Aufgaben:Aufgabe 3.9Z: Sinustransformation: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID137__Sto_Z_3_9.png|right|Sinustransformation]]
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[[Datei:P_ID137__Sto_Z_3_9.png|right|frame|Eingangs–WDF und Kennlinie]]
Wir betrachten in dieser Aufgabe eine Zufallsgröße $x$ mit $\sin^2$–förmiger WDF im Bereich zwischen $x= 0$ und $x= 2$ (außerhalb ist die WDF identisch $0$):
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Wir betrachten in dieser Aufgabe eine Zufallsgröße  $x$  mit  sinus–quadrat–förmiger WDF im Bereich zwischen  $x= 0$  und  $x= 2$:
$$f_x(x)= \sin^2({\rm\pi}/{\rm 2}\cdot  x) \hspace{1cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}{\rm 0\le \it x \le \rm 2} .$$
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:$$f_x(x)= \sin^2({\rm\pi}/{\rm 2}\cdot  x) \hspace{1cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}{\rm 0\le \it x \le \rm 2} .$$
  
Der Mittelwert und die Streuung dieser Zufallsgröße $x$ wurden bereits in der [[Aufgaben:3.3_Momente_bei_cos²-WDF|Aufgabe 3.3]] ermittelt:
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Außerhalb ist die WDF identisch Null.
$$m_x = 1,\hspace{0.2cm}\sigma_x = 0.361.$$
 
  
Eine weitere Zufallsgröße $y$ erhält man durch Transformation mittels der nichtlinearen Kennlinie
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Der Mittelwert und die Streuung dieser Zufallsgröße  $x$  wurden bereits in der  [[Aufgaben:3.3_Momente_bei_cos²-WDF|Aufgabe 3.3]]  ermittelt:
$$y= g(x) =\sin({\rm\pi}{\rm 2}\cdot  x).$$
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:$$m_x = 1,\hspace{0.2cm}\sigma_x = 0.361.$$
  
Die Abbildung zeigt jeweils im Bereich $0 \le x \le 2$:
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Eine weitere Zufallsgröße  $y$  erhält man durch Transformation mittels der nichtlinearen Kennlinie
*oben die WDF <i>f<sub>x</sub></i>(<i>x</i>),
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:$$y= g(x) =\sin({\rm\pi}/{\rm 2}\cdot  x).$$
*unten die nichtlineare Kennlinie $y = g(x)$.
 
  
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Die Abbildung zeigt jeweils im Bereich&nbsp; $0 \le x \le 2$:
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*oben die WDF&nbsp; $f_x(x)$,
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*unten die nichtlineare Kennlinie&nbsp; $y = g(x)$.
  
  
''Hinweise:''
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen|Exponentialverteilte Zufallsgröße]].
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*Besonderer Bezug genommen wird auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transformation von Zufallsgrößen]] und auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente|Erwartungswerte und Momente]].
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*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
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Hinweise:  
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen|Exponentialverteilte Zufallsgrößen]].
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*Besonderer Bezug genommen wird auf die Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|"Transformation von Zufallsgrößen"]]&nbsp; und auf das Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente|"Erwartungswerte und Momente"]].  
 
*Vorgegeben sind die beiden unbestimmten Integrale:
 
*Vorgegeben sind die beiden unbestimmten Integrale:
 
:$$\int \sin^{\rm 3}( ax)\,{\rm d}x = \frac{\rm 1}{ 3 a} \cdot \cos^{\rm 3}( ax)-\frac{\rm 1}{ a}\cdot \cos(ax),$$
 
:$$\int \sin^{\rm 3}( ax)\,{\rm d}x = \frac{\rm 1}{ 3 a} \cdot \cos^{\rm 3}( ax)-\frac{\rm 1}{ a}\cdot \cos(ax),$$
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{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 
{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 
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- $y$ ist auf den Wertbereich $0 \le y \le 1$ begrenzt.
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- $y$&nbsp; ist auf den Wertbereich&nbsp; $0 \le y \le 1$&nbsp; begrenzt.
+ $y$ ist auf den Wertbereich $0 < y \le 1$ begrenzt.
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+ $y$&nbsp; ist auf den Wertbereich&nbsp; $0 < y \le 1$&nbsp; begrenzt.
+ Der Mittelwert $m_y$ ist kleiner als der Mittelwert $m_x$.
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+ Der Mittelwert&nbsp; $m_y$&nbsp; ist kleiner als der Mittelwert&nbsp; $m_x$.
  
