Aufgaben:Aufgabe 3.7Z: Error Performance: Unterschied zwischen den Versionen

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Jeder Betreiber von ISDN-Systemen muss gewisse Mindestanforderungen hinsichtlich der Bitfehlerquote (BER) einhalten, die zum Beispiel in der CCITT-Empfehlung G.821 unter dem Namen <i>Error Performance</i> spezifiziert sind.
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Jeder Betreiber von ISDN-Systemen muss gewisse Mindestanforderungen hinsichtlich der Bitfehlerquote&nbsp; $\rm (BER)$&nbsp; einhalten,&nbsp; die zum Beispiel in der&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/G.821 CCITT-Empfehlung G.821]&nbsp; unter dem Namen &bdquo;Error Performance&rdquo; spezifiziert sind.
  
 
Rechts sehen Sie einen Auszug aus dieser Empfehlung:  
 
Rechts sehen Sie einen Auszug aus dieser Empfehlung:  
*Diese besagt unter Anderem, dass &ndash; &uuml;ber eine ausreichend lange Zeit gemittelt &ndash; mindestens 99.8% aller Einsekunden-Intervalle eine Bitfehlerquote kleiner $10^{-3}$ (ein Promille) aufweisen m&uuml;ssen.
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*Diese besagt unter Anderem,&nbsp; dass&nbsp; &ndash; &uuml;ber eine ausreichend lange Zeit gemittelt &ndash;&nbsp; mindestens&nbsp; $99.8\%$&nbsp; aller Einsekunden-Intervalle eine Bitfehlerquote kleiner als&nbsp; $10^{-3}$&nbsp; (ein Promille)&nbsp; aufweisen m&uuml;ssen.
*Bei einer Bitrate von 64 kbit/s entspricht dies der Bedingung, dass in einer Sekunde (und somit bei $N = 64\hspace{0.05cm}000$ &uuml;bertragenen Symbolen) nicht mehr als 64 Bitfehler auftreten dürfen:
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*Bei einer Bitrate von&nbsp; $\text{64 kbit/s}$&nbsp; entspricht dies der Bedingung,&nbsp; dass in einer Sekunde&nbsp; $($und somit bei&nbsp; $N = 64\hspace{0.08cm}000$&nbsp; &uuml;bertragenen Symbolen$)$&nbsp; nicht mehr als&nbsp; $64$&nbsp; Bitfehler auftreten dürfen:
 
:$$\rm Pr(\it f \le \rm 64) \ge \rm 0.998.$$
 
:$$\rm Pr(\it f \le \rm 64) \ge \rm 0.998.$$
  
  
  
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgröße]].
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Hinweise:  
*Gehen Sie f&uuml;r die ersten drei Teilaufgaben stets von der Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p = 10^{-3}$ aus. In der gesamten Aufgabe gelte zudem  $N = 64\hspace{0.05cm}000$.
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].
*In der [[Aufgaben:3.7_Bitfehlerquote_(BER)|Aufgabe 3.7]] wurde darauf hingewiesen, dass unter gewissen Bedingungen &ndash; die hier alle erf&uuml;llt sind &ndash; die Binomialverteilung durch eine Gau&szlig;verteilung mit gleichem Mittelwert und gleicher Streuung approximiert werden kann. Verwenden Sie diese N&auml;herung bei der Teilaufgabe (4).
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*Gehen Sie f&uuml;r die ersten drei Teilaufgaben stets von der Bitfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p = 10^{-3}$&nbsp; aus.  
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*In der gesamten Aufgabe gelte zudem  $N = 64\hspace{0.08cm}000$.
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* Unter gewissen Bedingungen &ndash; die hier alle erf&uuml;llt sind &ndash; kann die Binomialverteilung durch eine Gau&szlig;verteilung mit gleichem Mittelwert und gleicher Streuung approximiert werden kann.  
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*Verwenden Sie diese N&auml;herung bei der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''.
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{Welche der folgenden Aussagen treffen hinsichtlich der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $f$ zu?
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{Welche der folgenden Aussagen treffen hinsichtlich der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $f$&nbsp; zu?
 
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+ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $f$ ist binomialverteilt.
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+ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $f$&nbsp; ist binomialverteilt.
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+ $f$&nbsp; kann durch eine Poissonverteilung angen&auml;hert werden.
  
  
{Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r den Mittelwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $f$?
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{Welcher Mittelwert ergibt sich f&uuml;r die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $f$?
 
