Aufgaben:Aufgabe 3.7: Bitfehlerquote (BER): Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID128__Sto_A_3_7.png|right|Zur Verdeutlichung der Bitfehlerquote]]
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Wir betrachten ein binäres Übertragungssystem mit
 
Wir betrachten ein binäres Übertragungssystem mit
  
*der Quellensymbolfolge $\langle q_\nu \rangle $ und
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*der Quellensymbolfolge  $\langle q_\nu \rangle $  und
*der Sinkensymbolfolge $\langle v_\nu \rangle $.
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*der Sinkensymbolfolge  $\langle v_\nu \rangle $.
  
Stimmen Sinkensymbol $v_\nu$ und Quellensymbol $q_\nu$ nicht überein, so liegt ein Bitfehler vor   ⇒    $e_\nu = 1$ Ansonsten gilt $e_\nu = 0$.
 
  
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Stimmen Sinkensymbol&nbsp; $v_\nu$&nbsp; und Quellensymbol&nbsp; $q_\nu$&nbsp; nicht &uuml;berein, so liegt ein Bitfehler vor &nbsp; &rArr; &nbsp;  $e_\nu = 1$. <br>Ansonsten gilt&nbsp; $e_\nu = 0$.
  
Wichtigstes Beurteilungskriterium eines solchen Digitalsystems ist die '''Bitfehlerwahrscheinlichkeit''' (englisch: <i>Bit Error Probability</i>).
 
Mit dem Erwartungswert ${\rm E}[ ... ]$ ist diese ist wie folgt definiert:
 
$$\it p_{\rm B} = \rm E[\rm Pr(\it v_{\nu} \ne q_{\nu} \rm )]=\rm E[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)]=\lim_{{\it N}\to\infty}\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N}\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1).$$
 
  
Der rechte Teil dieser Gleichung beschreibt eine Zeitmittelung und muss z.&nbsp;B. bei zeitvarianten Kan&auml;len stets angewandt werden. Ist dagegen die Fehlerwahrscheinlichkeit f&uuml;r alle Symbole gleich (was hier vorausgesetzt werden soll), so kann man die obige Gleichung wie folgt vereinfachen:
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$\rm (A)$&nbsp; Ein wichtiges Beurteilungskriterium ist die&nbsp; '''Bitfehlerwahrscheinlichkeit'''&nbsp; (englisch: &nbsp; "Bit Error Probability").
$$\it p_{\rm B} = \rm E[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)]=\rm E[\it e_{\nu} \rm ].$$
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:*Mit dem Erwartungswert&nbsp; ${\rm E}\big[\text{ ...} \big]$&nbsp; ist diese ist wie folgt definiert:
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::$$\it p_{\rm B} = \rm E\big[\rm Pr(\it v_{\nu} \ne q_{\nu} \rm )\big]=\rm E\big[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)\big]=\lim_{{\it N}\to\infty}\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N}\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1).$$
  
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:*Der rechte Teil dieser Gleichung beschreibt eine Zeitmittelung;&nbsp; diese muss zum Beispiel bei zeitvarianten Kan&auml;len stets angewandt werden.
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:*Ist die Fehlerwahrscheinlichkeit f&uuml;r alle Symbole gleich&nbsp; (was hier vorausgesetzt wird),&nbsp; so kann man die obige Gleichung vereinfachen:
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::$$\it p_{\rm B} = \rm E\big[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)\big]=\rm E\big[\it e_{\nu} \rm \big].$$
  
Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist eine A-priori-Kenngr&ouml;&szlig;e, erlaubt also eine Vorhersage f&uuml;r das zu erwartende Resultat. Dagegen muss zur messtechnischen Ermittlung der &Uuml;bertragungsqualit&auml;t oder bei der Systemsimulation auf die vergleichbare A-posteriori-Kenngr&ouml;&szlig;e '''Bitfehlerquote''' (englisch: <i>Bit Error Rate</i>) &uuml;bergegangen werden:
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:*Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist eine&nbsp; "A-priori-Kenngr&ouml;&szlig;e",&nbsp; erlaubt also eine Vorhersage f&uuml;r das zu erwartende Resultat.  
:$$h_{\rm B}=\frac{n_{\rm B}}{N}=\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N} e_{\nu}.$$
 
  
Diese ist eine [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung#Definition_der_Bitfehlerquote|relative H&auml;ufigkeit]], wobei $n_{\rm B}$ die Anzahl der aufgetretenen Bitfehler angibt, wenn insgesamt $N$ Symbole (Bit) &uuml;bertragen wurden.
 
