Aufgaben:Aufgabe 3.7Z: Partialbruchzerlegung: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID1789__LZI_Z_3_7.png|right|Einige Pol–Nullstellen–Konfigurationen]]
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[[Datei:P_ID1789__LZI_Z_3_7.png|right|frame|Pol–Nullstellen–Diagramme]]
In der Grafik sind vier Vierpole durch ihre Pol–Nullstellen–Diagramme $H_{\rm L}(p)$ gegeben. Sie alle haben gemein, dass die Anzahl $Z$ der Nullstellen gleich der Anzahl $N$ der Polstellen ist. Der konstante Faktor ist jeweils $K=1$.
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In der Grafik sind vier Vierpole durch ihre Pol–Nullstellen–Diagramme  $H_{\rm L}(p)$  gegeben.
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* Sie alle haben gemein,  dass die Anzahl  $Z$  der Nullstellen gleich der Anzahl  $N$  der Polstellen ist.  
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*Der konstante Faktor ist jeweils  $K=1$.
  
Im Sonderfall $Z = N$ kann zur Berechnung der Impulsantwort $h(t)$ der Residuensatz nicht direkt angewendet werden. Vielmehr muss vorher eine Partialbruchzerlegung entsprechend
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$$H_{\rm L}(p)  =1- H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)
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Im Sonderfall  $Z = N$  kann zur Berechnung der Impulsantwort  $h(t)$  der Residuensatz nicht direkt angewendet werden.  
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Vielmehr muss vorher eine  '''Partialbruchzerlegung'''  entsprechend
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:$$H_{\rm L}(p)  =1- H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)
 
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vorgenommen werden. Für die Impulsantwort gilt dann
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vorgenommen werden.  Für die Impulsantwort gilt dann
$$h(t)  = \delta(t)- h\hspace{0.03cm}'(t)
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:$$h(t)  = \delta(t)- h\hspace{0.03cm}'(t)
  \hspace{0.05cm},$$
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  \hspace{0.05cm}.$$
wobei $h'(t)$ die Laplace&ndash;Rücktransformierte von $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ angibt, bei der die Bedingung $Z' < N'$  erfüllt ist.
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$h\hspace{0.03cm}'(t)$&nbsp; ist die Laplace&ndash;Rücktransformierte von &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$,&nbsp; bei der die Bedingung &nbsp;$Z' < N'$&nbsp; erfüllt ist.
  
Bei zwei der vier angegebenen Konfigurationen handelt es sich um so genannte ''Allpässe''.  
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Bei zwei der vier angegebenen Konfigurationen handelt es sich um so genannte&nbsp; '''Allpässe'''.  
*Darunter versteht man Vierpole, bei denen die Fourier&ndash;Spektralfunktion die Bedingung $|H(f)| = 1$ &nbsp; &#8658; $a(f) = 0$ erfüllt.  
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*Darunter versteht man Vierpole,&nbsp; bei denen die Fourier&ndash;Spektralfunktion die Bedingung &nbsp;$|H(f)| = 1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $a(f) = 0$&nbsp; erfüllt.  
*In der [[Aufgaben:3.4Z_Verschiedene_Allpässe|Zusatzaufgabe 3.4Z]] ist angegeben, wie die Pole und Nullstelle eines solchen Allpasses angeordnet sein müssen.
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*In [[Aufgaben:3.4Z_Verschiedene_Allpässe|Aufgabe 3.4Z]]&nbsp; ist angegeben,&nbsp; wie die Pole und Nullstelle eines solchen Allpasses liegen müssen.
  
Weiterhin soll in dieser Aufgabe die $p$&ndash;Übertragungsfunktion
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$$H_{\rm L}^{(5)}(p) =\frac{p/A}{\left (\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p} \right )^2}
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Weiterhin soll in dieser Aufgabe die &nbsp;$p$&ndash;Übertragungsfunktion
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:$$H_{\rm L}^{(5)}(p) =\frac{p/A}{\left (\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p} \right )^2}
 
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&rArr; &nbsp; &bdquo;Konfiguration (5)&rdquo; näher untersucht werden, die bei richtiger Wahl des Parameters $A$ durch eines der vier in der Grafik vorgegebenen Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Diagramme dargestellt werden kann.
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&rArr; &nbsp; &bdquo;Konfiguration $(5)$&rdquo; näher untersucht werden,&nbsp; die bei richtiger Wahl des Parameters &nbsp;$A$&nbsp; durch eines der vier in der Grafik vorgegebenen Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Diagramme dargestellt werden kann.
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''Hinweise:''
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation|Laplace–Rücktransformation]].
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Hinweise:  
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation|Laplace–Rücktransformation]].
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*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Partialbruchzerlegung|Partialbruchzerlegung]].
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{Bei welchen der skizzierten Vierpole handelt es sich um Allpässe?
 
