Aufgaben:Aufgabe 3.7Z: Error Performance: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Jeder Betreiber von ISDN-Systemen muss gewisse Mindestanforderungen hinsichtlich der Bitfehlerquote (BER) einhalten, die zum Beispiel in der CCITT-Empfehlung G.821 unter dem Namen <i>Error Performance</i> spezifiziert sind. | + | Jeder Betreiber von ISDN-Systemen muss gewisse Mindestanforderungen hinsichtlich der Bitfehlerquote (BER) einhalten, die zum Beispiel in der [https://de.wikipedia.org/wiki/G.821 CCITT-Empfehlung G.821] unter dem Namen <i>Error Performance</i> spezifiziert sind. |
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| − | *Diese besagt unter Anderem, dass – über eine ausreichend lange Zeit gemittelt – mindestens 99.8% aller Einsekunden-Intervalle eine Bitfehlerquote kleiner $10^{-3}$ (ein Promille) aufweisen müssen. | + | *Diese besagt unter Anderem, dass – über eine ausreichend lange Zeit gemittelt – mindestens $99.8\%$ aller Einsekunden-Intervalle eine Bitfehlerquote kleiner $10^{-3}$ (ein Promille) aufweisen müssen. |
| − | *Bei einer Bitrate von 64 kbit/s entspricht dies der Bedingung, dass in einer Sekunde (und somit bei $N = 64\hspace{0.05cm}000$ übertragenen Symbolen) nicht mehr als 64 Bitfehler auftreten dürfen: | + | *Bei einer Bitrate von $\text{64 kbit/s}$ entspricht dies der Bedingung, dass in einer Sekunde (und somit bei $N = 64\hspace{0.05cm}000$ übertragenen Symbolen) nicht mehr als $64$ Bitfehler auftreten dürfen: |
:$$\rm Pr(\it f \le \rm 64) \ge \rm 0.998.$$ | :$$\rm Pr(\it f \le \rm 64) \ge \rm 0.998.$$ | ||
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| − | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgrößen]]. |
*Gehen Sie für die ersten drei Teilaufgaben stets von der Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p = 10^{-3}$ aus. In der gesamten Aufgabe gelte zudem $N = 64\hspace{0.05cm}000$. | *Gehen Sie für die ersten drei Teilaufgaben stets von der Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p = 10^{-3}$ aus. In der gesamten Aufgabe gelte zudem $N = 64\hspace{0.05cm}000$. | ||
| − | *In der [[Aufgaben:3.7_Bitfehlerquote_(BER)|Aufgabe 3.7]] wurde darauf hingewiesen, dass unter gewissen Bedingungen – die hier alle erfüllt sind – die Binomialverteilung durch eine Gaußverteilung mit gleichem Mittelwert und gleicher Streuung approximiert werden kann. Verwenden Sie diese Näherung bei der Teilaufgabe (4). | + | *In der [[Aufgaben:3.7_Bitfehlerquote_(BER)|Aufgabe 3.7]] wurde darauf hingewiesen, dass unter gewissen Bedingungen – die hier alle erfüllt sind – die Binomialverteilung durch eine Gaußverteilung mit gleichem Mittelwert und gleicher Streuung approximiert werden kann. |
| + | *Verwenden Sie diese Näherung bei der Teilaufgabe '''(4)'''. | ||
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{Welche der folgenden Aussagen treffen hinsichtlich der Zufallsgröße $f$ zu? | {Welche der folgenden Aussagen treffen hinsichtlich der Zufallsgröße $f$ zu? | ||
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| − | + Die Zufallsgröße $f$ ist binomialverteilt. | + | + Die Zufallsgröße $f$ ist binomialverteilt. |
| − | + $f$ kann durch eine Poissonverteilung angenähert werden. | + | + $f$ kann durch eine Poissonverteilung angenähert werden. |
{Welcher Wert ergibt sich für den Mittelwert der Zufallsgröße $f$? | {Welcher Wert ergibt sich für den Mittelwert der Zufallsgröße $f$? | ||
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| − | $m_f \ = $ { 64 3% } | + | $m_f \ = \ $ { 64 3% } |
{Wie groß ist die Streuung? Verwenden Sie geeignete Näherungen. | {Wie groß ist die Streuung? Verwenden Sie geeignete Näherungen. | ||
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| − | $\sigma_f \ = $ { 8 3% } | + | $\sigma_f \ = \ $ { 8 3% } |
{Berechnen Sie Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als $64$ Bitfehler auftreten. Verwenden Sie hierzu die Gaußnäherung. | {Berechnen Sie Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als $64$ Bitfehler auftreten. Verwenden Sie hierzu die Gaußnäherung. | ||
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| − | ${\rm Pr}(f ≤ 64) \ = $ { 50 3% } $ \ \rm \%$ | + | ${\rm Pr}(f ≤ 64) \ = \ $ { 50 3% } $ \ \rm \%$ |
| − | {Wie groß darf die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_\text{B, max}$ höchstens sein, damit die Bedingung „ | + | {Wie groß darf die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_\text{B, max}$ höchstens sein, damit die Bedingung „64 (oder mehr) Bitfehler nur in höchstens 0.2% der Einsekunden-Intervalle ” eingehalten werden kann? Es gilt ${\rm Q}(2.9) \approx 0.002$. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | $p_\text{B, max}\ = $ { 0.069 3% } $ \ \rm \%$ | + | $p_\text{B, max}\ = \ $ { 0.069 3% } $ \ \rm \%$ |
Version vom 10. August 2018, 11:24 Uhr
Jeder Betreiber von ISDN-Systemen muss gewisse Mindestanforderungen hinsichtlich der Bitfehlerquote (BER) einhalten, die zum Beispiel in der CCITT-Empfehlung G.821 unter dem Namen Error Performance spezifiziert sind.
