Aufgaben:Aufgabe 3.8: Modulationsindex und Bandbreite: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 27. März 2020, 18:53 Uhr

Werte der Besselfunktionen

Eine harmonische Schwingung der Form

$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})$$

wird winkelmoduliert und dann das einseitige Betragsspektrum $|S_+(f)|$ ermittelt.

Mit der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$ sind folgende Spektrallinien mit folgenden Gewichten zu erkennen:

$$|S_{\rm +}(98\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(102\,{\rm kHz})| = 1.560\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$ $$|S_{\rm +}(96\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(104\,{\rm kHz})| = 1.293\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$

$$ |S_{\rm +}(94\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(106\,{\rm kHz})| = 0.594\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$

Weitere Spektrallinien folgen mit jeweiligem Frequenzabstand $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$, sind hier jedoch nicht angegeben und können vernachlässigt werden.

Erhöht man die Nachrichtenfrequenz auf $f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$, so gibt es die dominanten Linien

$$|S_{\rm +}(100\,{\rm kHz})| = 2.013\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$

$$|S_{\rm +}(96\,{\rm kHz})|\hspace{0.2cm} = |S_{\rm +}(104\,{\rm kHz})| = 1.494\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$

$$ |S_{\rm +}(92\,{\rm kHz})|\hspace{0.2cm} = |S_{\rm +}(108\,{\rm kHz})| = 0.477\,{\rm V},$$

sowie weitere, vernachlässigbare Diraclinien im Abstand $f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Frequenzmodulation.
Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel Phasenmodulation und auf den Abschnitt Signalverläufe bei Frequenzmodulation.

Fragebogen

	Phasenmodulation.
	Frequenzmodulation.

$η_2 \ = \ $

$A_{\rm T} \ = \ $

$\ \rm V$

$B_2 \ = \ $

$\ \rm kHz$

$η_4\ = \ $

$B_4 \ = \ $

$\ \rm kHz$

Musterlösung

(1) Es handelt sich um eine Frequenzmodulation ⇒ Antwort 2.

Bei Phasenmodulation würden sich die Gewichte der Diraclinien bei der Frequenzverdopplung nicht ändern.

(2) Die angegebene Spektralfunktion lässt aufgrund von Symmetrieeigenschaften auf die Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$ schließen.

Da bei $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$ die Spektrallinie bei $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$ verschwindet, ist $η_2 \hspace{0.15cm}\underline { ≈ 2.4}$ zu vermuten.
Eine Kontrolle der weiteren Impulsgewichte bestätigt das Ergebnis:

$$\frac { |S_{\rm +}(f =102\,{\rm kHz})|}{ |S_{\rm +}(f =104\,{\rm kHz})|} = 1.206,\hspace{0.2cm} \frac { {\rm J}_1(2.4)}{ {\rm J}_2(2.4)}= 1.206 \hspace{0.05cm}.$$

(3) Die Gewichte der Diraclinien bei $f_{\rm T} + n · f_{\rm N}$ lauten allgemein:

$$D_n = A_{\rm T} \cdot { {\rm J}_n(\eta)} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_1 = A_{\rm T} \cdot { {\rm J}_1(\eta)}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} A_{\rm T} = D_1/{\rm J}_1(η) = 1.560\ \rm V/0.520\hspace{0.15cm}\underline { = 3 \ V}.$$

(4) Mit der Forderung $K < 1\%$ gilt folgende Faustformel (Carson–Regel):

$$B_{\rm 2} = 2 \cdot f_{\rm N} \cdot (\eta +2) \hspace{0.15cm}\underline {= 17.6\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$

Somit stehen dem Empfänger die Fourierkoeffizienten $D_{–4}$, ... , $D_4$ zur Verfügung.

(5) Bei Frequenzmodulation gilt allgemein:

$$\eta = \frac{K_{\rm FM} \cdot A_{\rm N}}{ \omega_{\rm N}} \hspace{0.05cm}.$$

Durch Verdopplung der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}$ wird also der Modulationsindex halbiert: $η_4 = η_2/2\hspace{0.15cm}\underline { = 1.2}$.