  
{Berechnen Sie den Mittelwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$.  
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{Berechnen Sie den Mittelwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$.  
 
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$m_y \ =$  { 0.849 3% }
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$m_y \ = \ $  { 0.849 3% }
  
  
{Berechnen Sie den quadratischen Mittelwert von $y$ und die Streuung.
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{Berechnen Sie den quadratischen Mittelwert von&nbsp; $y$&nbsp; und die Streuung&nbsp;$\sigma_y$ .
 
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$\sigma_y \ =$  { 0.172 3% }
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$\sigma_y \ = \ $  { 0.172 3% }
  
  
{Berechnen Sie die WDF $f_y(y)$. <i>Hinweis</i>: Beachten Sie die Symmetrieeigenschaften. Welcher WDF&ndash;Wert ergibt sich f&uuml;r $y = 0.6$?
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{Berechnen Sie die WDF $f_y(y)$.&nbsp; Beachten Sie die Symmetrieeigenschaften.&nbsp; Welcher WDF&ndash;Wert ergibt sich f&uuml;r&nbsp; $y = 0.6$&nbsp;?
 
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$f_y(y=0.6) \ =$ { 0.573 3% }
+
$f_y(y=0.6) \ = \ $ { 0.573 3% }
  
  
{Welcher WDF-Wert ergibt sich f&uuml;r $y = 1$? Interpretieren Sie das Ergebnis. Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $y$ exakt gleich $1$ ist?
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{Welcher WDF-Wert ergibt sich f&uuml;r&nbsp; $y = 1$?&nbsp; Interpretieren Sie das Ergebnis.&nbsp; Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $y$&nbsp; exakt gleich&nbsp; $1$&nbsp; ist?
 
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${\rm Pr}(y=1) \ =$ { 0. }
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${\rm Pr}(y=1) \ = \ $ { 0. }
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind<u>der zweite und der dritte Lösungsvorschlag</u>:
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'''(1)'''&nbsp; Richtig sind&nbsp; <u>der zweite und der dritte Lösungsvorschlag</u>:
*Aufgrund des Wertebereichs von $x$ und der gegebenen Kennlinie kann $y$ keine Werte kleiner als $0$ bzw. größer als $1$ annehmen.  
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*Aufgrund des Wertebereichs von&nbsp; $x$&nbsp; und der gegebenen Kennlinie kann&nbsp; $y$&nbsp; keine Werte kleiner als&nbsp; $0$&nbsp; bzw. größer als&nbsp; $1$&nbsp; annehmen.  
*Der Wert $y = 0$ kann allerdings ebenfalls nicht auftreten, da weder $x = 0$ noch $x = 2$ m&ouml;glich sind.  
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*Der Wert&nbsp; $y = 0$&nbsp; kann allerdings ebenfalls nicht auftreten,&nbsp; da weder&nbsp; $x = 0$&nbsp; noch&nbsp; $x = 2$&nbsp; m&ouml;glich sind.  
*Mit diesen Eigenschaften ergibt sich sicher $m_y < 1$, also ein kleinerer Wert als $m_x = 1$ (siehe Angabe).  
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*Mit diesen Eigenschaften ergibt sich sicher &nbsp;$m_y < 1$, also ein kleinerer Wert als &nbsp;$m_x = 1$ &nbsp; (siehe Angabe).  
  
