Aufgaben:Aufgabe 3.9Z: Sinustransformation: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID137__Sto_Z_3_9.png|right|]]
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[[Datei:P_ID137__Sto_Z_3_9.png|right|frame|Eingangs–WDF und Kennlinie]]
:Wir betrachten in dieser Aufgabe eine Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>x</i> mit sin<sup>2</sup>-f&ouml;rmiger WDF im Bereich zwischen 0 und 2 (au&szlig;erhalb ist die WDF identisch 0):
+
Wir betrachten in dieser Aufgabe eine Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; mit&nbsp; sinus&ndash;quadrat&ndash;f&ouml;rmiger WDF im Bereich zwischen&nbsp; $x= 0$&nbsp; und&nbsp; $x= 2$:
:$$\it f_x(x)= \rm sin^2(\frac{\rm\pi}{\rm 2}\cdot \it x) \hspace{1cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}{\rm 0\le \it x \le \rm 2} .$$
+
:$$f_x(x)= \sin^2({\rm\pi}/{\rm 2}\cdot x) \hspace{1cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}{\rm 0\le \it x \le \rm 2} .$$
  
:Mittelwert und Streuung dieser Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>x</i> wurden bereits in der Aufgabe A3.3 ermittelt:
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Au&szlig;erhalb ist die WDF identisch Null.
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Der Mittelwert und die Streuung dieser Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; wurden bereits in der&nbsp; [[Aufgaben:3.3_Momente_bei_cos²-WDF|Aufgabe 3.3]]&nbsp; ermittelt:
 
:$$m_x = 1,\hspace{0.2cm}\sigma_x = 0.361.$$
 
:$$m_x = 1,\hspace{0.2cm}\sigma_x = 0.361.$$
  
:Eine weitere Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>y</i> erh&auml;lt man durch Transformation mittels der nichtlinearen Kennlinie
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Eine weitere Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; erh&auml;lt man durch Transformation mittels der nichtlinearen Kennlinie
:$$y= g(x) =\rm sin(\frac{\rm\pi}{\rm 2}\cdot\it x).$$
+
:$$y= g(x) =\sin({\rm\pi}/{\rm 2}\cdot x).$$
  
:Die Abbildung zeigt oben die WDF <i>f<sub>x</sub></i>(<i>x</i>) und unten die nichtlineare Kennlinie <i>y</i> = <i>g</i>(<i>x</i>) im Bereich 0 &#8804; <i>x</i> &#8804; 2.
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Die Abbildung zeigt jeweils im Bereich&nbsp; $0 \le x \le 2$:
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*oben die WDF&nbsp; $f_x(x)$,
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*unten die nichtlineare Kennlinie&nbsp; $y = g(x)$.
  
:<b>Hinweis</b>: Die Aufgabe basiert auf den theoretischen Grundlagen von Kapitel 3.3 und bezieht sich auch auf Kapitel3.6, Seite 2.
 
  
:Vorgegeben sind die beiden unbestimmten Integrale:
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:$$\int \rm sin^{\rm 3}(\it ax)\,{\rm d}x = \frac{\rm 1}{\rm 3\it a}\rm \cdot cos^{\rm 3}(\it ax)-\frac{\rm 1}{\it a}\cdot \rm cos(\it ax),$$
+
 
:$$\int \rm sin^{\rm 4}(\it ax)\,{\rm d}x =\frac{\rm 3}{\rm 8}\cdot \it x-\frac{\rm 1}{\rm 4\it a}\rm \cdot sin(\rm 2\it ax)+\frac{\rm 1}{\rm 32\it a}\cdot \rm sin(\rm 4\it ax).$$
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Hinweise:  
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen|Exponentialverteilte Zufallsgrößen]].
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*Besonderer Bezug genommen wird auf die Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|"Transformation von Zufallsgrößen"]]&nbsp; und auf das Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente|"Erwartungswerte und Momente"]].
 +
*Vorgegeben sind die beiden unbestimmten Integrale:
 +
:$$\int \sin^{\rm 3}( ax)\,{\rm d}x = \frac{\rm 1}{ 3 a} \cdot \cos^{\rm 3}( ax)-\frac{\rm 1}{ a}\cdot \cos(ax),$$
 +
:$$\int \sin^{\rm 4}(ax)\,{\rm d}x =\frac{\rm 3}{\rm 8}\cdot x-\frac{\rm 1}{\rm 4 a} \cdot \sin(2 ax)+\frac{\rm 1}{32 a}\cdot \sin(4 ax).$$
 
