Aufgaben:Aufgabe 3.6: Transversalfilter des Optimalen Nyquistentzerrers: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID1432__Dig_A_3_6.png|right|frame|ONE–Transversalfilter]]
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Am Eingang des in der Grafik gezeigten symmetrischen Transversalfilters zweiter Ordnung ($N = 2$) liegt ein Dreieckimpuls (auf 1 normiert):
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Am Eingang des in der Grafik gezeigten symmetrischen Transversalfilters zweiter Ordnung &nbsp;$(N = 2)$&nbsp; liegt ein Dreieckimpuls&nbsp; (auf&nbsp; $1$&nbsp; normiert):
 
:$$g_x(t) =  \left\{ \begin{array}{c} 1 - {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/{(2T)}    \\
 
:$$g_x(t) =  \left\{ \begin{array}{c} 1 - {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/{(2T)}    \\
 
  \\ 0  \\  \end{array} \right.
 
  \\ 0  \\  \end{array} \right.
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\end{array}$$
 
\end{array}$$
  
Sind alle Filterkoeffizienten $k_0$, $k_1$ und $k_2$ ungleich $0$, so gilt für den Impuls am Ausgang:
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*Sind alle Filterkoeffizienten &nbsp;$k_0$, &nbsp;$k_1$&nbsp; und&nbsp; $k_2$&nbsp; ungleich Null,&nbsp; so gilt für den Impuls am Ausgang:
:$$g_y(t) \ = \ k_0 \cdot g_x(t) + $$
+
:$$g_y(t) \ = k_0 \cdot g_x(t) + k_1 \cdot \big[ g_x(t-T)+
:$$\ + \ k_1 \cdot [ g_x(t-T)+
+
g_x(t+T) \big] + k_2  \cdot \big[ g_x(t-2T)+ g_x(t+2T)
g_x(t+T) ]+ $$
+
\big]\hspace{0.05cm}.$$
:$$\ + \ k_2  \cdot [ g_x(t-2T)+ g_x(t+2T)
 
]\hspace{0.05cm}.$$
 
  
Durch geeignete Wahl der Filterkoeffizienten $k_0$, $k_1$ und $k_2$ gelingt es, dass der Ausgangsimpuls folgende Bedingungen erfüllt:
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*Durch geeignete Wahl der Filterkoeffizienten &nbsp;$k_0$, &nbsp;$k_1$&nbsp; und&nbsp; $k_2$&nbsp; kann der Ausgangsimpuls folgende Bedingungen erfüllen:
 
:$$g_0 = g_y(t = 0) = 1,\hspace{0.2cm}g_1 = g_y(t = \pm T) =
 
:$$g_0 = g_y(t = 0) = 1,\hspace{0.2cm}g_1 = g_y(t = \pm T) =
 
0,\hspace{0.2cm}g_2 = g_y(t = \pm 2 T) = 0 \hspace{0.05cm}.$$
 
0,\hspace{0.2cm}g_2 = g_y(t = \pm 2 T) = 0 \hspace{0.05cm}.$$
  
Ein Filter erster Ordnung ($N = 1$) ergibt sich aus obiger Anordnung und Gleichung, indem man den Koeffizienten $k_2 = 0$ setzt. Durch geeignete Wahl von $k_0$ und $k_1$ kann dann $g_0 = 1$ und $g_1 = 0$ erreicht werden. Allerdings wird in diesem Fall stets $g_2 &ne; 0$ sein.
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*Ein Filter erster Ordnung &nbsp;$(N = 1)$&nbsp; ergibt sich aus obiger Anordnung und Gleichung mit dem Koeffizienten&nbsp; $k_2 = 0$.
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*Durch geeignete Wahl von &nbsp;$k_0$&nbsp; und&nbsp; $k_1$&nbsp; kann dann &nbsp;$g_0 = 1$&nbsp; und&nbsp; $g_1 = 0$&nbsp; erreicht werden.  
  
