Aufgaben:Aufgabe 3.8: Modulationsindex und Bandbreite: Unterschied zwischen den Versionen
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Eine harmonische Schwingung der Form | Eine harmonische Schwingung der Form | ||
:$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})$$ | :$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})$$ | ||
| − | wird winkelmoduliert und dann das einseitige Betragsspektrum $|S_+(f)|$ ermittelt. | + | wird winkelmoduliert und dann das einseitige Betragsspektrum $|S_+(f)|$ ermittelt. |
| − | *Mit der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$ sind folgende Spektrallinien mit folgenden Gewichten zu erkennen: | + | *Mit der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$ sind folgende Spektrallinien mit folgenden Gewichten zu erkennen: |
:$$|S_{\rm +}(98\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(102\,{\rm kHz})| = 1.560\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$ $$|S_{\rm +}(96\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(104\,{\rm kHz})| = 1.293\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$ | :$$|S_{\rm +}(98\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(102\,{\rm kHz})| = 1.560\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$ $$|S_{\rm +}(96\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(104\,{\rm kHz})| = 1.293\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$ | ||
:$$ |S_{\rm +}(94\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(106\,{\rm kHz})| = 0.594\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$ | :$$ |S_{\rm +}(94\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(106\,{\rm kHz})| = 0.594\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | :Weitere Spektrallinien folgen mit jeweiligem Frequenzabstand $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$, sind hier jedoch nicht angegeben und können vernachlässigt werden. | + | :Weitere Spektrallinien folgen mit jeweiligem Frequenzabstand $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$, sind hier jedoch nicht angegeben und können vernachlässigt werden. |
| − | *Erhöht man die Nachrichtenfrequenz auf $f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$, so gibt es die dominanten Linien | + | *Erhöht man die Nachrichtenfrequenz auf $f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$, so gibt es die dominanten Linien |
:$$|S_{\rm +}(100\,{\rm kHz})| = 2.013\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$ | :$$|S_{\rm +}(100\,{\rm kHz})| = 2.013\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$ | ||
:$$|S_{\rm +}(96\,{\rm kHz})|\hspace{0.2cm} = |S_{\rm +}(104\,{\rm kHz})| = 1.494\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$ | :$$|S_{\rm +}(96\,{\rm kHz})|\hspace{0.2cm} = |S_{\rm +}(104\,{\rm kHz})| = 1.494\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$ | ||
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| − | :sowie weitere, vernachlässigbare Diraclinien im Abstand $4 \ \rm kHz$. | + | :sowie weitere, vernachlässigbare Diraclinien im Abstand $f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$. |
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| − | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)|Frequenzmodulation]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)|Frequenzmodulation]]. |
| − | *Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]] und | + | *Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]] und auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Frequenzmodulation|Signalverläufe bei Frequenzmodulation]]. |
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<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
{Welches Modulationsverfahren liegt hier vor? | {Welches Modulationsverfahren liegt hier vor? | ||
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- Phasenmodulation. | - Phasenmodulation. | ||
+ Frequenzmodulation. | + Frequenzmodulation. | ||
| − | {Wie groß ist der Modulationsindex $η_2$ bei der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$? | + | {Wie groß ist der Modulationsindex $η_2$ bei der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$? |
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$η_2 \ = \ $ { 2.4 3% } | $η_2 \ = \ $ { 2.4 3% } | ||
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$A_{\rm T} \ = \ $ { 3 3% } $\ \rm V$ | $A_{\rm T} \ = \ $ { 3 3% } $\ \rm V$ | ||
| − | {Geben Sie die Bandbreite $B_2$ an, wenn mit $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$ ein Klirrfaktor $K < 1\%$ gefordert wird. | + | {Geben Sie die Bandbreite $B_2$ an, wenn mit $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$ ein Klirrfaktor $K < 1\%$ gefordert wird. |