{Bei welchen der skizzierten Vierpole handelt es sich um Allpässe?
 
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+ Konfiguration (1),
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+ Konfiguration &nbsp;$(1)$,
+ Konfiguration (2),
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+ Konfiguration &nbsp;$(2)$,
- Konfiguration (3),
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- Konfiguration &nbsp;$(3)$,
- Konfiguration (4).
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- Konfiguration &nbsp;$(4)$.
  
  
{Welcher Vierpol hat die Übertragungsfunktion $H_{\rm L}^{(5)}(p)$?
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{Welcher Vierpol hat die Übertragungsfunktion &nbsp;$H_{\rm L}^{(5)}(p)$?
|type="[]"}
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|type="()"}
- Konfiguration (1),
+
- Konfiguration &nbsp;$(1)$,
- Konfiguration (2),
+
- Konfiguration &nbsp;$(2)$,
- Konfiguration (3),
+
- Konfiguration &nbsp;$(3)$,
+ Konfiguration (4).
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+ Konfiguration &nbsp;$(4)$.
  
  
{Berechnen Sie die Funktion $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ nach einer Partialbruchzerlegung für die Konfiguration '''(1)'''. Geben Sie den Funktionswert für $p = 0$ ein.
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{Berechnen Sie die Funktion &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; nach einer Partialbruchzerlegung für die Konfiguration&nbsp; '''(1)'''. <br>Geben Sie den Funktionswert für &nbsp;$p = 0$&nbsp; ein.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
${\rm Konfiguration}\ (1):\ \ H_L'(p = 0) \ = $  { 2 3% }
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$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p = 0) \ = \ $  { 2 3% }
  
  
{Berechnen Sie  $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ für Konfiguration '''(2)'''. Welche Aussagen treffen hier zu?
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{Berechnen Sie  &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; für die Konfiguration &nbsp;$(2)$.&nbsp; Welche Aussagen treffen hier zu?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ besitzt die gleichen Nullstellen wie $H_{\rm L}(p)$.
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- $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; besitzt die gleichen Nullstellen wie &nbsp;$H_{\rm L}(p)$.
+ $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ besitzt die gleichen Polstellen wie $H_{\rm L}(p)$.
+
+ $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; besitzt die gleichen Polstellen wie &nbsp;$H_{\rm L}(p)$.
+ Der konstante Faktor von $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ ist $K' = 8$.
+
+ Der konstante Faktor von &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; ist &nbsp;$K' = 8$.
  
  
{Berechnen Sie <i>H</i><sub>L</sub>'(<i>p</i>) für Konfiguration '''(3)'''. Welche Aussagen treffen hier zu?
+
{Berechnen Sie &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; für die Konfiguration &nbsp;$(3)$.&nbsp; Welche Aussagen treffen hier zu?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ besitzt die gleichen Nullstellen wie $H_{\rm L}(p)$.
+
- $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; besitzt die gleichen Nullstellen wie &nbsp;$H_{\rm L}(p)$.
+ $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ besitzt die gleichen Polstellen wie $H_{\rm L}(p)$.
+
+ $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; besitzt die gleichen Polstellen wie &nbsp;$H_{\rm L}(p)$.
- Der konstante Faktor von $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ ist $K' = 8$.
+
- Der konstante Faktor von &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; ist &nbsp;$K' = 8$.
  
