Aufgaben:Aufgabe 3.6Z: Prüfungskorrektur: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
K (Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “)
 
(5 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)
Zeile 3: Zeile 3:
 
}}
 
}}
  
[[Datei:P_ID148__Sto_Z_3_6.png|right|Gaußsche Fehlerintegrale <i>&Phi;</i>(<i>x</i>) und Q(<i>x</i>)]]
+
[[Datei:P_ID148__Sto_Z_3_6.png|right|frame|Tabelle für &nbsp;${\rm \phi}(x)$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Q}(x)$]]
An einer Pr&uuml;fung an der TU M&uuml;nchen haben $1000$ Studentinnen und Studenten teilgenommen. Ab der Note 4.0 gilt die Pr&uuml;fung als bestanden. Die Pr&uuml;fungsordnung sieht folgende Noten vor:
+
An einer Pr&uuml;fung an der TU M&uuml;nchen haben&nbsp; $1000$&nbsp; Studentinnen und Studenten teilgenommen.&nbsp; Ab der Note &bdquo;4.0&rdquo; gilt die Pr&uuml;fung als bestanden.&nbsp; Die Pr&uuml;fungsordnung sieht folgende Noten vor:
:$$1.0, 1.3, 1.7, 2.0, 2.3, 2.7, 3.0, 3.3, 3.7, 4.0, 4.3, 4.7, 5.0.$$
+
:$$1.0, \ 1.3, \ 1.7, \ 2.0, \ 2.3, \ 2.7, \ 3.0, \ 3.3, \ 3.7, \ 4.0, \ 4.3, \ 4.7, \ 5.0.$$
 
Weiter ist bei der Aufgabe zu berücksichtigen:
 
Weiter ist bei der Aufgabe zu berücksichtigen:
*Die maximal erreichbare Punktzahl betrug 100. Der beste Student erreichte aber nur 88 Punkte.
+
*Die maximal erreichbare Punktzahl beträgt&nbsp; $100$.&nbsp; Der beste Student erreichte&nbsp; $88$&nbsp; Punkte.
*Aufgrund der relativ gro&szlig;en Teilnehmerzahl ergibt sich f&uuml;r die erreichte Punktzahl &ndash; dies sei die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $z$ &ndash; mit guter N&auml;herung eine [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion|Gau&szlig;verteilung]] mit Mittelwert $m_z = 60$ und Streuung (Standardabweichung) $\sigma_z = 10$.
+
*Aufgrund der relativ gro&szlig;en Teilnehmerzahl ergibt sich f&uuml;r die erreichte Punktzahl&nbsp; &ndash; dies sei die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $z$&nbsp; &ndash;&nbsp; mit guter N&auml;herung eine&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion|Gau&szlig;verteilung]]&nbsp; mit Mittelwert&nbsp; $m_z = 60$&nbsp; und Streuung&nbsp;  (Standardabweichung)&nbsp; $\sigma_z = 10$.
*Bei der Korrektur wurden nicht nur ganze Punktezahlen vergeben, sondern auch (beliebige) Zwischenwerte, so dass man die Zufallsgröße $z$ mit guter N&auml;herung als &bdquo;kontinuierlich&rdquo; auffassen kann.
+
*Bei der Korrektur wurden nicht nur ganze Punktzahlen vergeben,&nbsp; sondern auch&nbsp; (beliebige)&nbsp; Zwischenwerte,&nbsp; so dass man die Zufallsgröße&nbsp; $z$&nbsp; mit guter N&auml;herung als &bdquo;kontinuierlich&rdquo; auffassen kann.
  
  
 
F&uuml;r die Bewertung werden als Richtlinien vorgegeben:
 
F&uuml;r die Bewertung werden als Richtlinien vorgegeben:
*Auch mit 6 Punkten weniger als der Beste (also ab 82 Punkten) soll man &bdquo;1.0&rdquo; bekommen.
+
*Auch mit sechs Punkten weniger als der Beste&nbsp; $($also ab&nbsp; $82$&nbsp; Punkten$)$&nbsp; soll man &bdquo;1.0&rdquo; bekommen.
*Hat man 46% der Gesamtpunktzahl erreicht, so hat man die Pr&uuml;fung bestanden.
+
*Hat man&nbsp; $46\%$&nbsp; der Gesamtpunktzahl erreicht, so hat man die Pr&uuml;fung bestanden.
 