''Hinweis:''
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*Allerdings wird in diesem Fall stets &nbsp;$g_2 &ne; 0$&nbsp; sein.
* Die Aufgabe bezieht sich auf den Lehrstoff von Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_Nyquistentzerrung|Linare Nyquistentzerrung]].
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Hinweis:&nbsp; Die Aufgabe gehört zum  Kapitel &nbsp;[[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_Nyquistentzerrung|"Linare Nyquistentzerrung"]].
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<quiz display=simple>
{Wie lauten die optimalen Koeffizienten für das Filter erster Ordnung ($k_2 = 0$)?
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{Wie lauten die optimalen Koeffizienten für das Filter erster Ordnung &nbsp; &rArr; &nbsp; $k_2 = 0$?
 
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$k_0$ = { 2 3% }
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$k_0\ = \ $ { 2 3% }
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{Wie groß sind die Ausgangswerte zu den Zeiten $t = 2T$ und $t = 3T$?
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{Wie groß sind die Ausgangswerte zu den Zeitpunkten &nbsp;$t = 2T$&nbsp; und &nbsp;$t = 3T$?
 
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$g_2$ = { -0.515--0.485  }
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$g_3\ = \ $ { 0 3% }
  
{Wie lauten die optimalen Koeffizienten für das Filter zweiter Ordnung ($N = 2$)?
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{Wie lauten die optimalen Koeffizienten für das Filter zweiter Ordnung &nbsp;$(N = 2)$?
 
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$k_0\ = \ $ { 3 3% }
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{Wie groß sind die Ausgangswerte zu den Zeiten $t = 3T$ und $t = 4T$?
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{Wie groß sind die Ausgangswerte zu den Zeitpunkten &nbsp;$t = 3T$&nbsp; und &nbsp;$t = 4T$?
 
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$g_3$ = { 0.5 3% }
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$g_4\ = \ $ { 0 3% }
 
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
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'''(1)'''&nbsp; Der Eingangsimpuls $g_x(t)$ ist durch folgende Abtastwerte bei Vielfachen von $T$ gegeben:
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'''(1)'''&nbsp; Der Eingangsimpuls&nbsp; $g_x(t)$&nbsp; ist durch folgende Abtastwerte bei Vielfachen von&nbsp; $T$&nbsp; gegeben:
 
:$$g_x(t = 0) = 1,\hspace{0.2cm}g_x(t = \pm T) =
 
:$$g_x(t = 0) = 1,\hspace{0.2cm}g_x(t = \pm T) =
 
0.5,\hspace{0.2cm}g_x(t = \pm 2 T) = ... = 0
 
0.5,\hspace{0.2cm}g_x(t = \pm 2 T) = ... = 0
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
Damit kann folgendes Gleichungssystem aufgestellt werden:
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*Damit kann folgendes Gleichungssystem aufgestellt werden:
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[[Datei:P_ID1433__Dig_A_3_6_b.png|right|frame|Ausgangsimpuls für &nbsp;$N = 1$]]
 
:$$t = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_0 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} k_0 \cdot 1.0 + k_1 \cdot 2
 
:$$t = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_0 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} k_0 \cdot 1.0 + k_1 \cdot 2
 
\cdot  0.5 = 1\hspace{0.05cm},$$
 
\cdot  0.5 = 1\hspace{0.05cm},$$
 
:$$t = T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} k_0 \cdot 0.5 + k_1 \cdot 1.0 = 0
 
:$$t = T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} k_0 \cdot 0.5 + k_1 \cdot 1.0 = 0
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
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*Aus diesen Gleichungen folgt $k_0 \ \underline {= \ 2}$ und $k_1 \ \underline {= \ &ndash;1}$.
  
Aus diesen Gleichungen folgt $k_0 \ \underline {= \ 2}$ und $k_1 \ \underline {= \ &ndash;1}$.
 