  
{Berechnen Sie <i>H</i><sub>L</sub>'(<i>p</i>) für Konfiguration '''(4)'''. Welche Aussagen treffen hier zu?
+
{Berechnen Sie &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; für die Konfiguration &nbsp;$(4)$.&nbsp; Welche Aussagen treffen hier zu?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ besitzt die gleichen Nullstellen wie $H_{\rm L}(p)$.
+
- $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; besitzt die gleichen Nullstellen wie &nbsp;$H_{\rm L}(p)$.
+ $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ besitzt die gleichen Polstellen wie $H_{\rm L}(p)$.
+
+ $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; besitzt die gleichen Polstellen wie &nbsp;$H_{\rm L}(p)$.
- Der konstante Faktor von $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ ist $K' = 8$.
+
- Der konstante Faktor von &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; ist &nbsp;$K' = 8$.
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Nach den in der Aufgabe Z3.4 angegebenen Kriterien liegt dann ein Allpass vor, wenn es zu jeder Polstelle <i>p</i><sub>x</sub> = &ndash; <i>A</i> + j &middot; <i>B</i> in der linken <i>p</i>&ndash;Halbebene eine entsprechende Nullstelle <i>p</i><sub>o</sub> = <i>A</i> + j &middot; <i>B</i> in der rechten Halbebene gibt. Mit <i>K</i> = 1 ist dann die Dämpfungsfunktion <i>a</i>(<i>f</i>) = 0 Np &nbsp;&#8658;&nbsp; |<i>H</i>(<i>f</i>)| = 1. Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man, dass <u>die beiden Konfigurationen (1) und (2)</u> genau diese Symmetrieeigenschaften aufweisen.
+
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u> Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
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*Nach den in der Aufgabe 3.4Z angegebenen Kriterien liegt immer dann ein Allpass vor,&nbsp; wenn es zu jeder Polstelle &nbsp;$p_{\rm x} = - A + {\rm j} \cdot B$&nbsp; in der linken $p$&ndash;Halbebene eine entsprechende Nullstelle &nbsp;$p_{\rm o} = + A + {\rm j} \cdot B$&nbsp; in der rechten Halbebene gibt.  
 +
*Mit&nbsp; $K = 1$&nbsp; ist dann die Dämpfungsfunktion &nbsp;$a(f) = 0 \ \rm  Np$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $|H(f)| = 1$.  
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*Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man: &nbsp; Die Konfigurationen &nbsp;$(1)$ und &nbsp;$(2)$ erfüllen genau diese Symmetrieeigenschaften.
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 +
 
  
:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Die Übertragungsfunktion <i>H</i><sub>L</sub><sup>(5)</sup>(<i>p</i>) wird ebenso durch <u>die Konfiguration (4)</u> beschrieben, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
+
'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u> Lösungsvorschlag 4</u>:
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*Die Übertragungsfunktion &nbsp;$H_{\rm L}^{(5)}(p)$&nbsp; wird ebenso durch die Konfiguration &nbsp;$(4)$&nbsp; beschrieben,&nbsp; wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
 
:$$H_{\rm L}^{(5)}(p) \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} \frac{p/A}{(\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p})^2}
 
:$$H_{\rm L}^{(5)}(p) \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} \frac{p/A}{(\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p})^2}
  =\frac{p/A}{{p/A}+2+ {A/p}}=\\
+
  =\frac{p/A}{{p/A}+2+ {A/p}}
 
   =  \hspace{0.2cm}\frac{p^2}{p^2 + 2A \cdot p + A^2} = \frac{p^2}{(p+A)^2
 
   =  \hspace{0.2cm}\frac{p^2}{p^2 + 2A \cdot p + A^2} = \frac{p^2}{(p+A)^2
 
  }= H_{\rm L}^{(4)}(p)
 
  }= H_{\rm L}^{(4)}(p)
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
:Die beiden Nullstellen liegen bei <i>p</i><sub>o</sub> = 0, der doppelte Pol bei <i>p</i><sub>x</sub> = &ndash;<i>A</i> = &ndash;2.
+
*Die doppelte Nullstelle liegt bei &nbsp;$p_{\rm o} = 0$,&nbsp; der doppelte Pol bei &nbsp;$p_{\rm x} = -A = -2$.
 +
 
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Für die Konfiguration (1) gilt:
+
 
:$$H_{\rm L}(p)  =\frac{p-2}{p+2}=\frac{p+2-4}{p+2}= 1 - \frac{4}{p+2}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$
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'''(3)'''&nbsp; Für die Konfiguration &nbsp;$(1)$&nbsp; gilt:
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)  = \frac{4}{p+2}
+
:$$H_{\rm L}(p)  =\frac{p-2}{p+2}=\frac{p+2-4}{p+2}= 1 - \frac{4}{p+2}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)
 +
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)  = \frac{4}{p+2}
 
  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p =0)
 
  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p =0)
 
  =2}
 
  =2}
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
  
:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;In gleicher Weise ergibt sich für die Konfiguration (2):
+
 