  
'''(2)'''&nbsp; Zur L&ouml;sung dieser Aufgabe k&ouml;nnte man beispielsweise zun&auml;chst die WDF $f_y(y)$ bestimmen und daraus in gewohnter Weise $m_y$ berechnen. Zum gleichen Ergebnis führt der direkte Weg:
 
$$m_y={\rm E}[y]={\rm E}[g(x)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)\cdot f_x(x)\,{\rm d}x.$$
 
  
Mit den aktuellen Funktionen $g(x)$ und $f_x(x)$ erh&auml;lt man:
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'''(2)'''&nbsp; Zur L&ouml;sung dieser Aufgabe k&ouml;nnte man beispielsweise zun&auml;chst die WDF&nbsp; $f_y(y)$&nbsp; bestimmen und daraus in gewohnter Weise &nbsp;$m_y$&nbsp; berechnen.
$$m_y=\int_{\rm 0}^{\rm 2}\hspace{-0.1cm}\sin^{\rm 3}({\pi}/{ 2}\cdot  x)\,{\rm d}x=\frac{\rm 2}{\rm 3\cdot \pi}\cdot \cos^{\rm 3}({\pi}/{ 2}\cdot  x)-\frac{\rm 2}{\rm \pi} \cdot \cos({3 \rm \pi}/{\rm 2}\cdot x)\Big|_{\rm 0}^{\rm 2}=\frac{\rm 8}{\rm 3\cdot \pi} \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.849}.$$
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*Zum gleichen Ergebnis führt der direkte Weg:
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:$$m_y={\rm E}\big[y\big]={\rm E}\big[g(x)\big]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)\cdot f_x(x)\,{\rm d}x.$$
  
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*Mit den aktuellen Funktionen&nbsp; $g(x)$&nbsp;  und&nbsp; $f_x(x)$&nbsp; erh&auml;lt man:
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:$$m_y=\int_{\rm 0}^{\rm 2}\hspace{-0.1cm}\sin^{\rm 3}({\pi}/{ 2}\cdot  x)\,{\rm d}x=\frac{\rm 2}{\rm 3\cdot \pi}\cdot \cos^{\rm 3}({\pi}/{ 2}\cdot  x)-\frac{\rm 2}{\rm \pi} \cdot \cos({3 \rm \pi}/{\rm 2}\cdot x)\Big|_{\rm 0}^{\rm 2}=\frac{\rm 8}{\rm 3\cdot \pi} \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.849}.$$
  
'''(3)'''&nbsp; In Analogie zu Punkt (2) gilt:
 
$$m_{2 y}={\rm E}[y^{\rm 2}]={\rm E}[g^{\rm 2}( x)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.35cm}g^{2}( x)\cdot  f_x(x)\,{\rm d}x.$$
 
  
Dies f&uuml;hrt zum Ergebnis:
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$$ m_{ 2 y}=\int_{\rm 0}^{\rm 2}\hspace{-0.15cm}\sin^{\rm 4}({\rm \pi}/{\rm 2}\cdot x)\,{\rm d} x= \frac{\rm 3}{\rm 8}\cdot  x-\frac{\rm 1}{\rm 2\cdot\pi}\cdot \sin(\rm \pi\cdot{\it  x})+\frac{\rm 1}{\rm 16\cdot\pi}\cdot \sin(\rm 2 \pi\cdot {\it  x})\Big|_{\rm 0}^{\rm 2} \hspace{0.15cm}{= \rm  
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'''(3)'''&nbsp; In Analogie zu Punkt&nbsp; '''(2)'''&nbsp; gilt:
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:$$m_{2 y}={\rm E}[y^{\rm 2}]={\rm E}[g^{\rm 2}( x)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.35cm}g^{2}( x)\cdot  f_x(x)\,{\rm d}x.$$
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*Dies f&uuml;hrt zum Ergebnis:
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:$$ m_{ 2 y}=\int_{\rm 0}^{\rm 2}\hspace{-0.15cm}\sin^{\rm 4}({\rm \pi}/{\rm 2}\cdot x)\,{\rm d} x= \frac{\rm 3}{\rm 8}\cdot  x-\frac{\rm 1}{\rm 2\cdot\pi}\cdot \sin(\rm \pi\cdot{\it  x})+\frac{\rm 1}{\rm 16\cdot\pi}\cdot \sin(\rm 2 \pi\cdot {\it  x})\Big|_{\rm 0}^{\rm 2} \hspace{0.15cm}{= \rm  
 
