Aufgaben:Aufgabe 3.6Z: Übergangsdiagramm bei 3 Zuständen: Unterschied zwischen den Versionen

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{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Codebeschreibung mit Zustands– und Trellisdiagramm}}
 
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[[Datei:P_ID2667__KC_Z_3_6.png|right|Unvollständiges Zustandsübergangsdiagramm für $m = 3$]]
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[[Datei:P_ID2667__KC_Z_3_6.png|right|frame|Zustandsübergangsdiagramm für  $m = 3$  (unvollständig)]]
Im Zustandsübergangsdiagramm eines Codierers mit Gedächtnis $m$ gibt es $2^m$ Zustände. Das dargestellte Diagramm mit acht Zuständen beschreibt deshalb einen Faltungscoder mit dem Gedächtnis $m = 3$.
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Im Zustandsübergangsdiagramm eines Codierers mit Gedächtnis  $m$  gibt es  $2^m$  Zustände. Das dargestellte Diagramm mit acht Zuständen beschreibt deshalb einen Faltungscoder mit dem Gedächtnis  $m = 3$.
  
Normalerweise bezeichnet man die Zustände mit $S_0, \ ... , \ S_{\mu}, \ ... \ , \ S_7$, wobei der Index $\mu$ aus der Belegung des Schieberegisters (Inhalt von links nach rechts: $u_{i–1}, u_{i–2}, u_{i–3})$ festgelegt ist:
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Normalerweise bezeichnet man die Zustände mit  $S_0, \ \text{...} \ , \ S_{\mu}, \ \text{...} \ , \ S_7$, wobei der Index  $\mu$  aus der Belegung des Schieberegisters (Inhalt von links nach rechts:   $u_{i-1}, u_{i-2}, u_{i-3})$  festgelegt ist:
 
:$$\mu = \sum_{l = 1}^{m} \hspace{0.1cm}2\hspace{0.03cm}^{l-1} \cdot u_{i-l}
 
:$$\mu = \sum_{l = 1}^{m} \hspace{0.1cm}2\hspace{0.03cm}^{l-1} \cdot u_{i-l}
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
Der Zustand $S_0$ ergibt sich deshalb für den Schieberegisterinhalt „$000$”, der Zustand $S_1$ für „$100$” und der Zustand $S_7$ für „$111$”.
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Der Zustand  $S_0$  ergibt sich deshalb für den Schieberegisterinhalt „$000$”, der Zustand  $S_1$  für „$100$” und der Zustand  $S_7$  für „$111$”.
  
In obiger Grafik sind allerdings für die Zustände $S_0, \, ... \, , \, S_7$ Platzhalter names $\mathbf{A}, \, ... \, , \, \mathbf{H}$ verwendet. In den Teilaufgaben (1) und (2) sollen Sie klären, welcher Platzhalter für welchen Zustand steht.
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In obiger Grafik sind allerdings für die Zustände  $S_0, \, \text{...} \, , \, S_7$  Platzhalter names  $\mathbf{A}, \, \text{...} \, , \, \mathbf{H}$  verwendet. In den Teilaufgaben '''(1)''' und '''(2)''' sollen Sie klären, welcher Platzhalter für welchen Zustand steht.
  
Bei Faltungscodierer der Rate $1/n$, die her ausschließlich betrachtet werden sollen, gehen von jedem Zustand $S_{\mu}$ zwei Pfeile ab, ein roter für das aktuelle Informationsbit $u_i = 0$ und ein blauer für $u_i = 1$. Auch deshalb ist das gezeigte Zustandsübergangsdiagramm nicht vollständig.
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Bei Faltungscodierer der Rate  $1/n$, die hier ausschließlich betrachtet werden sollen, gehen von jedem Zustand  $S_{\mu}$  zwei Pfeile ab,  
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*ein roter für das aktuelle Informationsbit  $u_i = 0$  und  
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*ein blauer für  $u_i = 1$.  
  
Zu erwähnen ist weiterhin:
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Auch deshalb ist das gezeigte Zustandsübergangsdiagramm nicht vollständig. Zu erwähnen ist weiterhin:
 
* Bei jedem Zustand kommen auch zwei Pfeile an, wobei diese durchaus gleichfarbig sein können.
 