*Die Punkte/Noten-Zuordnung soll linear erfolgen.
 
*Die Punkte/Noten-Zuordnung soll linear erfolgen.
  
  
  
''Hinweise:''
+
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgröße]].
+
 
+
 
*Gerade im Schulbereich wird die &bdquo;Gaußverteilung&rdquo;  oft als  &bdquo;Normalverteilung&rdquo; bezeichnet. Dies ist nicht ganz korrekt: Eine normalverteilte Zufallsgröße $z$ hat zwar eine Gaußsche WDF und VTF, jedoch mit Mittelwert $m_z = 0$ und Streuung $\sigma_z = 1$.  
+
Hinweise:  
 +
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].
 +
*Gerade im Schulbereich wird die&nbsp; &bdquo;Gaußverteilung&rdquo;&nbsp;  oft als&nbsp; &bdquo;Normalverteilung&rdquo;&nbsp; bezeichnet.&nbsp; Dies ist nicht ganz korrekt:  
 +
: &nbsp; &nbsp; Eine normalverteilte Zufallsgröße&nbsp; $z$&nbsp; hat zwar eine Gaußsche WDF und VTF,&nbsp; jedoch stets mit Mittelwert&nbsp; $m_z = 0$&nbsp; und Streuung&nbsp; $\sigma_z = 1$.  
  
  
Zeile 28: Zeile 31:
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Welche Kriterien sind bei der Aufgabenerstellung unbedingt zu beachten, damit die Punktezahl etwa eine &bdquo;Normalverteilung&rdquo; ergeben wird?
+
{Welche Kriterien sind bei der Aufgabenerstellung zu beachten,&nbsp; damit die Punktezahl &bdquo;etwa eine Normalverteilung&rdquo; ergeben wird?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
 
+ Es gibt viele Pr&uuml;fungsteilnehmer.
 
+ Es gibt viele Pr&uuml;fungsteilnehmer.
Zeile 38: Zeile 41:
 
{Wieviele Teilnehmer werden voraussichtlich mit „1.0“ abschlie&szlig;en?
 
{Wieviele Teilnehmer werden voraussichtlich mit „1.0“ abschlie&szlig;en?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$N_\text{1.0} \ = $ { 14 3% }
+
$N_\text{1.0} \ = \ $ { 14 3% }
  
  
{Wieviele Teilnehmer werden die Prüfung  wohl nicht bestehen? Ber&uuml;cksichtigen Sie, dass man $z$ als kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e auffassen kann.
+
{Wieviele Teilnehmer werden die Prüfung  wohl nicht bestehen?&nbsp; Ber&uuml;cksichtigen Sie,&nbsp; dass man&nbsp; $z$&nbsp; als kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e auffassen kann.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$N_\text{4.3 ... 5.0}  \ = $ { 81 3% }
+
$N_\text{4.3 ... 5.0}  \ = \ $ { 81 3% }
  
  
{Legen Sie die Punkte/Noten&ndash;Zuordnung fest. Ab wann bekommt man eine „3.0“? Wieviele Pr&uuml;fungsteilnehmer werden diese Note erhalten?
+
{Legen Sie die Punkte/Noten&ndash;Zuordnung fest.&nbsp; Ab wann bekommt man eine „3.0“?&nbsp; Wieviele Pr&uuml;fungsteilnehmer werden diese Note erhalten?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$N_\text{3.0} \ = $ { 159 3% }
+
$N_\text{3.0} \ = \ $ { 159 3% }
  
  
{Wieviele Teilnehmer erhalten voraussichtlich die Note „2.7“? Begründen Sie, warum genau so viele Prüflinge die Note „3.3“ bekommen werden.
+
{Wieviele Teilnehmer erhalten voraussichtlich die Note „2.7“?&nbsp; Begründen Sie,&nbsp; warum genau so viele Prüflinge die Note „3.3“ bekommen werden.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$N_\text{2.7}  \ = $ { 146 3% }
+
$N_\text{2.7}  \ = \ $ { 146 3% }
  
