Aufgaben:Aufgabe 3.9: Kreisbogen und Parabel: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 27. März 2020, 19:08 Uhr

Ortskurven bei FM:
Kreisbogen und Parabel

Wir betrachten hier die Frequenzmodulation eines cosinusförmigen Quellensignals

$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t )$$

mit der Amplitude $A_{\rm N} = 1 \ \rm V$ und der Frequenz $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$.

Der Modulationsindex (Phasenhub) beträgt $η = 2.4$.
Das zugehörige TP–Signal lautet bei normierter Trägeramplitude $(A_{\rm T} = 1)$:

$$ s_{\rm TP}(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}.$$

Dieses beschreibt einen Kreisbogen. Innerhalb der Periodendauer $T_{\rm N} = 1/f_{\rm N} = 200 \ \rm µ s$ ergeben sich folgende Phasenwinkel:

$$ \phi(0) = 0, \hspace{0.2cm}\phi(0.25 \cdot T_{\rm N}) = \eta, \hspace{0.2cm}\phi(0.5 \cdot T_{\rm N})= 0,\hspace{0.2cm} \phi(0.75 \cdot T_{\rm N})= -\eta,\hspace{0.2cm}\phi(T_{\rm N})= 0.$$

Die erforderliche Kanalbandbreite zur Übertragung dieses Signals ist theoretisch unendlich groß.

Ist die Bandbreite jedoch begrenzt, zum Beispiel auf $B_{\rm K} = 25 \ \rm kHz$, so kann das äquivalente Tiefpass–Signal des Empfangssignals wie folgt beschrieben werden:

$$r_{\rm TP}(t) = \sum_{n = - 2}^{+2}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}.$$

In diesem Fall ergibt sich eine parabelförmige Ortskurve

$$ y^2 + a \cdot x + b = 0,$$

die in dieser Aufgabe analysiert werden soll.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Frequenzmodulation.
Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel Phasenmodulation und insbesondere auf den Abschnitt Signalverläufe bei Frequenzmodulation.

Gehen Sie bei der Berechnung von folgenden Werten der Besselfunktion aus:

$${\rm J}_0 (2.4) \approx 0, \hspace{0.2cm}{\rm J}_1 (2.4) = -{\rm J}_{-1} (2.4)\approx 0.52, \hspace{0.2cm}{\rm J}_2 (2.4) = {\rm J}_{-2} (2.4)\approx 0.43.$$

Fragebogen

$K_{\rm FM} \ = \ $

$\ \cdot 10^4 \ \rm (Vs)^{-1}$

$x_{\rm max} \ = \ $

$x_{\rm min} \ = \ $

$y_{\rm max} \ = \ $

$y_{\rm min} \ = \ $

$ϕ(t = n · T_{\rm N}/2) \ = \ $

$\ \rm Grad$

$ϕ_{\rm max} \ = \ $

$\ \rm Grad$

$a\ = \ $

$b\ = \ $

Musterlösung

(1) Bei Frequenzmodulation eines Cosinussignals gilt für den Modulationsindex:

$$ \eta = \frac{K_{\rm FM} \cdot A_{\rm N}}{ \omega_{\rm N}} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} K_{\rm FM} = \frac{2 \pi \cdot f_{\rm N }\cdot \eta}{ A_{\rm N}} = \frac{2 \pi \cdot 5 \cdot 10^3 \,{\rm Hz}\cdot 2.4}{ 1\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 7.54 }\cdot 10^4 \,\,{\rm V}^{-1}{\rm s}^{-1}\hspace{0.05cm}.$$

(2) Die angegebene Gleichung für das äquivalente TP–Signal lautet in ausgeschriebener Form mit $γ = ω_{\rm N} · t$ unter Berücksichtigung von ${\rm J}_{–1} = –{\rm J}_1$ und ${\rm J}_{–2} = {\rm J}_2$:

$$r_{\rm TP}(t) = {\rm J}_0 + \left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} - {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} \right]\cdot {\rm J}_1 \hspace{0.27cm} +\left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} \right]\cdot {\rm J}_2 = {\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm j} \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin (\gamma)+ 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2\gamma)\hspace{0.05cm} .$$

Somit ergibt sich für den Realteil allgemein bzw. für $η = 2.4$, das heißt ${\rm J}_0 = 0$ und ${\rm J}_2 = 0.43$:

$$ x(t) = {\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2 \omega_{\rm N} t ) = 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2 \omega_{\rm N} t ) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm max} = 2 \cdot {\rm J}_2\hspace{0.15cm}\underline { = 0.86}, \hspace{0.3cm} x_{\rm min} = -x_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline {= -0.86}\hspace{0.05cm}.$$