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$m_f \ = \ $ { 64 3% }
  
  
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{Wie groß ist die Streuung?&nbsp; Verwenden Sie geeignete N&auml;herungen.
 
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$\sigma_f \ = \ $ { 8 3% }
  
  
{Berechnen Sie Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als $64$ Bitfehler auftreten. Verwenden Sie hierzu die Gau&szlig;n&auml;herung.
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{Berechnen Sie Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass nicht mehr als&nbsp; $64$&nbsp; Bitfehler auftreten.&nbsp; Verwenden Sie hierzu die Gau&szlig;n&auml;herung.
 
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${\rm Pr}(f ≤ 64) \ = $ { 50 3% } $ \ \rm \%$
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${\rm Pr}(f ≤ 64) \ = \ $ { 50 3% } $ \ \rm \%$
  
  
{Wie gro&szlig; darf die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_\text{B, max}$ höchstens sein, damit die Bedingung &bdquo;Nur in höchstens 0.2% der Einsekunden-Intervalle 64 (oder mehr) Bitfehler&rdquo; eingehalten werden kann? Es gilt ${\rm Q}(2.9) \approx 0.002$.
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{Wie gro&szlig; darf die Bitfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_\text{B, max}$&nbsp; höchstens sein,&nbsp; damit die Bedingung &bdquo;64 (oder mehr) Bitfehler nur in höchstens 0.2% der Einsekunden-Intervalle &rdquo; eingehalten werden kann?&nbsp; Es gilt&nbsp; ${\rm Q}(2.9) \approx 0.002$.
 
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$p_\text{B, max}\ = $ { 0.069 3% } $ \ \rm \%$
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$p_\text{B, max}\ = \ $ { 0.069 3% } $ \ \rm \%$
  
  
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===Musterlösung===
 
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{{ML-Kopf}}
 
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'''(1)'''&nbsp; <u>Beide Aussagen</u> sind richtig:  
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'''(1)'''&nbsp; <u>Beide Aussagen</u>&nbsp; sind richtig:  
*Bei der hier definierten Zufallsgröße  $f$ handelt es sich um den klassischen Fall einer binomialverteilten Zufallsgr&ouml;&szlig;e, n&auml;mlich der Summe &uuml;ber $N$ Bin&auml;rwerte ($0$ oder $1$).  
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*Bei der hier definierten Zufallsgröße  $f$&nbsp; handelt es sich um den klassischen Fall einer binomialverteilten Zufallsgr&ouml;&szlig;e:&nbsp; Summe &uuml;ber&nbsp; $N$&nbsp; Bin&auml;rwerte&nbsp; $(0$ oder $1)$.  
*Da das Produkt $N \cdot p = 64$ und dadurch sehr viel gr&ouml;&szlig;er als $1$ ist, kann die Binomialverteilung mit guter N&auml;herung durch eine Poissonverteilung mit der Rate ${\it \lambda} = 64$ angen&auml;hert werden.
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*Da das Produkt &nbsp;$N \cdot p = 64$&nbsp; und dadurch sehr viel gr&ouml;&szlig;er als&nbsp; $1$&nbsp; ist,&nbsp; kann die Binomialverteilung mit guter N&auml;herung durch eine Poissonverteilung mit der Rate&nbsp; ${\it \lambda} = 64$&nbsp; angen&auml;hert werden.
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'''(2)'''&nbsp; Der Mittelwert ergibt sich zu &nbsp;$m_f = N \cdot p \hspace{0.15cm}\underline{= 64}$&nbsp; unabh&auml;ngig davon,&nbsp; ob man von der Binomial&ndash; oder der Poissonverteilung ausgeht.
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'''(2)'''&nbsp; Der Mittelwert ergibt sich zu $m_f = N \cdot p \hspace{0.15cm}\underline{= 64}$ unabh&auml;ngig davon, ob man von der Binomial- oder der Poissonverteilung ausgeht.
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'''(3)'''&nbsp; F&uuml;r die Streuung erh&auml;lt man &nbsp;
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:$$\it \sigma_f=\rm\sqrt{\rm 64000\cdot 10^{-3}\cdot 0.999}\hspace{0.15cm}\underline{\approx\sqrt{64}=8}.$$
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* Der Fehler durch Anwendung der Poissonlverteilung anstelle der Binomialverteilung ist hier kleiner als&nbsp; $0.05\%$.
  