  
  
'''(2)'''&nbsp; Die Werte $g_0 = 1$ und $g_1 = 0$ wurden bereits der Optimierung zugrundegelegt und sind deshalb unbestritten. Zum Zeitpunkt $t = 2T$ ergibt sich am Ausgang, wobei $k_{\rm &ndash;1} = k_1 = &ndash;1$ zu berücksichtigen ist:
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'''(2)'''&nbsp; Die Werte $g_0 = 1$&nbsp; und $g_1 = 0$&nbsp; wurden bereits der Optimierung zugrundegelegt und sind deshalb unbestritten.  
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*Zur Zeit&nbsp; $t = 2T$&nbsp; ergibt sich am Ausgang,&nbsp; wobei $k_{-1} = k_1 = -1$&nbsp; zu berücksichtigen ist:
 
:$$g_2 = g_y(t =  2 T) = g_x(t =  T) \cdot k_{-1}\hspace{0.15cm}\underline { = -0.5 =
 
:$$g_2 = g_y(t =  2 T) = g_x(t =  T) \cdot k_{-1}\hspace{0.15cm}\underline { = -0.5 =
 
g_{-2}} \hspace{0.05cm}.$$
 
g_{-2}} \hspace{0.05cm}.$$
 
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*Da alle Eingangswerte zu den Zeiten&nbsp; $2T$,&nbsp; $3T$&nbsp; und $4T$&nbsp; Null sind,&nbsp; ist&nbsp; $g_3 = g_y(t = 3T) \underline {= \ 0}$.  
[[Datei:P_ID1433__Dig_A_3_6_b.png|center|frame|Ausgangsimpuls für N = 1]]
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*Damit ergibt sich der Ausgangsimpuls&nbsp; $g_y(t)$&nbsp; gemäß der Skizze.
 
 
Der Wert $g_3 = g_y(t = 3T) \underline {= \ 0}$, da alle Eingangswerte zu den Zeiten $2T$, $3T$ und $4T$ ebenfalls $0$ sind. Damit ergibt sich der Ausgangsimpuls $g_y(t)$ gemäß nebenstehender Skizze.
 
  
  
 
'''(3)'''&nbsp; Bei einem Filter zweiter Ordnung lautet das Gleichungssystem:
 
'''(3)'''&nbsp; Bei einem Filter zweiter Ordnung lautet das Gleichungssystem:
:$$t = 2T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} k_1 \cdot 0.5 + k_2 \cdot 1.0 = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} k_2 = - 0.5 \cdot k_1\hspace{0.05cm},$$
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:$$t = 2T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_2 = k_1 \cdot 0.5 + k_2 \cdot 1.0 = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} k_2 = - 0.5 \cdot k_1\hspace{0.05cm},$$
:$$t = T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} k_0 \cdot 0.5 +k_1 \cdot 1.0 + k_2 \cdot 0.5 = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
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[[Datei:P_ID1439__Dig_A_3_6_d.png|right|frame|Ausgangsimpuls für &nbsp;$N = 2$]]
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:$$t = T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_1= k_0 \cdot 0.5 +k_1 \cdot 1.0 + k_2 \cdot 0.5 = 0\hspace{0.05cm},$$
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:$$\hspace{1.6cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
k_1 = - {2}/{3} \cdot k_0\hspace{0.05cm},$$
 
k_1 = - {2}/{3} \cdot k_0\hspace{0.05cm},$$
:$$t = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_0 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} k_0 \cdot 1.0 + k_1 \cdot 0.5 + k_1 \cdot 0.5 = 1\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} k_0 = 3 \hspace{0.05cm}.$$
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:$$t = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_0 = k_0 \cdot 1.0 + k_1 \cdot 0.5 + k_1 \cdot 0.5 = 1\hspace{0.05cm},$$
 
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:$$\hspace{1.6cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} k_0 = 3 \hspace{0.05cm}.$$
[[Datei:P_ID1439__Dig_A_3_6_d.png|center|frame|Ausgangsimpuls für N = 2]]
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*Damit sind die optimalen Koeffizienten
 
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:$$k_0 \ \underline {= \ 3},k_1 \ \underline {= \ &ndash;2}, k_2 \ \underline {= \ 1}.$$
Daraus ergeben sich die optimalen Koeffizienten zu
 
* $k_0 \ \underline {= \ 3},$
 
* $k_1 \ \underline {= \ &ndash;2},$
 
* $k_2 \ \underline {= \ 1}.$
 
  
  
'''(4)'''&nbsp; Bei analoger Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe 2) erhält man $g_4 \ \underline {= \ 0}$ sowie
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'''(4)'''&nbsp; Bei analoger Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; erhält man &nbsp;$g_4 \ \underline {= \ 0}$&nbsp; sowie
 