  
*Im Grenzfall $N \to \infty$ stimmt die relative H&auml;ufigkeit $h_{\rm B}$ mit der Wahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ &uuml;berein.  
+
$\rm (B)$&nbsp; Zur messtechnischen Ermittlung/Systemsimulation der &Uuml;bertragungsqualit&auml;t muss  auf die &nbsp; '''Bitfehlerquote'''&nbsp; (englisch:&nbsp; "Bit Error Rate")&nbsp; &uuml;bergegangen werden:
*Hier soll nun die Frage gekl&auml;rt werden, mit welcher statistischen Unsicherheit bei endlichem <i>N</i> gerechnet werden muss.
+
:*Die Bitfehlerquote ist eine A-posteriori-Kenngröße,&nbsp; die aus einem durchgeführten statistischem Experiment als&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung#Definition_der_Bitfehlerquote|relative H&auml;ufigkeit]] abgeleitet wird:
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::$$h_{\rm B}=\frac{n_{\rm B}}{N}=\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N} e_{\nu}.$$
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:* $n_{\rm B}$&nbsp; gibt die  Anzahl der aufgetretenen im Experiment Bitfehler an,&nbsp; wenn insgesamt&nbsp; $N$&nbsp; Binärsymbole &uuml;bertragen wurden.
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:*Im Grenzfall&nbsp; $N \to \infty$&nbsp; stimmt die relative H&auml;ufigkeit&nbsp; $h_{\rm B}$&nbsp; mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm B}$&nbsp; &uuml;berein.&nbsp; Hier soll nun die Frage gekl&auml;rt werden, mit welcher statistischen Unsicherheit bei endlichem&nbsp; $N$&nbsp; gerechnet werden muss.
  
  
''Hinweise:''
+
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgröße]].
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*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
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*L&ouml;sen Sie die Aufgaben so weit wie m&ouml;glich allgemein. Verwenden Sie zur Kontrolleingabe die Parameterwerte  $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$.  
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Hinweise:  
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].  
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*L&ouml;sen Sie die Aufgaben so weit wie m&ouml;glich allgemein.&nbsp; Verwenden Sie zur Kontrolleingabe die Parameterwerte&nbsp; $p_{\rm B} = 10^{-3}$&nbsp; und&nbsp; $N = 10^{5}$.  
 
*Nachfolgend finden Sie einige Werte der sogenannten Q-Funktion:
 
*Nachfolgend finden Sie einige Werte der sogenannten Q-Funktion:
 
:$$\rm Q(\rm 1.00)=\rm 0.159,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.65)=\rm 0.050,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.96)=\rm 0.025,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 2.59)=\rm 0.005.$$  
 
:$$\rm Q(\rm 1.00)=\rm 0.159,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.65)=\rm 0.050,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.96)=\rm 0.025,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 2.59)=\rm 0.005.$$  
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{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 
{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 
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- Für $n_{\rm B}$ sind alle Werte $(0$, ... , $N)$ gleichwahrscheinlich.
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- Für&nbsp; $n_{\rm B}$&nbsp; sind alle Werte&nbsp; $(0$, ... , $N)$&nbsp; gleichwahrscheinlich.
+ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $n_{\rm B}$ ist binomialverteilt.
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+ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $n_{\rm B}$&nbsp; ist binomialverteilt.
+ Mit $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$ ergibt sich ${\rm E}[n_{\rm B}] = 100$.
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+ Mit&nbsp; $p_{\rm B} = 10^{-3}$&nbsp; und&nbsp; $N = 10^{5}$&nbsp; ergibt sich&nbsp; ${\rm E}\big[n_{\rm B}\big] = 100$.
  
