Aufgaben:Aufgabe 4.06Z: Signalraumkonstellationen: Unterschied zwischen den Versionen

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Hierzu ist anzumerken:
 
Hierzu ist anzumerken:
* ${\rm Q}(x)$ bezeichnet die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion (Definition und Approximation):
+
* ${\rm Q}(x)$  bezeichnet die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion  (Definition und Approximation):
 
:$${\rm Q}(x) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  \frac{1}{\sqrt{2\pi}}  \int_{x}^{\infty} {\rm e}^{-u^2/2} \,{\rm d} u  
 
:$${\rm Q}(x) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  \frac{1}{\sqrt{2\pi}}  \int_{x}^{\infty} {\rm e}^{-u^2/2} \,{\rm d} u  
\approx \\
+
\approx  \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2}
\hspace{-0.1cm} \ \approx \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2}
 
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
* $d$ gibt den Abstand der beiden Sendesignalpunkte $s_0$ und $s_1$ im vorgegebenen Vektorraum an:
+
* $d$  gibt den Abstand der beiden Sendesignalpunkte  $s_0$  und  $s_1$  im Vektorraum an:
 
:$$d = \sqrt{ || \boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0||^2} \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$d = \sqrt{ || \boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0||^2} \hspace{0.05cm}.$$
  
* $\sigma_n^2$ ist die Varianz des AWGN–Rauschens nach dem Detektor, der zum Beispiel als Matched–Filter realisiert sein kann. Es gelte $\sigma_n^2 = N_0/2$.
+
* $\sigma_n^2$&nbsp; ist die Varianz des AWGN&ndash;Rauschens nach dem Detektor,&nbsp; der zum Beispiel als Matched&ndash;Filter realisiert sein kann. <br>Es gelte&nbsp; $\sigma_n^2 = N_0/2$.
  
  
Durch die Grafik sind drei unterschiedliche Signalraumkonstellationen gegeben, nämlich
+
Durch die Grafik sind drei unterschiedliche Signalraumkonstellationen gegeben,&nbsp; nämlich
* Variante <i>A</i>: $s_0 = (+1, \ \, +5), \hspace{0.4cm} s_1 = (+4, \ \, +1)$,
 
* Variante <i>B</i>: $s_0 = (&ndash;1.5, \ \, +2), \, \ s_1 = (+1.5, \ \, &ndash;2)$,
 
* Variante <i>C</i>: $s_0 = (&ndash;2.5, \ \, 0), \hspace{0.5cm} s_1 = (+2.5, \ \, 0)$.
 
  
Die jeweils mittlere Energie pro Symbol ($E_{\rm S}$) kann nach folgender Gleichung berechnet werden:
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* Variante $\rm A$: &nbsp; $s_0 = (+1, \,  +5), \hspace{0.4cm} s_1 = (+4, \,  +1)$,
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* Variante $\rm B$: &nbsp; $s_0 = (-1.5, \,  +2), \, s_1 = (+1.5, \,  -2)$,
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* Variante $\rm C$: &nbsp; $s_0 = (-2.5, \,  0), \hspace{0.45cm} s_1 = (+2.5, \,  0)$.
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Die jeweils mittlere Energie pro Symbol &nbsp;$(E_{\rm S})$&nbsp; kann wie folgt berechnet werden:
 
:$$E_{\rm S}  = {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) \cdot  ||  \boldsymbol{ s }_0||^2 +  
 
:$$E_{\rm S}  = {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) \cdot  ||  \boldsymbol{ s }_0||^2 +  
 
  {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_1) \cdot  ||  \boldsymbol{ s }_1||^2\hspace{0.05cm}.$$
 
  {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_1) \cdot  ||  \boldsymbol{ s }_1||^2\hspace{0.05cm}.$$
  
''Hinweise:''
+
 
* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
+
 
* Wenn bei einer Teilaufgabe keine anderslautende Angabe gemacht ist, so kann von gleichwahrscheinlichen Symbolen ausgegangen werden:
+
 
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Hinweise:
 +
* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| "Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit"]].
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 +
* Für numerische Berechnungen kann zur Vereinfachung die Energie&nbsp; $E = 1$&nbsp; gesetzt werden.
 +
 