   
 
   
  
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{Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?
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{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 
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- <i>y</i> ist auf den Wertbereich 0 &#8804; <i>y</i> &#8804; 1 begrenzt.
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- $y$&nbsp; ist auf den Wertbereich&nbsp; $0 \le y \le 1$&nbsp; begrenzt.
+ <i>y</i> ist auf den Wertbereich 0 < <i>y</i> &#8804; 1 begrenzt.
+
+ $y$&nbsp; ist auf den Wertbereich&nbsp; $0 < y \le 1$&nbsp; begrenzt.
+ Der Mittelwert <i>m<sub>y</sub></i> ist kleiner als der Mittelwert <i>m<sub>x</sub></i>.
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+ Der Mittelwert&nbsp; $m_y$&nbsp; ist kleiner als der Mittelwert&nbsp; $m_x$.
  
  
{Berechnen Sie den Mittelwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>y</i>.  
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{Berechnen Sie den Mittelwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$.  
 
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$m_y$ = { 0.849 3% }
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$m_y \ = \ $ { 0.849 3% }
  
  
{Berechnen Sie den quadratischen Mittelwert von <i>y</i> und die Streuung.
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{Berechnen Sie den quadratischen Mittelwert von&nbsp; $y$&nbsp; und die Streuung&nbsp;$\sigma_y$ .
 
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$\sigma_y$ = { 0.172 3% }
+
$\sigma_y \ = \ $ { 0.172 3% }
  
  
{Berechnen Sie die WDF <i>f<sub>y</sub></i>(<i>y</i>). <i>Hinweis</i>: Symmetrieeigenschaften beachten. Welcher WDF&ndash;Wert ergibt sich f&uuml;r <i>y</i> = 0.6?
+
{Berechnen Sie die WDF $f_y(y)$.&nbsp; Beachten Sie die Symmetrieeigenschaften.&nbsp; Welcher WDF&ndash;Wert ergibt sich f&uuml;r&nbsp; $y = 0.6$&nbsp;?
 
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$f_y(y=0.6)$ = { 0.573 3% }
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$f_y(y=0.6) \ = \ $ { 0.573 3% }
  
  
{Welcher WDF-Wert ergibt sich f&uuml;r <i>y</i> = 1? Interpretieren Sie das Ergebnis. Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass  <i>y</i> exakt gleich 1 ist?
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{Welcher WDF-Wert ergibt sich f&uuml;r&nbsp; $y = 1$?&nbsp; Interpretieren Sie das Ergebnis.&nbsp; Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $y$&nbsp; exakt gleich&nbsp; $1$&nbsp; ist?
 
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$Pr(y=1)$ = { 0 3% }
+
${\rm Pr}(y=1) \ = \ $ { 0. }
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Aufgrund des Wertebereichs von <i>x</i> und der gegebenen Kennlinie kann <i>y</i> keine Werte kleiner als 0 bzw. größer als 1 annehmen. Der Wert <i>y</i> = 0 kann ebenfalls nicht auftreten, da weder <i>x</i> = 0 noch <i>x</i> = 2 m&ouml;glich sind. Mit diesen Eigenschaften ergibt sich sicher <i>m<sub>y</sub></i> < 1, also ein kleinerer Wert als f&uuml;r <i>m<sub>x</sub></i>. Richtig sind also <u>der zweite und der dritte Lösungsvorschlag</u>.
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'''(1)'''&nbsp; Richtig sind&nbsp; <u>der zweite und der dritte Lösungsvorschlag</u>:
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*Aufgrund des Wertebereichs von&nbsp; $x$&nbsp; und der gegebenen Kennlinie kann&nbsp; $y$&nbsp; keine Werte kleiner als&nbsp; $0$&nbsp; bzw. größer als&nbsp; $1$&nbsp; annehmen.  
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*Der Wert&nbsp; $y = 0$&nbsp; kann allerdings ebenfalls nicht auftreten,&nbsp; da weder&nbsp; $x = 0$&nbsp; noch&nbsp; $x = 2$&nbsp; m&ouml;glich sind.  
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*Mit diesen Eigenschaften ergibt sich sicher &nbsp;$m_y < 1$, also ein kleinerer Wert als &nbsp;$m_x = 1$ &nbsp; (siehe Angabe).  
  
:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Zur L&ouml;sung dieser Aufgabe k&ouml;nnte man beispielsweise zun&auml;chst die WDF <i>f<sub>y</sub></i>(<i>y</i>) bestimmen und daraus in gewohnter Weise <i>m<sub>y</sub></i> berechnen. Zum gleichen Ergebnis führt der direkte Weg:
 
:$$\it m_y=E[y]=E[g(x)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)\cdot f_x(x)\,{\rm d}x.$$
 
  
:Mit den aktuellen Funktionen <i>g</i>(<i>x</i>) und <i>f<sub>x</sub></i>(<i>x</i>) erh&auml;lt man:
 
:$$\it m_y=\int_{\rm 0}^{\rm 2}\hspace{-0.1cm}\rm sin^{\rm 3}(\frac{\rm\pi}{\rm 2}\cdot \it x)\,{\rm d}x=\frac{\rm 2}{\rm 3\cdot \pi}\cdot \rm cos^{\rm 3}(\frac{\rm \pi}{\rm 2}\cdot \it x)-\frac{\rm 2}{\rm \pi}\rm \cdot cos(\frac{3 \cdot \rm \pi}{\rm 2}\cdot \it x)\Big|_{\rm 0}^{\rm 2}=\frac{\rm 8}{\rm 3\cdot \pi} \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.849}.$$
 
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;In Analogie zu Punkt 2. gilt:
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'''(2)'''&nbsp; Zur L&ouml;sung dieser Aufgabe k&ouml;nnte man beispielsweise zun&auml;chst die WDF&nbsp; $f_y(y)$&nbsp; bestimmen und daraus in gewohnter Weise &nbsp;$m_y$&nbsp; berechnen.  
:$$\it m_{\rm 2\it y}=\it E[y^{\rm 2}]=\it E[g^{\rm 2}(\it x)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.35cm}g^{\rm 2}(\it x)\cdot\it f_x(x)\,{\rm d}x.$$
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*Zum gleichen Ergebnis führt der direkte Weg:
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:$$m_y={\rm E}\big[y\big]={\rm E}\big[g(x)\big]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)\cdot f_x(x)\,{\rm d}x.$$
  
:Dies f&uuml;hrt zum Ergebnis:
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*Mit den aktuellen Funktionen&nbsp; $g(x)$&nbsp;  und&nbsp; $f_x(x)$&nbsp; erh&auml;lt man:
:$$\it m_{\rm 2\it y}=\int_{\rm 0}^{\rm 2}\hspace{-0.15cm}\rm sin^{\rm 4}(\frac{\rm \pi}{\rm 2}\cdot\it x)\,{\rm d} x= \frac{\rm 3}{\rm 8}\cdot\it x-\frac{\rm 1}{\rm 2\cdot\pi}\cdot \rm sin(\rm \pi\cdot\it x)+\frac{\rm 1}{\rm 16\cdot\pi}\cdot \rm sin(\rm 2\cdot \pi\cdot\it x)\Big|_{\rm 0}^{\rm 2} \hspace{0.15cm}{= \rm  
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:$$m_y=\int_{\rm 0}^{\rm 2}\hspace{-0.1cm}\sin^{\rm 3}({\pi}/{ 2}\cdot  x)\,{\rm d}x=\frac{\rm 2}{\rm 3\cdot \pi}\cdot \cos^{\rm 3}({\pi}/{ 2}\cdot  x)-\frac{\rm 2}{\rm \pi} \cdot \cos({3 \rm \pi}/{\rm 2}\cdot x)\Big|_{\rm 0}^{\rm 2}=\frac{\rm 8}{\rm 3\cdot \pi} \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.849}.$$
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'''(3)'''&nbsp; In Analogie zu Punkt&nbsp; '''(2)'''&nbsp; gilt:
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:$$m_{2 y}={\rm E}[y^{\rm 2}]={\rm E}[g^{\rm 2}( x)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.35cm}g^{2}( x)\cdot  f_x(x)\,{\rm d}x.$$
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*Dies f&uuml;hrt zum Ergebnis:
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:$$ m_{ 2 y}=\int_{\rm 0}^{\rm 2}\hspace{-0.15cm}\sin^{\rm 4}({\rm \pi}/{\rm 2}\cdot x)\,{\rm d} x= \frac{\rm 3}{\rm 8}\cdot x-\frac{\rm 1}{\rm 2\cdot\pi}\cdot \sin(\rm \pi\cdot{\it x})+\frac{\rm 1}{\rm 16\cdot\pi}\cdot \sin(\rm 2 \pi\cdot {\it x})\Big|_{\rm 0}^{\rm 2} \hspace{0.15cm}{= \rm  
 