:$$H_{\rm L}(p)  \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm}\frac{(p-2 - {\rm j} \cdot 2)(p-2 + {\rm j} \cdot 2)}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}=
+
 
   \frac{p^2 -4\cdot p  +8 }{p^2 +4\cdot p  +8}=\\
+
'''(4)'''&nbsp; In gleicher Weise ergibt sich für die Konfiguration &nbsp;$(2)$:
  =  \hspace{0.2cm}\frac{p^2 +4\cdot p  +8 -8\cdot p}{p^2 -4\cdot p
+
:$$H_{\rm L}(p)  =\frac{(p-2 - {\rm j} \cdot 2)(p-2 + {\rm j} \cdot 2)}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}=
  +8}=1- \frac{8\cdot p}{p^2 +4\cdot p  +8}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$
+
   \frac{p^2 -4\cdot p  +8 }{p^2 +4\cdot p  +8}=
 +
    \hspace{0.2cm}\frac{p^2 +4\cdot p  +8 -8\cdot p}{p^2 +4\cdot p
 +
  +8} =1- \frac{8\cdot p}{p^2 +4\cdot p  +8}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)  = 8
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)  = 8
 
  \cdot \frac{p}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}
 
  \cdot \frac{p}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
:Richtig sind <u>die beiden letzten Lösungsvorschläge</u> im Gegensatz zur Aussage 1. Während <i>H</i><sub>L</sub>(<i>p</i>) zwei konjugiert&ndash;komplexe Nullstellen aufweist, besitzt <i>H</i><sub>L</sub>'(<i>p</i>) nur eine einzige Nullstelle bei <i>p</i> = 0.
 
  
:<b>5.</b>&nbsp;&nbsp;Für die Konfiguration (3) gilt:
+
Richtig sind also die&nbsp; <u> Lösungsvorschläge 2 und 3</u>&nbsp; im Gegensatz zur Aussage 1:
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* Während &nbsp;$H_{\rm L}(p)$&nbsp; zwei konjugiert&ndash;komplexe Nullstellen aufweist,
 +
*besitzt &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; nur eine einzige Nullstelle bei &nbsp;$p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = 0$.
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'''(5)'''&nbsp; Für die Konfiguration &nbsp;$(3)$&nbsp; gilt:
 
:$$H_{\rm L}(p)  =
 
:$$H_{\rm L}(p)  =
 
   \frac{p^2 }{p^2 +4\cdot p  +8}=\frac{p^2 +4\cdot p  +8 -4\cdot p  -8 }{p^2 +4\cdot p  +8}
 
   \frac{p^2 }{p^2 +4\cdot p  +8}=\frac{p^2 +4\cdot p  +8 -4\cdot p  -8 }{p^2 +4\cdot p  +8}
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  \cdot \frac{p+2}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}
 
  \cdot \frac{p+2}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
:Die Nullstelle von <i>H</i><sub>L</sub>'(<i>p</i>) liegt nun bei <i>p</i> = &ndash;2, die Konstante ist <i>K</i>' = 4 &#8658; richtig ist hier <u>nur Aussage 2</u>.
+
*Die Nullstelle von &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; liegt nun bei &nbsp;$p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = -2$.
 +
*Die Konstante ist &nbsp;$K\hspace{0.01cm}' = 4$ &nbsp; &#8658; &nbsp; richtig ist hier nur der&nbsp; <u> Lösungsvorschlag 2</u>.
 +
 
 +
 
  
:<b>6.</b>&nbsp;&nbsp;Schließlich gilt für die Konfiguration (4):
+
'''(6)'''&nbsp; Schließlich gilt für die Konfiguration &nbsp;$(4)$:
 
:$$H_{\rm L}(p)  =  \frac{p^2 }{(p+2)^2}=\frac{p^2 +4\cdot p  +4 -4\cdot p  -4 }{p^2 +4\cdot p  +4}
 
:$$H_{\rm L}(p)  =  \frac{p^2 }{(p+2)^2}=\frac{p^2 +4\cdot p  +4 -4\cdot p  -4 }{p^2 +4\cdot p  +4}
   = 1- \frac{4\cdot p  +4 }{p^2 +4\cdot p  +4}$$
+
   = 1- \frac{4\cdot p  +4 }{p^2 +4\cdot p  +4}
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)  = 4
+
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)  = 4
 