 +
* Wenn keine anderslautende Angabe gemacht ist,&nbsp; so kann von gleichwahrscheinlichen Symbolen ausgegangen werden:  
 
:$${\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) = {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_1) = 0.5\hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) = {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_1) = 0.5\hspace{0.05cm}.$$
 +
  
# Die Normierungsenergie $E$ ist hier stillschweigend zu $1$ gesetzt.
 
  
  
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Multiple-Choice
+
{Welche Voraussetzungen müssen unbedingt&nbsp; (auf jeden Fall)&nbsp; erfüllt sein,&nbsp; damit die angegebene Fehlerwahrscheinlichkeitsgleichung gilt?
 +
|type="[]"}
 +
+ Additives weißes Gaußsches Rauschen mit Varianz&nbsp; $\sigma_n^2$.
 +
+ Optimaler Binärempfänger.
 +
+ Entscheidungsgrenze in der Mitte zwischen den Symbolen.
 +
- Gleischwahrscheinliche Symbole&nbsp; $s_0$&nbsp; und&nbsp; $s_1$.
 +
 
 +
{Welche Aussage gilt für die Fehlerwahrscheinlichkeit mit&nbsp; $\sigma_n^2 = E$?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ correct
+
- Die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit tritt bei Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; auf.
- false
+
- Die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit tritt bei Variante &nbsp;$\rm B$&nbsp; auf.
 +
- Die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit tritt bei Variante &nbsp;$\rm C$&nbsp; auf.
 +
+ Alle Varianten zeigen gleiches Fehlerverhalten.
  
{Input-Box Frage
+
{Geben Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit für die Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; mit &nbsp;$\sigma_n^2 = E$&nbsp; an.&nbsp; Sie können&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; entsprechend der Näherung berechnen.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$xyz$ = { 5.4 3% } $ab$
+
$p_{\rm S} \ = \ $ { 0.7 3% } $\ \%$
 +
 
 +
{Es gelte &nbsp; $N_0 = 2 \cdot 10^{\rm &ndash;6} \ {\rm W/Hz}$,&nbsp; $E_{\rm S} = 6.25 \cdot 10^{\rm &ndash;6} \ \rm Ws$.&nbsp; Welche Wahrscheinlichkeit ergibt sich für die Variante &nbsp;$\rm C$&nbsp; bei gleichwahrscheinlichen Symbolen?
 +
|type="{}"}
 +
$p_{\rm S} \ = \ $ { 0.7 3% } $\ \%$
 +
 
 +
{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich bei gleichen Voraussetzungen für die Variante &nbsp;$\rm B$?
 +
|type="{}"}
 +
$p_{\rm S} \ = \ $ { 0.7 3% } $\ \%$
 +
 
 +
{Wie groß ist bei der Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; die mittlere Energie pro Symbol &nbsp;$(E_{\rm S})$&nbsp; zu wählen,&nbsp; um die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie bei System &nbsp;$\rm C$&nbsp; zu erhalten?
 +
|type="{}"}
 +
$E_{\rm S} \ = \ $ { 21.5 3% } $\ \cdot 10^{\rm &ndash;6} \ \rm Ws$
 
</quiz>
 
</quiz>
  
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp;  
+
'''(1)'''&nbsp; Die&nbsp; <u>drei erstgenannten Voraussetzungen</u>&nbsp; müssen auf jeden Fall erfüllt sein:
'''(2)'''&nbsp;  
+
*Die Gleichung gilt dann unabhängig von den Auftrittswahrscheinlichkeiten.
'''(3)'''&nbsp;  
+
*Im Fall&nbsp; ${\rm Pr}(\boldsymbol{s} = \boldsymbol{s}_0) &ne; {\rm Pr}(\boldsymbol{s} = \boldsymbol{s}_1)$&nbsp; kann durch eine Verschiebung der Entscheiderschwelle eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden.
'''(4)'''&nbsp;  
+
 
