Aufgaben:Aufgabe 3.6: Gerades und ungerades Zeitsignal: Unterschied zwischen den Versionen
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$$U( f ) = - {\rm{j}} \cdot \frac{{A_u \cdot T}}{{2{\rm{\pi }}fT}}\left[ {{\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }}fT} ) - \cos ( {{\rm{\pi }}fT} )} \right].$$ | $$U( f ) = - {\rm{j}} \cdot \frac{{A_u \cdot T}}{{2{\rm{\pi }}fT}}\left[ {{\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }}fT} ) - \cos ( {{\rm{\pi }}fT} )} \right].$$ | ||
| − | Verwenden Sie für die Teilaufgaben | + | Verwenden Sie für die Teilaufgaben 1) und 2) die Signalparameter Au = 1 V und T = 1 ms. |
Hinweis: Lösen Sie diese Aufgabe mit Hilfe des Zuordnungssatzes in Kapitel 3.3. | Hinweis: Lösen Sie diese Aufgabe mit Hilfe des Zuordnungssatzes in Kapitel 3.3. | ||
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<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | {Berechnen Sie die (rein imaginären) Spektralwerte des unsymmetrischen Signals u(t) bei den Frequenzen f = 0.5 kHz und f = 1 kHz. | + | {Berechnen Sie die (rein imaginären) Spektralwerte des unsymmetrischen Signals $u(t)$ bei den Frequenzen $f$ = 0.5 kHz und $f$ = 1 kHz. |
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$Im[U(f=0.5 \text{kHz}] =$ { -0.2 } mV/Hz | $Im[U(f=0.5 \text{kHz}] =$ { -0.2 } mV/Hz | ||
$Im[U(f=1 \text{kHz}] =$ { 1.59 3% } mV/Hz | $Im[U(f=1 \text{kHz}] =$ { 1.59 3% } mV/Hz | ||
| − | {Wie groß ist der Spektralwert von u(t) bei der Frequenz f = 0? | + | {Wie groß ist der Spektralwert von $u(t)$ bei der Frequenz $f$ = 0? |
Hinweis: Lieber denken als rechnen. | Hinweis: Lieber denken als rechnen. | ||
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$Im[U(f=0 \text{kHz}] =$ { 0 } mV/Hz | $Im[U(f=0 \text{kHz}] =$ { 0 } mV/Hz | ||
| − | {Berechnen Sie unter Verwendung des Ergebnisses aus | + | {Berechnen Sie unter Verwendung des Ergebnisses aus 1) den Spektralwert des Signals $x(t)$ bei der Frequenz $f$ = 0.5 kHz. |
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$Re[X(f=0.5 \text{kHz}] =$ { 1.91 3% } mV/Hz | $Re[X(f=0.5 \text{kHz}] =$ { 1.91 3% } mV/Hz | ||
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{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
| − | '''1.''' | + | '''1.''' Für $f \cdot T$ = 0.5 erhält man aus der angegebenen Gleichung: |
$$U( {f = 0.5\;{\rm{kHz}}} ) = - {\rm{j}} \cdot \frac{{A_u \cdot T}}{{\rm{\pi }}} \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {\frac{{\rm{\pi }}}{2}} ) = - {\rm{j}} \cdot \frac{2}{{{\rm{\pi }}^{\rm{2}} }} \cdot A_{\rm u} \cdot T.$$ | $$U( {f = 0.5\;{\rm{kHz}}} ) = - {\rm{j}} \cdot \frac{{A_u \cdot T}}{{\rm{\pi }}} \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {\frac{{\rm{\pi }}}{2}} ) = - {\rm{j}} \cdot \frac{2}{{{\rm{\pi }}^{\rm{2}} }} \cdot A_{\rm u} \cdot T.$$ | ||