  \cdot \frac{p+1}{(p+2)^2}
 
  \cdot \frac{p+1}{(p+2)^2}
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
:Richtig ist auch hier <u>der Lösungsvorschlag 2</u>. Allgemein lässt sich sagen: Durch die Partialbruchzerlegung wird die Anzahl und die Lage der Nullstellen verändert. Die Pole von <i>H</i><sub>L</sub>'(<i>p</i>) sind dagegen stets identisch mit denen von <i>H</i><sub>L</sub>(<i>p</i>).
+
Richtig ist auch hier&nbsp; <u>der Lösungsvorschlag 2</u>.&nbsp; Allgemein lässt sich sagen:  
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*Durch die Partialbruchzerlegung wird die Anzahl und die Lage der Nullstellen verändert.  
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*Die Pole von&nbsp; $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; sind dagegen stets identisch mit denen von&nbsp; $H_{\rm L}(p)$.
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  

Aktuelle Version vom 25. Januar 2022, 15:07 Uhr

Pol–Nullstellen–Diagramme

In der Grafik sind vier Vierpole durch ihre Pol–Nullstellen–Diagramme  $H_{\rm L}(p)$  gegeben.

  • Sie alle haben gemein,  dass die Anzahl  $Z$  der Nullstellen gleich der Anzahl  $N$  der Polstellen ist.
  • Der konstante Faktor ist jeweils  $K=1$.


Im Sonderfall  $Z = N$  kann zur Berechnung der Impulsantwort  $h(t)$  der Residuensatz nicht direkt angewendet werden.

Vielmehr muss vorher eine  Partialbruchzerlegung  entsprechend

$$H_{\rm L}(p) =1- H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) \hspace{0.05cm}$$

vorgenommen werden.  Für die Impulsantwort gilt dann

$$h(t) = \delta(t)- h\hspace{0.03cm}'(t) \hspace{0.05cm}.$$

$h\hspace{0.03cm}'(t)$  ist die Laplace–Rücktransformierte von  $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$,  bei der die Bedingung  $Z' < N'$  erfüllt ist.

Bei zwei der vier angegebenen Konfigurationen handelt es sich um so genannte  Allpässe.

  • Darunter versteht man Vierpole,  bei denen die Fourier–Spektralfunktion die Bedingung  $|H(f)| = 1$   ⇒   $a(f) = 0$  erfüllt.
  • In Aufgabe 3.4Z  ist angegeben,  wie die Pole und Nullstelle eines solchen Allpasses liegen müssen.


Weiterhin soll in dieser Aufgabe die  $p$–Übertragungsfunktion

$$H_{\rm L}^{(5)}(p) =\frac{p/A}{\left (\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p} \right )^2} \hspace{0.05cm}$$

⇒   „Konfiguration $(5)$” näher untersucht werden,  die bei richtiger Wahl des Parameters  $A$  durch eines der vier in der Grafik vorgegebenen Pol–Nullstellen–Diagramme dargestellt werden kann.



Hinweise:



Fragebogen

1

Bei welchen der skizzierten Vierpole handelt es sich um Allpässe?

Konfiguration  $(1)$,
Konfiguration  $(2)$,
Konfiguration  $(3)$,
Konfiguration  $(4)$.

2

Welcher Vierpol hat die Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}^{(5)}(p)$?

Konfiguration  $(1)$,
Konfiguration  $(2)$,
Konfiguration  $(3)$,
Konfiguration  $(4)$.

3

Berechnen Sie die Funktion  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  nach einer Partialbruchzerlegung für die Konfiguration  (1).
Geben Sie den Funktionswert für  $p = 0$  ein.

$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p = 0) \ = \ $

4

Berechnen Sie  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  für die Konfiguration  $(2)$.  Welche Aussagen treffen hier zu?

$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  besitzt die gleichen Nullstellen wie  $H_{\rm L}(p)$.
$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  besitzt die gleichen Polstellen wie  $H_{\rm L}(p)$.
Der konstante Faktor von  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  ist  $K' = 8$.

5

Berechnen Sie  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  für die Konfiguration  $(3)$.  Welche Aussagen treffen hier zu?

$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  besitzt die gleichen Nullstellen wie  $H_{\rm L}(p)$.
$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  besitzt die gleichen Polstellen wie  $H_{\rm L}(p)$.
Der konstante Faktor von  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  ist  $K' = 8$.