(3) Entsprechend dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) erhält man für den Imaginärteil $({\rm J}_1 = 0.52)$:

$$y(t) = 2 \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin ( \omega_{\rm N} t )\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} y_{\rm max} =2 \cdot {\rm J}_1\hspace{0.15cm}\underline { = 1.04}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} y_{\rm min} = -y_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline { = -1.04}\hspace{0.05cm}.$$

(4) Der Imaginärteil ist zu diesen Zeitpunkten jeweils Null und damit auch die Phasenfunktion:

$$ϕ(t = n · T_{\rm N}/2)\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$

Diesen Sachverhalt erkennt man auch aus der Skizze auf der Angabenseite.

(5) Aus der Skizze ist bereits zu erkennen, dass der Phasenwinkel beispielsweise für $t = T_{\rm N}/4$ seinen Maximalwert erreicht.

Dieser kann mit $y_{\rm max} = 1.04$ und $x_{\rm min} = -0.86$ wie folgt berechnet werden:

$$\phi_{\rm max} = \arctan \frac{y_{\rm max}}{x_{\rm min}} = \arctan (-1.21) = 180^\circ - 50.4^\circ \hspace{0.15cm}\underline {= 129.6^\circ} \hspace{0.05cm}.$$

Ohne Bandbegrenzung würde sich hier der Phasenwinkel $ϕ(t = T_{\rm N}/4) = η = 2.4 = 137.5^\circ$ ergeben.
Die maximale Abweichung des Sinkensignals vom Quellensignal tritt somit beispielsweise zur Zeit $t = T_{\rm N}/4$ auf.

Parabelverlauf

(6) Mit $γ = ω_{\rm N} · t$ und $\cos(2γ) = 1 - 2 · \cos^2(γ)$ kann für Real– und Imaginärteil geschrieben werden:

$$x = {\rm J}_0 + 4 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos^2 (\gamma) - 2 \cdot {\rm J}_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} y = 2 \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin (\gamma) \hspace{0.05cm}.$$

Diese Gleichungen können wie folgt umgeformt werden:

$$\cos^2 (\gamma) =\frac{x-{\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 }{4 \cdot {\rm J}_2} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \sin^2 (\gamma) = \frac{y^2 }{4 \cdot {\rm J}_1^2}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{y^2 }{4 \cdot {\rm J}_1^2} + \frac{x-{\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 }{4 \cdot {\rm J}_2} =1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {y^2 } + \frac{{\rm J}_1^2}{ {\rm J}_2} \cdot x + {{\rm J}_1^2} \cdot \left ( 2 - \frac{{\rm J}_0}{ {\rm J}_2} \right ) =0\hspace{0.05cm}.$$

Damit lauten die Parabelparameter für $ {\rm J}_0 = 0$:

$$a = \frac{{\rm J}_1^2}{ {\rm J}_2} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.629}, \hspace{0.3cm} b = 2 \cdot {\rm J}_1^2 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.541} \hspace{0.05cm}.$$

Zur Kontrolle verwenden wir $y = 0$ ⇒ $ x_{\rm max} = {b}/{a} = 2 \cdot {\rm J}_2 = 0.86 \hspace{0.05cm}.$
Die Werte bei $x = 0$ sind somit: $y_0 = \pm \sqrt{2} \cdot {\rm J}_1 \approx 0.735 \hspace{0.05cm}.$