  
'''(3)'''&nbsp; F&uuml;r die Streuung erh&auml;lt man &nbsp; $\it \sigma_f=\rm\sqrt{\rm 64000\cdot 10^{-3}\cdot 0.999}\hspace{0.15cm}\underline{\approx\sqrt{64}=8}.$ Der Fehler durch Anwendung der Poissonlverteilung anstelle der Binomialverteilung ist hier kleiner als $0.0005$.
 
  
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'''(4)'''&nbsp; Bei einer Gau&szlig;schen Zufallsgr&ouml;&szlig;e $f$&nbsp; mit Mittelwert &nbsp;$m_f  {= 64}$&nbsp; ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(f \le  64) \hspace{0.15cm}\underline{\approx 50\%}$. &nbsp; Anmerkung:
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*Bei einer kontinuierlichen Zufallsgr&ouml;&szlig;e w&auml;re die Wahrscheinlichkeit exakt $50\%$.
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*Da $f$&nbsp; nur ganzzahlige Werte annehmen kann, ist sie hier geringf&uuml;gig gr&ouml;&szlig;er.
  
'''(4)'''&nbsp; Bei einer Gau&szlig;schen Zufallsgr&ouml;&szlig;e $f$ mit Mittelwert $m_f  {= 64}$ ist die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(f \le  64) \hspace{0.15cm}\underline{\approx 50\%}$. <i>Anmerkung:</i> Bei einer kontinuierlichen Zufallsgr&ouml;&szlig;e w&auml;re die Wahrscheinlichkeit exakt $0.5$. Da $f$ nur ganzzahlige Werte annehmen kann, ist sie hier geringf&uuml;gig gr&ouml;&szlig;er.
 
  
  
'''(5)'''&nbsp; Mit $\lambda = N \cdot p$ lautet die entsprechende Bedingung:
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'''(5)'''&nbsp; Mit &nbsp;$\lambda = N \cdot p$&nbsp; lautet die entsprechende Bedingung:
$$\rm Q\big (\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}} \big )\le \rm  0.002\hspace{0.5cm}\rm bzw.\hspace{0.5cm}\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}}>\rm 2.9.$$
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:$$\rm Q\big (\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}} \big )\le \rm  0.002\hspace{0.5cm}\rm bzw.\hspace{0.5cm}\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}}>\rm 2.9.$$
  
Der Maximalwert von $\lambda$ kann nach folgender Gleichung ermittelt werden:
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*Der Maximalwert von&nbsp; $\lambda$ &nbsp; kann nach folgender Gleichung ermittelt werden:
$$ \lambda+\rm 2.9\cdot\sqrt{\it\lambda}-\rm 64 = \rm 0.$$
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:$$ \lambda+\rm 2.9\cdot\sqrt{\it\lambda}-\rm 64 = \rm 0.$$
  
Die L&ouml;sung dieser quadratischen Gleichung lautet:
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*Die L&ouml;sung dieser quadratischen Gleichung ist somit:
$$\sqrt{\it \lambda}=\frac{\rm -2.9\pm\rm\sqrt{\rm 8.41+256}}{\rm 2}=\rm 6.68  
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:$$\sqrt{\it \lambda}=\frac{\rm -2.9\pm\rm\sqrt{\rm 8.41+256}}{\rm 2}=\rm 6.68  
 
\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
 
\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
 
\lambda = 44.6 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
 
\lambda = 44.6 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
p_\text{B, max}= \frac{44.6}{64000} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.069\%}.$$
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{\it p}_\text{B, max}= \frac{44.6}{64000} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.069\%}.$$
  
Die zweite Lösung obiger Gleichung ist negativ und muss nicht weiter berücksichtigt werden.
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*Die zweite Lösung ist negativ und muss nicht weiter berücksichtigt werden.
 
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Aktuelle Version vom 2. Februar 2022, 14:09 Uhr

frame<Auszug aus der CCITT-Empfehlung G.821: Error Performance

Jeder Betreiber von ISDN-Systemen muss gewisse Mindestanforderungen hinsichtlich der Bitfehlerquote  $\rm (BER)$  einhalten,  die zum Beispiel in der  CCITT-Empfehlung G.821  unter dem Namen „Error Performance” spezifiziert sind.