  
{Wie gro&szlig; ist die Streuung der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $n_{\rm B}$ für $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$?
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{Wie gro&szlig; ist die Streuung der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $n_{\rm B}$&nbsp; für&nbsp; $p_{\rm B} = 10^{-3}$&nbsp; und&nbsp; $N = 10^{5}$?
 
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$\sigma_{n{\rm B}} \ = $  { 100 3% }  
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$\sigma_{n{\rm B}} \ = \ $  { 10 3% }  
  
  
{Welche Werte kann die Bitfehlerquote $h_{\rm B}$ annehmen? Zeigen Sie, dass der lineare Mittelwert $m_{h{\rm B}}$ dieser Zufallsgröße gleich der tats&auml;chlichen Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ ist. Wie gro&szlig; ist deren Streuung?
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{Welche Werte kann die Bitfehlerquote&nbsp; $h_{\rm B}$&nbsp; annehmen?&nbsp; <br>Zeigen Sie, dass der lineare Mittelwert&nbsp; $m_{h{\rm B}}$&nbsp; dieser Zufallsgröße gleich der tats&auml;chlichen Bitfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm B}$&nbsp; ist.&nbsp; Wie gro&szlig; ist deren Streuung?
 
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$\sigma_{h{\rm B}} \ = $ { 0.0001 3% }  
+
$\sigma_{h{\rm B}} \ = \ $ { 0.0001 3% }  
  
  
{Unter gewissen Voraussetzungen kann eine binomialverteilte Zufallsgr&ouml;&szlig;e durch eine Gau&szlig;verteilung mit gleichem Mittelwert  $(m_{h{\rm B}})$ und gleicher Streuung $(\sigma_{h{\rm B}})$ angen&auml;hert werden. Welche Aussage ist zutreffend?
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{Unter gewissen Voraussetzungen kann eine binomialverteilte Zufallsgr&ouml;&szlig;e durch eine Gau&szlig;verteilung mit gleichem Mittelwert&nbsp; $(m_{h{\rm B}})$&nbsp; und gleicher Streuung&nbsp; $(\sigma_{h{\rm B}})$&nbsp; angen&auml;hert werden.&nbsp; Welche Aussage ist zutreffend?
|type="[]"}
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+ ${\rm Pr}(|h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon)=1- 2\cdot \rm Q({\varepsilon}/{\sigma_{h{\rm B}}}).$
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+ ${\rm Pr}(\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}h_{\rm B} - p_{\rm B}\hspace{0.05cm}| \le \varepsilon)=1- 2\cdot \rm Q({\varepsilon}/{\sigma_{{\it h}{\rm B}}}).$
- ${\rm Pr}(|h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon)=1- \rm Q({\varepsilon}/{2\cdot \sigma_{h{\rm B}}}).$
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- ${\rm Pr}(\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}h_{\rm B} - p_{\rm B}\hspace{0.05cm}| \le \varepsilon)=1- \rm Q({\varepsilon}/{2\cdot \sigma_{{\it h}{\rm B}}}).$
  
  
  
{Zur Abk&uuml;rzung verwenden wir das Konfidenzniveau $p_\varepsilon = {\rm Pr}(|h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon)$. Welches  $p_\varepsilon$ ergibt sich mit $\varepsilon = 10^{-4}$, $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$?
+
{Zur Abk&uuml;rzung verwenden wir das Konfidenzniveau&nbsp; $p_\varepsilon = {\rm Pr}(\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}h_{\rm B} - p_{\rm B}\hspace{0.05cm}| \le \varepsilon)$.&nbsp; Welches&nbsp;   $p_\varepsilon$&nbsp; ergibt sich mit&nbsp; $\varepsilon = 10^{-4}$, &nbsp; $p_{\rm B} = 10^{-3}$&nbsp; und&nbsp; $N = 10^{5}$&nbsp;?
 