'''(5)'''&nbsp;  
+
 
 +
 
 +
'''(2)'''&nbsp; Der Rauscheffektivwert&nbsp; $\sigma_n$&nbsp; und damit auch die Signalenergie&nbsp; $E = \sigma_n^2$&nbsp; sind für alle drei betrachteten Varianten gleich.&nbsp; Gleiches gilt für die Distanz der Signalraumpunkte.&nbsp; Für die Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; gilt zum Beispiel:
 +
:$$d = \sqrt{ || \boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0||^2} = \sqrt{ E \cdot (4-1)^2 + E \cdot (1-5)^2} = 5 \cdot \sqrt{E}\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
*Durch die Verschiebung des Koordinatensystems ändert sich am Absand zwischen&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; nichts&nbsp; (Variante &nbsp;$\rm B$),&nbsp; und auch bei Variante &nbsp;$\rm C$&nbsp; (nach Drehung) ergibt sich der gleiche Abstand.
 +
 
 +
*Richtig ist also der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 4</u>.&nbsp; Kommentar:
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#Durch eine Drehung des Koordinatensystems kann man bei einem Binärsystem&nbsp; $(M = 2)$&nbsp; stets mit einer Basisfunktion&nbsp; $(N = 1)$&nbsp; auskommen.
 +
#Da das zweidimensionale Rauschen zirkulär symmetrisch ist &nbsp; &#8658; &nbsp; gleiche Streuung $\sigma_n$ in alle Richtungen,&nbsp; kann auch der Rauschterm wie im Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisband%C3%BCbertragung|"Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung"]] eindimensional beschrieben werden.
 +
 
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'''(3)'''&nbsp; Für alle hier betrachteten Varianten gilt,&nbsp; also auch für die Variante &nbsp;$\rm A$:
 +
:$$p_{\rm S}  = {\rm Pr}({ \cal E} ) =  {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right )=  {\rm Q} \left ( \frac{5/2 \cdot \sqrt{E}}{\sigma_n} \right )
 +
=  {\rm Q}(2.5)\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
*Mit der angegebenen Näherung erhält man
 +
:$$p_{\rm S}  = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot 2.5} \cdot {\rm e}^{-2.5^2/2} \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.7 \%}\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
 
 +
'''(4)'''&nbsp; Bei der Variante &nbsp;$\rm C$&nbsp; ergibt sich für die mittlere Energie pro Symbol:
 +
:$$E_{\rm S}  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) \cdot  (-2.5 \cdot \sqrt{E})^2 +
 +
{\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_1) \cdot  (+ 2.5 \cdot \sqrt{E})^2 =
 +
\left [ {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) + {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) \right ] \cdot 6.25 \cdot E = 6.25 \cdot E$$
 +
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} E = \frac {E_{\rm S}}{6.25} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \sqrt{E}= \frac {\sqrt{E_{\rm S}}}{2.5}
 +
\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
*Setzt man dieses Ergebnis in die unter&nbsp; '''(3)'''&nbsp; gefundene Gleichung ein,&nbsp; so erhält man mit&nbsp; $\sigma_n^2 = N_0/2$:
 +
:$$p_{\rm S}  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  {\rm Q} \left ( \frac{2.5 \cdot \sqrt{E}}{\sigma_n} \right )=  {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{E_{\rm S}}}{\sigma_n} \right )
 +
=  {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{2 \cdot E_{\rm S}}}{N_0} \right ) ={\rm Q} \left ( \sqrt{\frac{ 2 \cdot 6.25 \cdot 10^{-6}\,{\rm Ws}}{2 \cdot 10^{-6}\,{\rm W/Hz}}} \right )
 +
={\rm Q}(2.5) \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.7 \%}\hspace{0.05cm}. $$
 +
 
 +
 
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'''(5)'''&nbsp; Durch Drehung des Koordinatensystems ändert sich nichts an den Energieverhältnissen.&nbsp; Deshalb erhält man wieder&nbsp; $p_{\rm S} \ \underline {\approx 0.7\%}$.
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 +
 
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'''(6)'''&nbsp; Bei der Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; ist die mittlere Energie pro Symbol
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:$$E_{\rm S}  = {1}/{2} \cdot    \left [ (1^2 + 5^2) \cdot E + (4^2 + 1^2) \cdot E \right ] = 21.5 \cdot E
 +
\hspace{0.05cm}. $$
 +
 