0.75}.$$
 
0.75}.$$
  
:Mit dem Ergebnis aus 2. folgt somit f&uuml;r die Streuung:
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*Mit dem Ergebnis aus&nbsp; '''(2)'''&nbsp; folgt somit f&uuml;r die Streuung:
:$$\it \sigma_{y}=\sqrt{\frac{\rm 3}{\rm 4}-\Big(\frac{\rm 8}{\rm 3\cdot\pi}\Big)^{\rm 2}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.172}.$$
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:$$ \sigma_{y}=\sqrt{\frac{\rm 3}{\rm 4}-\Big(\frac{\rm 8}{\rm 3\cdot\pi}\Big)^{\rm 2}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.172}.$$
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'''(4)'''&nbsp; Aufgrund der Symmetrie von WDF&nbsp; $f_x(x)$&nbsp; und Kennlinie&nbsp; $y =g(x)$&nbsp; um&nbsp; $x = 1$&nbsp; liefern die beiden Bereiche
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*$0 \le x \le 1$&nbsp; und
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*$1 \le x \le 2$
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jeweils den gleichen Beitrag f&uuml;r $f_y(y)$.
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*Im ersten Bereich ist die Ableitung der Kennlinie positiv:&nbsp; $g\hspace{0.05cm}'(x)={\rm \pi}/{\rm 2}\cdot \cos({\rm \pi}/{\rm  2}\cdot x).$
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*Die Umkehrfunktion lautet:&nbsp; $ x=h(y)={\rm 2}/{\rm \pi}\cdot \arcsin( y).$
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*Unter Berücksichtigung des zweiten Beitrags durch den Faktor&nbsp; $2$&nbsp; erh&auml;lt man f&uuml;r die gesuchte WDF im Bereich&nbsp; $0 \le y \le 1$:
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:$$f_y(y)= 2\cdot\frac{\sin^{ 2}({ \pi}/{ 2}\cdot x)}{{ \pi}/{ 2}\cdot \cos({ \pi}/{ 2}\cdot x)}\Big|_{\,  x={ 2}/{ \pi}\cdot \arcsin( y)}.$$
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[[Datei:P_ID138__Sto_Z_3_9_e_neu.png|right|frame|"Ausgangs"&ndash;WDF]]
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*Au&szlig;erhalb ist  $f_y(y) \equiv 0$. Dies f&uuml;hrt zum Zwischenergebnis
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:$$f_y(y)=\frac{4}{\pi}\cdot \frac{\sin^{2}(\arcsin( y ))}{\sqrt{\rm 1-\sin^{ 2}(\arcsin( y \rm ))}}.$$
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*Und wegen&nbsp; $\sin\big (\arcsin(y)\big) = y$:
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:$$f_y(y)=\frac{ 4}{\pi}\cdot \frac{ y^{2}}{\sqrt{1- y^{\rm 2}}}.$$
  
:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Aufgrund der Symmetrie von WDF <i>f<sub>x</sub></i>(<i>x</i>) und Kennlinie <i>y</i> = <i>g</i>(<i>x</i>) um <i>x</i> = 1 liefern die beiden Bereiche &bdquo;0 &#8804; <i>x</i> &#8804; 1&rdquo; und &bdquo;1 &#8804; <i>x</i> &#8804; 2&rdquo; jeweils den gleichen Beitrag f&uuml;r <i>f<sub>y</sub></i>(<i>y</i>). Im ersten Bereich ist die Ableitung der Kennlinie positiv,
+
*An der Stelle&nbsp; $y = 0.6$&nbsp; erh&auml;lt man den Wert&nbsp; $f_y(y= 0.6)\hspace{0.15cm}\underline{=0.573}$.
[[Datei:P_ID138__Sto_Z_3_9_e_neu.png|right|]]
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*Rechts ist diese WDF&nbsp; $f_y(y)$&nbsp; grafisch dargestellt.
:$$\it g'(x)={\rm \pi}/{\rm 2}\cdot \rm cos({\rm \pi}/{\rm  2}\cdot\it x),$$
 
  
:und die Umkehrfunktion lautet:
 
:$$\it x=h(y)={\rm 2}/{\rm \pi}\cdot \rm arcsin(\it y).$$
 
  
:Unter Berücksichtigung des zweiten Beitrags durch den Faktor 2 erh&auml;lt man f&uuml;r die gesuchte WDF im Bereich &bdquo;0 &#8804; <i>y</i> &#8804; 1&rdquo; (au&szlig;erhalb ist  <i>f<sub>y</sub></i>(<i>y</i>) = 0):
 
:$$f_y(y)=\rm 2\cdot\frac{sin^{\rm 2}({\rm \pi}/{\rm 2}\cdot\it x)}{{\rm \pi}/{\rm 2}\cdot cos({\rm \pi}/{\rm 2}\cdot\it x)}\Big|_{\, \it x={\rm 2}/{\rm \pi}\cdot \rm arcsin(\it y)}.$$
 
  
:Dies f&uuml;hrt zum Zwischenergebnis:
 
:$$f_y(y)=\frac{\rm 4}{\rm \pi}\cdot \frac{\rm sin^{\rm 2}(\rm arcsin(\it y))}{\sqrt{\rm 1-sin^{\rm 2}(\rm arcsin(\it y))}}.$$
 
  
:Wegen sin(arcsin(<i>y</i>)) = <i>y</i> erh&auml;lt man schlie&szlig;lich:
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'''(5)'''&nbsp; Die WDF ist an der Stelle&nbsp; $y = 1$&nbsp; unendlich gro&szlig;.
:$$f_y(y)=\frac{\rm 4}{\rm \pi}\cdot \frac{\it y^{\rm 2}}{\sqrt{\rm 1-\it y^{\rm 2}}}.$$
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*Dies h&auml;ngt damit zusammen,&nbsp; dass an dieser Stelle die Ableitung&nbsp; $g\hspace{0.05cm}'(x)$&nbsp; der Kennlinie horizontal verl&auml;uft.
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* Da aber&nbsp; $y$&nbsp; eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e ist,&nbsp; gilt trotzdem&nbsp; ${\rm Pr}(y = 1) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}$.  
  
:An der Stelle <i>y</i> = 0.6 erh&auml;lt man den Wert <u>0.573</u>. Rechts ist die WDF <i>f<sub>y</sub></i>(<i>y</i>) grafisch dargestellt.
 
  
:<b>5.</b>&nbsp;&nbsp;Die WDF ist an der Stelle <i>y</i> = 1 unendlich gro&szlig;. Dies h&auml;ngt damit zusammen, dass an dieser Stelle die Ableitung <i>g</i>'(<i>x</i>) der Kennlinie horizontal verl&auml;uft. Da aber <i>y</i> eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e ist, gilt trotzdem Pr(<i>y</i> = 1) = 0. Das bedeutet: Eine Unendlichkeitsstelle in der WDF ist nicht identisch mit einer Diracfunktion.
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Das bedeutet:  
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*Eine Unendlichkeitsstelle in der WDF ist nicht identisch mit einer Diracfunktion.
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*Oder salopper ausgedrückt: &nbsp; Eine Unendlichkeitsstelle in der WDF ist&nbsp; &bdquo;weniger&rdquo;&nbsp; als  eine Diracfunktion.
 