* Bei jedem Zustand kommen auch zwei Pfeile an, wobei diese durchaus gleichfarbig sein können.
* Neben den Pfeilen stehen üblicherweise noch die $n$ Codebits. Auch hierauf wurde hier verzichtet.
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* Neben den Pfeilen stehen üblicherweise noch die  $n$  Codebits. Auch hierauf wurde hier verzichtet.
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''Hinweise:''
 
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* Die Aufgabe bezieht sich auf die beiden ersten Seiten des Kapitels [[Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm| Codebeschreibung mit Zustands– und Trellisdiagramm]].
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* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm| Codebeschreibung mit Zustands– und Trellisdiagramm]].
* In der [[Aufgaben:3.7Z_Welcher_Code_ist_katastrophal| Aufgabe Z3.7]] werden zwei Faltungscodes mit Gedächtnis $m = 3$ untersucht, die beide durch das hier analysierte Zustandsübergangsdiagramm beschrieben werden können.
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* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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* In  [[Aufgaben:Aufgabe_3.7Z:_Welcher_Code_ist_katastrophal%3F| Aufgabe 3.7Z]]  werden zwei Faltungscodes mit Gedächtnis  $m = 3$  untersucht, die beide durch das hier analysierte Übergangsdiagramm beschrieben werden können.
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*Bitte bei allen Fragen den ensprechenden ''Index''  $\mu$  eingeben.
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*Bezug genommen wird insbesondere auf die Abschnitte   
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**[[Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands–_und_Trellisdiagramm#Zustandsdefinition_f.C3.BCr_ein_Speicherregister|Zustandsdefinition für ein Speicherregister]]  sowie
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** [[Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands–_und_Trellisdiagramm#Darstellung im_Zustands.C3.BCbergangsdiagramm|Darstellung im Zustandsübergangsdiagramm]].
  
  
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
 
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<quiz display=simple>
{Für welche Zustände $S_{\mu}$ stehen die Platzhalter $\mathbf{A}$ und $\mathbf{F}$? &#8658; Index eingeben.
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{Für welche Zustände&nbsp; $S_{\mu}$&nbsp; stehen die Platzhalter&nbsp; $\mathbf{A}$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{F}$?  
 
|type="{}"}
 
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${\rm Zustand} \ \mathbf{A} \ &#8658; \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 0 3% }  
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${\rm Zustand} \ \mathbf{A} \ &#8658; \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 0. }  
${\rm Zustand} \ \mathbf{F} \ &#8658; \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 7 3% }  
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${\rm Zustand} \ \mathbf{F} \ &#8658; \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 7 }  
  
 
{Nennen Sie auch die Zuordnungen der anderen Platzhalter zu den Indizes.
 
{Nennen Sie auch die Zuordnungen der anderen Platzhalter zu den Indizes.
 
|type="{}"}
 
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${\rm Zustand} \ \mathbf{B} \ &#8658; \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 1 3% }
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${\rm Zustand} \ \mathbf{B} \ &#8658; \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 1 }
${\rm Zustand} \ \mathbf{C} \ &#8658; \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 2 3% }  
+
${\rm Zustand} \ \mathbf{C} \ &#8658; \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 2 }  
${\rm Zustand} \ \mathbf{D} \ &#8658; \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 5 3% }  
+
${\rm Zustand} \ \mathbf{D} \ &#8658; \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 5 }  
${\rm Zustand} \ \mathbf{E} \ &#8658; \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 3 3% }  
+
${\rm Zustand} \ \mathbf{E} \ &#8658; \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 3 }  
${\rm Zustand} \ \mathbf{G} \ &#8658; \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 6 3% }  
+
${\rm Zustand} \ \mathbf{G} \ &#8658; \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 6 }  
${\rm Zustand} \ \mathbf{H} \ &#8658; \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 4 3% }   
+
${\rm Zustand} \ \mathbf{H} \ &#8658; \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 4 }   
  