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$p_\varepsilon \ = $ { 0.684 3% }
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$p_\varepsilon \ = \ $ { 0.684 3% }
  
  
{Das Argument der Q-Funktion sei $\alpha$. Wie gro&szlig; muss  $\alpha$ mindestens gew&auml;hlt werden, damit das Konfidenzniveau  $p_\varepsilon =  95\%$ betr&auml;gt?
+
{Das Argument der Q-Funktion sei&nbsp; $\alpha$.&nbsp; Wie gro&szlig; muss&nbsp; $\alpha$&nbsp; mindestens gew&auml;hlt werden,&nbsp; damit das Konfidenzniveau&nbsp; $p_\varepsilon =  95\%$&nbsp; betr&auml;gt&nbsp;?
 
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$p_\varepsilon =  95\%$: &nbsp; &nbsp; $\alpha_{\rm min} \ = $ { 1.96 3% }
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$\alpha_{\rm min} \ = \ $ { 1.96 3% }
  
  
{Es gelte weiterhin $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $p_\varepsilon =  95\%$ &Uuml;ber wie viele Symbole muss man mindestens gemittelt werden, damit die ermittelte Bitfehlerquote im Bereich zwischen $0.9 \cdot 10^{-3}$ und $1.1 \cdot 10^{-3}$ liegt $(\varepsilon = 10^{-4}, \text{10% vom Sollwert)}$?
+
{Es gelte weiterhin&nbsp; $p_{\rm B} = 10^{-3}$&nbsp; und&nbsp; $p_\varepsilon =  95\%$. &nbsp; &Uuml;ber wie viele Symbole&nbsp;  $(N_\text{min})$&nbsp; muss mindestens gemittelt werden, <br>damit die ermittelte Bitfehlerquote im Bereich zwischen&nbsp; $0.9 \cdot 10^{-3}$&nbsp; und&nbsp; $1.1 \cdot 10^{-3}$&nbsp; liegt &nbsp; $(\varepsilon = 10^{-4}, \ \text{10% vom Sollwert)}$&nbsp;?
 
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$N_\text{min} \ = ${ 400000 3% }
+
$N_\text{min} \ = \ ${ 400000 3% }
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Die <u>beiden letzten Aussagen</u> stimmen: Bez&uuml;glich der Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>n</i><sub>B</sub> liegt der klassische Fall einer Binomialverteilung vor: Es wird die Summe &uuml;ber <i>N</i> bin&auml;re Zufallsgr&ouml;&szlig;en gebildet. Die m&ouml;glichen Werte von <i>n</i><sub>B</sub> liegen somit zwischen 0 und <i>N</i>. Der lineare Mittelwert ergibt
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'''(1)'''&nbsp; Die&nbsp; <u>beiden letzten Aussagen</u>&nbsp; stimmen:  
:$$m_{n{\rm B}}=p_{\rm B}\cdot N=\rm 10^{-3}\cdot 10^{5}=\rm 100.$$
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*Bez&uuml;glich der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $n_{\rm B}$&nbsp; liegt der klassische Fall einer Binomialverteilung vor.
 +
*Es wird die Summe &uuml;ber&nbsp; $N$&nbsp; bin&auml;re Zufallsgr&ouml;&szlig;en gebildet.&nbsp; Die m&ouml;glichen Werte von&nbsp; $n_{\rm B}$&nbsp; liegen somit zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $N$.  
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*Der lineare Mittelwert ergibt &nbsp; $m_{n{\rm B}}=p_{\rm B}\cdot N=\rm 10^{-3}\cdot 10^{5}=\rm 100.$
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:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;F&uuml;r die Streuung der Binomialverteilung gilt mit guter Näherung:
+
'''(2)'''&nbsp; F&uuml;r die Streuung der Binomialverteilung gilt mit guter Näherung:
:$$\sigma_{n{\rm B}}=\sqrt{N\cdot p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B})}
+
:$$\sigma_{n{\rm B}}=\sqrt{N\cdot p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B}{\rm )}}
 
\hspace{0.15cm}\underline{\approx 10}.$$
 
\hspace{0.15cm}\underline{\approx 10}.$$
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;M&ouml;gliche Werte von <i>h</i><sub>B</sub> sind alle ganzzahligen Vielfachen von 1/<i>N</i>, die zwischen 0 und 1 liegen. F&uuml;r den Mittelwert erh&auml;lt man:
 