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Aktuelle Version vom 2. Februar 2022, 18:07 Uhr

Eingangs–WDF und Kennlinie

Wir betrachten in dieser Aufgabe eine Zufallsgröße  $x$  mit  sinus–quadrat–förmiger WDF im Bereich zwischen  $x= 0$  und  $x= 2$:

$$f_x(x)= \sin^2({\rm\pi}/{\rm 2}\cdot x) \hspace{1cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}{\rm 0\le \it x \le \rm 2} .$$

Außerhalb ist die WDF identisch Null.

Der Mittelwert und die Streuung dieser Zufallsgröße  $x$  wurden bereits in der  Aufgabe 3.3  ermittelt:

$$m_x = 1,\hspace{0.2cm}\sigma_x = 0.361.$$

Eine weitere Zufallsgröße  $y$  erhält man durch Transformation mittels der nichtlinearen Kennlinie

$$y= g(x) =\sin({\rm\pi}/{\rm 2}\cdot x).$$

Die Abbildung zeigt jeweils im Bereich  $0 \le x \le 2$:

  • oben die WDF  $f_x(x)$,
  • unten die nichtlineare Kennlinie  $y = g(x)$.




Hinweise:

$$\int \sin^{\rm 3}( ax)\,{\rm d}x = \frac{\rm 1}{ 3 a} \cdot \cos^{\rm 3}( ax)-\frac{\rm 1}{ a}\cdot \cos(ax),$$
$$\int \sin^{\rm 4}(ax)\,{\rm d}x =\frac{\rm 3}{\rm 8}\cdot x-\frac{\rm 1}{\rm 4 a} \cdot \sin(2 ax)+\frac{\rm 1}{32 a}\cdot \sin(4 ax).$$


Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

$y$  ist auf den Wertbereich  $0 \le y \le 1$  begrenzt.
$y$  ist auf den Wertbereich  $0 < y \le 1$  begrenzt.
Der Mittelwert  $m_y$  ist kleiner als der Mittelwert  $m_x$.

2

Berechnen Sie den Mittelwert der Zufallsgröße  $y$.

$m_y \ = \ $

3

Berechnen Sie den quadratischen Mittelwert von  $y$  und die Streuung $\sigma_y$ .

$\sigma_y \ = \ $

4

Berechnen Sie die WDF $f_y(y)$.  Beachten Sie die Symmetrieeigenschaften.  Welcher WDF–Wert ergibt sich für  $y = 0.6$ ?

$f_y(y=0.6) \ = \ $

5

Welcher WDF-Wert ergibt sich für  $y = 1$?  Interpretieren Sie das Ergebnis.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $y$  exakt gleich  $1$  ist?

${\rm Pr}(y=1) \ = \ $


Musterlösung

(1)  Richtig sind  der zweite und der dritte Lösungsvorschlag:

  • Aufgrund des Wertebereichs von  $x$  und der gegebenen Kennlinie kann  $y$  keine Werte kleiner als  $0$  bzw. größer als  $1$  annehmen.
  • Der Wert  $y = 0$  kann allerdings ebenfalls nicht auftreten,  da weder  $x = 0$  noch  $x = 2$  möglich sind.
  • Mit diesen Eigenschaften ergibt sich sicher  $m_y < 1$, also ein kleinerer Wert als  $m_x = 1$   (siehe Angabe).


(2)  Zur Lösung dieser Aufgabe könnte man beispielsweise zunächst die WDF  $f_y(y)$  bestimmen und daraus in gewohnter Weise  $m_y$  berechnen.

  • Zum gleichen Ergebnis führt der direkte Weg:
$$m_y={\rm E}\big[y\big]={\rm E}\big[g(x)\big]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)\cdot f_x(x)\,{\rm d}x.$$
  • Mit den aktuellen Funktionen  $g(x)$  und  $f_x(x)$  erhält man:
$$m_y=\int_{\rm 0}^{\rm 2}\hspace{-0.1cm}\sin^{\rm 3}({\pi}/{ 2}\cdot x)\,{\rm d}x=\frac{\rm 2}{\rm 3\cdot \pi}\cdot \cos^{\rm 3}({\pi}/{ 2}\cdot x)-\frac{\rm 2}{\rm \pi} \cdot \cos({3 \rm \pi}/{\rm 2}\cdot x)\Big|_{\rm 0}^{\rm 2}=\frac{\rm 8}{\rm 3\cdot \pi} \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.849}.$$