:$$g_3 = g_y(t =  3 T) = g_x(t =  T) \cdot k_{-2} = 0.5 \cdot 1
 
:$$g_3 = g_y(t =  3 T) = g_x(t =  T) \cdot k_{-2} = 0.5 \cdot 1
 
\hspace{0.15cm}\underline {= 0.5} \hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.15cm}\underline {= 0.5} \hspace{0.05cm}.$$
  
Die beiden Grafiken zeigen, dass bei der hier vorliegenden Dreickform die optimale Nyquistentzerrung keine Verbesserung bringt. Das Auge ist in allen Fällen gerade geschlossen:
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*Die beiden Grafiken zeigen allerdings auch,&nbsp; dass bei der hier vorliegenden Dreickform die optimale Nyquistentzerrung keine Verbesserung bringt.
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*Das Auge ist in allen Fällen gerade geschlossen:
 
:$$N = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}  \ddot{o}/2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} g_0 - 2 \cdot g_1 = 1- 2 \cdot 0.5 = 0  \hspace{0.05cm}, $$
 
:$$N = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}  \ddot{o}/2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} g_0 - 2 \cdot g_1 = 1- 2 \cdot 0.5 = 0  \hspace{0.05cm}, $$
 
:$$N = 1\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}  \ddot{o}/2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  g_0 - 2 \cdot |g_2 | = 1- 2 \cdot 0.5 = 0  \hspace{0.05cm}, $$
 
:$$N = 1\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}  \ddot{o}/2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  g_0 - 2 \cdot |g_2 | = 1- 2 \cdot 0.5 = 0  \hspace{0.05cm}, $$

Aktuelle Version vom 22. Juni 2022, 16:53 Uhr

Transversalfilter des
Optimalen Nyquistentzerrers

Am Eingang des in der Grafik gezeigten symmetrischen Transversalfilters zweiter Ordnung  $(N = 2)$  liegt ein Dreieckimpuls  (auf  $1$  normiert):

$$g_x(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1 - {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/{(2T)} \\ \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c}|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}| \le 2\hspace{0.05cm}T, \\ \\ |\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}| \ge 2\hspace{0.05cm}T. \\ \end{array}$$
  • Sind alle Filterkoeffizienten  $k_0$,  $k_1$  und  $k_2$  ungleich Null,  so gilt für den Impuls am Ausgang:
$$g_y(t) \ = k_0 \cdot g_x(t) + k_1 \cdot \big[ g_x(t-T)+ g_x(t+T) \big] + k_2 \cdot \big[ g_x(t-2T)+ g_x(t+2T) \big]\hspace{0.05cm}.$$
  • Durch geeignete Wahl der Filterkoeffizienten  $k_0$,  $k_1$  und  $k_2$  kann der Ausgangsimpuls folgende Bedingungen erfüllen:
$$g_0 = g_y(t = 0) = 1,\hspace{0.2cm}g_1 = g_y(t = \pm T) = 0,\hspace{0.2cm}g_2 = g_y(t = \pm 2 T) = 0 \hspace{0.05cm}.$$
  • Ein Filter erster Ordnung  $(N = 1)$  ergibt sich aus obiger Anordnung und Gleichung mit dem Koeffizienten  $k_2 = 0$.
  • Durch geeignete Wahl von  $k_0$  und  $k_1$  kann dann  $g_0 = 1$  und  $g_1 = 0$  erreicht werden.
  • Allerdings wird in diesem Fall stets  $g_2 ≠ 0$  sein.



Hinweis:  Die Aufgabe gehört zum Kapitel  "Linare Nyquistentzerrung".


Fragebogen

1

Wie lauten die optimalen Koeffizienten für das Filter erster Ordnung   ⇒   $k_2 = 0$?

$k_0\ = \ $

$k_1\ = \ $

2

Wie groß sind die Ausgangswerte zu den Zeitpunkten  $t = 2T$  und  $t = 3T$?

$g_2\ = \ $

$g_3\ = \ $

3

Wie lauten die optimalen Koeffizienten für das Filter zweiter Ordnung  $(N = 2)$?

