Aufgaben:Aufgabe 3.9Z: Gauß gefaltet mit Gauß: Unterschied zwischen den Versionen

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Es soll das Faltungsergebnis zweier Gaußfunktionen ermittelt werden. Wir betrachten einen gaußförmigen Eingangsimpuls ${x(t)}$ mit der Amplitude $x_0 = 1\,\text{ V}$ und der äquivalenten Dauer $\Delta t_x = 4 \,\text{ms}$ sowie eine ebenfalls gaußförmige Impulsantwort ${h(t)}$, welche die äquivalente Dauer $\Delta t_h = 3 \,\text{ms}$ aufweist:
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Es soll das Faltungsergebnis zweier Gaußfunktionen ermittelt werden.  Wir betrachten  
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*einen gaußförmigen Eingangsimpuls  ${x(t)}$  mit Amplitude  $x_0 = 1\,\text{V}$  und äquivalenter Dauer  $\Delta t_x = 4 \,\text{ms}$,  sowie  
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*eine ebenfalls gaußförmige Impulsantwort  ${h(t)}$, welche die äquivalente Dauer  $\Delta t_h = 3 \,\text{ms}$  aufweist:
 
:$$x( t ) = x_0  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}( {t/\Delta t_x } )^2 } ,$$
 
:$$x( t ) = x_0  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}( {t/\Delta t_x } )^2 } ,$$
 
:$$h( t ) = \frac{1}{\Delta t_h } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}( {t/\Delta t_h } )^2 } .$$
 
:$$h( t ) = \frac{1}{\Delta t_h } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}( {t/\Delta t_h } )^2 } .$$
Gesucht ist das Ausgangssignal ${y(t)} = {x(t)} ∗{h(t)}$, wobei der Umweg über die Spektralfunktionen gegangen werden soll.
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Gesucht ist das Ausgangssignal  ${y(t)} = {x(t)} ∗{h(t)}$, wobei der Umweg über die Spektralfunktionen gegangen werden soll.
  
  
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{Geben Sie die Spektralfunktionen ${X(f)}$ und ${H(f)}$ an. Welche Werte ergeben sich für $f = 0$?
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{Geben Sie die Spektralfunktionen&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; und&nbsp; ${H(f)}$&nbsp; an.&nbsp; Welche Werte ergeben sich für&nbsp; $f = 0$?
 
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$X(f = 0)\ = \ $ { 4 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
 
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{Berechnen Sie die Spektralfunktion ${Y(f)}$ des Ausgangssignals. Wie groß ist der Spektralwert bei $f = 0$?
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$Y(f = 0)\ = \ $ { 4 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
 
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{Berechnen Sie den Ausgangsimpuls ${y(t)}$. Welche Werte ergeben sich für die Amplitude $y_0 = y(t = 0)$ und die äquivalente Impulsdauer $\Delta t_y$?
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{Berechnen Sie den Ausgangsimpuls&nbsp; ${y(t)}$.&nbsp; Welche Werte ergeben sich für die Amplitude&nbsp; $y_0 = y(t = 0)$&nbsp; und die äquivalente Impulsdauer&nbsp; $\Delta t_y$?
 
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$y_0\ = \ $ { 0.8 3% } &nbsp;$\text{V}$
 
$y_0\ = \ $ { 0.8 3% } &nbsp;$\text{V}$
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'''(1)'''&nbsp;  Durch Fouriertransformation erhält man:
 
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:$$X( f ) = x_0  \cdot \Delta t_x  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f} \right)^2 } , \hspace{0.5cm}H(f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_h  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \right)^2 } .$$
 
:$$X( f ) = x_0  \cdot \Delta t_x  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f} \right)^2 } , \hspace{0.5cm}H(f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_h  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \right)^2 } .$$
Die gesuchten Werte sind $X(f = 0)\;\underline{ = 4 \,\text{mV/Hz}}$ und $H(f = 0)\; \underline{= 1}$.
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*Die gesuchten Werte sind  
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:$$X(f = 0)\;\underline{ = 4 \,\text{mV/Hz}},$$
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[[Datei:P_ID589__Sig_Z_3_9_b_neu.png|right|frame|Faltungsergebnis für &bdquo;$\rm Gauß \ \ast \ Gauß$&rdquo;]]
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[[Datei:P_ID589__Sig_Z_3_9_b_neu.png|right|frame|Gaußspektren&nbsp; $X(f)$&nbsp; und&nbsp; $Y(f)$ &nbsp; &nbsp; &ndash; &nbsp; &nbsp; Gaußimpulse&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$]]
 