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 }}
-[[Datei:P_ID1106__Mod_A_3_8.png|right|]]
+[[Datei:P_ID1106__Mod_A_3_8.png|right|frame|Ortskurven bei FM: <br>Kreisbogen und Parabel]]
 Wir betrachten hier die Frequenzmodulation eines cosinusförmigen Quellensignals
-$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t )$$
+:$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t )$$
-mit der Amplitude $A_N = 1 V$ und der Frequenz $f_N = 5 kHz$. Der Modulationsindex (Phasenhub) beträgt $η = 2.4$. Das zugehörige TP–Signal lautet bei normierter Trägeramplitude ($A_T = 1$):
+mit der Amplitude &nbsp;$A_{\rm N} = 1 \ \rm V$&nbsp; und der Frequenz &nbsp;$f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$.
-$$ s_{\rm TP}(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}.$$
+*Der Modulationsindex (Phasenhub) beträgt &nbsp;$η = 2.4$.
-Dieses beschreibt einen Kreisbogen. Innerhalb der Periodendauer $T_N = 1/f_N = 200 μs$ ergeben sich folgende Phasenwinkel:
+*Das zugehörige TP–Signal lautet bei normierter Trägeramplitude &nbsp;$(A_{\rm T}  = 1)$:
-$$: \phi(0) = 0, \hspace{0.2cm}\phi(0.25 \cdot T_{\rm N}) = \eta, \hspace{0.2cm}\phi(0.5 \cdot T_{\rm N})= 0,$$
+:$$ s_{\rm TP}(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}.$$
-$$ \phi(0.75 \cdot T_{\rm N})= -\eta,\hspace{0.2cm}\phi(T_{\rm N})= 0.$$
+*Dieses beschreibt einen Kreisbogen.&nbsp; Innerhalb der Periodendauer &nbsp;$T_{\rm N} = 1/f_{\rm N} = 200 \ \rm &micro; s$&nbsp; ergeben sich folgende Phasenwinkel:
-Die erforderliche Kanalbandbreite zur Übertragung dieses Signals ist theoretisch unendlich groß. Ist die Bandbreite jedoch begrenzt, z. B. auf $B_K = 25 kHz$, so kann das äquivalente TP–Signal des Empfangssignals wie folgt beschrieben werden:
+:$$ \phi(0) = 0, \hspace{0.2cm}\phi(0.25 \cdot T_{\rm N}) = \eta, \hspace{0.2cm}\phi(0.5 \cdot T_{\rm N})= 0,\hspace{0.2cm}
-$$r_{\rm TP}(t) = \sum_{n = - 2}^{+2}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}.$$
+ \phi(0.75 \cdot T_{\rm N})= -\eta,\hspace{0.2cm}\phi(T_{\rm N})= 0.$$
+*Die erforderliche Kanalbandbreite zur Übertragung dieses Signals ist theoretisch unendlich groß.
+Ist die Bandbreite jedoch begrenzt, zum Beispiel auf &nbsp;$B_{\rm K} = 25 \ \rm  kHz$, so kann das äquivalente Tiefpass–Signal des Empfangssignals wie folgt beschrieben werden:
+:$$r_{\rm TP}(t) = \sum_{n = - 2}^{+2}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}.$$
 In diesem Fall ergibt sich eine parabelförmige Ortskurve
-$$ y^2 + a \cdot x + b = 0,$$
+:$$ y^2 + a \cdot x + b = 0,$$
 die in dieser Aufgabe analysiert werden soll.
-'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [http://www.lntwww.de/Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM) Kapitel 3.1] und [http://www.lntwww.de/Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM) Kapitel 3.2]. Gehen Sie bei der Berechnung von folgenden Werten der Besselfunktion aus:
-$${\rm J}_0 (2.4) \approx 0, \hspace{0.2cm}{\rm J}_1 (2.4) = -{\rm J}_{-1} (2.4)\approx 0.52, \hspace{0.2cm}{\rm J}_2 (2.4) = {\rm J}_{-2} (2.4)\approx 0.43.$$
+''Hinweise:''
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)|Frequenzmodulation]].
+*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]]&nbsp; und insbesondere auf den Abschnitt &nbsp;[[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Frequenzmodulation|Signalverläufe bei Frequenzmodulation]].
+*Gehen Sie bei der Berechnung von folgenden Werten der Besselfunktion aus:
+:$${\rm J}_0 (2.4) \approx 0, \hspace{0.2cm}{\rm J}_1 (2.4) = -{\rm J}_{-1} (2.4)\approx 0.52, \hspace{0.2cm}{\rm J}_2 (2.4) = {\rm J}_{-2} (2.4)\approx 0.43.$$