(3)  In Analogie zu Punkt  (2)  gilt:

$$m_{2 y}={\rm E}[y^{\rm 2}]={\rm E}[g^{\rm 2}( x)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.35cm}g^{2}( x)\cdot f_x(x)\,{\rm d}x.$$
  • Dies führt zum Ergebnis:
$$ m_{ 2 y}=\int_{\rm 0}^{\rm 2}\hspace{-0.15cm}\sin^{\rm 4}({\rm \pi}/{\rm 2}\cdot x)\,{\rm d} x= \frac{\rm 3}{\rm 8}\cdot x-\frac{\rm 1}{\rm 2\cdot\pi}\cdot \sin(\rm \pi\cdot{\it x})+\frac{\rm 1}{\rm 16\cdot\pi}\cdot \sin(\rm 2 \pi\cdot {\it x})\Big|_{\rm 0}^{\rm 2} \hspace{0.15cm}{= \rm 0.75}.$$
  • Mit dem Ergebnis aus  (2)  folgt somit für die Streuung:
$$ \sigma_{y}=\sqrt{\frac{\rm 3}{\rm 4}-\Big(\frac{\rm 8}{\rm 3\cdot\pi}\Big)^{\rm 2}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.172}.$$


(4)  Aufgrund der Symmetrie von WDF  $f_x(x)$  und Kennlinie  $y =g(x)$  um  $x = 1$  liefern die beiden Bereiche

  • $0 \le x \le 1$  und
  • $1 \le x \le 2$


jeweils den gleichen Beitrag für $f_y(y)$.

  • Im ersten Bereich ist die Ableitung der Kennlinie positiv:  $g\hspace{0.05cm}'(x)={\rm \pi}/{\rm 2}\cdot \cos({\rm \pi}/{\rm 2}\cdot x).$
  • Die Umkehrfunktion lautet:  $ x=h(y)={\rm 2}/{\rm \pi}\cdot \arcsin( y).$
  • Unter Berücksichtigung des zweiten Beitrags durch den Faktor  $2$  erhält man für die gesuchte WDF im Bereich  $0 \le y \le 1$:
$$f_y(y)= 2\cdot\frac{\sin^{ 2}({ \pi}/{ 2}\cdot x)}{{ \pi}/{ 2}\cdot \cos({ \pi}/{ 2}\cdot x)}\Big|_{\, x={ 2}/{ \pi}\cdot \arcsin( y)}.$$
"Ausgangs"–WDF
  • Außerhalb ist $f_y(y) \equiv 0$. Dies führt zum Zwischenergebnis
$$f_y(y)=\frac{4}{\pi}\cdot \frac{\sin^{2}(\arcsin( y ))}{\sqrt{\rm 1-\sin^{ 2}(\arcsin( y \rm ))}}.$$
  • Und wegen  $\sin\big (\arcsin(y)\big) = y$:
$$f_y(y)=\frac{ 4}{\pi}\cdot \frac{ y^{2}}{\sqrt{1- y^{\rm 2}}}.$$
  • An der Stelle  $y = 0.6$  erhält man den Wert  $f_y(y= 0.6)\hspace{0.15cm}\underline{=0.573}$.
  • Rechts ist diese WDF  $f_y(y)$  grafisch dargestellt.



(5)  Die WDF ist an der Stelle  $y = 1$  unendlich groß.

  • Dies hängt damit zusammen,  dass an dieser Stelle die Ableitung  $g\hspace{0.05cm}'(x)$  der Kennlinie horizontal verläuft.
  • Da aber  $y$  eine kontinuierliche Zufallsgröße ist,  gilt trotzdem  ${\rm Pr}(y = 1) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}$.


Das bedeutet:

  • Eine Unendlichkeitsstelle in der WDF ist nicht identisch mit einer Diracfunktion.
  • Oder salopper ausgedrückt:   Eine Unendlichkeitsstelle in der WDF ist  „weniger”  als eine Diracfunktion.