Aufgaben:Aufgabe 3.8Z: Faltung zweier Rechtecke: Unterschied zwischen den Versionen

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Am Eingang eines kausalen LZI-Systems (also linear und zeitinvariant) mit einer rechteckförmigen Impulsantwort ${h(t)}$ der Dauer $2 \,\text{ms}$ liegt ein Rechteckimpuls ${x(t)}$ der Dauer $T = 3 \,\text{ms}$ und der Amplitude $A = 2\,\text{ V}$ an. Die beiden Rechteckfunktionen beginnen jeweils zum Zeitpunkt $t = 0$.
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Am Eingang eines kausalen LZI-Systems  (also linear und zeitinvariant)  mit einer rechteckförmigen Impulsantwort  ${h(t)}$  der Dauer  $2 \,\text{ms}$  liegt ein Rechteckimpuls  ${x(t)}$  der Dauer  $T = 3 \,\text{ms}$  und der Amplitude  $A = 2\,\text{ V}$  an.  Die Rechteckfunktionen beginnen jeweils zum Zeitpunkt  $t = 0$.
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In dieser Aufgabe sollen Sie das Ausgangssignal  ${y(t)}$  mit Hilfe der grafischen Faltung berechnen.  Wie man leicht nachprüfen kann, ist das Ausgangssignal  ${y(t)}$
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*nur im Bereich von  $0$  bis  $5 \, \text{ms}$  von Null verschieden, und
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*symmetrisch zum Zeitpunkt  $t = 2.5 \, \text{ms}$.
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In dieser Aufgabe sollen Sie das Ausgangssignal ${y(t)}$ mit Hilfe der grafischen Faltung berechnen. Wie man leicht nachprüfen kann, ist das Ausgangssignal ${y(t)}$
 
*nur im Bereich von $0$ bis $5 \text{ms}$ von Null verschieden,
 
*symmetrisch zum Zeitpunkt $t = 2.5 \text{ms}$.
 
  
 
''Hinweise:''  
 
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungssatz und Faltungsoperation]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungssatz und Faltungsoperation]].
*Sie bezieht sich vorwiegend auf die Seite [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Grafische_Faltung|Grafische Faltung]]
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*Sie bezieht sich vorwiegend auf die Seite  [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Grafische_Faltung|Grafische Faltung]]
*Die Thematik dieses Abschnitts wird auch im Interaktionsmodul [[Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]] veranschaulicht.
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*Die Thematik dieses Abschnitts wird auch im interaktiven Applet  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]] veranschaulicht.
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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{Berechnen Sie die Signalwerte zu den Zeitpunkten $t = 1 \,\text{ms}$ und $t = 2 \,\text{ms}$.
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{Berechnen Sie die Signalwerte zu den Zeitpunkten&nbsp; $t = 1 \,\text{ms}$&nbsp; und&nbsp; $t = 2 \,\text{ms}$.
 
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$y(t = 1 \,\text{ms})$ &nbsp;= { 0.6 3% } &nbsp;$\text{V}$
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{Bestimmen Sie die Signalwerte für die Zeitpunkte&nbsp; $t = 3 \,\text{ms}$&nbsp; und&nbsp; $t = 4 \,\text{ms}$&nbsp; durch Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften.
 
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$y(t = 4 \,\text{ms})\ = \ $ { 0.6 3% } &nbsp;$\text{V}$
  
  
 
{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 
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+ Das Ausgangssignal ${y(t)}$ hat einen trapezförmigen Verlauf.
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+ Das Ausgangssignal&nbsp; ${y(t)}$&nbsp; hat einen trapezförmigen Verlauf.
- Das Spektrum lautet: ${Y(f)} = Y_0 \cdot \text{si}^{2}(\pi f T)$.
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- Das Spektrum lautet: &nbsp; ${Y(f)} = Y_0 \cdot \text{si}^{2}(\pi f T)$.
+ Mit $T = 2 \,\text{ms}$ würde sich eine Dreiecksform ergeben.
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+ Mit&nbsp; $T = 2 \,\text{ms}$&nbsp; würde sich eine Dreiecksform ergeben.
  
