ \rho_2) = \rho_1 + \rho_2 ≥ 0$.

2

Wie lässt sich der Ausdruck $|x+1| \ -|x \ -1|$ umformen?

Für $x ≥ +1$ ist $|x + 1| \, -|x -1| = 2$.
Für $x ≤ \, -1$ ist $|x+1| \,-|x \, -1| = \, -2$.
Für $-1 ≤ x ≤ +1$ ist $|x+1| \, -|x \, -1| = 2x$.

3

Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $-1 ≤ \rho_1 ≤ +1$, $-1 ≤ \rho_2 ≤ +1$?

Entscheidung für $m_0$, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
Entscheidung für $m_1$, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

4

Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_1 > +1$?

Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.
Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich.
Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

5

Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_1 < \, -1$?

Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.
Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich.
Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

6

Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_2 > +1$?

Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.
Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich.
Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

7

Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_2 < -1$?

Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.
Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich.
Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

8

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

Die Variante A führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
Die Variante B führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
Die Variante C führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.


Musterlösung

(1)  Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichten unter den Bedingungen $m_0$ bzw. $m_1$ lauten:

$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm},$$
$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm}.$$

Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen  ⇒  ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 0.5$ lautet die MAP–Entscheidungsregel: Entscheide für das Symbol $m_0$  ⇔  Signal $s_0$, falls

$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) > p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.05cm} \right ] > {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1|\hspace{0.05cm} \right ] $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} | \rho_1 +1|+ | \rho_2 +1| < | \rho_1 -1|+ | \rho_2 -1|$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L (\rho_1, \rho_2) = | \rho_1 +1|- | \rho_1 -1|+ | \rho_2 +1| - | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$

Richtig sind demnach die Lösungsvorschläge 1 und 2.


(2)  Alle Aussagen treffen zu: Für $x ≥ 1$ ist

$$| x +1|- | x -1| = x +1 -x +1 =2 \hspace{0.05cm}.$$

Ebenso gilt für $x ≤ \, –1$, zum Beispiel $x = \, –3$:

$$| x +1|- | x -1| = | -3 +1|- | -3 -1| = 2-4 = -2 \hspace{0.05cm}.$$

Dagegen gilt im mittleren Bereich $–1 ≤ x ≤ +1$:

$$| x+1|- | x -1| = x +1 -1 +x =2x \hspace{0.05cm}.$$


(3)  Das Ergebnis von Teilaufgabe (1) lautete: Entscheide für das Symbol $m_0$, falls

$$L (\rho_1, \rho_2) = | \rho_1 +1| - | \rho_1 -1|+ | \rho_2 +1| - | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$

Im betrachteten (inneren) Bereich $–1 ≤ \rho_1 ≤ +1$, $–1 ≤ \rho_2 ≤ +1$ gilt mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (2):

$$| \rho_1+1| - | \rho_1 -1| = 2\rho_1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} | \rho_2+1| - | \rho_2 -1| = 2\rho_2 \hspace{0.05cm}.$$

Setzt man dieses Ergebnis oben ein, so ist genau dann für $m_0$ zu entscheiden, falls

$$L (\rho_1, \rho_2) = 2 \cdot ( \rho_1+\rho_2) < 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_1+\rho_2 < 0\hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist also der Lösungsvorschlag 1.


(4)  Für $\rho_1 > 1$ ist $|\rho_1+1| \, –|\rho_1 \, –1| = 2$, während für $D_2 = |\rho_2+1| \, –|\rho_2 \, –1|$ alle Werte zwischen $–2$ und $+2$ möglich sind. Die Entscheidungsgröße ist somit $L(\rho_1, \rho_2) = 2 + D_2 ≥ 0$. In diesem Fall führt die Regel zu einer $m_1$–Entscheidung. Richtig ist demnach hier der Lösungsvorschlag 2.


(5)  Nach ähnlicher Rechnung wie in der Teilaufgabe (3) kommt man zum Ergebnis:

$$L (\rho_1, \rho_2) = -2 + D_2 \le 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Entscheidung\hspace{0.15cm} auf\hspace{0.15cm}} m_0\hspace{0.05cm},$$

was dem Lösungsvorschlag 1 entspricht.


(6)  Ähnlich der Teilaufgabe (4) gilt hier:

$$D_1 = | \rho_1 +1| - | \rho_1 -1| \in \{-2, ... \hspace{0.05cm} , +2 \} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}L (\rho_1, \rho_2) = 2 + D_1 \ge 0 \hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist also hier der Lösungsvorschlag 2: Entscheidung auf $m_1$.


(7)  Nach ähnlicher Überlegung wie in der letzten Teilaufgabe kommt man zum Ergebnis:

$$L (\rho_1, \rho_2) = -2 + D_1 \le 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Entscheidung\hspace{0.15cm} auf\hspace{0.15cm}} m_0\hspace{0.05cm}.$$

Dies entspricht dem Lösungsvorschlag 1.


(8)  Die Ergebnisse der Teilaufgaben (3) bis (7) sind in der folgenden Grafik zusammengefasst:

  • Teilgebiet T_0 : Entscheidung auf $m_0$ bzw. $m_1$ gemäß Aufgabe (3).
Zusammenfassung der Ergebnisse
  • Teilgebiet T_1 : Entscheidung auf $m_1$ gemäß Aufgabe (4).
  • Teilgebiet T_2 : Entscheidung auf $m_0$ gemäß Aufgabe (5).
  • Teilgebiet T_3 : Entscheidung auf $m_1$ gemäß Aufgabe (6).
  • Teilgebiet T_4 : Entscheidung auf $m_0$ gemäß Aufgabe (7).
  • Teilgebiet T_5 : Nach dem Ergebnis von Aufgabe (5) sollte man auf $m_0$ entscheiden, nach Aufgabe (6) auf $m_1$. Das bedeutet: Bei Laplace–Rauschen ist es egal, ob man $T_5$ der Region $I_0$ oder $I_1$ zuordnet.
  • Teilgebiet T_6 : Auch dieses Gebiet kann man aufgrund der Ergebnisse von Aufgabe (4) und (7) sowohl der Region $I_0$ als auch der Region $I_1$ zuordnen.


Für die Teilaufgabe $T_0, \ ... \ , T_4$ gibt es eine feste Zuordnung zu den Entscheidungsregionen $I_0$ (rot) bzw. $I_1$ (blau). Dagegen können die beiden gelb markierten Bereiche $T_5$ und $T_6$ ohne Verlust an Optimalität sowohl $I_0$ als auch $I_1$ zugeordnet werden. Vergleicht man diese Grafik mit den Varianten A, B und C auf der Angabenseite, so erhält man das Ergebnis:

  • Die Varianten A und B sind gleich gut und beide sind optimal. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich in beiden Fällen zu $p_{\rm min} = {\rm e}^{\rm –2}$.
  • Die Variante C ist nicht optimal; bezüglich der Teilaufgabe $T_1$ und $T_2$ gibt es Fehlzuordnungen. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist demzufolge größer als $p_{\rm min}$. Richtig sind also die Vorschläge 1 und 2.