$k_0\ = \ $

$k_1\ = \ $

$k_2\ = \ $

4

Wie groß sind die Ausgangswerte zu den Zeitpunkten  $t = 3T$  und  $t = 4T$?

$g_3\ = \ $

$g_4\ = \ $


Musterlösung

(1)  Der Eingangsimpuls  $g_x(t)$  ist durch folgende Abtastwerte bei Vielfachen von  $T$  gegeben:

$$g_x(t = 0) = 1,\hspace{0.2cm}g_x(t = \pm T) = 0.5,\hspace{0.2cm}g_x(t = \pm 2 T) = ... = 0 \hspace{0.05cm}.$$
  • Damit kann folgendes Gleichungssystem aufgestellt werden:
Ausgangsimpuls für  $N = 1$
$$t = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_0 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} k_0 \cdot 1.0 + k_1 \cdot 2 \cdot 0.5 = 1\hspace{0.05cm},$$
$$t = T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} k_0 \cdot 0.5 + k_1 \cdot 1.0 = 0 \hspace{0.05cm}.$$
  • Aus diesen Gleichungen folgt $k_0 \ \underline {= \ 2}$ und $k_1 \ \underline {= \ –1}$.


(2)  Die Werte $g_0 = 1$  und $g_1 = 0$  wurden bereits der Optimierung zugrundegelegt und sind deshalb unbestritten.

  • Zur Zeit  $t = 2T$  ergibt sich am Ausgang,  wobei $k_{-1} = k_1 = -1$  zu berücksichtigen ist:
$$g_2 = g_y(t = 2 T) = g_x(t = T) \cdot k_{-1}\hspace{0.15cm}\underline { = -0.5 = g_{-2}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Da alle Eingangswerte zu den Zeiten  $2T$,  $3T$  und $4T$  Null sind,  ist  $g_3 = g_y(t = 3T) \underline {= \ 0}$.
  • Damit ergibt sich der Ausgangsimpuls  $g_y(t)$  gemäß der Skizze.


(3)  Bei einem Filter zweiter Ordnung lautet das Gleichungssystem:

$$t = 2T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_2 = k_1 \cdot 0.5 + k_2 \cdot 1.0 = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} k_2 = - 0.5 \cdot k_1\hspace{0.05cm},$$
Ausgangsimpuls für  $N = 2$
$$t = T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_1= k_0 \cdot 0.5 +k_1 \cdot 1.0 + k_2 \cdot 0.5 = 0\hspace{0.05cm},$$
$$\hspace{1.6cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} k_1 = - {2}/{3} \cdot k_0\hspace{0.05cm},$$
$$t = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_0 = k_0 \cdot 1.0 + k_1 \cdot 0.5 + k_1 \cdot 0.5 = 1\hspace{0.05cm},$$
$$\hspace{1.6cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} k_0 = 3 \hspace{0.05cm}.$$
  • Damit sind die optimalen Koeffizienten
$$k_0 \ \underline {= \ 3},k_1 \ \underline {= \ –2}, k_2 \ \underline {= \ 1}.$$


(4)  Bei analoger Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe  (2)  erhält man  $g_4 \ \underline {= \ 0}$  sowie

$$g_3 = g_y(t = 3 T) = g_x(t = T) \cdot k_{-2} = 0.5 \cdot 1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5} \hspace{0.05cm}.$$
  • Die beiden Grafiken zeigen allerdings auch,  dass bei der hier vorliegenden Dreickform die optimale Nyquistentzerrung keine Verbesserung bringt.
  • Das Auge ist in allen Fällen gerade geschlossen:
$$N = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} \ddot{o}/2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} g_0 - 2 \cdot g_1 = 1- 2 \cdot 0.5 = 0 \hspace{0.05cm}, $$
$$N = 1\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} \ddot{o}/2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} g_0 - 2 \cdot |g_2 | = 1- 2 \cdot 0.5 = 0 \hspace{0.05cm}, $$
$$N = 2\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} \ddot{o}/2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} g_0 - 2 \cdot g_3 = 1- 2 \cdot 0.5 = 0 \hspace{0.05cm}.$$