  
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'''1.'''  Allgemein gilt für das Faltungsintegral:
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'''(1)'''&nbsp; Allgemein gilt für das Faltungsintegral:
 
:$$y(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( \tau  ) \cdot h( {t - \tau } )}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau.$$
 
:$$y(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( \tau  ) \cdot h( {t - \tau } )}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau.$$
''Hinweis:'' Die Abszissen in nebenstehender Grafik wurden zu $\tau$ umbenannt.
 
  
Der Signalwert zum Zeitpunkt $t = 1 \,\text{ms}$ kann wie folgt berechnet werden:
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Der Signalwert zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 1 \,\text{ms}$&nbsp; kann wie folgt berechnet werden:
*Spiegelung der Impulsantwort ${h(\tau)}$,  
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*Spiegelung der Impulsantwort&nbsp; ${h(\tau)}$,  
*Verschiebung um $t = 1 \text{ms}$ nach rechts (violette Kurve in der Skizze),  
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*Verschiebung um&nbsp; $t = 1 \text{ ms}$&nbsp; nach rechts (violette Kurve in der Skizze),  
 
*Multiplikation der beiden Funktionen sowie Integration.  
 
*Multiplikation der beiden Funktionen sowie Integration.  
  
  
Das Produkt ist ebenfalls rechteckförmig mit der Höhe $2 \text{V} \cdot 300 \; \text{1/s}$ und der Breite $1 \,\text{ms}$. Daraus ergibt sich für die Fläche:
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Das Produkt ist ebenfalls rechteckförmig mit Höhe&nbsp; $2 \text{ V} \cdot 300 \; \text{1/s}$&nbsp; und Breite&nbsp; $1 \,\text{ms}$. Daraus ergibt sich für die Fläche:
 
:$$y( {t = 1\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$
 
:$$y( {t = 1\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$
Das grüne Rechteck verdeutlicht die Berechnung des zweiten Signalwertes. Nun ist das resultierende Rechteck nach der Multiplikation doppelt so breit und man erhält:
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Das grüne Rechteck verdeutlicht die Berechnung des zweiten Signalwertes.&nbsp; Nun ist das resultierende Rechteck nach der Multiplikation doppelt so breit und man erhält:
 
:$$y( {t = 2\;{\rm{ms}}} ) = 2\;{\rm{V}} \cdot {\rm{300}}\;{1}/{{\rm{s}}} \cdot 2\;{\rm{ms}}\hspace{0.15 cm}\underline{={\rm{1.2}}\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$
 
:$$y( {t = 2\;{\rm{ms}}} ) = 2\;{\rm{V}} \cdot {\rm{300}}\;{1}/{{\rm{s}}} \cdot 2\;{\rm{ms}}\hspace{0.15 cm}\underline{={\rm{1.2}}\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$
  
'''2.''' Wegen der Symmetrie von ${y(t)}$ bezüglich des Zeitpunktes $t = 2.5\, \text {ms}$ gilt:
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'''(2)'''&nbsp; Wegen der Symmetrie von&nbsp; ${y(t)}$&nbsp; bezüglich des Zeitpunktes&nbsp; $t = 2.5\, \text {ms}$&nbsp; gilt:
 
:$$y( {t = 3\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 2\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm{1}}{\rm{.2}}\;{\rm{V}}}{\rm{,}}$$
 
:$$y( {t = 3\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 2\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm{1}}{\rm{.2}}\;{\rm{V}}}{\rm{,}}$$
 
:$$y( {t = 4\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 1\;{\rm{ms}}} )\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$
 
:$$y( {t = 4\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 1\;{\rm{ms}}} )\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$
  
[[Datei:P_ID537__Sig_Z_3_8_c.png|right|]]
 
'''3.'''  In den Teilaufgaben (1) und (2) wurden die Signalwerte zu diskreten Zeitpunkten berechnet. Alle Punkte sind durch Geradenstücke zu verbinden, da die Integration über Rechteckfunktionen wachsender Breite einen linearen Verlauf ergibt. Das heißt: ${y(t)}$ ist trapezförmig.
 