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wie groß ist die Modulatorkonstante?
+{Wie groß ist die Modulatorkonstante &nbsp;$K_{\rm FM}$?
 |type="{}"}
-$K_FM$ = { 7.54 3% } $(Vs)^{-1}$
+$K_{\rm FM} \ = \ $ { 7.54 3% } $\ \cdot 10^4 \ \rm (Vs)^{-1}$
-{Berechnen Sie den Realteil $x(t) = Re[r_{TP}(t)]$ des äquivalenten TP-Signals und geben Sie dessen Maximum und Minimum an.
+{Berechnen Sie den Realteil &nbsp;$x(t) = {\rm Re}\big[r_{\rm TP}(t)\big]$&nbsp; des äquivalenten Tiefpass-Signals und geben Sie dessen Maximum und Minimum an.
 |type="{}"}
-$x_{max}$ = { 0.86 3% }
+$x_{\rm max} \ = \ $ { 0.86 3% }
-$x_{min}$ = { -0.86 3% }
+$x_{\rm min} \ = \ $ { -0.89--0.83 }
-{Wie groß ist das Maximum und Minimum des Imaginärteils $y(t) = Im[r_TP(t)]$?
+{Wie groß ist das Maximum und Minimum des Imaginärteils &nbsp;$y(t) = {\rm Im}\big[r_{\rm TP}(t)\big]$?
 |type="{}"}
-$y_{max}$ = { 1.04 3% }
+$y_{\rm max} \ = \ $ { 1.04 3% }
-$y_{min}$ = { -1.04 3% }
+$y_{\rm min} \ = \ $ { -1.07--1.01 }
-{Welche asenwerte ergeben sich bei allen Vielfachen von $T_N/2$?
+{Welche Phasenwerte ergeben sich bei allen Vielfachen von &nbsp;$T_{\rm N}/2$?
 |type="{}"}
-$ϕ(t = n · T_N/2)$ = { 0 3% } $Grad$
+$ϕ(t = n · T_{\rm N}/2) \ = \ $ { 0. } $\ \rm Grad$
-{Wie groß ist der maximale Phasenwinkel $ϕ_{max}$? Interpretieren Sie das Ergebnis.
+{Wie groß ist der maximale Phasenwinkel &nbsp;$ϕ_{\rm max}$?&nbsp; Interpretieren Sie das Ergebnis.
 |type="{}"}
-$ϕ_{max}$ = { 129.6 3% } $Grad$
+$ϕ_{\rm max} \ = \ $ { 129.6 3% } $\ \rm Grad$
-{Zeigen Sie, dass man die Ortskurve in der Form $y^² + a · x + b = 0$ angeben kann. Bestimmen Sie die Parabelparameter a und b.
+{Zeigen Sie, dass man die Ortskurve in der Form &nbsp;$y^2 + a · x + b = 0$&nbsp; angeben kann.&nbsp; Bestimmen Sie die Parabelparameter &nbsp;$a$&nbsp; und &nbsp;$b$.
 |type="{}"}
-$a$ = { 0.629 3%  }
+$a\ = \ $ { 0.629 3%  }
-$b$ = { 0.541 3% }
+$b\ = \ $ { 0.541 3% }
 </quiz>
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.''' Bei Frequenzmodulation eines Cosinussignals gilt für den Modulationsindex:
+'''(1)'''&nbsp; Bei Frequenzmodulation eines Cosinussignals gilt für den Modulationsindex:
-$$ \eta = \frac{K_{\rm FM} \cdot A_{\rm N}}{ \omega_{\rm N}} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} K_{\rm FM} =  \frac{2 \pi \cdot f_{\rm N }\cdot \eta}{ A_{\rm N}}=$$
+:$$ \eta = \frac{K_{\rm FM} \cdot A_{\rm N}}{ \omega_{\rm N}} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} K_{\rm FM} =  \frac{2 \pi \cdot f_{\rm N }\cdot \eta}{ A_{\rm N}} = \frac{2 \pi \cdot 5 \cdot 10^3 \,{\rm Hz}\cdot 2.4}{ 1\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 7.54 }\cdot 10^4 \,\,{\rm V}^{-1}{\rm s}^{-1}\hspace{0.05cm}.$$
-$$= \frac{2 \pi \cdot 5 \cdot 10^3 \,{\rm Hz}\cdot 2.4}{ 1\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 7.54 }\cdot 10^4 \,\,{\rm V}^{-1}{\rm s}^{-1}\hspace{0.05cm}.$$
-'''2.'''   Die angegebene Gleichung für das äquivalente TP–Signal lautet in ausgeschriebener Form mit der Abkürzung $γ = ω_N · t$ unter Berücksichtigung von $J_{–1} = –J_1$ und $J_{–2} = J_2$:
-$$r_{\rm TP}(t)  =  {\rm J}_0 + \left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} - {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} \right]\cdot {\rm J}_1 \hspace{0.27cm} +\left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} \right]\cdot {\rm J}_2 =$$
-$$ =  {\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm j} \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin (\gamma)+ 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2\gamma)\hspace{0.05cm} .$$