  
{Welche Mittelnote wird sich bei dieser Pr&uuml;fung ergeben? Ber&uuml;cksichtigen Sie zur L&ouml;sung dieser Teilaufgabe das Ergebnis von (5).
+
{Welche Mittelnote wird sich bei dieser Pr&uuml;fung ergeben?&nbsp; Ber&uuml;cksichtigen Sie zur L&ouml;sung dieser Teilaufgabe das Ergebnis von Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\rm Mittelnote \ = $ { 3 3% }
+
$\rm Mittelnote \ = \ $ { 3 3% }
  
  
Zeile 65: Zeile 68:
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp;  Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
+
'''(1)'''&nbsp;  Richtig sind&nbsp; <u>die Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
 
*Nach dem zentralen Grenzwertsatz erh&auml;lt man f&uuml;r die Summe vieler unabh&auml;ngiger Gr&ouml;&szlig;en eine Gau&szlig;verteilung.
 
*Nach dem zentralen Grenzwertsatz erh&auml;lt man f&uuml;r die Summe vieler unabh&auml;ngiger Gr&ouml;&szlig;en eine Gau&szlig;verteilung.
 
*Im Umkehrschluss ergibt sich bei nur wenigen und dazu noch abh&auml;ngigen Aufgaben keine Gaußverteilung.  
 
*Im Umkehrschluss ergibt sich bei nur wenigen und dazu noch abh&auml;ngigen Aufgaben keine Gaußverteilung.  
*Eine einzige Ja/Nein-Frage f&uuml;hrt zu einer Zweipunktverteilung (0 Punkte oder Maximalpunktzahl).  
+
*Eine einzige Ja/Nein-Frage f&uuml;hrt zu einer Zweipunktverteilung&nbsp; $(0$&nbsp; Punkte oder Maximalpunktzahl$)$.  
*Auch bei Einhaltung dieser Gebote wird man bei sehr wenigen Teilnehmern nicht mit einer &bdquo;Normalverteilung&bdquo; rechnen k&ouml;nnen.
+
*Auch bei Einhaltung dieser Gebote wird man bei sehr wenigen Teilnehmern nicht mit einer Gaußverteilung rechnen k&ouml;nnen.
 +
 
  
  
'''(2)'''&nbsp; Man bekommt eine &bdquo;1.0&rdquo; mit $82$ Punkten oder mehr. Deshalb gilt mit Mittelwert $m_z = 60$ und Streuung  $\sigma_z = 10$:
+
 
$$\rm Pr(\it z\ge \rm 82)=\rm Q\Bigg(\frac{\rm 82-60}{\rm 10}\Bigg)=\rm Q(\rm 2.2)
+
'''(2)'''&nbsp; Man bekommt eine &bdquo;1.0&rdquo; mit&nbsp; $82$&nbsp; Punkten oder mehr.&nbsp;
 +
*Deshalb gilt mit dem Mittelwert&nbsp; $m_z = 60$&nbsp; und der Streuung&nbsp; $\sigma_z = 10$:
 +
:$$\rm Pr(\it z\ge \rm 82)=\rm Q\Bigg(\frac{\rm 82-60}{\rm 10}\Bigg)=\rm Q(\rm 2.2)
 
