Aufgaben:Aufgabe 3.7Z: Partialbruchzerlegung: Unterschied zwischen den Versionen

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In der Grafik sind vier Vierpole durch ihre Pol–Nullstellen–Diagramme $H_{\rm L}(p)$ gegeben. Sie alle haben gemein, dass die Anzahl $Z$ der Nullstellen gleich der Anzahl $N$ der Polstellen ist. Der konstante Faktor ist jeweils $K=1$.
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In der Grafik sind vier Vierpole durch ihre Pol–Nullstellen–Diagramme  $H_{\rm L}(p)$  gegeben.
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* Sie alle haben gemein, dass die Anzahl  $Z$  der Nullstellen gleich der Anzahl  $N$  der Polstellen ist.  
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*Der konstante Faktor ist jeweils  $K=1$.
  
Im Sonderfall $Z = N$ kann zur Berechnung der Impulsantwort $h(t)$ der Residuensatz nicht direkt angewendet werden. Vielmehr muss vorher eine Partialbruchzerlegung entsprechend
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Im Sonderfall  $Z = N$  kann zur Berechnung der Impulsantwort  $h(t)$  der Residuensatz nicht direkt angewendet werden. Vielmehr muss vorher eine Partialbruchzerlegung entsprechend
 
:$$H_{\rm L}(p)  =1- H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)
 
:$$H_{\rm L}(p)  =1- H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)
 
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vorgenommen werden. Für die Impulsantwort gilt dann
 
vorgenommen werden. Für die Impulsantwort gilt dann
 
:$$h(t)  = \delta(t)- h\hspace{0.03cm}'(t)
 
:$$h(t)  = \delta(t)- h\hspace{0.03cm}'(t)
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wobei $h\hspace{0.03cm}'(t)$ die Laplace&ndash;Rücktransformierte von $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ angibt, bei der die Bedingung $Z' < N'$  erfüllt ist.
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&nbsp;$h\hspace{0.03cm}'(t)$&nbsp; ist die Laplace&ndash;Rücktransformierte von &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$&nbsp;, bei der die Bedingung &nbsp;$Z' < N'$&nbsp; erfüllt ist.
  
 
Bei zwei der vier angegebenen Konfigurationen handelt es sich um so genannte ''Allpässe''.  
 
Bei zwei der vier angegebenen Konfigurationen handelt es sich um so genannte ''Allpässe''.  
*Darunter versteht man Vierpole, bei denen die Fourier&ndash;Spektralfunktion die Bedingung $|H(f)| = 1$ &nbsp; &#8658; $a(f) = 0$ erfüllt.  
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*Darunter versteht man Vierpole, bei denen die Fourier&ndash;Spektralfunktion die Bedingung &nbsp;$|H(f)| = 1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $a(f) = 0$&nbsp; erfüllt.  
*In der [[Aufgaben:3.4Z_Verschiedene_Allpässe|Aufgabe 3.4Z]] ist angegeben, wie die Pole und Nullstelle eines solchen Allpasses liegen müssen.
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*In [[Aufgaben:3.4Z_Verschiedene_Allpässe|Aufgabe 3.4Z]] ist angegeben, wie die Pole und Nullstelle eines solchen Allpasses liegen müssen.
  
  
Weiterhin soll in dieser Aufgabe die $p$&ndash;Übertragungsfunktion
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Weiterhin soll in dieser Aufgabe die &nbsp;$p$&ndash;Übertragungsfunktion
 
:$$H_{\rm L}^{(5)}(p) =\frac{p/A}{\left (\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p} \right )^2}
 
:$$H_{\rm L}^{(5)}(p) =\frac{p/A}{\left (\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p} \right )^2}
 
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&rArr; &nbsp; &bdquo;Konfiguration $(5)$&rdquo; näher untersucht werden, die bei richtiger Wahl des Parameters $A$ durch eines der vier in der Grafik vorgegebenen Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Diagramme dargestellt werden kann.
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&rArr; &nbsp; &bdquo;Konfiguration $(5)$&rdquo; näher untersucht werden, die bei richtiger Wahl des Parameters &nbsp;$A$&nbsp; durch eines der vier in der Grafik vorgegebenen Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Diagramme dargestellt werden kann.
  
  
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation|Laplace–Rücktransformation]].
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation|Laplace–Rücktransformation]].
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Partialbruchzerlegung|Partialbruchzerlegung]].
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*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Partialbruchzerlegung|Partialbruchzerlegung]].
 
   
 
   
  
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{Bei welchen der skizzierten Vierpole handelt es sich um Allpässe?
 
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+ Konfiguration $(1)$,
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+ Konfiguration $(2)$,
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- Konfiguration $(3)$,
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- Konfiguration $(4)$.
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- Konfiguration &nbsp;$(4)$.
  
  
{Welcher Vierpol hat die Übertragungsfunktion $H_{\rm L}^{(5)}(p)$?
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{Welcher Vierpol hat die Übertragungsfunktion &nbsp;$H_{\rm L}^{(5)}(p)$?
 