:$$m_{h{\rm B}}=m_{\it n_{\rm B}}/N=p_{\rm B} = 10^{-3}.$$
 
  
:Die Streuung ergibt sich zu
 
:$$\sigma_{h{\rm B}}=\frac{\sigma_{n{\rm B}}}{N}=\sqrt{\frac{p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B})}{N}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 10^{-4}}.$$
 
  
:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Richtig ist <u>der erste Vorschlag</u>. Es gilt:
+
'''(3)'''&nbsp; M&ouml;gliche Werte von&nbsp; $h_{\rm B}$&nbsp; sind alle ganzzahligen Vielfachen von&nbsp; $1/N$.&nbsp; Diese liegen alle zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$.
:$$\rm Pr(\it h_{\rm B} > p_{\rm B} + \varepsilon)=\rm Q\Big({\it\varepsilon}/{\it\sigma_{h{\rm B}}}\Big),\hspace{0.5cm}\rm Pr(\it h_{\rm B} < p_{\rm B} - \varepsilon)=\rm Q\Big(\it{\varepsilon}/{\sigma_{h{\rm B}}}\Big),$$
+
 
:$$\Rightarrow \rm Pr(\it |h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon)=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q\Big(\frac{\it \varepsilon}{\it \sigma_{h{\rm B}}}\Big).$$
+
*F&uuml;r den Mittelwert erh&auml;lt man:
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:$$m_{h{\rm B}}=m_{n{\rm B}}/N=p_{\rm B} = 10^{-3}.$$
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*Die Streuung ergibt sich zu
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:$$\sigma_{h{\rm B}}=\frac{\sigma_{n{\rm B}}}{N}=\sqrt{\frac{ p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B}{\rm )}}{N}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.0001}.$$
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'''(4)'''&nbsp; Richtig ist&nbsp; <u>der erste Vorschlag</u>.&nbsp; Es gilt:
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:$${\rm Pr}(h_{\rm B} > p_{\rm B} + \varepsilon)=\rm Q({\it\varepsilon}/{\it\sigma_{h{\rm B}}}),$$
 +
:$$\rm Pr(\it h_{\rm B} < p_{\rm B} - \varepsilon {\rm )}=\rm Q(\it{\varepsilon}/{\sigma_{h{\rm B}}}{\rm )}$$
 +
:$$\Rightarrow \hspace{0.5cm}\rm Pr(\it |h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon \rm )=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q({\it \varepsilon}/{\it \sigma_{h{\rm B}}}).$$
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'''(5)'''&nbsp; Man erh&auml;lt mit den Zahlenwerten&nbsp; $\varepsilon = \sigma_{h{\rm B}} = 10^{-4}$:
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:$$p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q(\frac{\rm 10^{\rm -4}}{\rm 10^{\rm -4}} {\rm )}=\rm 1-\rm 2\cdot\rm Q(\rm 1)\hspace{0.15cm}\underline{\approx\rm 0.684}.$$
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 +
In Worten:&nbsp; Bestimmt man die Bitfehlerquote per Simulation &uuml;ber&nbsp; $10^5$&nbsp;  Symbole,&nbsp; so erh&auml;lt man mit einem Konfidenzniveau von&nbsp; $\underline{68.4\%}$&nbsp; einen Wert zwischen&nbsp; $0.9 \cdot 10^{-3}$&nbsp; und&nbsp; $1.1 \cdot 10^{-3}$,&nbsp; wenn&nbsp; $p_{\rm B} = 10^{-3}$&nbsp; ist.
 +
 
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:<b>5.</b>&nbsp;&nbsp;Man erh&auml;lt mit den Zahlenwerten <i>&epsilon;</i> = <i>&sigma;</i><sub><i>h</i>B</sub> = 10 <sup>&ndash;4</sup>:
+
'''(6)'''&nbsp; Aus der Beziehung&nbsp; $p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot {\rm Q}(\alpha) = 0.95$&nbsp; folgt direkt:
:$$p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q\Big(\frac{\rm 10^{\rm -4}}{\rm 10^{\rm -4}}\Big)=\rm 1-\rm 2\cdot\rm Q(\rm 1)\hspace{0.15cm}\underline{\approx\rm 0.684}.$$
+
:$$\alpha_{\rm min}=\rm Q^{\rm -1}\Big(\frac{\rm 1-\it p_{\varepsilon}}{\rm 2}\Big)=\rm Q^{\rm -1}(\rm 0.025)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 1.96}\hspace{0.15cm}{\approx\rm 2}.$$
  