\hspace{0.15cm}{=\rm 0.0139}.$$
 
\hspace{0.15cm}{=\rm 0.0139}.$$
Bei 1000 Teilnehmern folgt daraus <i>N</i><sub>1.0</sub> <u>= 14</u>.
+
*Bei tausend Teilnehmern folgt daraus&nbsp; $N_\text{1.0}\hspace{0.15cm}\underline{= 14}$.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''(3)'''&nbsp; Mit weniger als&nbsp; $46$&nbsp; Punkten hat man die Pr&uuml;fung nicht bestanden:
 +
:$$\rm Pr(\it z<\rm 46)=\rm Pr(\it z \le \rm 46)=\rm \phi\Bigg(\frac{\rm 46-60}{\rm 10}\Bigg)=\rm \phi(\rm -1.4)=\rm Q(\rm 1.4)=\rm 0.0807.$$
 +
*Also m&uuml;ssen wohl&nbsp; <u>81 Studenten nochmals antreten</u>.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''(4)'''&nbsp; Die Punktedifferenz&nbsp; $82 - 46 = 36$&nbsp; muss auf neun Notenstufen&nbsp; $(1.3$, ... , $4.0)$&nbsp; aufgeteilt werden.
 +
*Jedes Intervall umfasst somit&nbsp; $4$&nbsp; Punkte.
 +
*Beispielsweise erh&auml;lt man die Note &bdquo;3.0&rdquo;,&nbsp; wenn man&nbsp; $58$&nbsp; bis&nbsp; $62$&nbsp; Punkte erreicht.
 +
*Die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass die Punktzahl in diesem Bereich liegt,&nbsp; ergibt sich zu
 +
:$$\rm Pr(\rm 58 <\it z<\rm 62)=\rm \phi\Bigg(\frac{\rm 62-60}{\rm 10}\Bigg)-\rm \phi\Bigg(\frac{\rm 58-60}{\rm 10}\Bigg).$$
 +
*Unter Ausnutzung der Symmetrie erh&auml;lt man:
 +
:$$\rm Pr(\rm 58 <\it z<\rm 62) = \rm \phi(\rm 0.2)-\rm \phi(\rm -0.2) = \rm 0.5792-\rm 0.4207=0.1587\hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{(159 \hspace{0.1cm}\rm Teilnehmer)}.$$
  
'''(3)'''&nbsp; Mit weniger als $46$ Punkten hat man die Pr&uuml;fung nicht bestanden:
+
Anmerkungen:
$$\rm Pr(\it z<\rm 46)=\rm Pr(\it z \le \rm 46)=\rm \phi\Bigg(\frac{\rm 46-60}{\rm 10}\Bigg)=\rm \phi(\rm -1.4)=\rm Q(\rm 1.4)=\rm 0.0807.$$
+
*$z$&nbsp; ist als kontinuierliche Zufallsgröße aufzufassen.&nbsp; Deshalb ist die Punktzahl&nbsp; $62$&nbsp; gleichzeitig die obere Grenze für den &bdquo;3.0&rdquo;&ndash;Bereich als auch die untere Grenze für die Note &bdquo;2.7&rdquo;.
Also m&uuml;ssen wohl <u>81 Studenten nochmals antreten</u>.
+
*Wäre&nbsp; $z$&nbsp; nur ganzzahlig,&nbsp; so müsste&nbsp; $62$&nbsp; je nach Stimmung des Korrektors  entweder der Note &bdquo;2.7&rdquo; oder der Note &bdquo;3.0&rdquo; zugeordnet werden.&nbsp; Natürlich müsste das bei allen Prüflingen in gleicher Weise gemacht werden.
  
  
'''(4)'''&nbsp; Die Punktedifferenz $82 - 46 = 36$ muss auf neun Notenstufen (1.3, ... , 4.0) aufgeteilt werden. Jedes Intervall umfasst somit $4$ Punkte. Beispielsweise erh&auml;lt man die Note &bdquo;, wenn man $58$ bis $62$ Punkte erreicht. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Punktzahl in diesem Bereich liegt, ergibt sich zu
 
$$\rm Pr(\rm 58 <\it z<\rm 62)=\rm \phi\Bigg(\frac{\rm 62-60}{\rm 10}\Bigg)-\rm \phi\Bigg(\frac{\rm 58-60}{\rm 10}\Bigg).$$
 
  
Unter Ausnutzung der Symmetrie erh&auml;lt man:
+
'''(5)'''&nbsp; Analog zur Musterl&ouml;sung der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; gilt f&uuml;r die Note &bdquo;2.7&rdquo;:
$$\rm Pr(\rm 58 <\it z<\rm 62) = \rm \phi(\rm 0.2)-\rm \phi(\rm -0.2) = \rm 0.5792-\rm 0.4207=0.1587\hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{(159 \hspace{0.1cm}\rm Teilnehmer)}.$$
+
:$$\rm Pr(\rm 62 <\it z<\rm 66)=\rm \phi(\rm 0.6)-\rm \phi(\rm 0.2)=\rm 0.7257-\rm 0.5792=0.1465.$$
  