0.75}.$$
 
0.75}.$$
  
Mit dem Ergebnis aus (2) folgt somit f&uuml;r die Streuung:
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*Mit dem Ergebnis aus&nbsp; '''(2)'''&nbsp; folgt somit f&uuml;r die Streuung:
$$ \sigma_{y}=\sqrt{\frac{\rm 3}{\rm 4}-\Big(\frac{\rm 8}{\rm 3\cdot\pi}\Big)^{\rm 2}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.172}.$$
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:$$ \sigma_{y}=\sqrt{\frac{\rm 3}{\rm 4}-\Big(\frac{\rm 8}{\rm 3\cdot\pi}\Big)^{\rm 2}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.172}.$$
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'''(4)'''&nbsp; Aufgrund der Symmetrie von WDF&nbsp; $f_x(x)$&nbsp; und Kennlinie&nbsp; $y =g(x)$&nbsp; um&nbsp; $x = 1$&nbsp; liefern die beiden Bereiche
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*$0 \le x \le 1$&nbsp; und
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*$1 \le x \le 2$
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jeweils den gleichen Beitrag f&uuml;r $f_y(y)$.
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*Im ersten Bereich ist die Ableitung der Kennlinie positiv:&nbsp; $g\hspace{0.05cm}'(x)={\rm \pi}/{\rm 2}\cdot \cos({\rm \pi}/{\rm  2}\cdot x).$
  
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*Die Umkehrfunktion lautet:&nbsp; $ x=h(y)={\rm 2}/{\rm \pi}\cdot \arcsin( y).$
  
'''(4)'''&nbsp; Aufgrund der Symmetrie von WDF $f_x(x)$ und Kennlinie $y =g(x)$ um $x = 1$ liefern die beiden Bereiche $0 \le x \le 1$ und $1 \le x \le 2$ jeweils den gleichen Beitrag f&uuml;r $f_y(y)$. Im ersten Bereich ist die Ableitung der Kennlinie positiv,
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*Unter Berücksichtigung des zweiten Beitrags durch den Faktor&nbsp; $2$&nbsp; erh&auml;lt man f&uuml;r die gesuchte WDF im Bereich&nbsp; $0 \le y \le 1$:
[[Datei:P_ID138__Sto_Z_3_9_e_neu.png|right|WDF nach Transformation]]
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:$$f_y(y)= 2\cdot\frac{\sin^{ 2}({ \pi}/{ 2}\cdot x)}{{ \pi}/{ 2}\cdot \cos({ \pi}/{ 2}\cdot x)}\Big|_{\,  x={ 2}/{ \pi}\cdot \arcsin( y)}.$$
$$g'(x)={\rm \pi}/{\rm 2}\cdot \cos({\rm \pi}/{\rm  2}\cdot x),$$
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[[Datei:P_ID138__Sto_Z_3_9_e_neu.png|right|frame|"Ausgangs"&ndash;WDF]]
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*Au&szlig;erhalb ist  $f_y(y) \equiv 0$. Dies f&uuml;hrt zum Zwischenergebnis
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:$$f_y(y)=\frac{4}{\pi}\cdot \frac{\sin^{2}(\arcsin( y ))}{\sqrt{\rm 1-\sin^{ 2}(\arcsin( y \rm ))}}.$$
  
und die Umkehrfunktion lautet:
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*Und wegen&nbsp; $\sin\big (\arcsin(y)\big) = y$:
$$ x=h(y)={\rm 2}/{\rm \pi}\cdot \arcsin( y).$$
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:$$f_y(y)=\frac{ 4}{\pi}\cdot \frac{ y^{2}}{\sqrt{1- y^{\rm 2}}}.$$
  
