Aufgaben:Aufgabe 3.7: PN–Modulation: Unterschied zwischen den Versionen

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Die obere Grafik zeigt das Ersatzschaltbild der PN–Modulation (englisch:   ''Direct Sequence Spread Spectrum'', abgekürzt DS–SS) im äquivalenten Tiefpass–Bereich, wobei„ $n(t)$  für AWGN–Rauschen steht.
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Die obere Grafik zeigt das Ersatzschaltbild der PN–Modulation  $($englisch:   ''Direct Sequence Spread Spectrum'', abgekürzt  $\rm DS–SS)$  im äquivalenten Tiefpass–Bereich, wobei  $n(t)$  für AWGN–Rauschen steht.
  
Darunter skizziert ist das Tiefpass–Modell der binären Phasenmodulation, kurz BPSK.  
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Darunter skizziert ist das Tiefpass–Modell der binären Phasenmodulation, kurz  $\rm BPSK$.  
 
*Das Tiefpass–Sendesignal  $s(t)$  ist hier nur aus Gründen einheitlicher Darstellung gleich dem rechteckförmigen Quellensignal  $q(t) ∈ \{+1, –1\}$  mit Rechteckdauer  $T$  gesetzt.  
 
*Das Tiefpass–Sendesignal  $s(t)$  ist hier nur aus Gründen einheitlicher Darstellung gleich dem rechteckförmigen Quellensignal  $q(t) ∈ \{+1, –1\}$  mit Rechteckdauer  $T$  gesetzt.  
 
*Die Funktion des Integrators kann wie folgt geschrieben werden:
 
*Die Funktion des Integrators kann wie folgt geschrieben werden:
:$$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
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:$$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.03cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
  
 
*Die beiden Modelle unterscheiden sich durch die Multiplikation mit dem  $±1$–Spreizsignal  $c(t)$  bei Sender und Empfänger, wobei von diesem Signal  $c(t)$  lediglich der Spreizgrad  $J$  bekannt ist.  
 
*Die beiden Modelle unterscheiden sich durch die Multiplikation mit dem  $±1$–Spreizsignal  $c(t)$  bei Sender und Empfänger, wobei von diesem Signal  $c(t)$  lediglich der Spreizgrad  $J$  bekannt ist.  
*Für die Lösung dieser Aufgabe ist die Angabe der spezifischen Spreizfolge (M–Sequenz oder Walsh–Funktion) nicht von Bedeutung.
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*Für die Lösung dieser Aufgabe ist die Angabe der spezifischen Spreizfolge  $($M–Sequenz oder Walsh–Funktion$)$  nicht von Bedeutung.
  
  
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:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt { {2 \cdot E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}} } \hspace{0.05cm} \right )$$
 
:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt { {2 \cdot E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}} } \hspace{0.05cm} \right )$$
 
auch für die PN–Modulation gültig ist, beziehungsweise wie die angegebene Gleichung zu modifizieren wäre.
 
auch für die PN–Modulation gültig ist, beziehungsweise wie die angegebene Gleichung zu modifizieren wäre.
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+ Es sind nur die Werte  $d(\nu T) = +1$  und  $d(\nu T) = -1$  möglich.
 
+ Es sind nur die Werte  $d(\nu T) = +1$  und  $d(\nu T) = -1$  möglich.
  
{Welche Werte sind bei PN–Modulation im rauschfreien Fall möglich?
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{Welche Detektionssignalwerte sind bei PN–Modulation im rauschfreien Fall möglich?
 
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- $d(\nu T)$  ist gaußverteilt.
 
- $d(\nu T)$  ist gaußverteilt.
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- Die Rauschleistung muss um den Faktor  $J$  vermindert werden.
 
- Die Rauschleistung muss um den Faktor  $J$  vermindert werden.
  
{Es gelte&nbsp; $10 \cdot {\rm lg}\ (E_{\rm B}/N_0) = 6 \ \rm dB$. &nbsp;Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm B}$&nbsp; ergibt sich bei PN–Modulation? <br>''Hinweis'': &nbsp; Bei BPSK ergibt sich&nbsp; $p_{\rm B} \approx 2.3 \cdot 10^{-3}$.
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{Es gelte&nbsp; $10 \cdot {\rm lg}\ (E_{\rm B}/N_0) = 6 \ \rm dB$. &nbsp;Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm B}$&nbsp; ergibt sich bei PN–Modulation?&nbsp; ''Hinweis'': &nbsp; Bei BPSK ergibt sich&nbsp; $p_{\rm B} \approx 2.3 \cdot 10^{-3}$.
 
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- Je größer&nbsp; $J$&nbsp; gewählt wird, desto kleiner ist&nbsp; $p_{\rm B}$.
 
- Je größer&nbsp; $J$&nbsp; gewählt wird, desto kleiner ist&nbsp; $p_{\rm B}$.
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'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
 
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*Es handelt sich hier um einen optimalen Empfänger.  
 