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- Konfiguration $(1)$,
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- Konfiguration &nbsp;$(3)$,
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{Berechnen Sie die Funktion $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ nach einer Partialbruchzerlegung für die Konfiguration '''(1)'''. Geben Sie den Funktionswert für $p = 0$ ein.
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{Berechnen Sie die Funktion &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; nach einer Partialbruchzerlegung für die Konfiguration '''(1)'''. <br>Geben Sie den Funktionswert für &nbsp;$p = 0$&nbsp; ein.
 
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$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p = 0) \ = \ $  { 2 3% }
 
$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p = 0) \ = \ $  { 2 3% }
  
  
{Berechnen Sie  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ für Konfiguration $(2)$. Welche Aussagen treffen hier zu?
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{Berechnen Sie  &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; für die Konfiguration &nbsp;$(2)$. Welche Aussagen treffen hier zu?
 
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- $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ besitzt die gleichen Nullstellen wie $H_{\rm L}(p)$.
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+ $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ besitzt die gleichen Polstellen wie $H_{\rm L}(p)$.
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+ $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; besitzt die gleichen Polstellen wie &nbsp;$H_{\rm L}(p)$.
+ Der konstante Faktor von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ ist $K' = 8$.
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+ Der konstante Faktor von &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; ist &nbsp;$K' = 8$.
  
  
{Berechnen Sie $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ für Konfiguration $(3)$. Welche Aussagen treffen hier zu?
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+ $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ besitzt die gleichen Polstellen wie $H_{\rm L}(p)$.
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+ $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; besitzt die gleichen Polstellen wie &nbsp;$H_{\rm L}(p)$.
- Der konstante Faktor von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ ist $K' = 8$.
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- Der konstante Faktor von &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; ist &nbsp;$K' = 8$.
  
  
{Berechnen Sie $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ für Konfiguration $(4)$. Welche Aussagen treffen hier zu?
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+ $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ besitzt die gleichen Polstellen wie $H_{\rm L}(p)$.
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+ $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; besitzt die gleichen Polstellen wie &nbsp;$H_{\rm L}(p)$.
- Der konstante Faktor von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ ist $K' = 8$.
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- Der konstante Faktor von &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; ist &nbsp;$K' = 8$.
  
  

Version vom 28. November 2018, 12:07 Uhr

Pol–Nullstellen–Konfigurationen

In der Grafik sind vier Vierpole durch ihre Pol–Nullstellen–Diagramme  $H_{\rm L}(p)$  gegeben.

  • Sie alle haben gemein, dass die Anzahl  $Z$  der Nullstellen gleich der Anzahl  $N$  der Polstellen ist.
  • Der konstante Faktor ist jeweils  $K=1$.


Im Sonderfall  $Z = N$  kann zur Berechnung der Impulsantwort  $h(t)$  der Residuensatz nicht direkt angewendet werden. Vielmehr muss vorher eine Partialbruchzerlegung entsprechend

$$H_{\rm L}(p) =1- H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) \hspace{0.05cm}$$

vorgenommen werden. Für die Impulsantwort gilt dann

$$h(t) = \delta(t)- h\hspace{0.03cm}'(t) \hspace{0.05cm}.$$

 $h\hspace{0.03cm}'(t)$  ist die Laplace–Rücktransformierte von  $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ , bei der die Bedingung  $Z' < N'$  erfüllt ist.

Bei zwei der vier angegebenen Konfigurationen handelt es sich um so genannte Allpässe.

  • Darunter versteht man Vierpole, bei denen die Fourier–Spektralfunktion die Bedingung  $|H(f)| = 1$   ⇒   $a(f) = 0$  erfüllt.
  • In Aufgabe 3.4Z ist angegeben, wie die Pole und Nullstelle eines solchen Allpasses liegen müssen.


Weiterhin soll in dieser Aufgabe die  $p$–Übertragungsfunktion

$$H_{\rm L}^{(5)}(p) =\frac{p/A}{\left (\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p} \right )^2} \hspace{0.05cm}$$

⇒   „Konfiguration $(5)$” näher untersucht werden, die bei richtiger Wahl des Parameters  $A$  durch eines der vier in der Grafik vorgegebenen Pol–Nullstellen–Diagramme dargestellt werden kann.



Hinweise:



Fragebogen

1

Bei welchen der skizzierten Vierpole handelt es sich um Allpässe?

Konfiguration  $(1)$,
Konfiguration  $(2)$,
Konfiguration  $(3)$,
Konfiguration  $(4)$.

2

Welcher Vierpol hat die Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}^{(5)}(p)$?

Konfiguration  $(1)$,
Konfiguration  $(2)$,
Konfiguration  $(3)$,
Konfiguration  $(4)$.

3

Berechnen Sie die Funktion  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  nach einer Partialbruchzerlegung für die Konfiguration (1).
Geben Sie den Funktionswert für  $p = 0$  ein.

