Aufgaben:Aufgabe 3.6: Transversalfilter des Optimalen Nyquistentzerrers

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ONE–Transversalfilter

Am Eingang des in der Grafik gezeigten symmetrischen Transversalfilters zweiter Ordnung ($N = 2$) liegt ein Dreieckimpuls (auf 1 normiert):

$$g_x(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1 - {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/{(2T)} \\ \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c}|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}| \le 2\hspace{0.05cm}T, \\ \\ |\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}| \ge 2\hspace{0.05cm}T. \\ \end{array}$$

Sind alle Filterkoeffizienten $k_0$, $k_1$ und $k_2$ ungleich $0$, so gilt für den Impuls am Ausgang:

$$g_y(t) \ = \ k_0 \cdot g_x(t) + $$

$$\ + \ k_1 \cdot [ g_x(t-T)+ g_x(t+T) ]+ $$

$$\ + \ k_2 \cdot [ g_x(t-2T)+ g_x(t+2T) ]\hspace{0.05cm}.$$

Durch geeignete Wahl der Filterkoeffizienten $k_0$, $k_1$ und $k_2$ gelingt es, dass der Ausgangsimpuls folgende Bedingungen erfüllt:

$$g_0 = g_y(t = 0) = 1,\hspace{0.2cm}g_1 = g_y(t = \pm T) = 0,\hspace{0.2cm}g_2 = g_y(t = \pm 2 T) = 0 \hspace{0.05cm}.$$

Ein Filter erster Ordnung ($N = 1$) ergibt sich aus obiger Anordnung und Gleichung, indem man den Koeffizienten $k_2 = 0$ setzt. Durch geeignete Wahl von $k_0$ und $k_1$ kann dann $g_0 = 1$ und $g_1 = 0$ erreicht werden. Allerdings wird in diesem Fall stets $g_2 ≠ 0$ sein.

Hinweis:

• Die Aufgabe bezieht sich auf den Lehrstoff von Kapitel Linare Nyquistentzerrung.

Fragebogen

1

Wie lauten die optimalen Koeffizienten für das Filter erster Ordnung ($k_2 = 0$)?

$k_0$ =

$k_1$ =

$f_{\rm G} \cdot T = 0.6\text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ = \ $ $\ \rm dB$

2

Wie groß sind die Ausgangswerte zu den Zeiten $t = 2T$ und $t = 3T$?

$g_2$ =

$g_3$ =

3

Wie lauten die optimalen Koeffizienten für das Filter zweiter Ordnung ($N = 2$)?

$k_0$ =

$k_1$ =

$k_2$ =

4

Wie groß sind die Ausgangswerte zu den Zeiten $t = 3T$ und $t = 4T$?

$g_3$ =

$g_4$ =

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Der Eingangsimpuls $g_x(t)$ ist durch folgende Abtastwerte bei Vielfachen von $T$ gegeben:

$$g_x(t = 0) = 1,\hspace{0.2cm}g_x(t = \pm T) = 0.5,\hspace{0.2cm}g_x(t = \pm 2 T) = ... = 0 \hspace{0.05cm}.$$

Damit kann folgendes Gleichungssystem aufgestellt werden:

$$t = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_0 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} k_0 \cdot 1.0 + k_1 \cdot 2 \cdot 0.5 = 1\hspace{0.05cm},$$

$$t = T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} k_0 \cdot 0.5 + k_1 \cdot 1.0 = 0 \hspace{0.05cm}.$$

Aus diesen Gleichungen folgt $k_0 \ \underline {= \ 2}$ und $k_1 \ \underline {= \ –1}$.

(2)  Die Werte $g_0 = 1$ und $g_1 = 0$ wurden bereits der Optimierung zugrundegelegt und sind deshalb unbestritten. Zum Zeitpunkt $t = 2T$ ergibt sich am Ausgang, wobei $k_{\rm –1} = k_1 = –1$ zu berücksichtigen ist:

$$g_2 = g_y(t = 2 T) = g_x(t = T) \cdot k_{-1}\hspace{0.15cm}\underline { = -0.5 = g_{-2}} \hspace{0.05cm}.$$

Ausgangsimpuls für N = 1

Der Wert $g_3 = g_y(t = 3T) \underline {= \ 0}$, da alle Eingangswerte zu den Zeiten $2T$, $3T$ und $4T$ ebenfalls $0$ sind. Damit ergibt sich der Ausgangsimpuls $g_y(t)$ gemäß nebenstehender Skizze.

(3)  Bei einem Filter zweiter Ordnung lautet das Gleichungssystem:

$$t = 2T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} k_1 \cdot 0.5 + k_2 \cdot 1.0 = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} k_2 = - 0.5 \cdot k_1\hspace{0.05cm},$$

$$t = T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} k_0 \cdot 0.5 +k_1 \cdot 1.0 + k_2 \cdot 0.5 = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} k_1 = - {2}/{3} \cdot k_0\hspace{0.05cm},$$

$$t = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_0 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} k_0 \cdot 1.0 + k_1 \cdot 0.5 + k_1 \cdot 0.5 = 1\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} k_0 = 3 \hspace{0.05cm}.$$

Ausgangsimpuls für N = 2

Daraus ergeben sich die optimalen Koeffizienten zu

• $k_0 \ \underline {= \ 3},$
• $k_1 \ \underline {= \ –2},$
• $k_2 \ \underline {= \ 1}.$

(4)  Bei analoger Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe 2) erhält man $g_4 \ \underline {= \ 0}$ sowie

$$g_3 = g_y(t = 3 T) = g_x(t = T) \cdot k_{-2} = 0.5 \cdot 1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5} \hspace{0.05cm}.$$

Die beiden Grafiken zeigen, dass bei der hier vorliegenden Dreickform die optimale Nyquistentzerrung keine Verbesserung bringt. Das Auge ist in allen Fällen gerade geschlossen:

$$N = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} \ddot{o}/2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} g_0 - 2 \cdot g_1 = 1- 2 \cdot 0.5 = 0 \hspace{0.05cm}, $$

$$N = 1\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} \ddot{o}/2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} g_0 - 2 \cdot |g_2 | = 1- 2 \cdot 0.5 = 0 \hspace{0.05cm}, $$

$$N = 2\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} \ddot{o}/2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} g_0 - 2 \cdot g_3 = 1- 2 \cdot 0.5 = 0 \hspace{0.05cm}.$$