Aufgaben:Aufgabe 3.5Z: Anwendung des Residuensatzes: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
 
Zeile 71: Zeile 71:
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 4 und 6</u>:
+
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 2,&nbsp; 4&nbsp; und&nbsp; 6</u>:
*Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist, dass es weniger Nullstellen als Pole gibt, das heißt, es muss &nbsp;$Z < N$&nbsp; gelten.  
+
*Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist,&nbsp; dass es weniger Nullstellen als Pole gibt,&nbsp; das heißt,&nbsp; es muss &nbsp;$Z < N$&nbsp; gelten.  
 
*Diese Voraussetzung ist bei den Konfigurationen &nbsp;$\rm B$, &nbsp;$\rm D$ und &nbsp;$\rm F$ nicht gegeben.  
 
*Diese Voraussetzung ist bei den Konfigurationen &nbsp;$\rm B$, &nbsp;$\rm D$ und &nbsp;$\rm F$ nicht gegeben.  
*Hier muss zunächst eine Partialbruchzerlegung vorgenommen werden, zum Beispiel für die Konfiguration &nbsp;$\rm B$&nbsp; mit &nbsp;$p_x =  -1$:
+
*Hier muss zunächst eine Partialbruchzerlegung vorgenommen werden,&nbsp; zum Beispiel für die Konfiguration &nbsp;$\rm B$&nbsp; mit &nbsp;$p_x =  -1$:
 
:$$Y_{\rm L}(p)=  \frac {p} {p +1}= 1-\frac {1} {p +1}
 
:$$Y_{\rm L}(p)=  \frac {p} {p +1}= 1-\frac {1} {p +1}
 
  \hspace{0.05cm} .$$
 
  \hspace{0.05cm} .$$
Zeile 89: Zeile 89:
  
  
'''(3)'''&nbsp; Bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; erhält man nun:
+
[[Datei:P_ID1782__LZI_Z_3_5_c.png|right|frame|Komplexe Signale bei einem einzigen komplexen Pol]]
 +
'''(3)'''&nbsp; Bei gleicher Vorgehensweise wie in Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; erhält man nun:
 
:$$y(t) = 2 \cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-(0.2 \hspace{0.05cm}+
 
:$$y(t) = 2 \cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-(0.2 \hspace{0.05cm}+
 
  \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.5 \pi) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}t}
 
  \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.5 \pi) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}t}
Zeile 97: Zeile 98:
 
  \hspace{0.05cm}t}
 
  \hspace{0.05cm}t}
 
  \hspace{0.05cm} .$$
 
  \hspace{0.05cm} .$$
*Aufgrund des zweiten Terms handelt es sich um ein komplexes Signal, dessen Phase in mathematisch positiver Richtung&nbsp; (entgegen dem Uhrzeigersinn)&nbsp; dreht.  
+
 
*Für den Zeitpunkt &nbsp;$t=1$&nbsp; gilt:
+
*Aufgrund des zweiten Terms handelt es sich um ein komplexes Signal,&nbsp; dessen Phase in mathematisch positiver Richtung&nbsp; (entgegen dem Uhrzeigersinn)&nbsp; dreht.&nbsp; Für den Zeitpunkt &nbsp;$t=1$&nbsp; gilt:
 
:$$y(t = 1)  = 2 \cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2} \cdot  \big [
 
:$$y(t = 1)  = 2 \cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2} \cdot  \big [
 
  \cos(1.5 \pi) + {\rm j} \cdot \sin(1.5 \pi)
 
  \cos(1.5 \pi) + {\rm j} \cdot \sin(1.5 \pi)
  \big ]= - {\rm j} \cdot 1.638\hspace{0.3cm}\Rightarrow
+
  \big ]= - {\rm j} \cdot 1.638$$
 +
:$$\Rightarrow
 
  \hspace{0.3cm}{\rm Re}\{y(t = 1)\}  \hspace{0.15cm}\underline{ = 0},\hspace{0.2cm}  {\rm Im}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{=- 1.638}
 
  \hspace{0.3cm}{\rm Re}\{y(t = 1)\}  \hspace{0.15cm}\underline{ = 0},\hspace{0.2cm}  {\rm Im}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{=- 1.638}
 
  \hspace{0.05cm} .$$
 
  \hspace{0.05cm} .$$
Zeile 107: Zeile 109:
  
  
[[Datei:P_ID1782__LZI_Z_3_5_c.png|center|frame|Komplexe Signale bei einem Pol]]
 
  
  
 +
[[Datei:P_ID1783__LZI_Z_3_5_d.png|right|frame|Signalverlauf der Konfiguration $\rm E$]]
 