6

Berechnen Sie  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  für die Konfiguration  $(4)$.  Welche Aussagen treffen hier zu?

$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  besitzt die gleichen Nullstellen wie  $H_{\rm L}(p)$.
$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  besitzt die gleichen Polstellen wie  $H_{\rm L}(p)$.
Der konstante Faktor von  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  ist  $K' = 8$.


Musterlösung

(1)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 1 und 2:

  • Nach den in der Aufgabe 3.4Z angegebenen Kriterien liegt immer dann ein Allpass vor,  wenn es zu jeder Polstelle  $p_{\rm x} = - A + {\rm j} \cdot B$  in der linken $p$–Halbebene eine entsprechende Nullstelle  $p_{\rm o} = + A + {\rm j} \cdot B$  in der rechten Halbebene gibt.
  • Mit  $K = 1$  ist dann die Dämpfungsfunktion  $a(f) = 0 \ \rm Np$   ⇒   $|H(f)| = 1$.
  • Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man:   Die Konfigurationen  $(1)$ und  $(2)$ erfüllen genau diese Symmetrieeigenschaften.


(2)  Richtig ist der  Lösungsvorschlag 4:

  • Die Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}^{(5)}(p)$  wird ebenso durch die Konfiguration  $(4)$  beschrieben,  wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
$$H_{\rm L}^{(5)}(p) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \frac{p/A}{(\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p})^2} =\frac{p/A}{{p/A}+2+ {A/p}} = \hspace{0.2cm}\frac{p^2}{p^2 + 2A \cdot p + A^2} = \frac{p^2}{(p+A)^2 }= H_{\rm L}^{(4)}(p) \hspace{0.05cm}.$$
  • Die doppelte Nullstelle liegt bei  $p_{\rm o} = 0$,  der doppelte Pol bei  $p_{\rm x} = -A = -2$.


(3)  Für die Konfiguration  $(1)$  gilt:

$$H_{\rm L}(p) =\frac{p-2}{p+2}=\frac{p+2-4}{p+2}= 1 - \frac{4}{p+2}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = \frac{4}{p+2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p =0) =2} \hspace{0.05cm}.$$


(4)  In gleicher Weise ergibt sich für die Konfiguration  $(2)$:

$$H_{\rm L}(p) =\frac{(p-2 - {\rm j} \cdot 2)(p-2 + {\rm j} \cdot 2)}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}= \frac{p^2 -4\cdot p +8 }{p^2 +4\cdot p +8}= \hspace{0.2cm}\frac{p^2 +4\cdot p +8 -8\cdot p}{p^2 +4\cdot p +8} =1- \frac{8\cdot p}{p^2 +4\cdot p +8}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) = 8 \cdot \frac{p}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)} \hspace{0.05cm}.$$

Richtig sind also die  Lösungsvorschläge 2 und 3  im Gegensatz zur Aussage 1:

  • Während  $H_{\rm L}(p)$  zwei konjugiert–komplexe Nullstellen aufweist,
  • besitzt  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  nur eine einzige Nullstelle bei  $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = 0$.



(5)  Für die Konfiguration  $(3)$  gilt:

$$H_{\rm L}(p) = \frac{p^2 }{p^2 +4\cdot p +8}=\frac{p^2 +4\cdot p +8 -4\cdot p -8 }{p^2 +4\cdot p +8} = 1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = 4 \cdot \frac{p+2}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)} \hspace{0.05cm}.$$
  • Die Nullstelle von  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  liegt nun bei  $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = -2$.
  • Die Konstante ist  $K\hspace{0.01cm}' = 4$   ⇒   richtig ist hier nur der  Lösungsvorschlag 2.


(6)  Schließlich gilt für die Konfiguration  $(4)$:

$$H_{\rm L}(p) = \frac{p^2 }{(p+2)^2}=\frac{p^2 +4\cdot p +4 -4\cdot p -4 }{p^2 +4\cdot p +4} = 1- \frac{4\cdot p +4 }{p^2 +4\cdot p +4} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) = 4 \cdot \frac{p+1}{(p+2)^2} \hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist auch hier  der Lösungsvorschlag 2.  Allgemein lässt sich sagen:

  • Durch die Partialbruchzerlegung wird die Anzahl und die Lage der Nullstellen verändert.
  • Die Pole von  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  sind dagegen stets identisch mit denen von  $H_{\rm L}(p)$.