:&#8658;&nbsp; Bestimmt man die Bitfehlerquote per Simulation &uuml;ber 10<sup>5</sup>  Symbole, so erh&auml;lt man mit einem Konfidenzniveau von 68.4% einen Wert zwischen 0.9 &middot; 10<sup>&ndash;3</sup> und 1.1 &middot; 10<sup>&ndash;3</sup>, wenn <i>p</i><sub>B</sub> = 10<sup>&ndash;3</sup> ist.
 
  
:<b>6.</b>&nbsp;&nbsp;Aus der Beziehung <i>p</i><sub>&epsilon;</sub> = 1 &ndash; 2 &middot; Q(<i>&alpha;</i>) = 0.95 folgt direkt:
 
:$$\alpha=\rm Q^{\rm -1}\Big(\frac{\rm 1-\it p_{\varepsilon}}{\rm 2}\Big)=\rm Q^{\rm -1}(\rm 0.025)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 1.96}\hspace{0.15cm}{\approx\rm 2}.$$
 
  
:<b>7.</b>&nbsp;&nbsp;Es muss <i>&alpha;</i> = <i>&epsilon;/&sigma;</i><sub><i>h</i>B</sub> gelten. Mit dem Ergebnis aus b) folgt dann:
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'''(7)'''&nbsp; Es muss&nbsp; $\alpha = \varepsilon/\sigma_{h{\rm B}}$&nbsp; gelten.&nbsp; Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; folgt dann:
:$$\frac{\varepsilon}{\sqrt{p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})/N}}\ge \rm 2 \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}
+
:$$\frac{\varepsilon}{\sqrt{p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})/N}}\ge {\rm 2} \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}
N\ge \frac{\rm 4\cdot \it p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})}{\varepsilon^{\rm 2}}\approx \frac{\rm 4\cdot 10^{-3}}{10^{-8}}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 400000}.$$
+
N\ge \frac{\rm 4\cdot \it p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})}{\varepsilon^{\rm 2}}\approx \frac{\rm 4\cdot 10^{-3}}{10^{-8}}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 400\hspace{0.08cm}000}.$$
  
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}

Aktuelle Version vom 2. Februar 2022, 12:20 Uhr

Zur Verdeutlichung der Bitfehlerquote

Wir betrachten ein binäres Übertragungssystem mit

  • der Quellensymbolfolge  $\langle q_\nu \rangle $  und
  • der Sinkensymbolfolge  $\langle v_\nu \rangle $.


Stimmen Sinkensymbol  $v_\nu$  und Quellensymbol  $q_\nu$  nicht überein, so liegt ein Bitfehler vor   ⇒   $e_\nu = 1$.
Ansonsten gilt  $e_\nu = 0$.


$\rm (A)$  Ein wichtiges Beurteilungskriterium ist die  Bitfehlerwahrscheinlichkeit  (englisch:   "Bit Error Probability").

  • Mit dem Erwartungswert  ${\rm E}\big[\text{ ...} \big]$  ist diese ist wie folgt definiert:
$$\it p_{\rm B} = \rm E\big[\rm Pr(\it v_{\nu} \ne q_{\nu} \rm )\big]=\rm E\big[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)\big]=\lim_{{\it N}\to\infty}\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N}\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1).$$
  • Der rechte Teil dieser Gleichung beschreibt eine Zeitmittelung;  diese muss zum Beispiel bei zeitvarianten Kanälen stets angewandt werden.
  • Ist die Fehlerwahrscheinlichkeit für alle Symbole gleich  (was hier vorausgesetzt wird),  so kann man die obige Gleichung vereinfachen:
$$\it p_{\rm B} = \rm E\big[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)\big]=\rm E\big[\it e_{\nu} \rm \big].$$
  • Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist eine  "A-priori-Kenngröße",  erlaubt also eine Vorhersage für das zu erwartende Resultat.