Rechts sehen Sie einen Auszug aus dieser Empfehlung:
- Diese besagt unter Anderem, dass – über eine ausreichend lange Zeit gemittelt – mindestens $99.8\%$ aller Einsekunden-Intervalle eine Bitfehlerquote kleiner $10^{-3}$ (ein Promille) aufweisen müssen.
- Bei einer Bitrate von $\text{64 kbit/s}$ entspricht dies der Bedingung, dass in einer Sekunde (und somit bei $N = 64\hspace{0.05cm}000$ übertragenen Symbolen) nicht mehr als $64$ Bitfehler auftreten dürfen:
- $$\rm Pr(\it f \le \rm 64) \ge \rm 0.998.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Gaußverteilte Zufallsgrößen.
- Gehen Sie für die ersten drei Teilaufgaben stets von der Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p = 10^{-3}$ aus. In der gesamten Aufgabe gelte zudem $N = 64\hspace{0.05cm}000$.
- In der Aufgabe 3.7 wurde darauf hingewiesen, dass unter gewissen Bedingungen – die hier alle erfüllt sind – die Binomialverteilung durch eine Gaußverteilung mit gleichem Mittelwert und gleicher Streuung approximiert werden kann.
- Verwenden Sie diese Näherung bei der Teilaufgabe (4).
Fragebogen
Musterlösung
- Bei der hier definierten Zufallsgröße $f$ handelt es sich um den klassischen Fall einer binomialverteilten Zufallsgröße, nämlich der Summe über $N$ Binärwerte ($0$ oder $1$).
- Da das Produkt $N \cdot p = 64$ und dadurch sehr viel größer als $1$ ist, kann die Binomialverteilung mit guter Näherung durch eine Poissonverteilung mit der Rate ${\it \lambda} = 64$ angenähert werden.
(2) Der Mittelwert ergibt sich zu $m_f = N \cdot p \hspace{0.15cm}\underline{= 64}$ unabhängig davon, ob man von der Binomial- oder der Poissonverteilung ausgeht.
(3) Für die Streuung erhält man $\it \sigma_f=\rm\sqrt{\rm 64000\cdot 10^{-3}\cdot 0.999}\hspace{0.15cm}\underline{\approx\sqrt{64}=8}.$ Der Fehler durch Anwendung der Poissonlverteilung anstelle der Binomialverteilung ist hier kleiner als $0.0005$.
(4) Bei einer Gaußschen Zufallsgröße $f$ mit Mittelwert $m_f {= 64}$ ist die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(f \le 64) \hspace{0.15cm}\underline{\approx 50\%}$. Anmerkung: Bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße wäre die Wahrscheinlichkeit exakt $0.5$. Da $f$ nur ganzzahlige Werte annehmen kann, ist sie hier geringfügig größer.
(5) Mit $\lambda = N \cdot p$ lautet die entsprechende Bedingung:
$$\rm Q\big (\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}} \big )\le \rm 0.002\hspace{0.5cm}\rm bzw.\hspace{0.5cm}\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}}>\rm 2.9.$$
Der Maximalwert von $\lambda$ kann nach folgender Gleichung ermittelt werden: $$ \lambda+\rm 2.9\cdot\sqrt{\it\lambda}-\rm 64 = \rm 0.$$
Die Lösung dieser quadratischen Gleichung lautet: $$\sqrt{\it \lambda}=\frac{\rm -2.9\pm\rm\sqrt{\rm 8.41+256}}{\rm 2}=\rm 6.68 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} \lambda = 44.6 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} p_\text{B, max}= \frac{44.6}{64000} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.069\%}.$$
Die zweite Lösung obiger Gleichung ist negativ und muss nicht weiter berücksichtigt werden.