(6) Die für $K < 1\%$ erforderliche Kanalbandbreite ergibt sich nach gleicher Rechnung wie in der Teilaufgabe (4) zu

$$B_4 = 3.2 · 8\ \rm kHz \hspace{0.15cm}\underline {= 25.6 \ \rm kHz}.$$

Aufgrund des nur halb so großen Modulationsindex' genügt es für die Begrenzung des Klirrfaktors auf $1\%$, die Fourierkoeffizienten $D_{–3}$, ... , $D_3$ zu übertragen.

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 }}
-[[Datei:P_ID1105__Mod_A_3_7.png|right|]]
+[[Datei:P_ID1105__Mod_A_3_7.png|right|frame|Werte der Besselfunktionen]]
 Eine harmonische Schwingung der Form
-$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})$$
+:$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})$$
-wird winkelmoduliert und dann das einseitige Betragsspektrum $|S_+(f)|$ ermittelt. Mit der Nachrichtenfrequenz $f_N = 2 kHz$ sind folgende Spektrallinien mit folgenden Gewichten zu erkennen:
+wird winkelmoduliert und dann das einseitige Betragsspektrum &nbsp;$|S_+(f)|$&nbsp; ermittelt.
-$$|S_{\rm +}(98\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(102\,{\rm kHz})| = 1.560\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$ $$|S_{\rm +}(96\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(104\,{\rm kHz})| = 1.293\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$
-$$ |S_{\rm +}(94\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(106\,{\rm kHz})| = 0.594\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$
-Weitere Spektrallinien folgen mit jeweiligem Frequenzabstand $f_N = 2 kHz$, sind hier jedoch nicht angegeben und können vernachlässigt werden.
-Erhöht man die Nachrichtenfrequenz auf $f_N = 4 kHz$, so ergeben sich die dominanten Linien
+*Mit der Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$&nbsp; sind folgende Spektrallinien mit folgenden Gewichten zu erkennen:
-$$|S_{\rm +}(100\,{\rm kHz})| = 2.013\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$
+:$$|S_{\rm +}(98\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(102\,{\rm kHz})| = 1.560\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$ $$|S_{\rm +}(96\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(104\,{\rm kHz})| = 1.293\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$
-$$|S_{\rm +}(96\,{\rm kHz})|\hspace{0.2cm} = |S_{\rm +}(104\,{\rm kHz})| = 1.494\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$
+:$$ |S_{\rm +}(94\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(106\,{\rm kHz})| = 0.594\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$
-$$ |S_{\rm +}(92\,{\rm kHz})|\hspace{0.2cm} = |S_{\rm +}(108\,{\rm kHz})| = 0.477\,{\rm V},$$
+:Weitere Spektrallinien folgen mit jeweiligem Frequenzabstand &nbsp;$f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$, sind hier jedoch nicht angegeben und können vernachlässigt werden.
-sowie weitere, vernachlässigbare Diraclinien im Abstand 4 kHz.
+*Erhöht man die Nachrichtenfrequenz auf &nbsp;$f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$, so gibt es die dominanten Linien
+:$$|S_{\rm +}(100\,{\rm kHz})| = 2.013\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$
+:$$|S_{\rm +}(96\,{\rm kHz})|\hspace{0.2cm} = |S_{\rm +}(104\,{\rm kHz})| = 1.494\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$