'''(2)'''&nbsp;  Der Faltung im Zeitbereich entspricht die Multiplikation im Frequenzbereich:
 
'''(2)'''&nbsp;  Der Faltung im Zeitbereich entspricht die Multiplikation im Frequenzbereich:
 
:$$Y(f) = X(f) \cdot H(f) = x_0  \cdot \Delta t_x  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x^2  + \Delta t_h^2 } \right)f^2 } .$$
 
:$$Y(f) = X(f) \cdot H(f) = x_0  \cdot \Delta t_x  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x^2  + \Delta t_h^2 } \right)f^2 } .$$
Mit der Abkürzung $\Delta t_y = (\Delta t_x^2 + \Delta t_h^2)^{1/2} = 5\, \text{ms}$ kann man hierfür auch schreiben:
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*Mit der Abkürzung&nbsp; $\Delta t_y = (\Delta t_x^2 + \Delta t_h^2)^{1/2} = 5\, \text{ms}$&nbsp; kann man hierfür schreiben:
 
:$$Y(f) = x_0  \cdot \Delta t_x  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f} \right)^2 } .$$
 
:$$Y(f) = x_0  \cdot \Delta t_x  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f} \right)^2 } .$$
*Bei der Frequenz $f = 0$ sind die Spektralwerte am Eingang und Ausgang des Gaußfilters gleich, also gilt:
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*Bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; sind die Spektralwerte am Eingang und Ausgang des Gaußfilters gleich, also gilt:
 
:$$Y(f = 0) \;\underline{= 4 \text{ mV/Hz}}.$$  
 
:$$Y(f = 0) \;\underline{= 4 \text{ mV/Hz}}.$$  
*Der Funktionsverlauf von ${Y(f)}$ ist schmaler als ${X(f)}$ und auch schmaler als ${H(f)}$.
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*Der Funktionsverlauf von&nbsp; ${Y(f)}$&nbsp; ist schmaler als&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; und schmaler als&nbsp; ${H(f)}$.
  
  
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'''(3)'''&nbsp;  Es gilt die folgende Fourierkorrespondenz:
 
'''(3)'''&nbsp;  Es gilt die folgende Fourierkorrespondenz:
 
:$${\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f} \right)^2 }\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \frac{1}{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$
 
:$${\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f} \right)^2 }\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \frac{1}{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$
Damit erhält man:
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*Damit erhält man:
 
:$$y(t) = x(t) * h(t) = x_0  \cdot \frac{\Delta t_x }{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$
 
:$$y(t) = x(t) * h(t) = x_0  \cdot \frac{\Delta t_x }{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$
*Der Maximalwert des Signals ${y(t)}$ liegt ebenfalls bei $t = 0$ und beträgt $y_0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.8 \text{ V} }$.  
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*Der Maximalwert des Signals&nbsp; ${y(t)}$&nbsp; liegt ebenfalls bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; und beträgt&nbsp; $y_0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.8 \text{ V} }$.  
*Die äquivalente Impulsdauer ergibt sich zu $\Delta t_y \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \text{ ms}}$ (siehe obiges Bild, rechte Skizze).  
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*Die äquivalente Impulsdauer ergibt sich zu&nbsp; $\Delta t_y \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \text{ ms}}$&nbsp; (siehe obiges Grafik, rechte Skizze).  
*Das bedeutet: Das Gaußfilter ${H(f)}$ bewirkt, dass der Ausgangsimpuls ${y(t)}$ kleiner und breiter als der Eingangsimpuls ${x(t)}$ ist.  
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*Das bedeutet:&nbsp; Das Gaußfilter&nbsp; ${H(f)}$&nbsp; bewirkt, dass der Ausgangsimpuls&nbsp; ${y(t)}$&nbsp; kleiner und breiter als der Eingangsimpuls&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; ist.  
*Die Impulsform bleibt weiterhin gaußförmig.
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*Die Impulsform bleibt weiterhin gaußförmig, weil: &nbsp; '''Gauß gefaltet mit Gauß ergibt immer Gauß!'''
 