$\rm (B)$  Zur messtechnischen Ermittlung/Systemsimulation der Übertragungsqualität muss auf die   Bitfehlerquote  (englisch:  "Bit Error Rate")  übergegangen werden:

  • Die Bitfehlerquote ist eine A-posteriori-Kenngröße,  die aus einem durchgeführten statistischem Experiment als  relative Häufigkeit abgeleitet wird:
$$h_{\rm B}=\frac{n_{\rm B}}{N}=\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N} e_{\nu}.$$
  • $n_{\rm B}$  gibt die Anzahl der aufgetretenen im Experiment Bitfehler an,  wenn insgesamt  $N$  Binärsymbole übertragen wurden.
  • Im Grenzfall  $N \to \infty$  stimmt die relative Häufigkeit  $h_{\rm B}$  mit der Wahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  überein.  Hier soll nun die Frage geklärt werden, mit welcher statistischen Unsicherheit bei endlichem  $N$  gerechnet werden muss.




Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Gaußverteilte Zufallsgrößen.
  • Lösen Sie die Aufgaben so weit wie möglich allgemein.  Verwenden Sie zur Kontrolleingabe die Parameterwerte  $p_{\rm B} = 10^{-3}$  und  $N = 10^{5}$.
  • Nachfolgend finden Sie einige Werte der sogenannten Q-Funktion:
$$\rm Q(\rm 1.00)=\rm 0.159,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.65)=\rm 0.050,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.96)=\rm 0.025,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 2.59)=\rm 0.005.$$



Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

Für  $n_{\rm B}$  sind alle Werte  $(0$, ... , $N)$  gleichwahrscheinlich.
Die Zufallsgröße  $n_{\rm B}$  ist binomialverteilt.
Mit  $p_{\rm B} = 10^{-3}$  und  $N = 10^{5}$  ergibt sich  ${\rm E}\big[n_{\rm B}\big] = 100$.

2

Wie groß ist die Streuung der Zufallsgröße  $n_{\rm B}$  für  $p_{\rm B} = 10^{-3}$  und  $N = 10^{5}$?

$\sigma_{n{\rm B}} \ = \ $

3

Welche Werte kann die Bitfehlerquote  $h_{\rm B}$  annehmen? 
Zeigen Sie, dass der lineare Mittelwert  $m_{h{\rm B}}$  dieser Zufallsgröße gleich der tatsächlichen Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  ist.  Wie groß ist deren Streuung?

$\sigma_{h{\rm B}} \ = \ $

4

Unter gewissen Voraussetzungen kann eine binomialverteilte Zufallsgröße durch eine Gaußverteilung mit gleichem Mittelwert  $(m_{h{\rm B}})$  und gleicher Streuung  $(\sigma_{h{\rm B}})$  angenähert werden.  Welche Aussage ist zutreffend?

${\rm Pr}(\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}h_{\rm B} - p_{\rm B}\hspace{0.05cm}| \le \varepsilon)=1- 2\cdot \rm Q({\varepsilon}/{\sigma_{{\it h}{\rm B}}}).$
${\rm Pr}(\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}h_{\rm B} - p_{\rm B}\hspace{0.05cm}| \le \varepsilon)=1- \rm Q({\varepsilon}/{2\cdot \sigma_{{\it h}{\rm B}}}).$

5

Zur Abkürzung verwenden wir das Konfidenzniveau  $p_\varepsilon = {\rm Pr}(\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}h_{\rm B} - p_{\rm B}\hspace{0.05cm}| \le \varepsilon)$.  Welches  $p_\varepsilon$  ergibt sich mit  $\varepsilon = 10^{-4}$,   $p_{\rm B} = 10^{-3}$  und  $N = 10^{5}$ ?

$p_\varepsilon \ = \ $

6

Das Argument der Q-Funktion sei  $\alpha$.  Wie groß muss  $\alpha$  mindestens gewählt werden,  damit das Konfidenzniveau  $p_\varepsilon = 95\%$  beträgt ?