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$B_2 \ = \ $ { 17.6 3% } $\ \rm kHz$ | $B_2 \ = \ $ { 17.6 3% } $\ \rm kHz$ | ||
| − | {Wie groß ist der Modulationsindex $η_4$ | + | {Wie groß ist der Modulationsindex $η_4$ mit der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$? |
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$η_4\ = \ $ { 1.2 3% } | $η_4\ = \ $ { 1.2 3% } | ||
| − | {Welche Kanalbandbreite $B_4$ ist nun erforderlich, um $K < 1\%$ zu gewährleisten? | + | {Welche Kanalbandbreite $B_4$ ist nun erforderlich, um $K < 1\%$ zu gewährleisten? |
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$B_4 \ = \ $ { 25.6 3% } $\ \rm kHz$ | $B_4 \ = \ $ { 25.6 3% } $\ \rm kHz$ | ||
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| − | '''(2)''' Die angegebene Spektralfunktion lässt aufgrund von Symmetrieeigenschaften auf die Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$ schließen. Da bei $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$ die Spektrallinie bei $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$ verschwindet, ist $η_2 \hspace{0.15cm}\underline { ≈ 2.4}$ zu vermuten. Eine Kontrolle der weiteren Impulsgewichte bestätigt das Ergebnis: | + | |
| + | '''(2)''' Die angegebene Spektralfunktion lässt aufgrund von Symmetrieeigenschaften auf die Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$ schließen. | ||
| + | *Da bei $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$ die Spektrallinie bei $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$ verschwindet, ist $η_2 \hspace{0.15cm}\underline { ≈ 2.4}$ zu vermuten. | ||
| + | *Eine Kontrolle der weiteren Impulsgewichte bestätigt das Ergebnis: | ||
:$$\frac { |S_{\rm +}(f =102\,{\rm kHz})|}{ |S_{\rm +}(f =104\,{\rm kHz})|} = 1.206,\hspace{0.2cm} \frac { {\rm J}_1(2.4)}{ {\rm J}_2(2.4)}= 1.206 \hspace{0.05cm}.$$ | :$$\frac { |S_{\rm +}(f =102\,{\rm kHz})|}{ |S_{\rm +}(f =104\,{\rm kHz})|} = 1.206,\hspace{0.2cm} \frac { {\rm J}_1(2.4)}{ {\rm J}_2(2.4)}= 1.206 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| − | '''(4)''' Mit der Forderung $K < 1\%$ gilt folgende Faustformel (''Carson–Regel''): | + | '''(3)''' Die Gewichte der Diraclinien bei $f_{\rm T} + n · f_{\rm N}$ lauten allgemein: |
| + | :$$D_n = A_{\rm T} \cdot { {\rm J}_n(\eta)} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_1 = A_{\rm T} \cdot { {\rm J}_1(\eta)}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} A_{\rm T} = D_1/{\rm J}_1(η) = 1.560\ \rm V/0.520\hspace{0.15cm}\underline { = 3 \ V}.$$ | ||
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| + | '''(4)''' Mit der Forderung $K < 1\%$ gilt folgende Faustformel (''Carson–Regel''): | ||
:$$B_{\rm 2} = 2 \cdot f_{\rm N} \cdot (\eta +2) \hspace{0.15cm}\underline {= 17.6\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$ | :$$B_{\rm 2} = 2 \cdot f_{\rm N} \cdot (\eta +2) \hspace{0.15cm}\underline {= 17.6\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Somit stehen dem Empfänger die Fourierkoeffizienten $D_{–4}$, ... , $D_4$ zur Verfügung. | + | *Somit stehen dem Empfänger die Fourierkoeffizienten $D_{–4}$, ... , $D_4$ zur Verfügung. |
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'''(5)''' Bei Frequenzmodulation gilt allgemein: | '''(5)''' Bei Frequenzmodulation gilt allgemein: | ||
:$$\eta = \frac{K_{\rm FM} \cdot A_{\rm N}}{ \omega_{\rm N}} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$\eta = \frac{K_{\rm FM} \cdot A_{\rm N}}{ \omega_{\rm N}} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Durch Verdopplung der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}$ wird also der Modulationsindex halbiert: $η_4 = η_2/2\hspace{0.15cm}\underline { = 1.2}$. | + | *Durch Verdopplung der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}$ wird also der Modulationsindex halbiert: $η_4 = η_2/2\hspace{0.15cm}\underline { = 1.2}$. |
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| − | '''(6)''' Die für $K < 1\%$ erforderliche Kanalbandbreite ergibt sich nach gleicher Rechnung wie in der Teilaufgabe (4) zu | + | '''(6)''' Die für $K < 1\%$ erforderliche Kanalbandbreite ergibt sich nach gleicher Rechnung wie in der Teilaufgabe '''(4)''' zu |
:$$B_4 = 3.2 · 8\ \rm kHz \hspace{0.15cm}\underline {= 25.6 \ \rm kHz}.$$ | :$$B_4 = 3.2 · 8\ \rm kHz \hspace{0.15cm}\underline {= 25.6 \ \rm kHz}.$$ | ||
| − | + | *Aufgrund des nur halb so großen Modulationsindex' genügt es für die Begrenzung des Klirrfaktors auf $1\%$, die Fourierkoeffizienten $D_{–3}$, ... , $D_3$ zu übertragen. | |
{{ML-Fuß}} | {{ML-Fuß}} | ||
Aktuelle Version vom 27. März 2020, 18:53 Uhr
Werte der Besselfunktionen
Eine harmonische Schwingung der Form
- $$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})$$
wird winkelmoduliert und dann das einseitige Betragsspektrum $|S_+(f)|$ ermittelt.