$z$ ist als kontinuierliche Zufallsgröße aufzufassen. Deshalb ist die Punktzahl $62$ gleichzeitig die obere Grenze für den &bdquo;3.0&rdquo;&ndash;Bereich als auch die untere Grenze für die Note &bdquo;2.7&rdquo; ist. Wäre $z$ nur ganzzahlig, so müsste $62$ je nach Stimmung des Korrektors  entweder der Note &bdquo;2.7&rdquo; oder der Note &bdquo;3.0&rdquo; zugeordnet werden.
+
*Aus Symmetriegr&uuml;nden erh&auml;lt man f&uuml;r die Note &bdquo;3.3&rdquo; den gleichen Wert:
 +
:$$\rm Pr(\rm 54 <\it z<\rm 58)=\rm \phi(-\rm 0.2)-\rm \phi(-\rm 0.6)= \rm Q(\rm 0.2)-\rm Q(\rm 0.6)=\rm 0.1465.$$
  
'''(5)'''&nbsp; Analog zur Musterl&ouml;sung der Teilaufgabe (4) gilt f&uuml;r die Note &bdquo;2.7&rdquo;:
+
*Also erhalten &nbsp; <u>je 146 Teilnehmer die Note &bdquo;2.7&rdquo; bzw. &bdquo;3.3&rdquo;</u>.
$$\rm Pr(\rm 62 <\it z<\rm 66)=\rm \phi(\rm 0.6)-\rm \phi(\rm 0.2)=\rm 0.7257-\rm 0.5792=0.1465.$$
 
  
Aus Symmetriegr&uuml;nden erh&auml;lt man f&uuml;r die Note &bdquo;3.3&rdquo; den gleichen Wert:
 
$$\rm Pr(\rm 54 <\it z<\rm 58)=\rm \phi(-\rm 0.2)-\rm \phi(-\rm 0.6)= \rm Q(\rm 0.2)-\rm Q(\rm 0.6)=\rm 0.1465.$$
 
  
Also erhalten <u>je 146 Teilnehmer die Note &bdquo;2.7&rdquo; bzw. &bdquo;3.3&rdquo;</u>.
 
  
'''(6)'''&nbsp; Mit der hier getroffenen Punkte-/Notenzuordnung sind nicht nur die Punkte um $m_z = 60$ symmetrisch verteilt, sondern auch die Noten um „3.0“. Es gibt  
+
'''(6)'''&nbsp; Mit der hier getroffenen Punkte&ndash;Noten&ndash;Zuordnung sind nicht nur die Punkte um&nbsp; $m_z = 60$&nbsp; symmetrisch verteilt,&nbsp; sondern auch die Noten um&nbsp; „3.0“.&nbsp; Es gibt  
*genau so viele „2.7“ wie „3.3“ (um ±0.3 von 3.0 entfernt),  
+
*genau so viele „2.7“ wie „3.3“&nbsp; $($um&nbsp; $±0.3$&nbsp; von&nbsp; $3.0$&nbsp; entfernt$)$,  
*genau so viele „2.3“ wie „3.7“ (3.0 ±0.7), und  
+
*genau so viele „2.3“ wie „3.7“&nbsp; $(3.0 ±0.7)$, und  
 
*genau so viele „1.0“ wie „5.0“.  
 
*genau so viele „1.0“ wie „5.0“.  
  
  
Deshalb ergibt sich die <u>Mittelnote exakt zu 3.0</u>.
+
Deshalb ergibt sich die &nbsp; $\rm Mittelnote \hspace{0.15cm}\underline{  3.0}$.
  
