Aufgaben:Aufgabe 3.8Z: Kreis(ring)fläche: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID133__Sto_Z_3_8.png|right|Kreisringfläche]]
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Wir betrachten unterschiedlich große Kreise:  
 
Wir betrachten unterschiedlich große Kreise:  
*Der Radius $r$ und die Fläche $A$ lassen sich als Zufallsgrößen auffassen, die voneinander abhängen.  
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*Der Radius  $r$  und die Fläche  $A$  lassen sich als voneinander abhängige Zufallsgrößen auffassen.  
*Es wird vorausgesetzt, dass der Radius auf den Bereich $6 \le r \le 8$ beschränkt ist.
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*Es wird vorausgesetzt,  dass der Radius auf den Bereich  $6 \le r \le 8$  beschränkt ist.
  
In der oberen Skizze  ist der Bereich, in dem solche Kreise (alle mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung) liegen können, gelb markiert. Weiterhin kann davon ausgegangen werden, dass der Radius in diesem Intervall gleichverteilt ist:
 
$$f_r(r)=\left\{ \begin{array}{*{4}{c}} 0.5 & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm}{\rm 6\le \it r \le \rm 8}, \\\rm 0 & \rm sonst. \end{array} \right.$$
 
  
Ab der Teilaufgabe (5) werden schmale Kreisringe mit dem Mittelradius $r$ und der Breite $b$ betrachtet (untere Skizze):
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In der oberen Skizze  ist der Bereich,  in dem solche Kreise  $($alle mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung$)$  liegen können, gelb markiert.  Weiterhin kann davon ausgegangen werden,  dass der Radius in diesem Intervall gleichverteilt ist:
*Die Fläche eines solchen Kreisrings wird mit $R$ bezeichnet.  
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:$$f_r(r)=\left\{ \begin{array}{*{4}{c}} 0.5 & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm}{\rm 6\le \it r \le \rm 8}, \\\rm 0 & \rm sonst. \end{array} \right.$$
*Die möglichen Mittelradien $r$ seien wieder gleichverteilt zwischen $6$ und $8$, und die Kreisringbreite beträgt $b = 0.1$.
 
  
  
''Hinweise:''
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Ab der Teilaufgabe  '''(5)'''  werden schmale Kreisringe mit dem Mittenradius  $r$  und der Breite  $b$  betrachtet  $($untere Skizze$)$:
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen|Exponentialverteilte Zufallsgröße]].
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*Die Fläche eines solchen Kreisrings wird mit  $R$  bezeichnet.
*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transformation von Zufallsgrößen]].
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*Die möglichen Mittenradien  $r$  seien auch hier gleichverteilt zwischen  $6$  und  $8$.
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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*Die Kreisringbreite beträgt  $b = 0.1$.
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Hinweise:  
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen|Exponentialverteilte Zufallsgrößen]].
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*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transformation von Zufallsgrößen]].
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{Geben Sie die Transformationskennlinie $A = g(r)$ analytisch an. Wie gro&szlig; ist der Minimalwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $A$?
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{Geben Sie die Transformationskennlinie&nbsp; $A = g(r)$&nbsp; analytisch an.&nbsp; Wie gro&szlig; ist der Minimalwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $A$?
 
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$A_\text{min} \ = $ { 113.09 3% }
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$A_\text{min} \ = \ $ { 113.09 3% }
  
  
{Wie gro&szlig; ist der Maximalwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $A$?
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{Wie gro&szlig; ist der Maximalwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $A$?
 
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$A_\text{max} \ = $ { 201.06 3% }
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$A_\text{max} \ = \ $ { 201.06 3% }
  
  
{Welcher Wert $m_{ A} = {\rm E}[A]$ ergibt sich f&uuml;r die &bdquo;mittlere&rdquo; Kreisfl&auml;che?
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{Welcher Wert&nbsp; $m_{ A} = {\rm E}\big[A\big]$&nbsp; ergibt sich f&uuml;r die &bdquo;mittlere&rdquo; Kreisfl&auml;che?
 