 +
*Der Abstand von der Schwelle,&nbsp; die bei gleichwahrscheinlichen Symbolen in der Mitte zwischen&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; liegen sollte,&nbsp; ist wie bei den anderen Varianten&nbsp; $d/2 = 2.5 \cdot E^{\rm 1/2}$.&nbsp; Mit&nbsp; $\sigma_n^2 = N_0/2$&nbsp; erhält man somit die Bestimmungsgleichung:
 +
:$$p_{\rm S}  = {\rm Q} \left ( \frac{ 2.5 \cdot \sqrt{E}}{\sqrt{N_0/2}} \right ) 
 +
={\rm Q}(2.5)\approx 0.7 \cdot 10^{-2} \hspace{0.3cm}
 +
\Rightarrow \hspace{0.3cm} \sqrt{\frac {2E}{N_0}} = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac {E}{N_0} = 0.5
 +
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac {E_{\rm S}}{21.5 \cdot N_0} = 0.5$$
 +
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {E_{\rm S}} = 0.5 \cdot {21.5 \cdot N_0} \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline { = 21.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm Ws}}\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
*Das bedeutet:&nbsp; Bei der Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; ist gegenüber den beiden anderen Symbolen eine um den Faktor&nbsp; $3.44$&nbsp; größere mittlere Symbolenergie&nbsp; $E_{\rm S}$&nbsp; erforderlich,&nbsp; um die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm S} = 0.7%$&nbsp; zu erzielen.&nbsp; Kommentar:
 +
#Diese Signalraumkonstellation ist sehr ungünstig.&nbsp; Es ergibt sich ein sehr großes&nbsp; $E_{\rm S}$,&nbsp; ohne dass gleichzeitig der Abstand&nbsp; $d$&nbsp; vergrößert wird.
 +
#Mit&nbsp; $E_{\rm S} = 6.25 \cdot 10^{\rm &ndash;6} \ \rm Ws$&nbsp; würde sich dagegen&nbsp; $p_{\rm S} = {\rm Q}(2.5/3.44^{\rm 1/2}) \approx {\rm Q}(1.35) \approx 9\%$&nbsp; ergeben.
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#Das heißt: &nbsp; Die Fehlerwahrscheinlichkeit würde um mehr als eine Zehnerpotenz größer.
 
{{ML-Fuß}}
 
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Aktuelle Version vom 28. Juli 2022, 13:57 Uhr

Drei Signalraumkonstellationen

Die (mittlere) Fehlerwahrscheinlichkeit eines optimalen Binärsystems lautet:

$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right )\hspace{0.05cm}.$$

Hierzu ist anzumerken:

  • ${\rm Q}(x)$  bezeichnet die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion  (Definition und Approximation):
$${\rm Q}(x) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{x}^{\infty} {\rm e}^{-u^2/2} \,{\rm d} u \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2} \hspace{0.05cm}.$$
  • $d$  gibt den Abstand der beiden Sendesignalpunkte  $s_0$  und  $s_1$  im Vektorraum an:
$$d = \sqrt{ || \boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0||^2} \hspace{0.05cm}.$$
  • $\sigma_n^2$  ist die Varianz des AWGN–Rauschens nach dem Detektor,  der zum Beispiel als Matched–Filter realisiert sein kann.
    Es gelte  $\sigma_n^2 = N_0/2$.


Durch die Grafik sind drei unterschiedliche Signalraumkonstellationen gegeben,  nämlich

  • Variante $\rm A$:   $s_0 = (+1, \, +5), \hspace{0.4cm} s_1 = (+4, \, +1)$,
  • Variante $\rm B$:   $s_0 = (-1.5, \, +2), \, s_1 = (+1.5, \, -2)$,
  • Variante $\rm C$:   $s_0 = (-2.5, \, 0), \hspace{0.45cm} s_1 = (+2.5, \, 0)$.