{Zu welchem Zustand $S_{\mu}$ geht der jeweils zweite Pfeil? &nbsp;&#8658;&nbsp; Index eingeben.
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{Zu welchem Zustand&nbsp; $S_{\mu}$&nbsp; geht der jeweils zweite Pfeil?  
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
${\rm Von \ S_{\rm 1} \ zum \ Zustand \ mit \ Index \ {\mu}} \ = \ ${ 3 3% }  
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${\rm Von \ {\it S}_{\rm 1} \ zum \ Zustand \ mit \ Index \ {\mu}} \ = \ ${ 3 }  
${\rm Von \ S_{\rm 3} \ zum \ Zustand \ mit \ Index \ {\mu}} \ = \ ${ 6 3% }
+
${\rm Von \ {\it S}_{\rm 3} \ zum \ Zustand \ mit \ Index \ {\mu}} \ = \ ${ 6 }
${\rm Von \ S_{\rm 5} \ zum \ Zustand \ mit \ Index \ {\mu}} \ = \ ${ 2 3% }
+
${\rm Von \ {\it S}_{\rm 5} \ zum \ Zustand \ mit \ Index \ {\mu}} \ = \ ${ 2 }
${\rm Von \ S_{\rm 7} \ zum \ Zustand \ mit \ Index \ {\mu}} \ = \ ${ 6 3% }
+
${\rm Von \ {\it S}_{\rm 7} \ zum \ Zustand \ mit \ Index \ {\mu}} \ = \ ${ 6 }
 
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===Musterlösung===
 
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{{ML-Kopf}}
 
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'''(1)'''&nbsp;  
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[[Datei:P_ID2668__KC_Z_3_6b_neu.png|right|frame|Zusammenhang zwischen Platzhalter und Zuständen]]
'''(2)'''&nbsp;  
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'''(1)'''&nbsp; Der Platzhalter $\mathbf{A}$ steht für den Zustand $S_0$ &nbsp;&#8658;&nbsp; $u_{i-1} = 0, \ u_{i-2} = 0, \ u_{i-3} = 0$.
'''(3)'''&nbsp;  
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*Dies ist der einzige Zustand $S_{\mu}$, bei dem man durch das Infobit $u_i = 0$ (roter Pfeil) im gleichen Zustand $S_{\mu}$ bleibt.
'''(4)'''&nbsp;  
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*Vom Zustand $S_7$ &nbsp;&#8658;&nbsp; $u_{i-1} = 1, \ u_{i-2} = 1, \ u_{i-3} = 1$ kommt man mit $u_i = 1$ (blauer Pfeil) auch wieder zum Zustand $S_7$.
'''(5)'''&nbsp;  
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*Einzugeben waren also für $\mathbf{A}$ der Index $\underline{\mu = 0}$ und für $\mathbf{F}$ der Index $\underline{\mu = 7}$.
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'''(2)'''&nbsp; Ausgehend vom Zustand $\mathbf{A} = S_0$ kommt man entsprechend der Ausgangsgrafik im Uhrzeigersinn mit den roten Pfeilen $(u_i = 0)$ bzw. den blauen Pfeilen $(u_i = 1)$ zu folgenden Zuständen:
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:$$u_{i&ndash;3} = 0, \ u_{i&ndash;2} = 0, \ u_{i&ndash;1} = 0, \ u_i = 1 &#8658; s_{i+1} = \mathbf{B} = S_1,$$
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:$$u_{i&ndash;3} = 0, \ u_{i&ndash;2} = 0, \ u_{i&ndash;1} = 1, \ u_i = 0 &#8658; s_{i+1} = \mathbf{C} = S_2,$$
 +
:$$u_{i&ndash;3} = 0, \ u_{i&ndash;2} = 1, \ u_{i&ndash;1} = 0, \ u_i = 1 &#8658; s_{i+1} = \mathbf{D} = S_5,$$
 +
:$$u_{i&ndash;3} = 1, \ u_{i&ndash;2} = 0, \ u_{i&ndash;1} = 1, \ u_i = 1 &#8658; s_{i+1} = \mathbf{E} = S_3,$$
 +
:$$u_{i&ndash;3} = 0, \ u_{i&ndash;2} = 1, \ u_{i&ndash;1} = 1, \ u_i = 1 &#8658; s_{i+1} = \mathbf{F} = S_7,$$
 +
:$$u_{i&ndash;3} = 1, \ u_{i&ndash;2} = 1, \ u_{i&ndash;1} = 1, \ u_i = 0 &#8658; s_{i+1} = \mathbf{G} = S_6,$$
 +
:$$u_{i&ndash;3} = 1, \ u_{i&ndash;2} = 1, \ u_{i&ndash;1} = 0, \ u_i = 0 &#8658; s_{i+1} = \mathbf{H} = S_4,$$
 +
:$$u_{i&ndash;3} = 1, \ u_{i&ndash;2} = 0, \ u_{i&ndash;1} = 0, \ u_i = 0 &#8658; s_{i+1} = \mathbf{A} = S_0.$$
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*Einzugeben sind also die Indizes $\mu$ in der <u>Reihenfolge 1, 2, 5, 3, 6, 4</u>.
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*Die Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen den Platzhaltern und den Zuständen $S_{\mu}$.
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'''(3)'''&nbsp; Vom Zustand $S_1$ &#8658; $u_{i&ndash;1} = 1, \ u_{i&ndash;2} = 0, \ u_{i&ndash;3} = 0$ kommt man mit $u_i = 0$ (roter Pfeil) zum Zustand $S_2$. Dagegen landet man mit $u_i = 1$ (blauer Pfeil) beim Zustand $S_3$ &#8658; $u_{i&ndash;1} = 1, \ u_{i&ndash;2} = 1, \ u_{i&ndash;3} = 0$.
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[[Datei:P_ID2669__KC_Z_3_6c.png|right|frame|Zustandsübergangsdiagramm mit $2^3$ Zuständen]]
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Nebenstehende Grafik zeigt das Zustandsübergangsdiagramm mit allen Übergängen. Aus diesem kann abgelesen werden:
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* Vom Zustand $S_3$ kommt man mit $u_i = 0$ zum Zustand $S_6$.
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* Vom Zustand $S_5$ kommt man mit $u_i = 0$ zum Zustand $S_2$.
 +
* Vom Zustand $S_7$ kommt man mit $u_i = 0$ zum Zustand $S_6$.
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Einzugeben sind also die Indizes in der <u>Reihenfolge 3, 6, 2, 6</u>.
 