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}

Aktuelle Version vom 1. Februar 2022, 16:15 Uhr

Tabelle für  ${\rm \phi}(x)$  und  ${\rm Q}(x)$

An einer Prüfung an der TU München haben  $1000$  Studentinnen und Studenten teilgenommen.  Ab der Note „4.0” gilt die Prüfung als bestanden.  Die Prüfungsordnung sieht folgende Noten vor:

$$1.0, \ 1.3, \ 1.7, \ 2.0, \ 2.3, \ 2.7, \ 3.0, \ 3.3, \ 3.7, \ 4.0, \ 4.3, \ 4.7, \ 5.0.$$

Weiter ist bei der Aufgabe zu berücksichtigen:

  • Die maximal erreichbare Punktzahl beträgt  $100$.  Der beste Student erreichte  $88$  Punkte.
  • Aufgrund der relativ großen Teilnehmerzahl ergibt sich für die erreichte Punktzahl  – dies sei die Zufallsgröße  $z$  –  mit guter Näherung eine  Gaußverteilung  mit Mittelwert  $m_z = 60$  und Streuung  (Standardabweichung)  $\sigma_z = 10$.
  • Bei der Korrektur wurden nicht nur ganze Punktzahlen vergeben,  sondern auch  (beliebige)  Zwischenwerte,  so dass man die Zufallsgröße  $z$  mit guter Näherung als „kontinuierlich” auffassen kann.


Für die Bewertung werden als Richtlinien vorgegeben:

  • Auch mit sechs Punkten weniger als der Beste  $($also ab  $82$  Punkten$)$  soll man „1.0” bekommen.
  • Hat man  $46\%$  der Gesamtpunktzahl erreicht, so hat man die Prüfung bestanden.
  • Die Punkte/Noten-Zuordnung soll linear erfolgen.




Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Gaußverteilte Zufallsgrößen.
  • Gerade im Schulbereich wird die  „Gaußverteilung”  oft als  „Normalverteilung”  bezeichnet.  Dies ist nicht ganz korrekt:
    Eine normalverteilte Zufallsgröße  $z$  hat zwar eine Gaußsche WDF und VTF,  jedoch stets mit Mittelwert  $m_z = 0$  und Streuung  $\sigma_z = 1$.


Fragebogen

1

Welche Kriterien sind bei der Aufgabenerstellung zu beachten,  damit die Punktezahl „etwa eine Normalverteilung” ergeben wird?

Es gibt viele Prüfungsteilnehmer.
Die Teilaufgaben hängen in starkem Maße voneinander ab.
Es gibt viele unabhängige Aufgaben.
Die Prüfung besteht aus einer einzigen Frage mit Ja/Nein-Antwort.

2

Wieviele Teilnehmer werden voraussichtlich mit „1.0“ abschließen?

$N_\text{1.0} \ = \ $

3

Wieviele Teilnehmer werden die Prüfung wohl nicht bestehen?  Berücksichtigen Sie,  dass man  $z$  als kontinuierliche Zufallsgröße auffassen kann.

$N_\text{4.3 ... 5.0} \ = \ $

4

Legen Sie die Punkte/Noten–Zuordnung fest.  Ab wann bekommt man eine „3.0“?  Wieviele Prüfungsteilnehmer werden diese Note erhalten?

$N_\text{3.0} \ = \ $

5

Wieviele Teilnehmer erhalten voraussichtlich die Note „2.7“?  Begründen Sie,  warum genau so viele Prüflinge die Note „3.3“ bekommen werden.

$N_\text{2.7} \ = \ $

6

Welche Mittelnote wird sich bei dieser Prüfung ergeben?  Berücksichtigen Sie zur Lösung dieser Teilaufgabe das Ergebnis von Teilaufgabe  (5).

$\rm Mittelnote \ = \ $


Musterlösung

(1)  Richtig sind  die Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • Nach dem zentralen Grenzwertsatz erhält man für die Summe vieler unabhängiger Größen eine Gaußverteilung.
  • Im Umkehrschluss ergibt sich bei nur wenigen und dazu noch abhängigen Aufgaben keine Gaußverteilung.
  • Eine einzige Ja/Nein-Frage führt zu einer Zweipunktverteilung  $(0$  Punkte oder Maximalpunktzahl$)$.
  • Auch bei Einhaltung dieser Gebote wird man bei sehr wenigen Teilnehmern nicht mit einer Gaußverteilung rechnen können.