| − | Der Imaginärteil ist zahlenmäßig ca. –2 | + | Der Imaginärteil ist zahlenmäßig ca. $–2 \cdot 10^{–4}$ V/Hz. Dagegen liefert die si-Funktion bei $f \cdot T = 1$ den Wert 0, während der Cosinus gleich –1 ist. Damit erhält man mit $A_u$ = 1 V und $T$ = 1 ms: |
$$U( {f = 1\;{\rm{kHz}}} ) = {\rm{j}} \cdot \frac{{A_{\rm u} \cdot T}}{{{\rm{2\pi }}}} \hspace{0.3 cm} \Rightarrow \hspace{0.3 cm} {\rm Re} [...] \hspace{0.15 cm}\underline{ = 0}, \hspace{0.3 cm}{\rm Im} [...] \hspace{0.15 cm}\underline{\approx \cdot 1.59 \cdot 10^{ - 4} \;{\rm{V/Hz}}}.$$ | $$U( {f = 1\;{\rm{kHz}}} ) = {\rm{j}} \cdot \frac{{A_{\rm u} \cdot T}}{{{\rm{2\pi }}}} \hspace{0.3 cm} \Rightarrow \hspace{0.3 cm} {\rm Re} [...] \hspace{0.15 cm}\underline{ = 0}, \hspace{0.3 cm}{\rm Im} [...] \hspace{0.15 cm}\underline{\approx \cdot 1.59 \cdot 10^{ - 4} \;{\rm{V/Hz}}}.$$ | ||
| − | + | '''2.''' Eine ungerade Zeitfunktion $u(t)$ besitzt nach dem Zuordnungssatz stets ein imaginäres und gleichzeitig ungerades Spektrum: | |
$$U( { - f} ) = - U( f ).$$ | $$U( { - f} ) = - U( f ).$$ | ||
| − | Mit dem Grenzübergang f → 0 folgt aus der angegebenen Gleichung | + | Mit dem Grenzübergang $f$ → 0 folgt aus der angegebenen Gleichung |
$$U( f ) = - {\rm{j}} \cdot \frac{{A_u \cdot T}}{{2{\rm{\pi }}fT}}\left[ {{\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }}fT} ) - \cos ( {{\rm{\pi }}fT} )} \right]$$ | $$U( f ) = - {\rm{j}} \cdot \frac{{A_u \cdot T}}{{2{\rm{\pi }}fT}}\left[ {{\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }}fT} ) - \cos ( {{\rm{\pi }}fT} )} \right]$$ | ||
| − | das Ergebnis U(f = 0). Formal könnte man dieses Ergebnis durch Anwendung der l'Hospitalschen Regel bestätigen. Wir gehen etwas pragmatischer vor. Setzen wir zum Beispiel f | + | das Ergebnis $U(f = 0)$. Formal könnte man dieses Ergebnis durch Anwendung der l'Hospitalschen Regel bestätigen. Wir gehen etwas pragmatischer vor. Setzen wir zum Beispiel $f \cdot T$ = 0.01, so erhält man: |
$$U( {f \cdot T = 0.01}) &=& -{\rm{j}} \cdot \frac{{A_{\rm u} \cdot T}}{{0.02{\rm{\pi }}}}( {{\mathop{\rm si}\nolimits} ( {0.01{\rm{\pi }}} ) - \cos ( {0.01{\rm{\pi }}} )} ) \\&=& - {\rm{j}} \cdot \frac{{A{\rm u} \cdot T}}{{0.02{\rm{\pi }}}}( {0.999836 - 0.999507} ) \approx - {\rm{j}} \cdot 5 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V/Hz}}{\rm{.}}$$ | $$U( {f \cdot T = 0.01}) &=& -{\rm{j}} \cdot \frac{{A_{\rm u} \cdot T}}{{0.02{\rm{\pi }}}}( {{\mathop{\rm si}\nolimits} ( {0.01{\rm{\pi }}} ) - \cos ( {0.01{\rm{\pi }}} )} ) \\&=& - {\rm{j}} \cdot \frac{{A{\rm u} \cdot T}}{{0.02{\rm{\pi }}}}( {0.999836 - 0.999507} ) \approx - {\rm{j}} \cdot 5 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V/Hz}}{\rm{.}}$$ | ||