$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p = 0) \ = \ $

4

Berechnen Sie  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  für die Konfiguration  $(2)$. Welche Aussagen treffen hier zu?

$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  besitzt die gleichen Nullstellen wie  $H_{\rm L}(p)$.
$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  besitzt die gleichen Polstellen wie  $H_{\rm L}(p)$.
Der konstante Faktor von  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  ist  $K' = 8$.

5

Berechnen Sie  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  für die Konfiguration  $(3)$. Welche Aussagen treffen hier zu?

$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  besitzt die gleichen Nullstellen wie  $H_{\rm L}(p)$.
$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  besitzt die gleichen Polstellen wie  $H_{\rm L}(p)$.
Der konstante Faktor von  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  ist  $K' = 8$.

6

Berechnen Sie  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  für die Konfiguration  $(4)$. Welche Aussagen treffen hier zu?

$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  besitzt die gleichen Nullstellen wie  $H_{\rm L}(p)$.
$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  besitzt die gleichen Polstellen wie  $H_{\rm L}(p)$.
Der konstante Faktor von  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  ist  $K' = 8$.


Musterlösung

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

  • Nach den in der Aufgabe 3.4Z angegebenen Kriterien liegt immer dann ein Allpass vor, wenn es zu jeder Polstelle $p_{\rm x} = - A + {\rm j} \cdot B$ in der linken $p$–Halbebene eine entsprechende Nullstelle $p_{\rm o} = + A + {\rm j} \cdot B$ in der rechten Halbebene gibt.
  • $K = 1$ ist dann die Dämpfungsfunktion $a(f) = 0 \ \rm Np$   ⇒   $|H(f)| = 1$.

Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man, dass die beiden ersten Konfigurationen genau diese Symmetrieeigenschaften aufweisen.


(2)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 4:

  • Die Übertragungsfunktion $H_{\rm L}^{(5)}(p)$ wird ebenso durch die Konfiguration $(4)$ beschrieben, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
$$H_{\rm L}^{(5)}(p) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \frac{p/A}{(\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p})^2} =\frac{p/A}{{p/A}+2+ {A/p}} = \hspace{0.2cm}\frac{p^2}{p^2 + 2A \cdot p + A^2} = \frac{p^2}{(p+A)^2 }= H_{\rm L}^{(4)}(p) \hspace{0.05cm}.$$

Die doppelte Nullstelle liegt bei $p_{\rm o} = 0$, der doppelte Pol bei $p_{\rm x} = -A = -2$.


(3)  Für die Konfiguration $(1)$ gilt:

$$H_{\rm L}(p) =\frac{p-2}{p+2}=\frac{p+2-4}{p+2}= 1 - \frac{4}{p+2}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = \frac{4}{p+2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p =0) =2} \hspace{0.05cm}.$$


(4)  In gleicher Weise ergibt sich für die Konfiguration $(2)$:

$$H_{\rm L}(p) =\frac{(p-2 - {\rm j} \cdot 2)(p-2 + {\rm j} \cdot 2)}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}= \frac{p^2 -4\cdot p +8 }{p^2 +4\cdot p +8}= \hspace{0.2cm}\frac{p^2 +4\cdot p +8 -8\cdot p}{p^2 +4\cdot p +8} =1- \frac{8\cdot p}{p^2 +4\cdot p +8}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) = 8 \cdot \frac{p}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)} \hspace{0.05cm}.$$

Richtig sind also die Lösungsvorschläge 2 und 3 im Gegensatz zur Aussage 1:

  • Während $H_{\rm L}(p)$ zwei konjugiert–komplexe Nullstellen aufweist,
  • besitzt $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ nur eine einzige Nullstelle bei $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = 0$.


(5)  Für die Konfiguration $(3)$ gilt:

$$H_{\rm L}(p) = \frac{p^2 }{p^2 +4\cdot p +8}=\frac{p^2 +4\cdot p +8 -4\cdot p -8 }{p^2 +4\cdot p +8} = 1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = 4 \cdot \frac{p+2}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)} \hspace{0.05cm}.$$

Die Nullstelle von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ liegt nun bei $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = -2$ . Die Konstante ist $K\hspace{0.01cm}' = 4$   ⇒   richtig ist hier nur der Lösungsvorschlag 2.


(6)  Schließlich gilt für die Konfiguration $(4)$:

$$H_{\rm L}(p) = \frac{p^2 }{(p+2)^2}=\frac{p^2 +4\cdot p +4 -4\cdot p -4 }{p^2 +4\cdot p +4} = 1- \frac{4\cdot p +4 }{p^2 +4\cdot p +4} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) = 4 \cdot \frac{p+1}{(p+2)^2} \hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist auch hier der Lösungsvorschlag 2. Allgemein lässt sich sagen:

  • Durch die Partialbruchzerlegung wird die Anzahl und die Lage der Nullstellen verändert.
  • Die Pole von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ sind dagegen stets identisch mit denen von $H_{\rm L}(p)$.