'''(4)'''&nbsp; Nun gilt &nbsp;$I=2$. Die Residien von &nbsp;$p_{x1}$&nbsp; bzw. &nbsp;$p_{x2}$&nbsp; liefern:
 
'''(4)'''&nbsp; Nun gilt &nbsp;$I=2$. Die Residien von &nbsp;$p_{x1}$&nbsp; bzw. &nbsp;$p_{x2}$&nbsp; liefern:
 
:$$y_1(t) =
 
:$$y_1(t) =
Zeile 123: Zeile 125:
 
  -\frac {K } { p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}2}} \cdot  {\rm e}^{-p_{{\rm x}1}\hspace{0.05cm}\cdot
 
  -\frac {K } { p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}2}} \cdot  {\rm e}^{-p_{{\rm x}1}\hspace{0.05cm}\cdot
 
  \hspace{0.05cm}t}$$
 
  \hspace{0.05cm}t}$$
:$$\Rightarrow
+
:$$y(t)= y_1(t)+y_2(t) =
\hspace{0.3cm}y(t)= y_1(t)+y_2(t) =
 
 
  \frac {2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2
 
  \frac {2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2
 
\hspace{0.08cm}\cdot
 
\hspace{0.08cm}\cdot
 
  \hspace{0.05cm}t}}{{\rm j} \cdot 3 \pi} \cdot \big [ \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.)
 
  \hspace{0.05cm}t}}{{\rm j} \cdot 3 \pi} \cdot \big [ \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.)
  - \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.)\big ]=
+
  - \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.)\big ]$$
 +
:$$\Rightarrow
 +
\hspace{0.3cm}y(t)=  
 
  \frac {4 }{ 3 \pi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2
 
  \frac {4 }{ 3 \pi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2
 
\hspace{0.08cm}\cdot
 
\hspace{0.08cm}\cdot
 
  \hspace{0.05cm}t}\cdot  \sin(1.5\pi \cdot t)$$
 
  \hspace{0.05cm}t}\cdot  \sin(1.5\pi \cdot t)$$
[[Datei:P_ID1783__LZI_Z_3_5_d.png|right|frame|Signalverlauf der Konfiguration $\rm E$]]
 
 
:$$\Rightarrow
 
:$$\Rightarrow
 
\hspace{0.3cm}y(t=1)= -\frac {4 }{ 3 \pi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2
 
\hspace{0.3cm}y(t=1)= -\frac {4 }{ 3 \pi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2
Zeile 139: Zeile 141:
 
  \hspace{0.05cm} .$$
 
  \hspace{0.05cm} .$$
  
Die Grafik zeigt den (rein reellen) Signalverlauf&nbsp; $y(t)$&nbsp; für diese Konfiguration.
+
Die Grafik zeigt den&nbsp; (rein reellen)&nbsp; Signalverlauf&nbsp; $y(t)$&nbsp; für diese Konfiguration.
  
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}

Aktuelle Version vom 10. November 2021, 11:52 Uhr

Sechs Pol–Nullstellen–Diagramme

Die Spektralfunktion  $Y_{\rm L}(p)$  sei in Pol–Nullstellen–Form gegeben,  gekennzeichnet durch

  • $Z$  Nullstellen  $p_{{\rm o}i}$,
  • $N$  Pole  $p_{{\rm x}i}$, sowie
  • die Konstante  $K$.


Betrachtet werden im Folgenden die in der Grafik dargestellten Konfigurationen.  Es gelte stets  $K= 2$.

Für den Fall,  dass die Anzahl  $Z$  der Nullstellen kleiner als die Anzahl  $N$  der Pole ist,  kann das zugehörige Zeitsignal  $y(t)$  durch Anwendung des  Residuensatzes  direkt ermittelt werden.

In diesem Fall gilt

$$y(t) = \sum_{i=1}^{I} \left \{ Y_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{{\rm x}i})\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}i}} \right \} \hspace{0.05cm}.$$

$I$  gibt die Anzahl der unterscheidbaren Pole an;  bei allen vorgegebenen Konstellationen ist  $I = N$.




Hinweise:

  • Ist das Zeitsignal  $y(t)$  komplex, so kann  $Y_{\rm L}(p)$  nicht als Schaltung realisiert werden.  Die Anwendung des Residuensatzes ist aber trotzdem möglich.
  • Die komplexe Frequenz  $p$,  die Nullstellen  $p_{{\rm o}i}$  sowie die Pole  $p_{{\rm x}i}$  beschreiben in dieser Aufgabe jeweils normierte Größen ohne Einheit.
  • Damit ist auch die Zeit  $t$  dimensionslos.


Fragebogen

1

Bei welchen Konfigurationen lässt sich der Residuensatz  nicht direkt  anwenden?