Unter Berücksichtigung des zweiten Beitrags durch den Faktor $2$ erh&auml;lt man f&uuml;r die gesuchte WDF im Bereich $0 \le y \le 1$ (au&szlig;erhalb ist  $f_y(y) \equiv 0$):
+
*An der Stelle&nbsp; $y = 0.6$&nbsp; erh&auml;lt man den Wert&nbsp; $f_y(y= 0.6)\hspace{0.15cm}\underline{=0.573}$.
$$f_y(y)= 2\cdot\frac{\sin^{ 2}({ \pi}/{ 2}\cdot x)}{{ \pi}/{ 2}\cdot \cos({ \pi}/{ 2}\cdot x)}\Big|_{\,  x={ 2}/{ \pi}\cdot \arcsin( y)}.$$
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*Rechts ist diese WDF&nbsp; $f_y(y)$&nbsp; grafisch dargestellt.  
  
Dies f&uuml;hrt zum Zwischenergebnis
 
$$f_y(y)=\frac{4}{\pi}\cdot \frac{\sin^{2}(\arcsin( y ))}{\sqrt{\rm 1-\sin^{ 2}(\arcsin( y \rm ))}},$$
 
  
und wegen $\sin(\arcsin(y)) = y$:
 
$$f_y(y)=\frac{ 4}{\pi}\cdot \frac{ y^{2}}{\sqrt{1- y^{\rm 2}}}.$$
 
  
An der Stelle $y = 0.6$ erh&auml;lt man den Wert $f_y(y= 0.6)\hspace{0.15cm}\underline{=0.573}$. Rechts ist die WDF $f_y(y)$ grafisch dargestellt.
 
  
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'''(5)'''&nbsp; Die WDF ist an der Stelle&nbsp; $y = 1$&nbsp;  unendlich gro&szlig;.
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*Dies h&auml;ngt damit zusammen,&nbsp; dass an dieser Stelle die Ableitung&nbsp; $g\hspace{0.05cm}'(x)$&nbsp; der Kennlinie horizontal verl&auml;uft.
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* Da aber&nbsp; $y$&nbsp; eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e ist,&nbsp; gilt trotzdem&nbsp; ${\rm Pr}(y = 1) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}$.
  
'''(5)'''&nbsp; Die WDF ist an der Stelle $y = 1$  unendlich gro&szlig;. Dies h&auml;ngt damit zusammen, dass an dieser Stelle die Ableitung $g'(x)$ der Kennlinie horizontal verl&auml;uft. Da aber $y$ eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e ist, gilt trotzdem ${\rm Pr}(y = 1) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}$.
 
  
 
Das bedeutet:  
 
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*Eine Unendlichkeitsstelle in der WDF ist nicht identisch mit einer Diracfunktion.
 
*Eine Unendlichkeitsstelle in der WDF ist nicht identisch mit einer Diracfunktion.
*Oder salopper ausgedrückt: Eine Unendlichkeitsstelle in der WDF ist &bdquo;weniger&rdquo; als  eine Diracfunktion.
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*Oder salopper ausgedrückt: &nbsp; Eine Unendlichkeitsstelle in der WDF ist&nbsp; &bdquo;weniger&rdquo;&nbsp; als  eine Diracfunktion.
 
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Aktuelle Version vom 2. Februar 2022, 18:07 Uhr

Eingangs–WDF und Kennlinie

Wir betrachten in dieser Aufgabe eine Zufallsgröße  $x$  mit  sinus–quadrat–förmiger WDF im Bereich zwischen  $x= 0$  und  $x= 2$:

$$f_x(x)= \sin^2({\rm\pi}/{\rm 2}\cdot x) \hspace{1cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}{\rm 0\le \it x \le \rm 2} .$$

Außerhalb ist die WDF identisch Null.