+'''(2)'''&nbsp; Die angegebene Gleichung für das äquivalente TP–Signal lautet in ausgeschriebener Form mit&nbsp; $γ = ω_{\rm N} · t$&nbsp; unter Berücksichtigung von&nbsp; ${\rm J}_{–1} = –{\rm J}_1$&nbsp; und&nbsp; ${\rm J}_{–2} = {\rm J}_2$:
-Somit ergibt sich für den Realteil allgemein bzw. für $η = 2.4$, das heißt $J_0 = 0$, $J_2 = 0.43$:
+:$$r_{\rm TP}(t)  =  {\rm J}_0 + \left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} - {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} \right]\cdot {\rm J}_1 \hspace{0.27cm} +\left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} \right]\cdot {\rm J}_2 =  {\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm j} \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin (\gamma)+ 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2\gamma)\hspace{0.05cm} .$$
-$$ x(t) = {\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2 \omega_{\rm N} t ) = 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2 \omega_{\rm N} t ) \hspace{0.05cm}$$
+*Somit ergibt sich für den Realteil allgemein bzw. für&nbsp; $η = 2.4$, das heißt&nbsp; ${\rm J}_0 = 0$&nbsp; und&nbsp; ${\rm J}_2 = 0.43$:
-$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm max} = 2 \cdot {\rm J}_2\hspace{0.15cm}\underline { = 0.86}, \hspace{0.3cm} x_{\rm min} = -x_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline {= -0.86}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$ x(t) = {\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2 \omega_{\rm N} t ) = 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2 \omega_{\rm N} t ) \hspace{0.3cm}
-'''3.''' Entsprechend dem Ergebnis aus b) erhält man für den Imaginärteil ($J_1 = 0.52$):
+\Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm max} = 2 \cdot {\rm J}_2\hspace{0.15cm}\underline { = 0.86}, \hspace{0.3cm} x_{\rm min} = -x_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline {= -0.86}\hspace{0.05cm}.$$
-$$y(t) = 2 \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin ( \omega_{\rm N} t )\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} y_{\rm max} =2 \cdot {\rm J}_1\hspace{0.15cm}\underline { = 1.04}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} y_{\rm min} = -y_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline { = -1.04}\hspace{0.05cm}.$$
+'''(3)'''&nbsp; Entsprechend dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; erhält man für den Imaginärteil&nbsp; $({\rm J}_1 = 0.52)$:
+:$$y(t) = 2 \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin ( \omega_{\rm N} t )\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} y_{\rm max} =2 \cdot {\rm J}_1\hspace{0.15cm}\underline { = 1.04}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} y_{\rm min} = -y_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline { = -1.04}\hspace{0.05cm}.$$
+'''(4)'''&nbsp; Der Imaginärteil ist zu diesen Zeitpunkten jeweils Null und damit auch die Phasenfunktion: &nbsp;
+:$$ϕ(t = n · T_{\rm N}/2)\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
+*Diesen Sachverhalt erkennt man auch aus der Skizze auf der Angabenseite.
+'''(5)'''&nbsp; Aus der Skizze ist bereits zu erkennen, dass der Phasenwinkel beispielsweise für&nbsp; $t = T_{\rm N}/4$&nbsp; seinen Maximalwert erreicht.
+*Dieser kann mit&nbsp; $y_{\rm max} = 1.04$&nbsp; und&nbsp; $x_{\rm min} = -0.86$&nbsp; wie folgt berechnet werden:
+:$$\phi_{\rm max} = \arctan \frac{y_{\rm max}}{x_{\rm min}} = \arctan (-1.21) = 180^\circ - 50.4^\circ \hspace{0.15cm}\underline {= 129.6^\circ} \hspace{0.05cm}.$$
+*Ohne Bandbegrenzung würde sich hier der Phasenwinkel&nbsp; $ϕ(t = T_{\rm N}/4) = η = 2.4 = 137.5^\circ$&nbsp; ergeben.
+*Die maximale Abweichung des Sinkensignals vom Quellensignal tritt somit beispielsweise zur Zeit&nbsp; $t = T_{\rm N}/4$&nbsp; auf.
