Aufgaben:Aufgabe 3.6: Transversalfilter des Optimalen Nyquistentzerrers

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ONE–Transversalfilter

Am Eingang des in der Grafik gezeigten symmetrischen Transversalfilters zweiter Ordnung ($N = 2$) liegt ein Dreieckimpuls (auf 1 normiert):

$$g_x(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1 - {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/{(2T)} \\ \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c}|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}| \le 2\hspace{0.05cm}T, \\ \\ |\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}| \ge 2\hspace{0.05cm}T. \\ \end{array}$$

Sind alle Filterkoeffizienten $k_0$, $k_1$ und $k_2$ ungleich $0$, so gilt für den Impuls am Ausgang:

$$g_y(t) \ = \ k_0 \cdot g_x(t) + $$

$$\ + \ k_1 \cdot [ g_x(t-T)+ g_x(t+T) ]+ $$

$$\ + \ k_2 \cdot [ g_x(t-2T)+ g_x(t+2T) ]\hspace{0.05cm}.$$

Durch geeignete Wahl der Filterkoeffizienten $k_0$, $k_1$ und $k_2$ gelingt es, dass der Ausgangsimpuls folgende Bedingungen erfüllt:

$$g_0 = g_y(t = 0) = 1,\hspace{0.2cm}g_1 = g_y(t = \pm T) = 0,\hspace{0.2cm}g_2 = g_y(t = \pm 2 T) = 0 \hspace{0.05cm}.$$

Ein Filter erster Ordnung ($N = 1$) ergibt sich aus obiger Anordnung und Gleichung, indem man den Koeffizienten $k_2 = 0$ setzt. Durch geeignete Wahl von $k_0$ und $k_1$ kann dann $g_0 = 1$ und $g_1 = 0$ erreicht werden. Allerdings wird in diesem Fall stets $g_2 ≠ 0$ sein.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf den Lehrstoff von Kapitel 3.5.

Fragebogen

1

Wie lauten die optimalen Koeffizienten für das Filter erster Ordnung ($k_2 = 0)?

$k_0$ =

$k_1$ =

2

Wie groß sind die Ausgangswerte zu den Zeiten $t = 2T$ und $t = 3T$?

$g_2$ =

$g_3$ =

3

Wie lauten die optimalen Koeffizienten für das Filter zweiter Ordnung ($N = 2$)?

$k_0$ =

$k_1$ =

$k_2$ =

4

Wie groß sind die Ausgangswerte zu den Zeiten $t = 3T$ und $t = 4T$?

$g_3$ =

$g_4$ =

Musterlösung

Musterlösung

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