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Aktuelle Version vom 29. April 2021, 15:29 Uhr

Gaußimpulse  $x(t)$  und  $h(t)$

Es soll das Faltungsergebnis zweier Gaußfunktionen ermittelt werden.  Wir betrachten

  • einen gaußförmigen Eingangsimpuls  ${x(t)}$  mit Amplitude  $x_0 = 1\,\text{V}$  und äquivalenter Dauer  $\Delta t_x = 4 \,\text{ms}$,  sowie
  • eine ebenfalls gaußförmige Impulsantwort  ${h(t)}$, welche die äquivalente Dauer  $\Delta t_h = 3 \,\text{ms}$  aufweist:
$$x( t ) = x_0 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}( {t/\Delta t_x } )^2 } ,$$
$$h( t ) = \frac{1}{\Delta t_h } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}( {t/\Delta t_h } )^2 } .$$

Gesucht ist das Ausgangssignal  ${y(t)} = {x(t)} ∗{h(t)}$, wobei der Umweg über die Spektralfunktionen gegangen werden soll.



Hinweis:



Fragebogen

1

Geben Sie die Spektralfunktionen  ${X(f)}$  und  ${H(f)}$  an.  Welche Werte ergeben sich für  $f = 0$?

$X(f = 0)\ = \ $

 $\text{mV/Hz}$
$H(f = 0)\ = \ $

2

Berechnen Sie die Spektralfunktion  ${Y(f)}$  des Ausgangssignals.  Wie groß ist der Spektralwert bei  $f = 0$?

$Y(f = 0)\ = \ $

 $\text{mV/Hz}$

3

Berechnen Sie den Ausgangsimpuls  ${y(t)}$.  Welche Werte ergeben sich für die Amplitude  $y_0 = y(t = 0)$  und die äquivalente Impulsdauer  $\Delta t_y$?

$y_0\ = \ $

 $\text{V}$
$\Delta t_y\ = \ $

 $\text{ms}$


Musterlösung

(1)  Durch Fouriertransformation erhält man:

$$X( f ) = x_0 \cdot \Delta t_x \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f} \right)^2 } , \hspace{0.5cm}H(f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_h \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \right)^2 } .$$
  • Die gesuchten Werte sind
$$X(f = 0)\;\underline{ = 4 \,\text{mV/Hz}},$$
$$H(f = 0)\; \underline{= 1}.$$


Gaußspektren  $X(f)$  und  $Y(f)$     –     Gaußimpulse  $x(t)$  und  $y(t)$

(2)  Der Faltung im Zeitbereich entspricht die Multiplikation im Frequenzbereich:

$$Y(f) = X(f) \cdot H(f) = x_0 \cdot \Delta t_x \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x^2 + \Delta t_h^2 } \right)f^2 } .$$
  • Mit der Abkürzung  $\Delta t_y = (\Delta t_x^2 + \Delta t_h^2)^{1/2} = 5\, \text{ms}$  kann man hierfür schreiben:
$$Y(f) = x_0 \cdot \Delta t_x \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f} \right)^2 } .$$
  • Bei der Frequenz  $f = 0$  sind die Spektralwerte am Eingang und Ausgang des Gaußfilters gleich, also gilt:
$$Y(f = 0) \;\underline{= 4 \text{ mV/Hz}}.$$
  • Der Funktionsverlauf von  ${Y(f)}$  ist schmaler als  ${X(f)}$  und schmaler als  ${H(f)}$.


(3)  Es gilt die folgende Fourierkorrespondenz:

$${\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f} \right)^2 }\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \frac{1}{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$
  • Damit erhält man:
$$y(t) = x(t) * h(t) = x_0 \cdot \frac{\Delta t_x }{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$
  • Der Maximalwert des Signals  ${y(t)}$  liegt ebenfalls bei  $t = 0$  und beträgt  $y_0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.8 \text{ V} }$.
  • Die äquivalente Impulsdauer ergibt sich zu  $\Delta t_y \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \text{ ms}}$  (siehe obiges Grafik, rechte Skizze).
  • Das bedeutet:  Das Gaußfilter  ${H(f)}$  bewirkt, dass der Ausgangsimpuls  ${y(t)}$  kleiner und breiter als der Eingangsimpuls  ${x(t)}$  ist.
  • Die Impulsform bleibt weiterhin gaußförmig, weil:   Gauß gefaltet mit Gauß ergibt immer Gauß!