*Es handelt sich hier um einen optimalen Empfänger.  
*Ohne Rauschen ist Signal $b(t)$ innerhalb eines jeden Bits konstant gleich $+1$ oder $-1$.  
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*Ohne Rauschen ist das Signal&nbsp; $b(t)$&nbsp; innerhalb eines jeden Bits konstant gleich&nbsp; $+1$&nbsp; oder&nbsp; $-1$.  
 
*Aus der angegebenen Gleichung für den Integrator
 
*Aus der angegebenen Gleichung für den Integrator
:$$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.3cm} \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t$$
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:$$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.03cm} \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t$$
:folgt, dass $d(\nu T)$ nur die Werte $±1$ annehmen kann.  
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:folgt, dass&nbsp; $d(\nu T)$&nbsp; nur die Werte&nbsp; $±1$&nbsp; annehmen kann.  
  
  
 
'''(2)'''&nbsp; Richtig ist wieder der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
 
'''(2)'''&nbsp; Richtig ist wieder der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
* Im rauschfreien Fall &nbsp; &rArr; &nbsp; $n(t) = 0$ kann auf die zweifache Multiplikation mit $c(t) ∈ \{+1, -1\}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $c(t)^{2} = 1$ verzichtet werden, so dass das obere Modell mit dem unteren Modell identisch ist.
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* Im rauschfreien Fall &nbsp; &rArr; &nbsp; $n(t) = 0$&nbsp; kann auf die zweifache Multiplikation mit&nbsp; $c(t) ∈ \{+1, -1\}$&nbsp; &nbsp; &rArr; &nbsp; $c(t)^{2} = 1$&nbsp; verzichtet werden, so dass das obere Modell mit dem unteren Modell identisch ist.
  
  
 
'''(3)'''&nbsp; Zutreffend ist der  <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
 
'''(3)'''&nbsp; Zutreffend ist der  <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
*Da beide Modelle im rauschfreien Fall identisch sind, muss nur das Rauschsignal angepasst werden: $n'(t) = n(t) \cdot c(t)$.  
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*Da beide Modelle im rauschfreien Fall identisch sind, muss nur das Rauschsignal angepasst werden:&nbsp; $n'(t) = n(t) \cdot c(t)$.  
*Die Lösungsvorschläge 2 und 3 sind dagegen nicht zutreffend: Die Integration muss auch weiterhin über $T = J \cdot T_{c}$ erfolgen (nicht über $J \cdot T$) und die PN–Modulation verringert das AWGN–Rauschen nicht.  
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*Die Lösungsvorschläge 2 und 3 sind dagegen nicht zutreffend:&nbsp; Die Integration muss auch weiterhin über&nbsp; $T = J \cdot T_{c}$&nbsp; erfolgen&nbsp; $($nicht über&nbsp; $J \cdot T)$&nbsp; und die PN–Modulation verringert das AWGN–Rauschen nicht.  
  
  
'''(4)'''&nbsp; Richtig ist wieder der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
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'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
 
*Die für BPSK und AWGN–Kanal gültige Gleichung
 
*Die für BPSK und AWGN–Kanal gültige Gleichung
:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt { \frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_{\rm 0}} } \hspace{0.05cm} \right )$$
+
:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt { {2 \cdot E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}} } \hspace{0.05cm} \right )$$
:ist somit auch bei der PN–Modulation anwendbar und zwar unabhängig vom Spreizfaktor $J$ und von der spezifischen Spreizfolge.  
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:ist somit auch bei der PN–Modulation anwendbar und zwar unabhängig vom Spreizfaktor&nbsp; $J$&nbsp; und von der spezifischen Spreizfolge.  
 
*Bei AWGN–Rauschen wird die Fehlerwahrscheinlichkeit durch Bandspreizung weder vergrößert noch verkleinert.  
 
*Bei AWGN–Rauschen wird die Fehlerwahrscheinlichkeit durch Bandspreizung weder vergrößert noch verkleinert.  
  

Aktuelle Version vom 17. August 2020, 13:02 Uhr

Ersatzschaltbilder von „PN-Modulation” und „BPSK”

Die obere Grafik zeigt das Ersatzschaltbild der PN–Modulation  $($englisch:   Direct Sequence Spread Spectrum, abgekürzt  $\rm DS–SS)$  im äquivalenten Tiefpass–Bereich, wobei  $n(t)$  für AWGN–Rauschen steht.

Darunter skizziert ist das Tiefpass–Modell der binären Phasenmodulation, kurz  $\rm BPSK$.