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$m_{ A} \ = $ { 154.98 3% }
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$m_{ A} \ = \ $ { 154.98 3% }
  
  
{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $A$. Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Fl&auml;che $A$ gr&ouml;&szlig;er als $150$ ist?
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{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $A$.&nbsp; Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Fl&auml;che&nbsp; $A> 150$&nbsp; ist?
 
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${\rm Pr}(A > 150) \ = $ { 0.545 3% }
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${\rm Pr}(A > 150) \ = \ $ { 54.5 3% } $\ \%$
  
  
{Welche WDF besitzt die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $R$ (Fl&auml;che der Kreisringe gemäß der unteren Skizze)? Wie groß ist deren Minimalwert? Es gelte $b = 0.1$.
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{Welche WDF besitzt die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $R$&nbsp; $($Fl&auml;che der Kreisringe gemäß der unteren Skizze$)$?&nbsp; Wie groß ist deren Minimalwert?&nbsp; Es gelte&nbsp; $b = 0.1$.
 
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$b=0.1$: &nbsp; &nbsp; $R_\text{min} \ = $ { 3.77 3% }
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$R_\text{min} \ = \ $ { 3.77 3% }
  
  
{Welchen Maximalwert besitzt die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $R$?
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{Es gelte weiter&nbsp; $b = 0.1$. Welchen Maximalwert besitzt die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $R$?
 
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$b=0.1$: &nbsp; &nbsp; $R_\text{max} \ = $ { 5.03 3% }
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$R_\text{max} \ = \ $ { 5.03 3% }
  
  
{Wie groß ist der Erwartungswert der Zufallsgröße $R$?
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{Wie groß ist der Erwartungswert der Zufallsgröße&nbsp; $R$&nbsp; für&nbsp; $b = 0.1$?
 
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$b=0.1$: &nbsp; &nbsp; ${\rm E}[R] \ = $ { 4.4 3% }
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${\rm E}\big[R\big] \ = \ $ { 4.4 3% }
  
  
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===Musterlösung===
 
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'''(1)'''&nbsp; Die Gleichung der Kreisfl&auml;che ist gleichzeitig die Transformationskennlinie: $A = \pi \cdot r^2$. Daraus ergibt sich mit $r = 6$ f&uuml;r den Minimalwert: &nbsp; $A_\text{min} \hspace{0.15cm}\underline {= 113.09}$.
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'''(1)'''&nbsp; Die Gleichung der Kreisfl&auml;che ist gleichzeitig die Transformationskennlinie: &nbsp; $A = \pi \cdot r^2$.
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*Daraus ergibt sich mit&nbsp; $r = 6$&nbsp; f&uuml;r den Minimalwert: &nbsp;  
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:$$A_\text{min} \hspace{0.15cm}\underline {= 113.09}.$$
  
  
'''(2)'''&nbsp; Entsprechend gilt mit $r = 8$ f&uuml;r den Maximalwert: &nbsp; $A_\text{max} \hspace{0.15cm}\underline {= 201.06}$.
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'''(2)'''&nbsp; Entsprechend gilt mit&nbsp; $r = 8$&nbsp; f&uuml;r den Maximalwert: &nbsp;  
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:$$A_\text{max} \hspace{0.15cm}\underline {= 201.06}.$$
  
  
 
'''(3)'''&nbsp; Am einfachsten l&ouml;st man diese Aufgabe wie folgt:
 
'''(3)'''&nbsp; Am einfachsten l&ouml;st man diese Aufgabe wie folgt:
$$m_{A}={\rm E}[A]={\rm E}[g(r)]=\int_{ -\infty}^{+\infty}g(r)\cdot f_r(r) {\rm d}r.$$
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:$$m_{\rm A}={\rm E}\big[A\big]={\rm E}\big[g(r)\big]=\int_{ -\infty}^{+\infty}g(r)\cdot f_r(r) {\rm d}r.$$
  
Mit $g(r) = \pi \cdot r^2$ und $f_r(r) = 1/2$ im Bereich von $6$ ... $8$ erh&auml;lt man:
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*Mit&nbsp; $g(r) = \pi \cdot r^2$&nbsp; und&nbsp; $f_r(r) = 1/2$&nbsp; im Bereich von&nbsp; $6$ ... $8$&nbsp; erh&auml;lt man:
$$m_{A}=\int_{\rm 6}^{\rm 8}1/2 \cdot\pi\cdot r^{\rm 2}\, {\rm d} \it r=\frac{\pi}{\rm 6}\cdot \rm ( 8^3-6^3)
+
:$$m_{\rm A}=\int_{\rm 6}^{\rm 8}1/2 \cdot\pi\cdot r^{\rm 2}\, {\rm d} \it r=\frac{\pi}{\rm 6}\cdot \rm ( 8^3-6^3)
 