+:$$ |S_{\rm +}(92\,{\rm kHz})|\hspace{0.2cm} = |S_{\rm +}(108\,{\rm kHz})| = 0.477\,{\rm V},$$
+:sowie weitere, vernachlässigbare Diraclinien im Abstand &nbsp;$f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$.
+''Hinweise:''
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)|Frequenzmodulation]].
+*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]]&nbsp; und auf den Abschnitt &nbsp;[[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Frequenzmodulation|Signalverläufe bei Frequenzmodulation]].
-'''Hinweis:'''   Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [http://www.lntwww.de/Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM) Kapitel 3.1] und [http://www.lntwww.de/Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM) Kapitel 3.2].
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 <quiz display=simple>
 {Welches Modulationsverfahren liegt hier vor?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Phasenmodulation.
 + Frequenzmodulation.
-{Wie groß ist der Modulationsindex $η_2$ bei der Nachrichtenfrequenz $f_N = 2 kHz$?
+{Wie groß ist der Modulationsindex &nbsp;$η_2$&nbsp; bei der Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$?
 |type="{}"}
-$η2$ = { 2.4 3% }
+$η_2 \ = \ $ { 2.4 3% }
 {Wie groß ist die Trägeramplitude?
 |type="{}"}
-$A_T$ = { 3 3% } $V$
+$A_{\rm T} \ = \ $ { 3 3% } $\ \rm V$
-{Geben Sie die Bandbreite an, wenn ein Klirrfaktor  $\text{K < 1%}$  gefordert wird.
+{Geben Sie die Bandbreite &nbsp;$B_2$ an, wenn mit &nbsp;$f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$&nbsp; ein Klirrfaktor  &nbsp;$K < 1\%$&nbsp;  gefordert wird.
 |type="{}"}
-$B_2$ = { 17.6 3% } $KHz$
+$B_2 \ = \ $ { 17.6 3% } $\ \rm kHz$
-{Welcher Modulationsindex $η_4$ tritt bei der Nachrichtenfrequenz $f_N = 4 kHz$ auf?
+{Wie groß ist der Modulationsindex &nbsp;$η_4$&nbsp; mit der Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$?
 |type="{}"}
-$η_4$ = { 1.2 3% }
+$η_4\ = \ $ { 1.2 3% }
-{Welche Kanalbandbreite ist nun erforderlich, um $\text{K < 1%}$ zu gewährleisten?
+{Welche Kanalbandbreite &nbsp;$B_4$&nbsp; ist nun erforderlich, um &nbsp;$K < 1\%$&nbsp; zu gewährleisten?
 |type="{}"}
-$B_4$ = { 25.6 3% } $KHz$
+$B_4 \ = \ $ { 25.6 3% } $\ \rm kHz$
 </quiz>
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.''' Es handelt sich um eine Frequenzmodulation ⇒ Antwort 2. Bei Phasenmodulation würden sich die Gewichte der Diraclinien bei der Frequenzverdopplung nicht ändern.
+'''(1)'''&nbsp; Es handelt sich um eine Frequenzmodulation &nbsp; ⇒ &nbsp; <u>Antwort 2</u>.
+*Bei Phasenmodulation würden sich die Gewichte der Diraclinien bei der Frequenzverdopplung nicht ändern.
+'''(2)'''&nbsp; Die angegebene Spektralfunktion lässt aufgrund von Symmetrieeigenschaften auf die Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$&nbsp; schließen.
+*Da bei&nbsp; $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$&nbsp; die Spektrallinie bei&nbsp; $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$&nbsp; verschwindet, ist&nbsp; $η_2 \hspace{0.15cm}\underline { ≈ 2.4}$&nbsp; zu vermuten.
+*Eine Kontrolle der weiteren Impulsgewichte bestätigt das Ergebnis:
