Aufgabe 3.8: OVSF–Codes

Baumstruktur zur Konstruktion eines OVSF–Codes

Die Spreizcodes für UMTS sollten

orthogonal sein, um dadurch eine gegenseitige Beeinflussung der Teilnehmer zu vermeiden,
gleichzeitig auch eine flexible Realisierung unterschiedlicher Spreizfaktoren $J$ ermöglichen.

Ein Beispiel hierfür sind die Codes mit variablem Spreizfaktor (englisch: Orthogonal Variable Spreading Factor, OVSF), die Spreizcodes der Längen von $J = 4$ bis $J = 512$ bereitstellen.

Diese können, wie in der Grafik zu sehen ist, mit Hilfe eines Codebaums erstellt werden. Dabei entstehen bei jeder Verzweigung aus einem Code $C$ zwei neue Codes $(+C +C)$ und $(+C –C)$.

Die Grafik verdeutlicht das hier angegebene Prinzip am Beispiel $J = 4$. Nummeriert man die Spreizfolgen von $0$ bis $J –1$ durch, so ergeben sich hier die Spreizfolgen

$$\langle c_\nu^{(0)}\rangle = \ {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \langle c_\nu^{(1)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$

$$\langle c_\nu^{(2)}\rangle = \ {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \langle c_\nu^{(3)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}.$$

Gemäß dieser Nomenklatur gibt es für den Spreizfaktor $J = 8$ die Spreizfolgen $\langle c_\nu^{(0)}\rangle, ... ,\langle c_\nu^{(7)}\rangle.$

Anzumerken ist, dass kein Vorgänger und Nachfolger eines Codes von anderen Teilnehmern benutzt werden darf. Im Beispiel könnten also vier Spreizcodes mit Spreizfaktor $J = 4$ verwendet werden oder die drei gelb hinterlegten Codes – einmal mit $J = 2$ und zweimal mit $J = 4$.

Hinweis:

Die Aufgabe bezieht sich auf Codes mit variablem Spreizfaktor (OVSF–Code) von Spreizfolgen für CDMA im Buch „Modulationsverfahren”.

Fragebogen

	$\langle c_\nu^{(1)}\rangle = +1 +1 +1 +1 –1 –1 –1 –1$,
	$\langle c_\nu^{(3)}\rangle = +1 +1 –1 –1 +1 +1 –1 –1$,
	$\langle c_\nu^{(5)}\rangle = +1 –1 +1 –1 –1 +1 –1 +1$,
	$\langle c_\nu^{(7)}\rangle = +1 –1 –1 +1 –1 +1 +1 –1$.

$k_{\rm max} \ = \ $

$K \ = \ $

	Ja.
	Nein.

Musterlösung

(1) Die folgende Grafik zeigt die OVSF–Baumstruktur für $J = 8$ Nutzer. Daraus ist ersichtlich, dass die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4 zutreffen, nicht jedoch der zweite.

OVSF–Baumstruktur für $J = 8$

(2) Wird jedem Nutzer ein Spreizcode mit dem Spreizgrad $J = 8$ zugewiesen, so können $K_{\rm max} \ \underline{= 8 \ \rm Teilnehmer}$ versorgt werden.

(3) Wenn drei Teilnehmer mit $J = 4$ versorgt werden, können nur mehr zwei Teilnehmer durch eine Spreizfolge mit $J = 8$ bedient werden (siehe beispielhafte gelbe Hinterlegung in obiger Grafik) $\Rightarrow \ \underline{K = 5}$.

(4) Wir bezeichnen mit

$K_{4} = 2$ die Anzahl der Spreizfolgen mit $J = 4$,
$K_{8} = 1$ die Anzahl der Spreizfolgen mit $J = 8$,
$K_{16} = 2$ die Anzahl der Spreizfolgen mit $J = 16$,
$K_{32} = 8$ die Anzahl der Spreizfolgen mit $J = 32$,

Dann muss folgende Bedingung erfüllt sein:

$$K_4 \cdot \frac{32}{4} + K_8 \cdot \frac{32}{8} +K_{16} \cdot \frac{32}{16} +K_{32} \cdot \frac{32}{32} \le 32$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} K_4 \cdot8 + K_8 \cdot 4 +K_{16} \cdot 2 +K_{32} \cdot1 \le 32 \hspace{0.05cm}.$$

Wegen $2 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 8 = 32$ ist die gewünschte Belegung gerade noch erlaubt $Rightarrow$ Antwort JA. Die zweimalige Bereitstellung des Spreizgrads $J = 4$ blockiert zum Beispiel die obere Hälfte des Baums, nach der Bereitstellung eines Spreizcodes mit $J = 8$ bleiben auf der $J = 8$–Ebene noch $3$ der $8$ Äste zu belegen, und so weiter und so fort.