Die jeweils mittlere Energie pro Symbol  $(E_{\rm S})$  kann wie folgt berechnet werden:

$$E_{\rm S} = {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) \cdot || \boldsymbol{ s }_0||^2 + {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_1) \cdot || \boldsymbol{ s }_1||^2\hspace{0.05cm}.$$



Hinweise:

  • Für numerische Berechnungen kann zur Vereinfachung die Energie  $E = 1$  gesetzt werden.
  • Wenn keine anderslautende Angabe gemacht ist,  so kann von gleichwahrscheinlichen Symbolen ausgegangen werden:
$${\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) = {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_1) = 0.5\hspace{0.05cm}.$$



Fragebogen

1

Welche Voraussetzungen müssen unbedingt  (auf jeden Fall)  erfüllt sein,  damit die angegebene Fehlerwahrscheinlichkeitsgleichung gilt?

Additives weißes Gaußsches Rauschen mit Varianz  $\sigma_n^2$.
Optimaler Binärempfänger.
Entscheidungsgrenze in der Mitte zwischen den Symbolen.
Gleischwahrscheinliche Symbole  $s_0$  und  $s_1$.

2

Welche Aussage gilt für die Fehlerwahrscheinlichkeit mit  $\sigma_n^2 = E$?

Die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit tritt bei Variante  $\rm A$  auf.
Die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit tritt bei Variante  $\rm B$  auf.
Die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit tritt bei Variante  $\rm C$  auf.
Alle Varianten zeigen gleiches Fehlerverhalten.

3

Geben Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit für die Variante  $\rm A$  mit  $\sigma_n^2 = E$  an.  Sie können  ${\rm Q}(x)$  entsprechend der Näherung berechnen.

$p_{\rm S} \ = \ $

$\ \%$

4

Es gelte   $N_0 = 2 \cdot 10^{\rm –6} \ {\rm W/Hz}$,  $E_{\rm S} = 6.25 \cdot 10^{\rm –6} \ \rm Ws$.  Welche Wahrscheinlichkeit ergibt sich für die Variante  $\rm C$  bei gleichwahrscheinlichen Symbolen?

$p_{\rm S} \ = \ $

$\ \%$

5

Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich bei gleichen Voraussetzungen für die Variante  $\rm B$?

$p_{\rm S} \ = \ $

$\ \%$

6

Wie groß ist bei der Variante  $\rm A$  die mittlere Energie pro Symbol  $(E_{\rm S})$  zu wählen,  um die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie bei System  $\rm C$  zu erhalten?

$E_{\rm S} \ = \ $

$\ \cdot 10^{\rm –6} \ \rm Ws$


Musterlösung

(1)  Die  drei erstgenannten Voraussetzungen  müssen auf jeden Fall erfüllt sein:

  • Die Gleichung gilt dann unabhängig von den Auftrittswahrscheinlichkeiten.
  • Im Fall  ${\rm Pr}(\boldsymbol{s} = \boldsymbol{s}_0) ≠ {\rm Pr}(\boldsymbol{s} = \boldsymbol{s}_1)$  kann durch eine Verschiebung der Entscheiderschwelle eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden.


(2)  Der Rauscheffektivwert  $\sigma_n$  und damit auch die Signalenergie  $E = \sigma_n^2$  sind für alle drei betrachteten Varianten gleich.  Gleiches gilt für die Distanz der Signalraumpunkte.  Für die Variante  $\rm A$  gilt zum Beispiel:

$$d = \sqrt{ || \boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0||^2} = \sqrt{ E \cdot (4-1)^2 + E \cdot (1-5)^2} = 5 \cdot \sqrt{E}\hspace{0.05cm}.$$
  • Durch die Verschiebung des Koordinatensystems ändert sich am Absand zwischen  $\boldsymbol{s}_0$  und  $\boldsymbol{s}_1$  nichts  (Variante  $\rm B$),  und auch bei Variante  $\rm C$  (nach Drehung) ergibt sich der gleiche Abstand.
  • Richtig ist also der  Lösungsvorschlag 4.  Kommentar:
  1. Durch eine Drehung des Koordinatensystems kann man bei einem Binärsystem  $(M = 2)$  stets mit einer Basisfunktion  $(N = 1)$  auskommen.
  2. Da das zweidimensionale Rauschen zirkulär symmetrisch ist   ⇒   gleiche Streuung $\sigma_n$ in alle Richtungen,  kann auch der Rauschterm wie im Kapitel  "Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung" eindimensional beschrieben werden.