\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 154.98}.$$
 
\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 154.98}.$$
  
  
'''(4)'''&nbsp; Die WDF der transformierten Zufallsgr&ouml;&szlig;e $A$ lautet:
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'''(4)'''&nbsp; Die WDF der transformierten Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $A$&nbsp; lautet:
$$f_A(A)=\frac{f_r(r)}{|g'(r)|}\Bigg|_{r=h(y) = \sqrt{A/ \pi }}.$$
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:$$f_A(A)=\frac{f_r(r)}{|g\hspace{0.05cm}'(r)|}\Bigg|_{r=h(y) = \sqrt{A/ \pi }}.$$
  
Im Bereich zwischen $A_\text{min}  {= 113.09}$ und $A_\text{max}  {= 201.06}$ gilt dann:
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*Im Bereich zwischen&nbsp; $A_\text{min}  {= 113.09}$&nbsp; und&nbsp; $A_\text{max}  {= 201.06}$&nbsp; gilt dann:
$$f_A(A)=\frac{\rm 1/2}{\rm 2\cdot \pi\cdot\it r}\Bigg|_{\it r=\sqrt{\it A/\rm \pi}}=\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\sqrt{\it A\cdot\rm \pi}}.$$
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:$$f_A(A)=\frac{\rm 1/2}{\rm 2\cdot \pi\cdot\it r}\Bigg|_{\it r=\sqrt{\it A/\rm \pi}}=\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\sqrt{\it A\cdot\rm \pi}}.$$
  
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erh&auml;lt man durch Integration:  
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*Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erh&auml;lt man durch Integration:  
$${\rm Pr}(A> 150)=\int_{\rm 150}^{\it A_{\rm max}}\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\sqrt{\it A\cdot\rm \pi}} \; \rm d \it A= \frac{\rm 2\cdot\sqrt{\it A}}{\rm 4\cdot\sqrt{\pi}}\Big|_{\rm 150}^{\it A_{\rm max}}.$$
+
:$${\rm Pr}(A> 150)=\int_{\rm 150}^{\it A_{\rm max}}\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\sqrt{\it A\cdot\rm \pi}} \; \rm d \it A= \frac{\rm 2\cdot\sqrt{\it A}}{\rm 4\cdot\sqrt{\pi}}\Big|_{\rm 150}^{\it A_{\rm max}}.$$
  
Die obere Integrationsgrenze liefert den Wert $4$ und die untere Grenze $3.455$. Daraus ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A> 150) \hspace{0.15cm}\underline {=0.545}$.
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*Die obere Integrationsgrenze liefert den Wert&nbsp; $4$&nbsp; und die untere Grenze&nbsp; $3.455$.&nbsp; Daraus ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
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:$${\rm Pr}(A> 150) \hspace{0.15cm}\underline {=54.5\%}.$$
  
  
'''(5)'''&nbsp; F&uuml;r die Kreisringfl&auml;che $R$ gilt bei gegebenem Radius $r$:
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'''(5)'''&nbsp; F&uuml;r die Kreisringfl&auml;che&nbsp; $R$&nbsp; gilt bei gegebenem Radius&nbsp; $r$:
$$R=\left (r+{b}/{\rm 2} \right)^{\rm 2}\cdot \rm\pi-\left ({\it r}-{\it b}/{\rm 2} \right)^{\rm 2}\cdot \rm\pi= \rm2\cdot\pi\cdot\it r \cdot b.$$
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:$$R=\left (r+{b}/{\rm 2} \right)^{\rm 2}\cdot \rm\pi-\left ({\it r}-{\it b}/{\rm 2} \right)^{\rm 2}\cdot \rm\pi= \rm2\cdot\pi\cdot\it r \cdot b.$$
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*Zwischen&nbsp; $R$&nbsp; und&nbsp; $r$&nbsp; besteht also ein linearer Zusammenhang.
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*Das heißt:&nbsp; $R$&nbsp; ist ebenfalls gleichverteilt und zwar unabh&auml;ngig von der Breite&nbsp; $b$,&nbsp; solange&nbsp; $b \ll r$&nbsp; ist.
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*F&uuml;r den Minimalwert gilt:
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:$$R_{\rm min}=\rm 2\pi\cdot 6\cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline{\approx3.77}. $$
  