  
Das dazugehörige Spektrum ist komplex und lautet:
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[[Datei:P_ID537__Sig_Z_3_8_c.png|right|frame|Gesamtes Faltungsergebnis&nbsp; $y(t)$]]
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'''(3)'''&nbsp;  Richtig sind die Lösungsvorschläge <u>1 und 3</u>:
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*In den Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; und&nbsp; '''(2)'''&nbsp; wurden die Signalwerte zu diskreten Zeitpunkten berechnet.
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*Alle Punkte sind durch Geradenstücke zu verbinden, da die Integration über Rechteckfunktionen wachsender Breite einen linearen Verlauf ergibt.&nbsp; Das heißt:&nbsp; Das Ausgangssignal&nbsp; ${y(t)}$&nbsp; ist trapezförmig.
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*Das dazugehörige Spektrum ist komplex und lautet:
 
:$$Y(f) = 6 \cdot 10^{ - 3} \;{{\rm{V}}}/{{{\rm{Hz}}}} \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {2\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {3\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2.5\;{\rm{ms}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi }}f} .$$
 
:$$Y(f) = 6 \cdot 10^{ - 3} \;{{\rm{V}}}/{{{\rm{Hz}}}} \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {2\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {3\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2.5\;{\rm{ms}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi }}f} .$$
*Hätte der Eingangsimpuls ${x(t)}$ die Dauer $T = 2\, \text {ms}$, so würde ${y(t)}$ einen dreieckförmigen Signalverlauf zwischen ${t = 0}$ und $t = 4 \, \text {ms}$ zeigen.  
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*Hätte der Eingangsimpuls&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; die Dauer&nbsp; $T = 2\, \text {ms}$, so würde&nbsp; ${y(t)}$&nbsp; einen dreieckförmigen Signalverlauf zwischen&nbsp; ${t = 0}$&nbsp; und&nbsp; $t = 4 \text { ms}$&nbsp; zeigen.&nbsp; Das Maximum&nbsp; $1.2 \, \text {V}$&nbsp; ergäbe sich dann nur zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 2 \, \text {ms}$.  
*Das Maximum $1.2 \, \text {V}$ ergäbe sich dann nur zum Zeitpunkt $t = 2 \, \text {ms}$.  
 
  
Richtig sind somit die Lösungsvorschläge <u>1 und 3</u>.
 
 
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Aktuelle Version vom 29. April 2021, 14:15 Uhr

Zur Faltung zweier Rechtecke

Am Eingang eines kausalen LZI-Systems  (also linear und zeitinvariant)  mit einer rechteckförmigen Impulsantwort  ${h(t)}$  der Dauer  $2 \,\text{ms}$  liegt ein Rechteckimpuls  ${x(t)}$  der Dauer  $T = 3 \,\text{ms}$  und der Amplitude  $A = 2\,\text{ V}$  an.  Die Rechteckfunktionen beginnen jeweils zum Zeitpunkt  $t = 0$.

In dieser Aufgabe sollen Sie das Ausgangssignal  ${y(t)}$  mit Hilfe der grafischen Faltung berechnen.  Wie man leicht nachprüfen kann, ist das Ausgangssignal  ${y(t)}$

  • nur im Bereich von  $0$  bis  $5 \, \text{ms}$  von Null verschieden, und
  • symmetrisch zum Zeitpunkt  $t = 2.5 \, \text{ms}$.