(3)  Für alle hier betrachteten Varianten gilt,  also auch für die Variante  $\rm A$:

$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right )= {\rm Q} \left ( \frac{5/2 \cdot \sqrt{E}}{\sigma_n} \right ) = {\rm Q}(2.5)\hspace{0.05cm}.$$
  • Mit der angegebenen Näherung erhält man
$$p_{\rm S} = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot 2.5} \cdot {\rm e}^{-2.5^2/2} \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.7 \%}\hspace{0.05cm}.$$


(4)  Bei der Variante  $\rm C$  ergibt sich für die mittlere Energie pro Symbol:

$$E_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) \cdot (-2.5 \cdot \sqrt{E})^2 + {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_1) \cdot (+ 2.5 \cdot \sqrt{E})^2 = \left [ {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) + {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) \right ] \cdot 6.25 \cdot E = 6.25 \cdot E$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} E = \frac {E_{\rm S}}{6.25} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \sqrt{E}= \frac {\sqrt{E_{\rm S}}}{2.5} \hspace{0.05cm}.$$
  • Setzt man dieses Ergebnis in die unter  (3)  gefundene Gleichung ein,  so erhält man mit  $\sigma_n^2 = N_0/2$:
$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Q} \left ( \frac{2.5 \cdot \sqrt{E}}{\sigma_n} \right )= {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{E_{\rm S}}}{\sigma_n} \right ) = {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{2 \cdot E_{\rm S}}}{N_0} \right ) ={\rm Q} \left ( \sqrt{\frac{ 2 \cdot 6.25 \cdot 10^{-6}\,{\rm Ws}}{2 \cdot 10^{-6}\,{\rm W/Hz}}} \right ) ={\rm Q}(2.5) \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.7 \%}\hspace{0.05cm}. $$


(5)  Durch Drehung des Koordinatensystems ändert sich nichts an den Energieverhältnissen.  Deshalb erhält man wieder  $p_{\rm S} \ \underline {\approx 0.7\%}$.


(6)  Bei der Variante  $\rm A$  ist die mittlere Energie pro Symbol

$$E_{\rm S} = {1}/{2} \cdot \left [ (1^2 + 5^2) \cdot E + (4^2 + 1^2) \cdot E \right ] = 21.5 \cdot E \hspace{0.05cm}. $$
  • Der Abstand von der Schwelle,  die bei gleichwahrscheinlichen Symbolen in der Mitte zwischen  $\boldsymbol{s}_0$  und  $\boldsymbol{s}_1$  liegen sollte,  ist wie bei den anderen Varianten  $d/2 = 2.5 \cdot E^{\rm 1/2}$.  Mit  $\sigma_n^2 = N_0/2$  erhält man somit die Bestimmungsgleichung:
$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left ( \frac{ 2.5 \cdot \sqrt{E}}{\sqrt{N_0/2}} \right ) ={\rm Q}(2.5)\approx 0.7 \cdot 10^{-2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \sqrt{\frac {2E}{N_0}} = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac {E}{N_0} = 0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac {E_{\rm S}}{21.5 \cdot N_0} = 0.5$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {E_{\rm S}} = 0.5 \cdot {21.5 \cdot N_0} \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline { = 21.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm Ws}}\hspace{0.05cm}.$$
  • Das bedeutet:  Bei der Variante  $\rm A$  ist gegenüber den beiden anderen Symbolen eine um den Faktor  $3.44$  größere mittlere Symbolenergie  $E_{\rm S}$  erforderlich,  um die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S} = 0.7%$  zu erzielen.  Kommentar:
  1. Diese Signalraumkonstellation ist sehr ungünstig.  Es ergibt sich ein sehr großes  $E_{\rm S}$,  ohne dass gleichzeitig der Abstand  $d$  vergrößert wird.
  2. Mit  $E_{\rm S} = 6.25 \cdot 10^{\rm –6} \ \rm Ws$  würde sich dagegen  $p_{\rm S} = {\rm Q}(2.5/3.44^{\rm 1/2}) \approx {\rm Q}(1.35) \approx 9\%$  ergeben.
  3. Das heißt:   Die Fehlerwahrscheinlichkeit würde um mehr als eine Zehnerpotenz größer.