Rechts sehen Sie einen Auszug aus dieser Empfehlung:

  • Diese besagt unter Anderem,  dass  – über eine ausreichend lange Zeit gemittelt –  mindestens  $99.8\%$  aller Einsekunden-Intervalle eine Bitfehlerquote kleiner als  $10^{-3}$  (ein Promille)  aufweisen müssen.
  • Bei einer Bitrate von  $\text{64 kbit/s}$  entspricht dies der Bedingung,  dass in einer Sekunde  $($und somit bei  $N = 64\hspace{0.08cm}000$  übertragenen Symbolen$)$  nicht mehr als  $64$  Bitfehler auftreten dürfen:
$$\rm Pr(\it f \le \rm 64) \ge \rm 0.998.$$



Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Gaußverteilte Zufallsgrößen.
  • Gehen Sie für die ersten drei Teilaufgaben stets von der Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p = 10^{-3}$  aus.
  • In der gesamten Aufgabe gelte zudem $N = 64\hspace{0.08cm}000$.
  • Unter gewissen Bedingungen – die hier alle erfüllt sind – kann die Binomialverteilung durch eine Gaußverteilung mit gleichem Mittelwert und gleicher Streuung approximiert werden kann.
  • Verwenden Sie diese Näherung bei der Teilaufgabe  (4).



Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen treffen hinsichtlich der Zufallsgröße $f$  zu?

Die Zufallsgröße $f$  ist binomialverteilt.
$f$  kann durch eine Poissonverteilung angenähert werden.

2

Welcher Mittelwert ergibt sich für die Zufallsgröße $f$?

$m_f \ = \ $

3

Wie groß ist die Streuung?  Verwenden Sie geeignete Näherungen.

$\sigma_f \ = \ $

4

Berechnen Sie Wahrscheinlichkeit,  dass nicht mehr als  $64$  Bitfehler auftreten.  Verwenden Sie hierzu die Gaußnäherung.

${\rm Pr}(f ≤ 64) \ = \ $

$ \ \rm \%$

5

Wie groß darf die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_\text{B, max}$  höchstens sein,  damit die Bedingung „64 (oder mehr) Bitfehler nur in höchstens 0.2% der Einsekunden-Intervalle ” eingehalten werden kann?  Es gilt  ${\rm Q}(2.9) \approx 0.002$.

$p_\text{B, max}\ = \ $

$ \ \rm \%$


Musterlösung

(1)  Beide Aussagen  sind richtig:

  • Bei der hier definierten Zufallsgröße $f$  handelt es sich um den klassischen Fall einer binomialverteilten Zufallsgröße:  Summe über  $N$  Binärwerte  $(0$ oder $1)$.
  • Da das Produkt  $N \cdot p = 64$  und dadurch sehr viel größer als  $1$  ist,  kann die Binomialverteilung mit guter Näherung durch eine Poissonverteilung mit der Rate  ${\it \lambda} = 64$  angenähert werden.


(2)  Der Mittelwert ergibt sich zu  $m_f = N \cdot p \hspace{0.15cm}\underline{= 64}$  unabhängig davon,  ob man von der Binomial– oder der Poissonverteilung ausgeht.


(3)  Für die Streuung erhält man  

$$\it \sigma_f=\rm\sqrt{\rm 64000\cdot 10^{-3}\cdot 0.999}\hspace{0.15cm}\underline{\approx\sqrt{64}=8}.$$
  • Der Fehler durch Anwendung der Poissonlverteilung anstelle der Binomialverteilung ist hier kleiner als  $0.05\%$.


(4)  Bei einer Gaußschen Zufallsgröße $f$  mit Mittelwert  $m_f {= 64}$  ist die Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(f \le 64) \hspace{0.15cm}\underline{\approx 50\%}$.   Anmerkung:

  • Bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße wäre die Wahrscheinlichkeit exakt $50\%$.
  • Da $f$  nur ganzzahlige Werte annehmen kann, ist sie hier geringfügig größer.


(5)  Mit  $\lambda = N \cdot p$  lautet die entsprechende Bedingung:

$$\rm Q\big (\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}} \big )\le \rm 0.002\hspace{0.5cm}\rm bzw.\hspace{0.5cm}\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}}>\rm 2.9.$$
  • Der Maximalwert von  $\lambda$   kann nach folgender Gleichung ermittelt werden:
$$ \lambda+\rm 2.9\cdot\sqrt{\it\lambda}-\rm 64 = \rm 0.$$
  • Die Lösung dieser quadratischen Gleichung ist somit:
$$\sqrt{\it \lambda}=\frac{\rm -2.9\pm\rm\sqrt{\rm 8.41+256}}{\rm 2}=\rm 6.68 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} \lambda = 44.6 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} {\it p}_\text{B, max}= \frac{44.6}{64000} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.069\%}.$$
  • Die zweite Lösung ist negativ und muss nicht weiter berücksichtigt werden.