Der Mittelwert und die Streuung dieser Zufallsgröße  $x$  wurden bereits in der  Aufgabe 3.3  ermittelt:

$$m_x = 1,\hspace{0.2cm}\sigma_x = 0.361.$$

Eine weitere Zufallsgröße  $y$  erhält man durch Transformation mittels der nichtlinearen Kennlinie

$$y= g(x) =\sin({\rm\pi}/{\rm 2}\cdot x).$$

Die Abbildung zeigt jeweils im Bereich  $0 \le x \le 2$:

  • oben die WDF  $f_x(x)$,
  • unten die nichtlineare Kennlinie  $y = g(x)$.




Hinweise:

$$\int \sin^{\rm 3}( ax)\,{\rm d}x = \frac{\rm 1}{ 3 a} \cdot \cos^{\rm 3}( ax)-\frac{\rm 1}{ a}\cdot \cos(ax),$$
$$\int \sin^{\rm 4}(ax)\,{\rm d}x =\frac{\rm 3}{\rm 8}\cdot x-\frac{\rm 1}{\rm 4 a} \cdot \sin(2 ax)+\frac{\rm 1}{32 a}\cdot \sin(4 ax).$$


Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

$y$  ist auf den Wertbereich  $0 \le y \le 1$  begrenzt.
$y$  ist auf den Wertbereich  $0 < y \le 1$  begrenzt.
Der Mittelwert  $m_y$  ist kleiner als der Mittelwert  $m_x$.

2

Berechnen Sie den Mittelwert der Zufallsgröße  $y$.

$m_y \ = \ $

3

Berechnen Sie den quadratischen Mittelwert von  $y$  und die Streuung $\sigma_y$ .

$\sigma_y \ = \ $

4

Berechnen Sie die WDF $f_y(y)$.  Beachten Sie die Symmetrieeigenschaften.  Welcher WDF–Wert ergibt sich für  $y = 0.6$ ?

$f_y(y=0.6) \ = \ $

5

Welcher WDF-Wert ergibt sich für  $y = 1$?  Interpretieren Sie das Ergebnis.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $y$  exakt gleich  $1$  ist?

${\rm Pr}(y=1) \ = \ $


Musterlösung

(1)  Richtig sind  der zweite und der dritte Lösungsvorschlag:

  • Aufgrund des Wertebereichs von  $x$  und der gegebenen Kennlinie kann  $y$  keine Werte kleiner als  $0$  bzw. größer als  $1$  annehmen.
  • Der Wert  $y = 0$  kann allerdings ebenfalls nicht auftreten,  da weder  $x = 0$  noch  $x = 2$  möglich sind.
  • Mit diesen Eigenschaften ergibt sich sicher  $m_y < 1$, also ein kleinerer Wert als  $m_x = 1$   (siehe Angabe).


(2)  Zur Lösung dieser Aufgabe könnte man beispielsweise zunächst die WDF  $f_y(y)$  bestimmen und daraus in gewohnter Weise  $m_y$  berechnen.

  • Zum gleichen Ergebnis führt der direkte Weg:
$$m_y={\rm E}\big[y\big]={\rm E}\big[g(x)\big]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)\cdot f_x(x)\,{\rm d}x.$$
  • Mit den aktuellen Funktionen  $g(x)$  und  $f_x(x)$  erhält man:
$$m_y=\int_{\rm 0}^{\rm 2}\hspace{-0.1cm}\sin^{\rm 3}({\pi}/{ 2}\cdot x)\,{\rm d}x=\frac{\rm 2}{\rm 3\cdot \pi}\cdot \cos^{\rm 3}({\pi}/{ 2}\cdot x)-\frac{\rm 2}{\rm \pi} \cdot \cos({3 \rm \pi}/{\rm 2}\cdot x)\Big|_{\rm 0}^{\rm 2}=\frac{\rm 8}{\rm 3\cdot \pi} \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.849}.$$