| − | Für noch kleinere Frequenzwerte wird auch das Ergebnis immer kleiner. Schneller kommt man zum Ergebnis U(f = 0) = 0, wenn man berücksichtigt, dass das Integral über u(t) verschwindet. | + | Für noch kleinere Frequenzwerte wird auch das Ergebnis immer kleiner. Schneller kommt man zum Ergebnis $U(f = 0) = 0$, wenn man berücksichtigt, dass das Integral über $u(t)$ verschwindet. |
| − | + | ||
| + | '''3.''' Das Signal $x(t)$ kann in einen geraden und einen ungeraden Anteil aufgeteilt werden, die zum geraden Realteil bzw. zum ungeraden Imaginärteil von $X(f)$ führen. Der gerade Anteil ist gleich der Funktion $g(t)$ mit $A_g$ = 3 V. Daraus folgt für den Spektralwert bei $f \cdot T$ = 0.5: | ||
$${\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {X( {f \cdot T = 0.5} )} \right] = A_{\rm g} \cdot T \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {\frac{{\rm{\pi }}}{2}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 1.91 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V/Hz}}}{\rm{.}}$$ | $${\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {X( {f \cdot T = 0.5} )} \right] = A_{\rm g} \cdot T \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {\frac{{\rm{\pi }}}{2}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 1.91 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V/Hz}}}{\rm{.}}$$ | ||
| − | Der Imaginärteil ergibt sich aus der Spektralfunktion U(f) mit | + | Der Imaginärteil ergibt sich aus der Spektralfunktion $U(f)$ mit $A_u$ = 1 V. Dieser wurde in der Teilaufgabe 1) berechnet: |
$${\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ {X( {f \cdot T = 0.5} )} \right] \hspace{0.15 cm}\underline{= - 2 \cdot 10^{ - 4} \;{\rm{V/Hz}}}{\rm{.}}$$ | $${\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ {X( {f \cdot T = 0.5} )} \right] \hspace{0.15 cm}\underline{= - 2 \cdot 10^{ - 4} \;{\rm{V/Hz}}}{\rm{.}}$$ | ||
Version vom 20. April 2016, 18:39 Uhr
Gesucht ist das Spektrum $X(f)$ des nebenstehend skizzierten impulsförmigen Signals $x(t)$, das im Bereich von $–T/2$ bis $T/2$ linear von 2 V auf 4 V ansteigt und außerhalb 0 ist. Die Spektralfunktionen der unten dargestellten Signale $g(t)$ und $u(t)$ können als bekannt vorausgesetzt werden.
- Die gerade, rechteckförmige Zeitfunktion $g(t)$ besitzt das Spektrum
$$G( f ) = A_g \cdot T \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm{\pi }}fT} ) \hspace{0.3cm} {\rm{mit}}\hspace{0.3cm} {\mathop{\rm si}\nolimits}( x ) = \frac[[:Vorlage:\sin ( x )]]{x}.$$
- Das Spektrum der unsymmetrischen Funktion $u(t)$ lautet:
$$U( f ) = - {\rm{j}} \cdot \frac[[:Vorlage:A u \cdot T]]{{2{\rm{\pi }}fT}}\left[ {{\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }}fT} ) - \cos ( {{\rm{\pi }}fT} )} \right].$$
Verwenden Sie für die Teilaufgaben 1) und 2) die Signalparameter Au = 1 V und T = 1 ms. Hinweis: Lösen Sie diese Aufgabe mit Hilfe des Zuordnungssatzes in Kapitel 3.3.