Konfiguration  $\rm A$,
Konfiguration  $\rm B$,
Konfiguration  $\rm C$,
Konfiguration  $\rm D$,
Konfiguration  $\rm E$,
Konfiguration  $\rm F$.

2

Berechnen Sie  $y(t)$  für die Konfiguration  $\rm A$  mit  $K= 2$  und  $p_{\rm x} = -1$.  Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt  $t = 1$?

$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $

$\ {\rm Im}\{y(t = 1)\} \ = \ $

3

Berechnen Sie  $y(t)$  für die Konfiguration  $\rm C$  mit  $K= 2$  und  $p_{\rm x} = -0.2 + {\rm j} \cdot 1.5\pi$.  Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt  $t = 1$?

$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $

$\ {\rm Im}\{y(t = 1)\} \ = \ $

4

Welcher Signalwert  $y(t = 1)$  ergibt sich bei der Konstellation  $\rm E$  mit  $K= 2$  und zwei Polstellen bei  $p_{\rm x} = -0.2 \pm {\rm j} \cdot 1.5\pi$?

$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $

$\ {\rm Im}\{y(t = 1)\} \ = \ $


Musterlösung

(1)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 2,  4  und  6:

  • Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist,  dass es weniger Nullstellen als Pole gibt,  das heißt,  es muss  $Z < N$  gelten.
  • Diese Voraussetzung ist bei den Konfigurationen  $\rm B$,  $\rm D$ und  $\rm F$ nicht gegeben.
  • Hier muss zunächst eine Partialbruchzerlegung vorgenommen werden,  zum Beispiel für die Konfiguration  $\rm B$  mit  $p_x = -1$:
$$Y_{\rm L}(p)= \frac {p} {p +1}= 1-\frac {1} {p +1} \hspace{0.05cm} .$$


(2)  Mit  $Y_{\rm L}(p) = 2/(p+1)$  ergibt sich aus dem Residuensatz mit  $I=1$:

$$y(t) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1}= 2 \cdot {\rm e}^{- \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y(t=1) =\frac{2}{\rm e} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.736 \hspace{0.15cm}{\rm (rein\hspace{0.15cm}reell)}} \hspace{0.05cm} .$$


Komplexe Signale bei einem einzigen komplexen Pol

(3)  Bei gleicher Vorgehensweise wie in Teilaufgabe  (2)  erhält man nun:

$$y(t) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-(0.2 \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.5 \pi) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}t} = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2 \hspace{0.08cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-{\rm j} \hspace{0.08cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.5 \pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} \hspace{0.05cm} .$$
  • Aufgrund des zweiten Terms handelt es sich um ein komplexes Signal,  dessen Phase in mathematisch positiver Richtung  (entgegen dem Uhrzeigersinn)  dreht.  Für den Zeitpunkt  $t=1$  gilt:
$$y(t = 1) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2} \cdot \big [ \cos(1.5 \pi) + {\rm j} \cdot \sin(1.5 \pi) \big ]= - {\rm j} \cdot 1.638$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0},\hspace{0.2cm} {\rm Im}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{=- 1.638} \hspace{0.05cm} .$$
  • Die linke Grafik zeigt das komplexe Signal für einen Pol bei  $p_x = -2 + {\rm j} \cdot 1.5 \pi$.  Rechts sieht man das dazu konjugiert–komplexe Signal für  $p_x = -2 - {\rm j} \cdot 1.5 \pi$.



Signalverlauf der Konfiguration $\rm E$

(4)  Nun gilt  $I=2$. Die Residien von  $p_{x1}$  bzw.  $p_{x2}$  liefern:

$$y_1(t) = \frac {K \cdot (p-p_{{\rm x}1})} { (p-p_{{\rm x}1})(p-p_{{\rm x}2})} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}}= \frac {K } { p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}2}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} \hspace{0.05cm} ,$$
$$ y_2(t) = \frac {K } { p_{{\rm x}2}-p_{{\rm x}1}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}= -\frac {K } { p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}2}} \cdot {\rm e}^{-p_{{\rm x}1}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}$$
$$y(t)= y_1(t)+y_2(t) = \frac {2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2 \hspace{0.08cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}}{{\rm j} \cdot 3 \pi} \cdot \big [ \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.) - \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.)\big ]$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}y(t)= \frac {4 }{ 3 \pi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2 \hspace{0.08cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\cdot \sin(1.5\pi \cdot t)$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}y(t=1)= -\frac {4 }{ 3 \pi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2 \hspace{0.08cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} \hspace{0.15cm}\underline{= -0.347} \hspace{0.05cm} .$$

Die Grafik zeigt den  (rein reellen)  Signalverlauf  $y(t)$  für diese Konfiguration.