(3)  In Analogie zu Punkt  (2)  gilt:

$$m_{2 y}={\rm E}[y^{\rm 2}]={\rm E}[g^{\rm 2}( x)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.35cm}g^{2}( x)\cdot f_x(x)\,{\rm d}x.$$
  • Dies führt zum Ergebnis:
$$ m_{ 2 y}=\int_{\rm 0}^{\rm 2}\hspace{-0.15cm}\sin^{\rm 4}({\rm \pi}/{\rm 2}\cdot x)\,{\rm d} x= \frac{\rm 3}{\rm 8}\cdot x-\frac{\rm 1}{\rm 2\cdot\pi}\cdot \sin(\rm \pi\cdot{\it x})+\frac{\rm 1}{\rm 16\cdot\pi}\cdot \sin(\rm 2 \pi\cdot {\it x})\Big|_{\rm 0}^{\rm 2} \hspace{0.15cm}{= \rm 0.75}.$$
  • Mit dem Ergebnis aus  (2)  folgt somit für die Streuung:
$$ \sigma_{y}=\sqrt{\frac{\rm 3}{\rm 4}-\Big(\frac{\rm 8}{\rm 3\cdot\pi}\Big)^{\rm 2}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.172}.$$


(4)  Aufgrund der Symmetrie von WDF  $f_x(x)$  und Kennlinie  $y =g(x)$  um  $x = 1$  liefern die beiden Bereiche

  • $0 \le x \le 1$  und
  • $1 \le x \le 2$


jeweils den gleichen Beitrag für $f_y(y)$.

  • Im ersten Bereich ist die Ableitung der Kennlinie positiv:  $g\hspace{0.05cm}'(x)={\rm \pi}/{\rm 2}\cdot \cos({\rm \pi}/{\rm 2}\cdot x).$
  • Die Umkehrfunktion lautet:  $ x=h(y)={\rm 2}/{\rm \pi}\cdot \arcsin( y).$
  • Unter Berücksichtigung des zweiten Beitrags durch den Faktor  $2$  erhält man für die gesuchte WDF im Bereich  $0 \le y \le 1$:
$$f_y(y)= 2\cdot\frac{\sin^{ 2}({ \pi}/{ 2}\cdot x)}{{ \pi}/{ 2}\cdot \cos({ \pi}/{ 2}\cdot x)}\Big|_{\, x={ 2}/{ \pi}\cdot \arcsin( y)}.$$
"Ausgangs"–WDF
  • Außerhalb ist $f_y(y) \equiv 0$. Dies führt zum Zwischenergebnis
$$f_y(y)=\frac{4}{\pi}\cdot \frac{\sin^{2}(\arcsin( y ))}{\sqrt{\rm 1-\sin^{ 2}(\arcsin( y \rm ))}}.$$
  • Und wegen  $\sin\big (\arcsin(y)\big) = y$:
$$f_y(y)=\frac{ 4}{\pi}\cdot \frac{ y^{2}}{\sqrt{1- y^{\rm 2}}}.$$
  • An der Stelle  $y = 0.6$  erhält man den Wert  $f_y(y= 0.6)\hspace{0.15cm}\underline{=0.573}$.
  • Rechts ist diese WDF  $f_y(y)$  grafisch dargestellt.



(5)  Die WDF ist an der Stelle  $y = 1$  unendlich groß.

  • Dies hängt damit zusammen,  dass an dieser Stelle die Ableitung  $g\hspace{0.05cm}'(x)$  der Kennlinie horizontal verläuft.
  • Da aber  $y$  eine kontinuierliche Zufallsgröße ist,  gilt trotzdem  ${\rm Pr}(y = 1) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}$.


Das bedeutet:

  • Eine Unendlichkeitsstelle in der WDF ist nicht identisch mit einer Diracfunktion.
  • Oder salopper ausgedrückt:   Eine Unendlichkeitsstelle in der WDF ist  „weniger”  als eine Diracfunktion.