Hinweise:



Fragebogen

1

Berechnen Sie die Signalwerte zu den Zeitpunkten  $t = 1 \,\text{ms}$  und  $t = 2 \,\text{ms}$.

$y(t = 1 \,\text{ms})\ = \ $

 $\text{V}$
$y(t = 2 \,\text{ms})\ = \ $

 $\text{V}$

2

Bestimmen Sie die Signalwerte für die Zeitpunkte  $t = 3 \,\text{ms}$  und  $t = 4 \,\text{ms}$  durch Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften.

$y(t = 3 \,\text{ms})\ = \ $

 $\text{V}$
$y(t = 4 \,\text{ms})\ = \ $

 $\text{V}$

3

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

Das Ausgangssignal  ${y(t)}$  hat einen trapezförmigen Verlauf.
Das Spektrum lautet:   ${Y(f)} = Y_0 \cdot \text{si}^{2}(\pi f T)$.
Mit  $T = 2 \,\text{ms}$  würde sich eine Dreiecksform ergeben.


Musterlösung

Zur grafischen Faltung  $x(t) \star h(t)$;
die Abszissen wurden in  $\tau$  umbenannt

(1)  Allgemein gilt für das Faltungsintegral:

$$y(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( \tau ) \cdot h( {t - \tau } )}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau.$$

Der Signalwert zum Zeitpunkt  $t = 1 \,\text{ms}$  kann wie folgt berechnet werden:

  • Spiegelung der Impulsantwort  ${h(\tau)}$,
  • Verschiebung um  $t = 1 \text{ ms}$  nach rechts (violette Kurve in der Skizze),
  • Multiplikation der beiden Funktionen sowie Integration.


Das Produkt ist ebenfalls rechteckförmig mit Höhe  $2 \text{ V} \cdot 300 \; \text{1/s}$  und Breite  $1 \,\text{ms}$. Daraus ergibt sich für die Fläche:

$$y( {t = 1\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$

Das grüne Rechteck verdeutlicht die Berechnung des zweiten Signalwertes.  Nun ist das resultierende Rechteck nach der Multiplikation doppelt so breit und man erhält:

$$y( {t = 2\;{\rm{ms}}} ) = 2\;{\rm{V}} \cdot {\rm{300}}\;{1}/{{\rm{s}}} \cdot 2\;{\rm{ms}}\hspace{0.15 cm}\underline{={\rm{1.2}}\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$


(2)  Wegen der Symmetrie von  ${y(t)}$  bezüglich des Zeitpunktes  $t = 2.5\, \text {ms}$  gilt:

$$y( {t = 3\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 2\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm{1}}{\rm{.2}}\;{\rm{V}}}{\rm{,}}$$
$$y( {t = 4\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 1\;{\rm{ms}}} )\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$


Gesamtes Faltungsergebnis  $y(t)$

(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • In den Teilaufgaben  (1)  und  (2)  wurden die Signalwerte zu diskreten Zeitpunkten berechnet.
  • Alle Punkte sind durch Geradenstücke zu verbinden, da die Integration über Rechteckfunktionen wachsender Breite einen linearen Verlauf ergibt.  Das heißt:  Das Ausgangssignal  ${y(t)}$  ist trapezförmig.
  • Das dazugehörige Spektrum ist komplex und lautet:
$$Y(f) = 6 \cdot 10^{ - 3} \;{{\rm{V}}}/{{{\rm{Hz}}}} \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {2\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {3\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2.5\;{\rm{ms}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi }}f} .$$
  • Hätte der Eingangsimpuls  ${x(t)}$  die Dauer  $T = 2\, \text {ms}$, so würde  ${y(t)}$  einen dreieckförmigen Signalverlauf zwischen  ${t = 0}$  und  $t = 4 \text { ms}$  zeigen.  Das Maximum  $1.2 \, \text {V}$  ergäbe sich dann nur zum Zeitpunkt  $t = 2 \, \text {ms}$.