$\alpha_{\rm min} \ = \ $

7

Es gelte weiterhin  $p_{\rm B} = 10^{-3}$  und  $p_\varepsilon = 95\%$.   Über wie viele Symbole  $(N_\text{min})$  muss mindestens gemittelt werden,
damit die ermittelte Bitfehlerquote im Bereich zwischen  $0.9 \cdot 10^{-3}$  und  $1.1 \cdot 10^{-3}$  liegt   $(\varepsilon = 10^{-4}, \ \text{10% vom Sollwert)}$ ?

$N_\text{min} \ = \ $


Musterlösung

(1)  Die  beiden letzten Aussagen  stimmen:

  • Bezüglich der Zufallsgröße  $n_{\rm B}$  liegt der klassische Fall einer Binomialverteilung vor.
  • Es wird die Summe über  $N$  binäre Zufallsgrößen gebildet.  Die möglichen Werte von  $n_{\rm B}$  liegen somit zwischen  $0$  und  $N$.
  • Der lineare Mittelwert ergibt   $m_{n{\rm B}}=p_{\rm B}\cdot N=\rm 10^{-3}\cdot 10^{5}=\rm 100.$


(2)  Für die Streuung der Binomialverteilung gilt mit guter Näherung:

$$\sigma_{n{\rm B}}=\sqrt{N\cdot p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B}{\rm )}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 10}.$$


(3)  Mögliche Werte von  $h_{\rm B}$  sind alle ganzzahligen Vielfachen von  $1/N$.  Diese liegen alle zwischen  $0$  und  $1$.

  • Für den Mittelwert erhält man:
$$m_{h{\rm B}}=m_{n{\rm B}}/N=p_{\rm B} = 10^{-3}.$$
  • Die Streuung ergibt sich zu
$$\sigma_{h{\rm B}}=\frac{\sigma_{n{\rm B}}}{N}=\sqrt{\frac{ p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B}{\rm )}}{N}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.0001}.$$


(4)  Richtig ist  der erste Vorschlag.  Es gilt:

$${\rm Pr}(h_{\rm B} > p_{\rm B} + \varepsilon)=\rm Q({\it\varepsilon}/{\it\sigma_{h{\rm B}}}),$$
$$\rm Pr(\it h_{\rm B} < p_{\rm B} - \varepsilon {\rm )}=\rm Q(\it{\varepsilon}/{\sigma_{h{\rm B}}}{\rm )}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.5cm}\rm Pr(\it |h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon \rm )=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q({\it \varepsilon}/{\it \sigma_{h{\rm B}}}).$$


(5)  Man erhält mit den Zahlenwerten  $\varepsilon = \sigma_{h{\rm B}} = 10^{-4}$:

$$p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q(\frac{\rm 10^{\rm -4}}{\rm 10^{\rm -4}} {\rm )}=\rm 1-\rm 2\cdot\rm Q(\rm 1)\hspace{0.15cm}\underline{\approx\rm 0.684}.$$

In Worten:  Bestimmt man die Bitfehlerquote per Simulation über  $10^5$  Symbole,  so erhält man mit einem Konfidenzniveau von  $\underline{68.4\%}$  einen Wert zwischen  $0.9 \cdot 10^{-3}$  und  $1.1 \cdot 10^{-3}$,  wenn  $p_{\rm B} = 10^{-3}$  ist.


(6)  Aus der Beziehung  $p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot {\rm Q}(\alpha) = 0.95$  folgt direkt:

$$\alpha_{\rm min}=\rm Q^{\rm -1}\Big(\frac{\rm 1-\it p_{\varepsilon}}{\rm 2}\Big)=\rm Q^{\rm -1}(\rm 0.025)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 1.96}\hspace{0.15cm}{\approx\rm 2}.$$


(7)  Es muss  $\alpha = \varepsilon/\sigma_{h{\rm B}}$  gelten.  Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  (2)  folgt dann:

$$\frac{\varepsilon}{\sqrt{p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})/N}}\ge {\rm 2} \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} N\ge \frac{\rm 4\cdot \it p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})}{\varepsilon^{\rm 2}}\approx \frac{\rm 4\cdot 10^{-3}}{10^{-8}}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 400\hspace{0.08cm}000}.$$