+:$$\frac { |S_{\rm +}(f =102\,{\rm kHz})|}{ |S_{\rm +}(f =104\,{\rm kHz})|} = 1.206,\hspace{0.2cm} \frac { {\rm J}_1(2.4)}{ {\rm J}_2(2.4)}= 1.206 \hspace{0.05cm}.$$
+'''(3)'''&nbsp; Die Gewichte der Diraclinien bei&nbsp; $f_{\rm T} + n · f_{\rm N}$&nbsp; lauten allgemein:
+:$$D_n = A_{\rm T} \cdot { {\rm J}_n(\eta)} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_1 = A_{\rm T} \cdot { {\rm J}_1(\eta)}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}  A_{\rm T} = D_1/{\rm J}_1(η) = 1.560\ \rm  V/0.520\hspace{0.15cm}\underline { = 3 \ V}.$$
-'''2.''' Die angegebene Spektralfunktion lässt aufgrund von Symmetrieeigenschaften auf die Trägerfrequenz $f_T = 100 kHz$ schließen. Da bei $f_N = 2 kHz$ die Spektrallinie bei $f_T = 100 kHz$ verschwindet, ist $η_2 ≈ 2.4$ zu vermuten. Eine Kontrolle der weiteren Impulsgewichte bestätigt das Ergebnis:
+'''(4)'''&nbsp; Mit der Forderung&nbsp; $K < 1\%$&nbsp; gilt folgende Faustformel&nbsp; (''Carson–Regel''):
-$$\frac { |S_{\rm +}(f =102\,{\rm kHz})|}{ |S_{\rm +}(f =104\,{\rm kHz})|} = 1.206,\hspace{0.2cm} \frac { {\rm J}_1(2.4)}{ {\rm J}_2(2.4)}= 1.206 \hspace{0.05cm}.$$
+:$$B_{\rm 2} = 2 \cdot f_{\rm N} \cdot (\eta +2) \hspace{0.15cm}\underline {= 17.6\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$
+*Somit stehen dem Empfänger die Fourierkoeffizienten&nbsp; $D_{–4}$, ... , $D_4$&nbsp; zur Verfügung.
-'''3.'''  Die Gewichte der Diraclinien bei $f_T + n · f_N$ lauten allgemein:
-$$D_n = A_{\rm T} \cdot { {\rm J}_n(\eta)} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_1 = A_{\rm T} \cdot { {\rm J}_1(\eta)}\hspace{0.05cm}.$$
-Daraus folgt $A_T = D_1/J_1(η) = 1.560 V/0.520 = 3 V$.
-'''4.''' Mit der Forderung $\text{K < 1%}$ gilt folgende Faustformel (Carson–Regel):
+'''(5)'''&nbsp; Bei Frequenzmodulation gilt allgemein:
-$$B_{\rm 2} = 2 \cdot f_{\rm N} \cdot (\eta +2) \hspace{0.15cm}\underline {= 17.6\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$\eta = \frac{K_{\rm FM} \cdot A_{\rm N}}{ \omega_{\rm N}} \hspace{0.05cm}.$$
-Somit stehen dem Empfänger die Fourierkoeffizienten $D_{–4}$, ....,$D_4$ zur Verfügung.
+*Durch Verdopplung der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}$ wird also der Modulationsindex halbiert: &nbsp; $η_4 = η_2/2\hspace{0.15cm}\underline { = 1.2}$.
-'''5.''' Bei Frequenzmodulation gilt allgemein:
-$$\eta = \frac{K_{\rm FM} \cdot A_{\rm N}}{ \omega_{\rm N}} \hspace{0.05cm}.$$
-Durch Verdopplung der Nachrichtenfrequenz wird also der Modulationsindex halbiert: $η_4 = η_2/2 = 1.2$.
+'''(6)'''&nbsp; Die für&nbsp; $K < 1\%$&nbsp; erforderliche Kanalbandbreite ergibt sich nach gleicher Rechnung wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; zu
+:$$B_4 = 3.2 · 8\ \rm  kHz \hspace{0.15cm}\underline {= 25.6 \ \rm   kHz}.$$
+*Aufgrund des nur halb so großen Modulationsindex' genügt es für die Begrenzung des Klirrfaktors auf&nbsp; $1\%$, die Fourierkoeffizienten&nbsp; $D_{–3}$, ... , $D_3$&nbsp; zu übertragen.
-'''6.'''   Die für $\text{K < 1%}$ erforderliche Kanalbandbreite ergibt sich nach gleicher Rechnung wie unter Punkt d) zu $B_4 = 3.2 · 8 kHz = 25.6 kHz$. Aufgrund des um den Faktor 2 kleineren Modulationsindex genügt es für die Begrenzung des Klirrfaktors auf 1%, die Fourierkoeffizienten $D_{–3}$, ...,$D_3$ zu übertragen.
-'''7.'''
 {{ML-Fuß}}