  • Das Tiefpass–Sendesignal  $s(t)$  ist hier nur aus Gründen einheitlicher Darstellung gleich dem rechteckförmigen Quellensignal  $q(t) ∈ \{+1, –1\}$  mit Rechteckdauer  $T$  gesetzt.
  • Die Funktion des Integrators kann wie folgt geschrieben werden:
$$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.03cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
  • Die beiden Modelle unterscheiden sich durch die Multiplikation mit dem  $±1$–Spreizsignal  $c(t)$  bei Sender und Empfänger, wobei von diesem Signal  $c(t)$  lediglich der Spreizgrad  $J$  bekannt ist.
  • Für die Lösung dieser Aufgabe ist die Angabe der spezifischen Spreizfolge  $($M–Sequenz oder Walsh–Funktion$)$  nicht von Bedeutung.


Zu untersuchen ist, ob sich das untere BPSK–Modell auch bei PN–Modulation anwenden lässt und ob die BPSK–Fehlerwahrscheinlichkeit

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt { {2 \cdot E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}} } \hspace{0.05cm} \right )$$

auch für die PN–Modulation gültig ist, beziehungsweise wie die angegebene Gleichung zu modifizieren wäre.






Hinweise:

  • Das bei UMTS eingesetzte CDMA–Verfahren firmiert auch unter der Bezeichnung „PN–Modulation”.
  • Die in dieser Aufgabe verwendete Nomenklatur richtet sich zum Teil auch nach dem Abschnitt  PN–Modulation  im Buch „Modulationsverfahren”.


Fragebogen

1

Welche Detektionssignalwerte sind bei BPSK möglich (ohne Rauschen)?

$d(\nu T)$  ist gaußverteilt.
$d(\nu T)$  kann die Werte  $+1$,  $0$  und  $-1$  annehmen.
Es sind nur die Werte  $d(\nu T) = +1$  und  $d(\nu T) = -1$  möglich.

2

Welche Detektionssignalwerte sind bei PN–Modulation im rauschfreien Fall möglich?

$d(\nu T)$  ist gaußverteilt.
$d(\nu T)$  kann die Werte  $+1$,  $0$  und  $-1$  annehmen.
Es sind nur die Werte  $d(\nu T) = +1$  und  $d(\nu T) = -1$  möglich.

3

Welche Modifikation muss am BPSK–Modell vorgenommen werden, damit es auch für die PN–Modulation anwendbar ist?

Das Rauschen  $n(t)$  muss durch  $n\hspace{0.05cm}'(t) = n(t) \cdot c(t)$  ersetzt werden.
Die Integration muss nun über  $J \cdot T$  erfolgen.
Die Rauschleistung muss um den Faktor  $J$  vermindert werden.

4

Es gelte  $10 \cdot {\rm lg}\ (E_{\rm B}/N_0) = 6 \ \rm dB$.  Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  ergibt sich bei PN–Modulation?  Hinweis:   Bei BPSK ergibt sich  $p_{\rm B} \approx 2.3 \cdot 10^{-3}$.

Je größer  $J$  gewählt wird, desto kleiner ist  $p_{\rm B}$.
Je größer  $J$  gewählt wird, desto größer ist  $p_{\rm B}$.
Es ergibt sich unabhängig von  $J$  stets der Wert  $p_{\rm B} = 2.3 \cdot 10^{-3}$.


Musterlösung

(1)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

  • Es handelt sich hier um einen optimalen Empfänger.
  • Ohne Rauschen ist das Signal  $b(t)$  innerhalb eines jeden Bits konstant gleich  $+1$  oder  $-1$.
  • Aus der angegebenen Gleichung für den Integrator
$$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.03cm} \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t$$
folgt, dass  $d(\nu T)$  nur die Werte  $±1$  annehmen kann.


(2)  Richtig ist wieder der Lösungsvorschlag 3:

  • Im rauschfreien Fall   ⇒   $n(t) = 0$  kann auf die zweifache Multiplikation mit  $c(t) ∈ \{+1, -1\}$    ⇒   $c(t)^{2} = 1$  verzichtet werden, so dass das obere Modell mit dem unteren Modell identisch ist.


(3)  Zutreffend ist der Lösungsvorschlag 1:

  • Da beide Modelle im rauschfreien Fall identisch sind, muss nur das Rauschsignal angepasst werden:  $n'(t) = n(t) \cdot c(t)$.
  • Die Lösungsvorschläge 2 und 3 sind dagegen nicht zutreffend:  Die Integration muss auch weiterhin über  $T = J \cdot T_{c}$  erfolgen  $($nicht über  $J \cdot T)$  und die PN–Modulation verringert das AWGN–Rauschen nicht.


(4)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

  • Die für BPSK und AWGN–Kanal gültige Gleichung
$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt { {2 \cdot E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}} } \hspace{0.05cm} \right )$$
ist somit auch bei der PN–Modulation anwendbar und zwar unabhängig vom Spreizfaktor  $J$  und von der spezifischen Spreizfolge.
  • Bei AWGN–Rauschen wird die Fehlerwahrscheinlichkeit durch Bandspreizung weder vergrößert noch verkleinert.