Zwischen $R$ und $r$ besteht also ein linearer Zusammenhang. Das heißt, $R$ ist ebenfalls gleichverteilt und zwar unabh&auml;ngig von der Breite $b$, solange $b \ll r$ ist. F&uuml;r den Minimalwert gilt:
 
$$R_{\rm min}=\rm 2\pi\cdot 6\cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline{\approx3.77}. $$
 
  
 
'''(6)'''&nbsp; Entsprechend ist der Maximalwert:
 
'''(6)'''&nbsp; Entsprechend ist der Maximalwert:
$$R_{\rm max}=\rm 2\pi\cdot 8\cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline{\approx 5.03}.$$
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:$$R_{\rm max}=\rm 2\pi\cdot 8\cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline{\approx 5.03}.$$
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'''(7)'''&nbsp; Aufgrund des linearen Zusammenhangs zwischen $R$ und  $r$ führt der mittlere Radius $r = 7$  auch zur mittleren Kreisringfl&auml;che:
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'''(7)'''&nbsp; Aufgrund des linearen Zusammenhangs zwischen&nbsp; $R$&nbsp; und&nbsp; $r$&nbsp; führt der mittlere Radius&nbsp; $r = 7$&nbsp; auch zur mittleren Kreisringfl&auml;che:
$${\rm E}[R]=\rm 2\pi\cdot 7\cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline{\approx 4.4}.$$
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:$${\rm E}\big[R\big]=\rm 2\pi\cdot 7\cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline{\approx 4.4}.$$
  
 
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Aktuelle Version vom 2. Februar 2022, 15:10 Uhr

Zu den Kreisringflächen

Wir betrachten unterschiedlich große Kreise:

  • Der Radius  $r$  und die Fläche  $A$  lassen sich als voneinander abhängige Zufallsgrößen auffassen.
  • Es wird vorausgesetzt,  dass der Radius auf den Bereich  $6 \le r \le 8$  beschränkt ist.


In der oberen Skizze ist der Bereich,  in dem solche Kreise  $($alle mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung$)$  liegen können, gelb markiert.  Weiterhin kann davon ausgegangen werden,  dass der Radius in diesem Intervall gleichverteilt ist:

$$f_r(r)=\left\{ \begin{array}{*{4}{c}} 0.5 & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm}{\rm 6\le \it r \le \rm 8}, \\\rm 0 & \rm sonst. \end{array} \right.$$


Ab der Teilaufgabe  (5)  werden schmale Kreisringe mit dem Mittenradius  $r$  und der Breite  $b$  betrachtet  $($untere Skizze$)$:

  • Die Fläche eines solchen Kreisrings wird mit  $R$  bezeichnet.
  • Die möglichen Mittenradien  $r$  seien auch hier gleichverteilt zwischen  $6$  und  $8$.
  • Die Kreisringbreite beträgt  $b = 0.1$.



Hinweise:



Fragebogen

1

Geben Sie die Transformationskennlinie  $A = g(r)$  analytisch an.  Wie groß ist der Minimalwert der Zufallsgröße  $A$?

$A_\text{min} \ = \ $

2

Wie groß ist der Maximalwert der Zufallsgröße  $A$?

$A_\text{max} \ = \ $

3

Welcher Wert  $m_{ A} = {\rm E}\big[A\big]$  ergibt sich für die „mittlere” Kreisfläche?

$m_{ A} \ = \ $

4

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsgröße  $A$.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Fläche  $A> 150$  ist?

${\rm Pr}(A > 150) \ = \ $

$\ \%$

5

Welche WDF besitzt die Zufallsgröße  $R$  $($Fläche der Kreisringe gemäß der unteren Skizze$)$?  Wie groß ist deren Minimalwert?  Es gelte  $b = 0.1$.

