Aufgaben:Aufgabe 3.5Z: Nochmals Kullback-Leibler-Distanz: Unterschied zwischen den Versionen
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{Wie groß sind die Entropien der Zufallsgrößen $Y$ (Näherungen für $X$)? | {Wie groß sind die Entropien der Zufallsgrößen $Y$ (Näherungen für $X$)? | ||
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| − | $N=1000$ $H(Y)$ = { 1.9968 1% } $bit$ | + | $N=1000$ $H(Y)$ = { 1.9968 1% } $bit$ |
| − | $N=100$ $H(Y)$ = { 1.941 1% } $bit$ | + | $N=100$ $H(Y)$ = { 1.941 1% } $bit$ |
$N=10$ $H(Y)$ = { 1.6855 1% } $bit$ | $N=10$ $H(Y)$ = { 1.6855 1% } $bit$ | ||
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{Berechnen Sie die folgenden Kullback–Leibler–Distanzen. | {Berechnen Sie die folgenden Kullback–Leibler–Distanzen. | ||
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| − | $N=1000$ $D( P_X || P_Y)$ = { 3.28 1% } . 10 ( { -3 })$bit$ | + | $N=1000$ $D( P_X || P_Y)$ = { 3.28 1% } . 10 ( { -3 } )$bit$ |
| − | $N=100$ $D( P_X || P_Y)$ = { 4.42 | + | $N=100$ $D( P_X || P_Y)$= { 4.42 1% } . 10 ( { -2 } )$bit$ |
| − | $N=10$ | + | $N=10$ $D( P_X || P_Y)$= { 3.45 1% } . 10 ( { -1 } )$bit$ |
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Version vom 25. November 2016, 17:34 Uhr
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet:
$$P_Y(X) = [\hspace{0.03cm}0.25\hspace{0.03cm}, \hspace{0.03cm} 0.25\hspace{0.03cm},\hspace{0.03cm} 0.25 \hspace{0.03cm}, \hspace{0.03cm} 0.25\hspace{0.03cm}]\hspace{0.05cm}$$ Die Zufallsgröße $X$ ist also gekennzeichnet
- durch den Symbolumfang $M=4$,
- mit gleichen Wahrscheinlichkeiten.
Die Zufallsgröße $Y$ ist stets eine Näherung für $X$. Sie wurde per Simulation aus einer Gleichverteilung gewonnen, wobei jeweils nur $N$ Zufallswerte ausgewertet wurden. Das heißt: $P_Y(1)$,...,$P_Y(4)$ sind im herkömmlichen Sinn keine Wahrscheinlichkeiten. Sie beschreiben vielmehr relative Häufigkeiten.
Das Ergebnis der sechsten Versuchsreihe (mit $N=1000$) ird demnach durch die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion zusammengefasst:
$$P_Y(X) = [\hspace{0.05cm}0.225\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0.253\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0.250 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0.272\hspace{0.05cm}] \hspace{0.05cm}$$ Bei dieser Schreibweise ist bereits berücksichtigt, dass die Zufallsgrößen $X$ und $Y$ auf dem gleichen Alphabet $X =$ {1, 2, 3, 4} basieren.
Mit diesen Voraussetzungen gilt für die relative Entropie (englisch: Informational Divergence) zwischen den Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X(.)$ und $P_Y(.)$ :
$D( P_X || P_Y) = E_X [ log_2 \frac{P_X(X)}{P_Y(Y)}] = \sum\limits_{\mu=1}^M P_X(\mu) . log_2 \frac{P_X(\mu)}{P_Y(\mu)}$
Man bezeichnet $D( P_X || P_Y)$ als Kullback–Leibler–Distanz. Diese ist ein Maß für die Ähnlichkeit zwischen den beiden Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X(.)$ und $P_Y(.)$. Die Erwartungswertbildung geschieht hier hinsichtlich der (tatsächlich gleichverteilten) Zufallsgröße $X$. Dies wird durch die Nomenklatur $E_X[.]$ angedeutet.
Eine zweite Form der Kullback–Leibler–Distanz ergibt sich durch die Erwartungswertbildung hinsichtlich der Zufallsgröße $Y \Rightarrow E_Y[.]$:
$D( P_Y || P_X) = E_Y [ log_2 \frac{P_Y(Y)}{P_Y(Y)}] = \sum\limits_{\mu=1}^M P_Y(\mu) . log_2 \frac{P_Y(\mu)}{P_X(\mu)}$
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 3.1 dieses Buches. Die Angaben der Entropie $H(Y)$ und der Kullback–Leibler–Distanz $D( P_X || P_Y)$ in obiger Grafik sind in „bit” zu verstehen. die mit „???" versehenen Felder sollen von Ihnen in dieser Aufgabe ergänzt werden.
Fragebogen
Musterlösung