- Mit der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$ sind folgende Spektrallinien mit folgenden Gewichten zu erkennen:
- $$|S_{\rm +}(98\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(102\,{\rm kHz})| = 1.560\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$ $$|S_{\rm +}(96\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(104\,{\rm kHz})| = 1.293\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$
- $$ |S_{\rm +}(94\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(106\,{\rm kHz})| = 0.594\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$
- Weitere Spektrallinien folgen mit jeweiligem Frequenzabstand $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$, sind hier jedoch nicht angegeben und können vernachlässigt werden.
- Erhöht man die Nachrichtenfrequenz auf $f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$, so gibt es die dominanten Linien
- $$|S_{\rm +}(100\,{\rm kHz})| = 2.013\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$
- $$|S_{\rm +}(96\,{\rm kHz})|\hspace{0.2cm} = |S_{\rm +}(104\,{\rm kHz})| = 1.494\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$
- $$ |S_{\rm +}(92\,{\rm kHz})|\hspace{0.2cm} = |S_{\rm +}(108\,{\rm kHz})| = 0.477\,{\rm V},$$
- sowie weitere, vernachlässigbare Diraclinien im Abstand $f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Frequenzmodulation.
- Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel Phasenmodulation und auf den Abschnitt Signalverläufe bei Frequenzmodulation.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Es handelt sich um eine Frequenzmodulation ⇒ Antwort 2.
- Bei Phasenmodulation würden sich die Gewichte der Diraclinien bei der Frequenzverdopplung nicht ändern.
(2) Die angegebene Spektralfunktion lässt aufgrund von Symmetrieeigenschaften auf die Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$ schließen.
- Da bei $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$ die Spektrallinie bei $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$ verschwindet, ist $η_2 \hspace{0.15cm}\underline { ≈ 2.4}$ zu vermuten.
- Eine Kontrolle der weiteren Impulsgewichte bestätigt das Ergebnis:
- $$\frac { |S_{\rm +}(f =102\,{\rm kHz})|}{ |S_{\rm +}(f =104\,{\rm kHz})|} = 1.206,\hspace{0.2cm} \frac { {\rm J}_1(2.4)}{ {\rm J}_2(2.4)}= 1.206 \hspace{0.05cm}.$$
(3) Die Gewichte der Diraclinien bei $f_{\rm T} + n · f_{\rm N}$ lauten allgemein:
- $$D_n = A_{\rm T} \cdot { {\rm J}_n(\eta)} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_1 = A_{\rm T} \cdot { {\rm J}_1(\eta)}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} A_{\rm T} = D_1/{\rm J}_1(η) = 1.560\ \rm V/0.520\hspace{0.15cm}\underline { = 3 \ V}.$$
(4) Mit der Forderung $K < 1\%$ gilt folgende Faustformel (Carson–Regel):
- $$B_{\rm 2} = 2 \cdot f_{\rm N} \cdot (\eta +2) \hspace{0.15cm}\underline {= 17.6\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$
- Somit stehen dem Empfänger die Fourierkoeffizienten $D_{–4}$, ... , $D_4$ zur Verfügung.
(5) Bei Frequenzmodulation gilt allgemein:
- $$\eta = \frac{K_{\rm FM} \cdot A_{\rm N}}{ \omega_{\rm N}} \hspace{0.05cm}.$$
- Durch Verdopplung der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}$ wird also der Modulationsindex halbiert: $η_4 = η_2/2\hspace{0.15cm}\underline { = 1.2}$.
(6) Die für $K < 1\%$ erforderliche Kanalbandbreite ergibt sich nach gleicher Rechnung wie in der Teilaufgabe (4) zu
- $$B_4 = 3.2 · 8\ \rm kHz \hspace{0.15cm}\underline {= 25.6 \ \rm kHz}.$$
- Aufgrund des nur halb so großen Modulationsindex' genügt es für die Begrenzung des Klirrfaktors auf $1\%$, die Fourierkoeffizienten $D_{–3}$, ... , $D_3$ zu übertragen.