$R_\text{min} \ = \ $

6

Es gelte weiter  $b = 0.1$. Welchen Maximalwert besitzt die Zufallsgröße  $R$?

$R_\text{max} \ = \ $

7

Wie groß ist der Erwartungswert der Zufallsgröße  $R$  für  $b = 0.1$?

${\rm E}\big[R\big] \ = \ $


Musterlösung

(1)  Die Gleichung der Kreisfläche ist gleichzeitig die Transformationskennlinie:   $A = \pi \cdot r^2$.

  • Daraus ergibt sich mit  $r = 6$  für den Minimalwert:  
$$A_\text{min} \hspace{0.15cm}\underline {= 113.09}.$$


(2)  Entsprechend gilt mit  $r = 8$  für den Maximalwert:  

$$A_\text{max} \hspace{0.15cm}\underline {= 201.06}.$$


(3)  Am einfachsten löst man diese Aufgabe wie folgt:

$$m_{\rm A}={\rm E}\big[A\big]={\rm E}\big[g(r)\big]=\int_{ -\infty}^{+\infty}g(r)\cdot f_r(r) {\rm d}r.$$
  • Mit  $g(r) = \pi \cdot r^2$  und  $f_r(r) = 1/2$  im Bereich von  $6$ ... $8$  erhält man:
$$m_{\rm A}=\int_{\rm 6}^{\rm 8}1/2 \cdot\pi\cdot r^{\rm 2}\, {\rm d} \it r=\frac{\pi}{\rm 6}\cdot \rm ( 8^3-6^3) \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 154.98}.$$


(4)  Die WDF der transformierten Zufallsgröße  $A$  lautet:

$$f_A(A)=\frac{f_r(r)}{|g\hspace{0.05cm}'(r)|}\Bigg|_{r=h(y) = \sqrt{A/ \pi }}.$$
  • Im Bereich zwischen  $A_\text{min} {= 113.09}$  und  $A_\text{max} {= 201.06}$  gilt dann:
$$f_A(A)=\frac{\rm 1/2}{\rm 2\cdot \pi\cdot\it r}\Bigg|_{\it r=\sqrt{\it A/\rm \pi}}=\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\sqrt{\it A\cdot\rm \pi}}.$$
  • Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man durch Integration:
$${\rm Pr}(A> 150)=\int_{\rm 150}^{\it A_{\rm max}}\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\sqrt{\it A\cdot\rm \pi}} \; \rm d \it A= \frac{\rm 2\cdot\sqrt{\it A}}{\rm 4\cdot\sqrt{\pi}}\Big|_{\rm 150}^{\it A_{\rm max}}.$$
  • Die obere Integrationsgrenze liefert den Wert  $4$  und die untere Grenze  $3.455$.  Daraus ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
$${\rm Pr}(A> 150) \hspace{0.15cm}\underline {=54.5\%}.$$


(5)  Für die Kreisringfläche  $R$  gilt bei gegebenem Radius  $r$:

$$R=\left (r+{b}/{\rm 2} \right)^{\rm 2}\cdot \rm\pi-\left ({\it r}-{\it b}/{\rm 2} \right)^{\rm 2}\cdot \rm\pi= \rm2\cdot\pi\cdot\it r \cdot b.$$
  • Zwischen  $R$  und  $r$  besteht also ein linearer Zusammenhang.
  • Das heißt:  $R$  ist ebenfalls gleichverteilt und zwar unabhängig von der Breite  $b$,  solange  $b \ll r$  ist.
  • Für den Minimalwert gilt:
$$R_{\rm min}=\rm 2\pi\cdot 6\cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline{\approx3.77}. $$


(6)  Entsprechend ist der Maximalwert:

$$R_{\rm max}=\rm 2\pi\cdot 8\cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline{\approx 5.03}.$$


(7)  Aufgrund des linearen Zusammenhangs zwischen  $R$  und  $r$  führt der mittlere Radius  $r = 7$  auch zur mittleren Kreisringfläche:

$${\rm E}\big[R\big]=\rm 2\pi\cdot 7\cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline{\approx 4.4}.$$