-'''4.''' Der Imaginärteil ist zu diesen Zeitpunkten jeweils 0 und damit auch die Phasenfunktion. Diesen Sachverhalt erkennt man auch aus der Skizze auf der Angabenseite.
+[[Datei:P_ID1113__Mod_A_3_8_f.png|right|frame|Parabelverlauf]]
+'''(6)'''&nbsp; Mit&nbsp; $γ = ω_{\rm N} · t$&nbsp; und&nbsp; $\cos(2γ) = 1 - 2 · \cos^2(γ)$&nbsp; kann für Real– und Imaginärteil geschrieben werden:
-'''5.''' Aus der Skizze ist bereits zu erkennen, dass der Phasenwinkel beispielsweise für $t = T_N/4$ seinen Maximalwert erreicht. Dieser kann mit $y_{max} = 1.04$ und $x_{min} = –0.86$ wie folgt berechnet werden:
+:$$x = {\rm J}_0 + 4 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos^2 (\gamma) - 2 \cdot {\rm J}_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} y = 2 \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin (\gamma) \hspace{0.05cm}.$$
-$$\phi_{\rm max} = \arctan \frac{y_{\rm max}}{x_{\rm min}} = \arctan (-1.21) = 180^\circ - 50.4^\circ \hspace{0.15cm}\underline {= 129.6^\circ} \hspace{0.05cm}.$$
-Ohne Bandbegrenzung würde sich hier der Phasenwinkel $ϕ(t = T_N/4) = η = 2.4 = 137.5°$ ergeben. Die maximale Abweichung des Sinkensignals vom Quellensignal tritt somit z.B. zur Zeit $t = T_N/4$ auf.
+*Diese Gleichungen können wie folgt umgeformt werden:
+:$$\cos^2 (\gamma) =\frac{x-{\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 }{4 \cdot {\rm J}_2} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \sin^2 (\gamma) = \frac{y^2 }{4 \cdot {\rm J}_1^2}$$
-'''6.''' Mit $γ = ω_N · t$ und $cos(2γ) = 1 – 2 · cos^2(γ)$ kann für Real– und Imaginärteil geschrieben werden:
-$$x = {\rm J}_0 + 4 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos^2 (\gamma) - 2 \cdot {\rm J}_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} y = 2 \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin (\gamma) \hspace{0.05cm}.$$
-Diese Gleichungen können wie folgt umgeformt werden:
-$$\cos^2 (\gamma) =\frac{x-{\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 }{4 \cdot {\rm J}_2} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \sin^2 (\gamma) = \frac{y^2 }{4 \cdot {\rm J}_1^2}$$
 $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{y^2 }{4 \cdot {\rm J}_1^2} + \frac{x-{\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 }{4 \cdot {\rm J}_2} =1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {y^2 } + \frac{{\rm J}_1^2}{ {\rm J}_2} \cdot x + {{\rm J}_1^2} \cdot \left ( 2 - \frac{{\rm J}_0}{ {\rm J}_2} \right ) =0\hspace{0.05cm}.$$
-[[Datei:P_ID1113__Mod_A_3_8_f.png|right|]]
+*Damit lauten die Parabelparameter für&nbsp; $ {\rm J}_0 = 0$:
-Damit lauten die Parabelparameter für $J_0 = 0$:
+:$$a = \frac{{\rm J}_1^2}{ {\rm J}_2} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.629}, \hspace{0.3cm} b = 2 \cdot {\rm J}_1^2 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.541} \hspace{0.05cm}.$$
-$$a = \frac{{\rm J}_1^2}{ {\rm J}_2} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.629}, \hspace{0.3cm} b = 2 \cdot {\rm J}_1^2 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.541} \hspace{0.05cm}.$$
+*Zur Kontrolle verwenden wir&nbsp; $y = 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $ x_{\rm max} = {b}/{a} = 2 \cdot {\rm J}_2 = 0.86 \hspace{0.05cm}.$
-Zur Kontrolle verwenden wir $y = 0$:
+*Die Werte bei&nbsp; $x = 0$&nbsp; sind somit: &nbsp; &nbsp; $y_0 = \pm \sqrt{2} \cdot {\rm J}_1 \approx 0.735 \hspace{0.05cm}.$
-$$ x_{\rm max} = \frac{b}{a} = 2 \cdot {\rm J}_2 = 0.86 \hspace{0.05cm}.$$
-Die Werte bei $x = 0$ sind somit:
-$$y_0 = \pm \sqrt{2} \cdot {\rm J}_1 \approx 0.735 \hspace{0.05cm}.$$
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