Fragebogen
Musterlösung
$$U( {f = 0.5\;{\rm{kHz}}} ) = - {\rm{j}} \cdot \frac[[:Vorlage:A u \cdot T]]{{\rm{\pi }}} \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {\frac{{\rm{\pi }}}{2}} ) = - {\rm{j}} \cdot \frac{2}{{{\rm{\pi }}^{\rm{2}} }} \cdot A_{\rm u} \cdot T.$$
Der Imaginärteil ist zahlenmäßig ca. $–2 \cdot 10^{–4}$ V/Hz. Dagegen liefert die si-Funktion bei $f \cdot T = 1$ den Wert 0, während der Cosinus gleich –1 ist. Damit erhält man mit $A_u$ = 1 V und $T$ = 1 ms:
$$U( {f = 1\;{\rm{kHz}}} ) = {\rm{j}} \cdot \frac{{A_{\rm u} \cdot T}}{{{\rm{2\pi }}}} \hspace{0.3 cm} \Rightarrow \hspace{0.3 cm} {\rm Re} [...] \hspace{0.15 cm}\underline{ = 0}, \hspace{0.3 cm}{\rm Im} [...] \hspace{0.15 cm}\underline{\approx \cdot 1.59 \cdot 10^{ - 4} \;{\rm{V/Hz}}}.$$
2. Eine ungerade Zeitfunktion $u(t)$ besitzt nach dem Zuordnungssatz stets ein imaginäres und gleichzeitig ungerades Spektrum:
$$U( { - f} ) = - U( f ).$$
Mit dem Grenzübergang $f$ → 0 folgt aus der angegebenen Gleichung
$$U( f ) = - {\rm{j}} \cdot \frac[[:Vorlage:A u \cdot T]]{{2{\rm{\pi }}fT}}\left[ {{\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }}fT} ) - \cos ( {{\rm{\pi }}fT} )} \right]$$
das Ergebnis $U(f = 0)$. Formal könnte man dieses Ergebnis durch Anwendung der l'Hospitalschen Regel bestätigen. Wir gehen etwas pragmatischer vor. Setzen wir zum Beispiel $f \cdot T$ = 0.01, so erhält man:
$$U( {f \cdot T = 0.01}) &=& -{\rm{j}} \cdot \frac{{A_{\rm u} \cdot T}}{{0.02{\rm{\pi }}}}( {{\mathop{\rm si}\nolimits} ( {0.01{\rm{\pi }}} ) - \cos ( {0.01{\rm{\pi }}} )} ) \\&=& - {\rm{j}} \cdot \frac{{A{\rm u} \cdot T}}{{0.02{\rm{\pi }}}}( {0.999836 - 0.999507} ) \approx - {\rm{j}} \cdot 5 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V/Hz}}{\rm{.}}$$
Für noch kleinere Frequenzwerte wird auch das Ergebnis immer kleiner. Schneller kommt man zum Ergebnis $U(f = 0) = 0$, wenn man berücksichtigt, dass das Integral über $u(t)$ verschwindet.
3. Das Signal $x(t)$ kann in einen geraden und einen ungeraden Anteil aufgeteilt werden, die zum geraden Realteil bzw. zum ungeraden Imaginärteil von $X(f)$ führen. Der gerade Anteil ist gleich der Funktion $g(t)$ mit $A_g$ = 3 V. Daraus folgt für den Spektralwert bei $f \cdot T$ = 0.5:
$${\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {X( {f \cdot T = 0.5} )} \right] = A_{\rm g} \cdot T \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {\frac{{\rm{\pi }}}{2}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 1.91 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V/Hz}}}{\rm{.}}$$
Der Imaginärteil ergibt sich aus der Spektralfunktion $U(f)$ mit $A_u$ = 1 V. Dieser wurde in der Teilaufgabe 1) berechnet:
$${\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ {X( {f \cdot T = 0.5} )} \right] \hspace{0.15 cm}\underline{= - 2 \cdot 10^{ - 4} \;{\rm{V/Hz}}}{\rm{.}}$$