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[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^3.3 Codebeschreibung mit Zustands– und Trellisdiagramm^]]
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[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^3.3 Zustands– und Trellisdiagramm^]]

Aktuelle Version vom 7. Juni 2019, 14:40 Uhr

Zustandsübergangsdiagramm für  $m = 3$  (unvollständig)

Im Zustandsübergangsdiagramm eines Codierers mit Gedächtnis  $m$  gibt es  $2^m$  Zustände. Das dargestellte Diagramm mit acht Zuständen beschreibt deshalb einen Faltungscoder mit dem Gedächtnis  $m = 3$.

Normalerweise bezeichnet man die Zustände mit  $S_0, \ \text{...} \ , \ S_{\mu}, \ \text{...} \ , \ S_7$, wobei der Index  $\mu$  aus der Belegung des Schieberegisters (Inhalt von links nach rechts:   $u_{i-1}, u_{i-2}, u_{i-3})$  festgelegt ist:

$$\mu = \sum_{l = 1}^{m} \hspace{0.1cm}2\hspace{0.03cm}^{l-1} \cdot u_{i-l} \hspace{0.05cm}.$$

Der Zustand  $S_0$  ergibt sich deshalb für den Schieberegisterinhalt „$000$”, der Zustand  $S_1$  für „$100$” und der Zustand  $S_7$  für „$111$”.

In obiger Grafik sind allerdings für die Zustände  $S_0, \, \text{...} \, , \, S_7$  Platzhalter names  $\mathbf{A}, \, \text{...} \, , \, \mathbf{H}$  verwendet. In den Teilaufgaben (1) und (2) sollen Sie klären, welcher Platzhalter für welchen Zustand steht.

Bei Faltungscodierer der Rate  $1/n$, die hier ausschließlich betrachtet werden sollen, gehen von jedem Zustand  $S_{\mu}$  zwei Pfeile ab,

  • ein roter für das aktuelle Informationsbit  $u_i = 0$  und
  • ein blauer für  $u_i = 1$.


Auch deshalb ist das gezeigte Zustandsübergangsdiagramm nicht vollständig. Zu erwähnen ist weiterhin:

  • Bei jedem Zustand kommen auch zwei Pfeile an, wobei diese durchaus gleichfarbig sein können.
  • Neben den Pfeilen stehen üblicherweise noch die  $n$  Codebits. Auch hierauf wurde hier verzichtet.





Hinweise:



Fragebogen

1

Für welche Zustände  $S_{\mu}$  stehen die Platzhalter  $\mathbf{A}$  und  $\mathbf{F}$?

${\rm Zustand} \ \mathbf{A} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ $

${\rm Zustand} \ \mathbf{F} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ $

2

Nennen Sie auch die Zuordnungen der anderen Platzhalter zu den Indizes.