(2)  Man bekommt eine „1.0” mit  $82$  Punkten oder mehr. 

  • Deshalb gilt mit dem Mittelwert  $m_z = 60$  und der Streuung  $\sigma_z = 10$:
$$\rm Pr(\it z\ge \rm 82)=\rm Q\Bigg(\frac{\rm 82-60}{\rm 10}\Bigg)=\rm Q(\rm 2.2) \hspace{0.15cm}{=\rm 0.0139}.$$
  • Bei tausend Teilnehmern folgt daraus  $N_\text{1.0}\hspace{0.15cm}\underline{= 14}$.


(3)  Mit weniger als  $46$  Punkten hat man die Prüfung nicht bestanden:

$$\rm Pr(\it z<\rm 46)=\rm Pr(\it z \le \rm 46)=\rm \phi\Bigg(\frac{\rm 46-60}{\rm 10}\Bigg)=\rm \phi(\rm -1.4)=\rm Q(\rm 1.4)=\rm 0.0807.$$
  • Also müssen wohl  81 Studenten nochmals antreten.


(4)  Die Punktedifferenz  $82 - 46 = 36$  muss auf neun Notenstufen  $(1.3$, ... , $4.0)$  aufgeteilt werden.

  • Jedes Intervall umfasst somit  $4$  Punkte.
  • Beispielsweise erhält man die Note „3.0”,  wenn man  $58$  bis  $62$  Punkte erreicht.
  • Die Wahrscheinlichkeit,  dass die Punktzahl in diesem Bereich liegt,  ergibt sich zu
$$\rm Pr(\rm 58 <\it z<\rm 62)=\rm \phi\Bigg(\frac{\rm 62-60}{\rm 10}\Bigg)-\rm \phi\Bigg(\frac{\rm 58-60}{\rm 10}\Bigg).$$
  • Unter Ausnutzung der Symmetrie erhält man:
$$\rm Pr(\rm 58 <\it z<\rm 62) = \rm \phi(\rm 0.2)-\rm \phi(\rm -0.2) = \rm 0.5792-\rm 0.4207=0.1587\hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{(159 \hspace{0.1cm}\rm Teilnehmer)}.$$

Anmerkungen:

  • $z$  ist als kontinuierliche Zufallsgröße aufzufassen.  Deshalb ist die Punktzahl  $62$  gleichzeitig die obere Grenze für den „3.0”–Bereich als auch die untere Grenze für die Note „2.7”.
  • Wäre  $z$  nur ganzzahlig,  so müsste  $62$  je nach Stimmung des Korrektors entweder der Note „2.7” oder der Note „3.0” zugeordnet werden.  Natürlich müsste das bei allen Prüflingen in gleicher Weise gemacht werden.


(5)  Analog zur Musterlösung der Teilaufgabe  (4)  gilt für die Note „2.7”:

$$\rm Pr(\rm 62 <\it z<\rm 66)=\rm \phi(\rm 0.6)-\rm \phi(\rm 0.2)=\rm 0.7257-\rm 0.5792=0.1465.$$
  • Aus Symmetriegründen erhält man für die Note „3.3” den gleichen Wert:
$$\rm Pr(\rm 54 <\it z<\rm 58)=\rm \phi(-\rm 0.2)-\rm \phi(-\rm 0.6)= \rm Q(\rm 0.2)-\rm Q(\rm 0.6)=\rm 0.1465.$$
  • Also erhalten   je 146 Teilnehmer die Note „2.7” bzw. „3.3”.


(6)  Mit der hier getroffenen Punkte–Noten–Zuordnung sind nicht nur die Punkte um  $m_z = 60$  symmetrisch verteilt,  sondern auch die Noten um  „3.0“.  Es gibt

  • genau so viele „2.7“ wie „3.3“  $($um  $±0.3$  von  $3.0$  entfernt$)$,
  • genau so viele „2.3“ wie „3.7“  $(3.0 ±0.7)$, und
  • genau so viele „1.0“ wie „5.0“.


Deshalb ergibt sich die   $\rm Mittelnote \hspace{0.15cm}\underline{ 3.0}$.