${\rm Zustand} \ \mathbf{B} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ $

${\rm Zustand} \ \mathbf{C} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ $

${\rm Zustand} \ \mathbf{D} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ $

${\rm Zustand} \ \mathbf{E} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ $

${\rm Zustand} \ \mathbf{G} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ $

${\rm Zustand} \ \mathbf{H} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ $

3

Zu welchem Zustand  $S_{\mu}$  geht der jeweils zweite Pfeil?

${\rm Von \ {\it S}_{\rm 1} \ zum \ Zustand \ mit \ Index \ {\mu}} \ = \ $

${\rm Von \ {\it S}_{\rm 3} \ zum \ Zustand \ mit \ Index \ {\mu}} \ = \ $

${\rm Von \ {\it S}_{\rm 5} \ zum \ Zustand \ mit \ Index \ {\mu}} \ = \ $

${\rm Von \ {\it S}_{\rm 7} \ zum \ Zustand \ mit \ Index \ {\mu}} \ = \ $


Musterlösung

Zusammenhang zwischen Platzhalter und Zuständen

(1)  Der Platzhalter $\mathbf{A}$ steht für den Zustand $S_0$  ⇒  $u_{i-1} = 0, \ u_{i-2} = 0, \ u_{i-3} = 0$.

  • Dies ist der einzige Zustand $S_{\mu}$, bei dem man durch das Infobit $u_i = 0$ (roter Pfeil) im gleichen Zustand $S_{\mu}$ bleibt.
  • Vom Zustand $S_7$  ⇒  $u_{i-1} = 1, \ u_{i-2} = 1, \ u_{i-3} = 1$ kommt man mit $u_i = 1$ (blauer Pfeil) auch wieder zum Zustand $S_7$.
  • Einzugeben waren also für $\mathbf{A}$ der Index $\underline{\mu = 0}$ und für $\mathbf{F}$ der Index $\underline{\mu = 7}$.


(2)  Ausgehend vom Zustand $\mathbf{A} = S_0$ kommt man entsprechend der Ausgangsgrafik im Uhrzeigersinn mit den roten Pfeilen $(u_i = 0)$ bzw. den blauen Pfeilen $(u_i = 1)$ zu folgenden Zuständen:

$$u_{i–3} = 0, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–1} = 0, \ u_i = 1 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{B} = S_1,$$
$$u_{i–3} = 0, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–1} = 1, \ u_i = 0 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{C} = S_2,$$
$$u_{i–3} = 0, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–1} = 0, \ u_i = 1 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{D} = S_5,$$
$$u_{i–3} = 1, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–1} = 1, \ u_i = 1 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{E} = S_3,$$
$$u_{i–3} = 0, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–1} = 1, \ u_i = 1 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{F} = S_7,$$
$$u_{i–3} = 1, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–1} = 1, \ u_i = 0 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{G} = S_6,$$
$$u_{i–3} = 1, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–1} = 0, \ u_i = 0 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{H} = S_4,$$
$$u_{i–3} = 1, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–1} = 0, \ u_i = 0 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{A} = S_0.$$
  • Einzugeben sind also die Indizes $\mu$ in der Reihenfolge 1, 2, 5, 3, 6, 4.
  • Die Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen den Platzhaltern und den Zuständen $S_{\mu}$.


(3)  Vom Zustand $S_1$ ⇒ $u_{i–1} = 1, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–3} = 0$ kommt man mit $u_i = 0$ (roter Pfeil) zum Zustand $S_2$. Dagegen landet man mit $u_i = 1$ (blauer Pfeil) beim Zustand $S_3$ ⇒ $u_{i–1} = 1, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–3} = 0$.

Zustandsübergangsdiagramm mit $2^3$ Zuständen

Nebenstehende Grafik zeigt das Zustandsübergangsdiagramm mit allen Übergängen. Aus diesem kann abgelesen werden:

  • Vom Zustand $S_3$ kommt man mit $u_i = 0$ zum Zustand $S_6$.
  • Vom Zustand $S_5$ kommt man mit $u_i = 0$ zum Zustand $S_2$.
  • Vom Zustand $S_7$ kommt man mit $u_i = 0$ zum Zustand $S_6$.


Einzugeben sind also die Indizes in der Reihenfolge 3, 6, 2, 6.